山西太原市外国语学校平面向量及其应用综合练习题百度文库

一、多选题
1．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）
A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+
B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b c
C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++
D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 3．下列说法中正确的是（ ）
A ．对于向量,,a b c ，有()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅
B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底
C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件
D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则
0λμ+=
4．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点
时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．4,33⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()2,3
D ．8
,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
5．在ABC 中，AB =1AC =，6
B π
=，则角A 的可能取值为（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
2
π
6．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）
A B
C D ．7．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++
D ．AB AC BD CD -+-
8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C = B ．ABC ∆是钝角三角形
C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC ∆外接圆半径为
7
9．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
10．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c
B ．若PA PB PB P
C PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=
11．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()
()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥
D ．(
)(
)
22
b b a b a a +-=⋅-
12．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=
B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ⋅=-
13．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C
处,,那么x 的值为( )
A B ．C ．D ．3
14．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等
B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >
D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
15．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个
C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得
()11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==
二、平面向量及其应用选择题
16．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）
A 33
B 53
C 73
D 83
17．设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →
→
-的最小值为1，则（ ）
A ．若θ确定，则||a →
唯一确定 B ．若θ确定，则||b →
唯一确定 C ．若||a →
确定，则θ唯一确定
D ．若||b →
确定，则θ唯一确定
18．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形
ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．梯形
C ．平行四边形
D ．以上都不对
19．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）
A ．
441
B ．
45
C ．
425
D ．
41
41
20．在ABC ∆中，设2
2
2AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
21．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===
D 在边BC 上，且
27
sin BAD ∠=
CD 等于（ ）
A ．
23
3
B ．
33
C ．
33
2
D ．
3
3
22．在ABC 中，若()()
0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定 23．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
24．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等边三角形
25．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4 B ．72
C ．
258
D ．
25
9
26．题目文件丢失！
27．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，
3
cos 5
A =
，则b 等于（ ） A ．
35 B ．
107
C ．
57
D ．
52
14
28．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ） A 7B ．3
C 11
D 1929．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC B
E EC ===，点
F 在边CD 上，若
AB AF 3→→=，则AE BF
→→的值为（ ） A ．0
B 83
C ．-4
D ．4
30．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若
(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）
A ．316
- B ．
316 C ．
12
D ．12
-
31．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且
•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心 D ．外心重心内心
32．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →
→
→
→
→
→
⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．不确定
33．已知ABC 中，1,3,30a b A ︒===，则B 等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
34．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，
BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）
A ．21
33AB AD - B ．
12
33AB AD - C ．21
33
AB AD -+ D ．12
33
AB AD -
+ 35．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．
1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题
1．ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，
且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以5
3
λ>-
且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则2
2
3()||||2
a a
b a a b a ⋅+=+⋅=
， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，
故2
3||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===
+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要
求比较高，中档题.
2．BD 【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若与共线，与，都
解析：BD 【分析】
假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；
B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以
//b c ，即B 正确；
C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出
a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；
D 选项，若0a b ⋅=，则(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b
+=+=++⋅=
+，
()
2
2
2
2
2
2a b a b a b a b a b -=
-=+-⋅=
+，所以a b a b +=-，即D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
3．BCD 【分析】
．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．，
解析：BCD
A ．向量数量积不满足结合律进行判断
B ．判断两个向量是否共线即可
C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断
D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】
解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，
B ．
12
57
-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，
C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，
当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，
D ．由23CD CB =得22
33CD AB AC =-，
则23λ=，23
μ=-，则22
033λμ+=-=，故D 正确
故正确的是BCD ，
故选：BCD ． 【点睛】
本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．
4．AD 【分析】
设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：
解析：AD
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，121
2
PP
PP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得432
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以4,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 当点P 靠近点2P 时，12
2PP PP =， 则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩
，
解得833
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故选：AD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．AD 【分析】
由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.
当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD
本题考查余弦
解析：AD 【分析】
由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】
由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，
即2132BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6
A B π
==
；
当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2
π. 故选：AD 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.
6．AB 【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】
中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，
当时，由余弦定理得：， 解得，
当时，由余弦定理得：， 解得 所以或
解析：AB 【分析】
在ABC 中，根据4a =，5b =，由1
sin 2
ABC
S
ab C =
=60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC
S
=
所以1sin 2
ABC S ab C ==
所以sin 2C =
，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，
解得c =
当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，
解得c =
所以c =c =故选：AB
【点睛】
本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．BD
【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】
对于选项：，选项不正确；
对于选项： ，选项正确；
对于选项：，选项不正确；
对于选项：
选项正确.
故选：
解析：BD
【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】
对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；
对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；
对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；
对于选项D ：()()
0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题. 8．ACD
【分析】
先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.
【详解】
因为
所以可设：（其中），解得：
所以，所以A 正确；
由上可知：边最大，所以三角形中角最大，
又 ，所以角为
解析：ACD
【分析】
先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.
【详解】
因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=
所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===
所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；
由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大， 又222222(4)(5)(6)1cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；
由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小， 又222222(6)(5)(4)3cos 22654
c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯， 所以21cos22cos 18
A A =-=，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,
2C π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =
，又sin 8
C ==
所以2R =
，解得：7R =，所以D 正确. 故选:ACD.
【点睛】
本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.
9．ABCD
【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形
【详解】
根据正弦定理
,
即.
,
或.
即或
解析：ABCD
【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=
，进而有
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形
【详解】 根据正弦定理
sin sin a b A B
= cos cos a A b B =
sin cos sin cos A A B B =,
即sin 2sin 2A B =.
2,2(0,2)A B π∈, 22A B =或22A B π+=.
即A B =或2A B π
+=,
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.
故选：ABCD
【点睛】
本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°
10．AD
【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；
对于选项C ，两个非零向量
解析：AD
【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；
对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD
【点睛】
本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.
11．AB
【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.
【详解】
对于A 选项，，A 选项错误；
对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，
解析：AB
【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.
【详解】
对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；
对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；
对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确.
故选：AB.
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
12．CD
【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
分析知，，与的夹角是.
由，故B 错误，D 正确；
由，所以，故A 错误；
由，所以，故C 正确.
故选：CD
【点睛】
解析：CD
【分析】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.
由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；
由()22221243a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()
4a b b +⊥，故C 正确. 故选：CD
【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
13．AB
【分析】
由余弦定理得，化简即得解.
【详解】
由题意得,由余弦定理得,
解得或.
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：AB
由余弦定理得293cos306x x
︒
+-=，化简即得解. 【详解】 由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒
+-=,
解得x =x
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．AD
【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确；
向量共线包括同向和反向，故B 不正确；
向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；
根据
解析：AD
【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确；
向量共线包括同向和反向，故B 不正确；
向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；
根据相等向量的概念知，D 正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．
15．AD
【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确.
【详解】
由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.
对于B,由平面向量基本
【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确.
【详解】
由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.
对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,
那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；
对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时,
这样的λ有无数个，所以不正确.
故选:AD .
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16．B
【分析】
如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．
【详解】
如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，
在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒
，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，
10353v ==/秒）． 故选B ．
【点睛】
本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．
17．B
【分析】
2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222
()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅=
=时，222min
244()()14a b a b f t a
-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，
所以当2cos b a b t a a
θ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a
-⋅==，222||cos 1b b θ-=，
所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ
=
，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B
【点睛】
本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.
18．B
【分析】
计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案.
【详解】 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=. 设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .
【点睛】
本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力.
19．B
【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =，42c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦
定理
sin sin b c B C
=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =
，c =45B =︒，
由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b c B C
=，
所以2sin 42sin 55
c B C b ===，
故选：B
【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．D
【分析】 根据已知条件可得()
222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得()0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.
【详解】 ()()()
222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅ ()20BC AC AB AM ∴⋅+-=
()()
0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=
设E 为BC 中点，则2MC MB ME += 20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥
ME ⇒为BC 的垂直平分线
M ∴轨迹必过ABC ∆的外心
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.
21．A
【分析】
首先根据余弦定理求AB，再判断ABC的内角，并在ABD
△和ADC中，分别用正弦定理表示AD，建立方程求DC的值.
【详解】
AB=
3
==，
222
cos
22
AB BC AC
B
AB BC
+-
∴===
⋅
，
又因为角B是三角形的内角，所以
6
B
π
=，
90
BAC
∴∠=，
sin
7
BAD
∠=
，cos
7
BAD
∴∠==，
sin cos
DAC BAD
∴∠=∠=，
在ABD
△中，由正弦定理可得
sin
sin
BD B
AD
BAD
⋅
=
∠
，
在ADC中，由正弦定理可得
sin
sin
DC C
AD
DAC
⋅
=
∠
，
(
)1
DC DC
⨯
=
，解得：DC=.
故选：A
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.
22．C
【分析】
利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB
+2222
)()0
CA CB CA CB b a
-=-=-=，从而可得答案．
【详解】
解：在ABC中，(CA CB
+2222
)()0
CA CB CA CB b a
-=-=-=，
a b
∴=，
ABC
∴为等腰三角形，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．
23．D
【分析】
由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．
【详解】 由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B π
π<<．
∴ABC 是钝角三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 24．D
【分析】
先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状.
【详解】
因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，
所以()sin 0B A -=，所以A B =，
又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=
， 所以3A B π==
，所以ABC 是等边三角形. 故选：D.
【点睛】
本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 25．C
【分析】
在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7cos 25A =
，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BC R A
=
求解. 【详解】
在ABC 中，5AB AC ==，6BC =， 由余弦定理得：2222225567cos 225525
AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，
所以24sin 25
A ==， 由正弦定理得：625224sin 425
BC R A ===， 所以258
R =， 此三角形的外接圆半径是
258
故选：C
【点睛】 本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
26．无
27．C
【分析】
利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出．
【详解】 解：3cos 5
A =，(0,180)A ∈︒︒．
∴4
sin 5A =，
34cos cos()(cos cos sin sin )(525210
C A B A B A B =-+=--=-⨯-=．
sin 10
C ∴==． 由正弦定理可得：
sin sin b c B C =，
∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
28．A
【分析】
根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解.
因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒， 所以222
4424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
29．C
【分析】
先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.
【详解】
如图所示，AB AF
2232,3cos 1133BE EC BE BC AF DF α=⇒==→→=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()()
230,3,3,1,,33B F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
因此()BF AE BF 233,2,3232643
→=-→→=⨯-⨯=-=-，故选C.
【点睛】
平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
30．A
利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值.
【详解】 E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD ===+， ()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=+-=-，14λ∴=，34μ=-. 因此，133
4416
λμ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】
本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.
31．C
【详解】
试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-=，所以2NE CN =，所以N 是ABC ∆的重心；由
•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.
考点：向量在几何中的应用.
32．B
【分析】
根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状.
【详解】
因为AB AC BA BC →→→→
⋅=⋅，所以0AB AC BC →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 即0AB CA CB →
→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，
所以在ABC 中，AB 与AB 边上的中线垂直，则CA CB →→
=，
同理0BC AC AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，AC AB →→=， 所以AC AB CB →→→==，ABC 是等边三角形．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题. 33．D
【分析】
由正弦定理可得，sin B =
，根据b a >，可得B 角的大小. 【详解】
由正弦定理可得，sin sin b A B a ==， 又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B =.
故选：D
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 34．C
【分析】
根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.
【详解】 解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 111246AB AD AB CB =-+
++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+
++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126
AB AD AB AB AD =-+++- 2133
AB AD =-+
故选：C .
【点睛】
本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题. 35．D
【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果.
【详解】
在ABC ∆中，M 是BC 的中点，
又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+
=+， 故选D.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.。