(全国通用)2020版高考数学二轮复习第四层热身篇专题检测(十四)直线与圆
2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练
2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35ak a k CB AB +=-=∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y = 【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x ym m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ． 【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+nym x 中要求m ，n 均非零。
故做题时应考虑此情形【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。
不要漏解。
题型三 直线位置关系的判断例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（ ）A. 2-或1-B. 2或1-C. 2-或1D. 2或1 【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+= 化简为23201k k k -+=⇒= 或2 故选择D【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。
(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题突破练24直线与圆及圆锥曲线(理)
专题突破练24 直线与圆及圆锥曲线1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-√3y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设动点N的轨迹为曲线C.动点N满足AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA(1)求曲线C的方程;(2)略.2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交;(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.3.已知圆O:x2+y2=4,点A(√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.的直线l与C的交点为A,B,与x 4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.(2)若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AA5.(2019湖南长沙第一中学高三下学期高考一模)已知椭圆A2A2+A2A2=1(a>b>0)的离心率e=12,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3.(1)求椭圆的方程;(2)已知P为直角坐标平面内一定点,动直线l:y=12x+t与椭圆交于A,B两点,当直线PA与直线PB的斜率均存在时,若直线PA与PB的斜率之和为与t无关的常数,求出所有满足条件的定点P的坐标.6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:A2A2+A2A2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆Q方程(x-√2)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点,若△MAB的面积为6√25,求k的值.参考答案专题突破练24 直线与圆及圆锥曲线1.解(1)设动点N (x ,y ),A (x 0,y 0),因为AB ⊥x 轴于B ,所以B (x 0,0).已知圆M 的方程为x 2+y 2=r 2,由题意得r=1+3=2,所以圆M 的方程为x 2+y 2=4.由题意,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(0,-y 0)=2(x 0-x ,-y ),即{A 0=A ,A 0=2A .将A (x ,2y )代入圆M :x 2+y 2=4,得动点N 的轨迹方程为A 24+y 2=1.(2)略.2.(1)证明圆C 1的圆心C 1(1,3),半径r 1=√11,圆C 2的圆心C 2(5,6),半径r 2=4, 两圆圆心距d=|C 1C 2|=5,r 1+r 2=√11+4,|r 1-r 2|=4-√11, 所以|r 1-r 2|<d<r 1+r 2. 所以圆C 1和C 2相交.(2)解将圆C 1和圆C 2的方程相减,得4x+3y-23=0, 所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.因为圆心C 2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为d=√16+9=3,故两圆的公共弦长为2√16-9=2√7.3.解(1)设AB 的中点为M ,切点为N ,连接OM ,MN ,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A 关于y 轴的对称点A',连接A'B ,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4. 所以点B 的轨迹是以A',A 为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=√3,b=1,则曲线Γ的方程为A 24+y 2=1.(2)因为B 为CD 的中点,所以OB ⊥CD ,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 设B (x 0,y 0),则x 0(x 0-√3)+A 02=0.又A 024+A 02=1,解得x 0=√3,y 0=±√2√3.则k OB =±√22,k AB =∓√2,则直线AB 的方程为y=±√2(x-√3), 即√2x-y-√6=0或√2x+y-√6=0.4.解设直线l :y=32x+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(1)由题设得F (34,0),故|AF|+|BF|=x 1+x 2+32,由题设可得x 1+x 2=52.由{A =32A +A ,A 2=3A可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(A -1)9.从而-12(A -1)9=52,得t=-78.所以l 的方程为y=32x-78.(2)由AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2.由{A =32A +A ,A 2=3A可得y 2-2y+2t=0.所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3.代入C 的方程得x 1=3,x 2=13.故|AB|=4√133.5.解(1)设椭圆的半焦距为c ,则c 2=a 2-b 2,且e=A A =12.由题意得{A =A ,A 2A 2+A 2A 2=1,解得y=±A 2A .依题意,2A 2A=3,结合a 2=b 2+c 2,解得c=1,a=2,b=√3.于是椭圆的方程为A 24+A 23=1.(2)设A x 1,12x 1+t ,B x 2,12x 2+t ,P (m ,n ).将l :y=12x+t 代入椭圆方程得x 2+tx+t 2-3=0.则Δ=t 2-4(t 2-3)>0,t 2<4, 则有x 1+x 2=-t ,x 1x 2=t 2-3. 直线PA ,PB 的斜率之和k PA +k PB =A -12A 1-A A -A 1+A -12A 2-A A -A 2=(A -12A 1-A )(A -A 2)+(A -12A 2-A )(A -A 1)(A -A 1)(A -A 2)=(A -32A )A +2AA -3A 2+AA +A 2-3,当n=32m ,2mn=3时斜率的和恒为0,解得{A =1,A =32,或{A =-1,A =-32.综上所述,所有满足条件的定点P 的坐标为1,32或-1,-32.6.解(1)因为F 2的坐标满足圆Q 方程(x-√2)2+(y-1)2=1,故当y=0时,x=√2,即F 2(√2,0),故c=√2.因为圆心Q 满足|QF 1|+|QF 2|=2a ,所以点Q (√2,1)在椭圆上,故有2A 2+1A 2=1.联立方程组{2A 2+1A 2=1,A 2=A 2+2,解得{A =2,A =√2,所以椭圆方程为A 24+A 22=1.(2)因为直线l 2交圆Q 于C ,D 两点,M 为线段CD 的中点,所以QM 与直线l 2垂直. 又因为直线l 1与直线l 2垂直,所以QM 与直线l 1平行.所以点M 到直线AB 的距离即为点Q 到直线AB 的距离.即点M 到直线AB 的距离为d=√2A √.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立方程组{A 24+A 22=1,A =AA +1,解得(1+2k 2)x 2+4kx-2=0,Δ=b 2-4ac=16k 2+8(2k 2+1)=32k 2+8>0,由韦达定理可得{A 1+A 2=-4A1+2A 2,A 1A 2=-21+2A 2,则|x 1-x 2|=√(A 1+A 2)2-4A 1A 2=√(-4A 1+2A 2) 2-4·-21+2A 2=√32A 2+8(1+2A 2)2.所以AB=√1+A 2|x 1-x 2|=√1+A 2·√32A 2+8(1+2A 2)2.所以△MAB 的面积为12·√1+A 2·√32A 2+8(1+2A 2)√2A .所以12·√1+A 2·√32A 2+8(1+2A 2)2√2A =6√25.即√8A 2+2(1+2A 2)2·|k|=65,两边同时平方,化简得,28k 4-47k 2-18=0,解得k 2=2或k 2=-928(舍). 故k=±√2.此时l 2:y=±√22x+1.圆心Q 到l 2的距离h=|±√2×√2-1+1|√2+1=√23<1成立.综上所述,k=±√2.。
2020年高考数学(理)二轮复习命题考点串讲系列-专题14 直线与圆(含答案解析)
2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题14 直线与圆1、考情解读(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．2、重点知识梳理1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．(2)直线方程(3)两直线的位置关系 位置关系 l 1：y ＝k 1x ＋b 1 l 2：y ＝k 2x ＋b 2 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行k 1＝k 2，且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0相交k 1≠k 2特别地，l 1⊥l 2⇒k 1k 2＝－1A 1B 2≠A 2B 1特别地，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0重合k 1＝k 2且b 1＝b 2A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0(4)距离公式①两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.②点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.代数法：⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b2＝r 2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号 (4)圆与圆的位置关系【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．学科.网 3、高频考点突破 考点1 直线及其方程例1. 【2016高考新课标3理数】已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4【变式探究】已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1)B.⎝⎛⎭⎪⎫1－22，12C.⎝⎛⎦⎥⎤1－22，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12解析 (1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩⎨⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋ba ＋1，又易知x D ＝－b a ，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.图① 图②考点2 两直线的位置关系例2、【2016高考上海理数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.25【解析】利用两平行线间距离公式得12222225d 5a b 21===++. 已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a |＝0解析 若△OAB 为直角三角形，则A ＝90°或B ＝90°. 当A ＝90°时，有b ＝a 3；当B ＝90°时，有b －a 30－a ·a 3－0a －0＝－1，得b ＝a 3＋1a .故(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0，选C. 答案 C【变式探究】设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析 易求定点A (0，0)，B (1，3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5.答案 5 考点3 圆的方程例3．(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为____________．【变式探究】【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43- （B ）34- （C（D ）2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．【变式探究】一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析 由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.故圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254考点4 直线与圆、圆与圆的位置关系例4．【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅u u u r u u u r≤则点P 的横坐标的取值范围是 .【答案】⎡⎤-⎣⎦【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A （1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r,求实数t 的取值范围。
2020版高考数学二轮复习专题限时集训直线与圆文
由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x2＋y2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0.则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)＞0.y 1＋y 2＝2k k2＋1.x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k2＋1.因为OM →＝OA→＋OB →.故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k2＋1，2k k2＋1.又点M 在圆C 上. 故4k2＋12＋4k2k2＋12＝4.解得k ＝0.法二：由直线与圆相交于A .B 两点.OM →＝OA →＋OB →.且点M 在圆C 上.得圆心C (0,0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半.为1.即d ＝11＋k2＝1.解得k ＝0.]5．(20xx·惠州模拟)已知直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为4 3.且P 为圆C 上任意一点.点A 为定点(2,0).则|PA |的最大值为( )A.29－13 B ．5＋13 C ．27＋13D.29＋13D [根据题意.圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13的圆心C 为(－3.m ).半径r ＝13.若直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为4 3.则圆心到直线的距离d ＝r2－⎝⎛⎭⎪⎫4322＝1. 则有|－12＋3m ＋1|16＋9＝1.解可得：m ＝2或m ＝163(舍).则m ＝2.点A 为定点(2,0).则|AC |＝25＋4＝29. 则|PA |的最大值为|AC |＋r ＝29＋13. 故选D.]6．过点C (3,4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线.切点分别为A .B .则点C 到直线AB 的距离为________．4 [以OC 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522.AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝5的公共弦.所以AB 的方程为x 2＋y 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y －22＝5－254.化简得3x ＋4y －5＝0. 所以点C 到直线AB 的距离d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4.]7．已知直线l ：ax －3y ＋12＝0与圆M ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A .B 两点.且∠AMB ＝π3.则实数a ＝________.±3 [直线l 的方程可变形为y ＝13ax ＋4.所以直线l 过定点(0,4).且该点在圆M 上．圆的方程可变形为x 2＋(y －2)2＝4.所以圆心为M (0,2).半径为2.如图.因为∠AMB ＝π3.所以△AMB 是等边三角形.且边长为2.高为 3.即圆心M 到直线l 的距离为 3.所以|－6＋12|a2＋9＝ 3.解得a ＝± 3.]8．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个.则实数a 的取值范围为________．(－32.32) [由圆的方程可知圆心为(0,0).半径为2.因为圆O 上到直线l 的距离等于1的点至少有2个.所以圆心到直线l 的距离d ＜r ＋1＝2＋1.即d ＝|－a|12＋12＝|a|2＜3.解得a ∈(－3 2.32)．][能力提升练] (建议用时：15分钟)9．(20xx·武汉模拟)已知圆C 经过点A (0,0).B (7,7).圆心在直线y ＝43x 上．(1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l 与圆C 相切且与x .y 轴截距相等.求直线l 的方程．[解] (1)根据题意.设圆C 的圆心为(a .b ).半径为r .则其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为圆C 经过点A (0,0).B (7,7).圆心在直线y ＝43x 上.则有⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝r2，a －72＋b －72＝r2，b ＝4a 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，r ＝5，则圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25. (2)若直线l 与圆C 相切且与x .y 轴截距相等. 分2种情况讨论：①直线l 经过原点.设直线l 的方程为y ＝kx .则有|3k －4|1＋k2＝5.解得k ＝－34.此时直线l 的方程为y ＝－34x ；②直线l 不经过原点.设直线l 的方程为x ＋y －m ＝0.则有|7－m|1＋1＝5.解得m ＝7＋52或7－5 2.此时直线l 的方程为x ＋y ＋52－7＝0或x ＋y －52－7＝0.综上可得：直线l 的方程为y ＝－34x 或x ＋y ＋52－7＝0或x ＋y －52－7＝0.10．(20xx·南昌模拟)如图.已知圆O 的圆心在坐标原点.点M ( 3.1)是圆O 上的一点．(1)求圆O 的方程；(2)若过点P (0,1)的动直线l 与圆O 相交于A .B 两点．在平面直角坐标系xOy 内.是否存在与点P 不同的定点Q .使得|QA||QB|＝|PA||PB|恒成立？若存在.求出点Q 的坐标；若不存在.请说明理由．[解] (1)点M ( 3.1)是圆O 上的一点.可得圆O 的半径为3＋1＝2. 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)若直线l 的斜率为0.可得直线方程为y ＝1.A ( 3.1).B (－ 3.1). 由|PA |＝|PB |.可得|QA |＝|QB |.即Q 在y 轴上.设Q (0.m ). 若过点P (0,1)的动直线l 的斜率不存在.设直线方程为x ＝0. 则A (0,2).B (0.－2).由|QA||QB|＝|PA||PB|可得|m －2||m ＋2|＝13.解得m ＝1或4.由Q 与P 不重合.可得Q (0,4).下证斜率存在且不为0的直线与圆的交点.也满足|QA||QB|＝|PA||PB|成立．若直线的斜率存在且不为0.可设直线方程为y ＝kx ＋1. 联立圆x 2＋y 2＝4.可得(1＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 设A (x 1.y 1).B (x 2.y 2). 可得x 1＋x 2＝－2k 1＋k2.x 1x 2＝－31＋k2. 由k QA ＋k QB ＝y1－4x1＋y2－4x2＝kx1＋1－4x1＋kx2＋1－4x2所以线段AB 的长度是455.]【押题2】 已知圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心为M .点P 是圆M 上的动点.点N (1,0).点G 在线段MP 上.且满足(GN →＋GP →)⊥(GN →－GP →)．(1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点D (0,2)的直线l 与曲线C 交于A .B 两点.若以AB 为直径的圆恰好过原点O .求直线l 的方程．[解] (1)因为(GN →＋GP →)⊥(GN →－GP →).所以(GN →＋GP →)·(GN →－GP →)＝0.即GN →2－GP →2＝0.所以|GN →|＝|GP →|.所以|GM |＋|GN |＝|GM |＋|GP |＝|MP |＝4＞2＝|MN |.所以点G 在以M .N 为焦点.长轴长为4的椭圆上．可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0).则2a ＝4,2c ＝2.即a ＝2.c ＝1.则b 2＝3.所以点G 的轨迹C 的方程为x24＋y23＝1.(2)由题意知.直线l 的斜率必存在.设直线l 的方程为y ＝kx ＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x24＋y23＝1，消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.由Δ＞0得k 2＞14.(*)设A (x 1.y 1).B (x 2.y 2).则x 1＋x 2＝－16k 3＋4k2.x 1x 2＝43＋4k2.因为以AB 为直径的圆恰好过原点O .所以OA ⊥OB .即OA →·OB →＝0.则有x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0.(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0.得41＋k23＋4k2－32k23＋4k2＋4＝0.即4(1＋k 2)－32k 2＋4(3＋4k 2)＝0.解得k 2＝43.满足(*)式.所以k ＝±233.故直线l 的方程为y ＝±233x ＋2.。
2020届高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆(含解析)
直线与圆、圆与圆一、学习目标1. 掌握直线与圆、圆与圆的位置关系及判定；2. 能解决与圆有关的综合问题． 二、基础自测1. 已知直线l 过点(1,2)P 且与圆22:2C x y +=相交于,A B 两点，ABC ∆的面积为1，则直线l 的方程为 .10x -=或3450x y -+=2. 过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A ,B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为 .2450x y +-=3. 已知直线:60l x -+=与圆2212x y +=交于A ,B 两点，过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则CD = .44. 已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为 .3-+三、典例分析题型一：与圆有关的求值问题1. 方程10)x y -≥表示的曲线长度为 .2. 已知圆22410x y x +--=与圆22240x y x y +--=相交于M N ，两点，则公共弦MN 的长为 ．3. 在平面直角坐标系xOy 60y +-=与圆22((1)2x y +-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ．60o4. 已知点P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C ：2220x y y +-= 的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ．2题型二：与圆有关的求范围问题1. 已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，点(4,0)A ，若直线1y kx =+上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，则实数k 的取值范围是__________．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2. 已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围为 ．[7,13]3. 从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为 ．224+4. 设直线l ：340x y a ++=，圆C ：()2222x y -+=，若在圆C 上存在两点P ， Q ，在直线l 上存在一点M ，使得PM PQ ⊥，则实数a 的取值范围是_________．164a -≤≤变式：1. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .[]1,52. 在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ．[6262]-+，3. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C :224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ,N 两点,点P 为圆C 上任意一点,则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为______. 442+4. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ．[21,21]-+题型三：与圆有关的综合问题1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【解】（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线l 的斜率为2011(1)-=--，设直线l 的方程为0x y m -+=， ……………………………………………2分则圆心C 到直线l的距离为d ==4分因为MN AB =而222()2MN CM d =+，所以2(2)422m +=+， ……………………………6分 解得0m =或4m =-，故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=．…………………………………8分 （2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， ………………………………10分因为|22|22-+，……………………………………12分 所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为2．…………………………………………………………14分 2. 已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r，其中O 为坐标原点，求MN .【解】（1）由l 与圆交于,M N 两点，所以直线的斜率必存在. 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+.由圆C 的方程，可得圆心为()2,3C ，则(),1d C l <1<，解得4433k <<. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,OM x y =u u u u r ，()22,ON x y =u u u r，121212OM ON x x y y =+=u u u u r u u u r g g g .把直线1y kx =+代入到()()22231x y -+-=中， 得()()2214470k x k x +-++=. 由根与系数的关系，得12271x x k =+，122441kx x k ++=+.则()()21212121224117111k k x x y y x x kx k kx k k++⋅+⋅=⋅+--==+，解得1k =. 所以直线l 的方程为1y x =+.又圆心()2,3C 到直线l 的距离(),0d C l ==，即直线l 过圆心C .所以2MN =.3. 平面直角坐标系xOy 中，直线10x y -+=截以原点O（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程； （3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP ，NP 分别交于x 轴于点(,0)m 和(,0)n ，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解】（1）因为O 点到直线10x y -+=， ………………………2分所以圆O= 故圆O 的方程为222x y +=． ………………4分 （2）设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，即0bx ay ab +-=， 由直线l 与圆O=221112a b +=， ……………6分 2222222112()()8DE a b a b a b=+=++≥， 当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20x y +-=．………10分 （3）设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=，直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，122121x y x y m y y -=-， 直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，122121x y x y n y y +=+， …………………14分 222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--g ，故mn 为定值2． …………………16分4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过(0,2)A ，(0,0)O ，(,0)(0)D t t >三点，M 是线段AD 上的动点，12,l l 是过点(1,0)B 且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点． （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，求EPQ ∆的面积的最小值． 【解】（1）由题意可知，圆C 的直径为A D ，所以，圆C 方程为：22(3)(1)10x y -+-=．设2l 方程为：(1)yk x =-，则222(21)3101k k-+=+，解得 10k =，243k =，当0k=时，直线1l 与y 轴无交点，不合，舍去．所以，43k =此时直线2l 的方程为4340x y --=．（2）设(,)M x y ，由点M 在线段A D 上，得12x yt +=，即220x ty t +-=．由AM ≤2ＢM ，得224220()()339x y -++≥． 依题意知，线段A D 与圆224220()()339x y -++≥至多有一个公共点，88||3t -≥，解得1611t -≥或1611t +≥．因为t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，所以，t =4．所以，圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-= ①当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S =V ； ②当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：(1)y k x =-（0k ≠），则1l 的方程为：1(1)yx k =--，点1(0,)E k．所以，BE =又圆心Ｃ到2l，所以，PQ ==故12EPQS BE PQ =⋅===≥V四、自我检测1. 已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ，则0x 的取值范围为________.(1,0)(0,2)-U2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为.3. 已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则实数m 的最大值为 .4. 已知圆O 的方程是2220x y +-=，圆O '的方程是228100x y x +-+=，若由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 .5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22220x y x y ++-=，直线l ：(1)0m x y m +--=经过定点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若PA，则直线l斜率的取值范围是．⎡⎣6. 如图，已知圆O：x2+y2=1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M是劣弧AC（点A、C除外）上任一点．直线AM与BC交于点P，直线CM与x轴交于点N，设直线PM，PN的斜率分别为m，n．（1）当四边形ABCM的面积最大时，求直线AM的斜率；（2）求m-2n的值；（3）试探究直线PN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．。
2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块14-直线与圆
(一) 直线与直线的方程 1、直线的倾斜角与斜率锐角直角钝角零角▪直线的倾斜角图形○ 温馨提示1. 直线都存在唯一的倾斜角, 但不一定存在斜率, 倾斜角为90∘的直线没有斜率.2. 直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量, 斜率侧重于代数角度, 倾斜角侧重于几何角度.3. 由直线的斜率k的范围求倾斜角α的范围时,要注意α的取值范围,即0∘≤α< 90∘或90∘<α<180∘ ,此时k=tanα的图象是不连续的.模块十四：直线与圆的方程1 直线的倾斜角 强调“两个方向”: x 轴的正向，直线向上的 1. 直线的倾斜角的定义 方向; 直线相对于 x 轴正向的倾斜程度.当直线 l 与 x 轴相交时,我们以 x 轴为基准, x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 和 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0∘ . 直线的倾斜角 α 的取值 范围为 0∘≤α<180∘ . 2. 直线的倾斜角的意义1) 直线的倾斜角体现了直线相对于 x 轴正向的倾斜程度.2) 在平面直角坐标系中, 每一条直线都有一 个确定的倾斜角. 3) 如图所示, 倾斜角相同, 未必表示同一条直线. 2 直线的斜率 一条直线有唯一的倾斜角, 但一个倾斜 1.直线的斜率 角可以对应无数条直线.倾斜角不是 90∘ 的直线,它的倾斜角 α 的正切值叫做这条直 线的斜率. 斜率通常用 k 表示,即 k =tanα,0∘≤α<180∘ ,且 α 900. 当倾斜角 α=90∘ 时，直线的斜率不存在2. 直线的斜率公式 P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)k =(y 2−y 1x 2−x 1) 或 k =(y 1−y 2x 1−x 2) (x 1≠x 2) 的直线的斜率公式: 3 斜率与倾斜角的关系注: “/”表示“逐渐增大”. ○ 直线的方向向量图示P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是直线的方 向向量.若直线 l 1,l 2 重合，仍然有 k 1 =‰，这是利用斜率证明三 点共线的方法当 l 1,l 2 的斜率都不存在时, 两直线也平行。
2020—2021年最新高考总复习数学二轮复习直线与圆专题强化练习题.docx
第一部分一14一、选择题1．(文)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )A. 2B.82 3C. 3D.83 3[答案] B[解析] 由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，2a2≠18，求得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，两条平行直线l1与l2间的距离为d＝|6－23|12＋(－1)2＝823.故选B.(理)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0[答案] D[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程为x －y＋3＝0.[方法点拨] 1.两直线的位置关系 方程 约束条件 位置关系l 1：y ＝k 1x ＋b 1 l 2：y ＝k 2x ＋b 2l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 平行k 1＝k 2，且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0 相交 k 1≠k 2特别地， l 1⊥l 2⇒k 1k 2＝－1A 1B 2≠A 2B 1特别地，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0 重合 k 1＝k 2且b 1＝b 2A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝02.与直线y ＝kx ＋b 平行的直线设为y ＝kx ＋b 1，垂直的直线设为y ＝－1k x ＋m(k ≠0)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线设为Ax ＋By ＋C 1＝0，垂直的直线设为Bx －Ay ＋C 1＝0.求两平行直线之间的距离可直接代入距离公式，也可在其中一条直线上取一点，求其到另一条直线的距离．2．(文)(2015·安徽文，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12[答案] D[解析] 考查1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式．∵直线3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b|32＋42＝1⇒b＝2或12，故选D.(理)(2015·辽宁葫芦岛市一模)已知圆C与直线x－y＝0及x －y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2[答案] B[解析] 由题意知，圆心C既在与两直线x－y＝0与x－y－4＝0平行且距离相等的直线上，又在直线x＋y＝0上，设圆心C(a，－a)，半径为r，则由已知得|2a|2＝|2a－4|2，解得a＝1，∴r＝2，故选B.[方法点拨] 1.点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r ⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d<r⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．2．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.方法位置关系几何法：根据d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2与r的大小关系代数法：⎩⎪⎨⎪⎧Ax＋By＋C＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<03.求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．3．(文)(2014·安徽文，6)过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A. (0，π6] B．(0，π3]C. [0，π6] D．[0，π3][答案] D[解析] 由题意可画出示意图：易知过点P的圆的两切线为PA与PM.PA处倾斜角为0，在Rt△POM中易知PO＝2，OM＝1，∴∠OPM＝π6，∠OPA＝π6，∴∠MPA＝π3，∵直线l倾斜角的范围是[0，π3]．[方法点拨] 本题还可以设出直线l的方程y＝kx＋b，将P 点代入得出k与b的关系，消去未知数b，再将直线代入圆方程，利用Δ>0求出k的范围，再求倾斜角的范围．1．求直线的方程常用待定系数法．2．两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定．(理)(2015·山东理，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A．－53或－35B．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34[答案] D[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则其直线方程为y ＋3＝k(x －2)，即kx －y －2k －3＝0，∵光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，∴12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.4．(文)(2014·湖南文，6)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11[答案] C[解析] 本题考查了两圆的位置关系．由条件知C 1：x 2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r 1＝1，r 2＝25－m ，由两圆外切的性质知，5＝1＋25－m ，∴m ＝9.[方法点拨] 圆与圆的位置关系 表现形式 位置关系几何表现：圆心距d 与r 1、r 2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解(理)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线y＝14x2上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为( )A．x＝1 B．x＝1 32C．y＝－132D．y＝－1[答案] D[解析] ∵A(0,1)是抛物线x2＝4y的焦点，又抛物线的准线为y＝－1，∴动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C与定直线l：y＝－1总相切．5．(文)(2014·哈三中一模)直线x＋y＋2＝0截圆x2＋y2＝4所得劣弧所对圆心角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] D[解析] 弦心距d ＝|2|2＝1，半径r ＝2，∴劣弧所对的圆心角为2π3.(理)(2014·福建理，6)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 圆心O(0,0)到直线l ：kx －y ＋10＝0的距离d ＝11＋k2，弦长为|AB|＝21－d 2＝2|k|1＋k2，∴S △OAB ＝12×|AB|·d ＝|k|k 2＋1＝12，∴k ＝±1，因此当“k ＝1”时，“S △OAB ＝12”，故充分性成立．“S △OAB ＝12”时，k 也有可能为－1，∴必要性不成立，故选A.[方法点拨] 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解．2．直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用d ＝r ，而不使用Δ＝0.6．(2015·太原市一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[答案] D[解析] 圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆的最长弦AC 为直径25；设圆心M(2，－1)，圆的最短弦BD ⊥ME ，∵ME ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，∴BD ＝2R 2－ME 2＝23，故S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×25×23＝215. 7．(2015·重庆理，8)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210[答案] C[解析] 易知圆的标准方程C ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心O(2,1)，又因为直线l ：x ＋ay －1＝0是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a ＝－1，A(－4，－1)，又因为直线AB 与圆相切，则△OAB 为直角三角形，|OA|＝(2＋4)2＋(1＋1)2＝210，|OB|＝2，|AB|＝OA 2－OB 2＝6.8．过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( )A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] D[解析] 过P(－2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．9．(文)(2014·江西理，9)在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )A.45π B.34πC．(6－25)π D.54π[答案] A[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想．依题意，∠AOB＝90°，∴原点O在⊙C上，又∵⊙C与直线2x＋y－4＝0相切，设切点为D，则|OC|＝|CD|，∴圆C的圆心C的轨迹是抛物线，其中焦点为原点O，准线为直线2x＋y－4＝0.要使圆C的面积有最小值，当且仅当O、C、D三点共线，即圆C的直径等于O点到直线的距离，∴2R＝45，∴R＝25.S＝πR 2＝45π.选A.(理)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆：x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是( )A ．a>7或a<－3B ．a>6或a<－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a －3[答案] C[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2(－1)＋a|5<5|2(－1)＋a 2＋1|5<5得－6<a<6，两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2(－1)＋a|5>5|2(－1)＋a 2＋1|5>5得a<－3，或a>7，所以两条直线和圆“相切”时a 的取值范围－3≤a ≤－6或6≤a ≤7，故选C.[方法点拨] 与圆有关的最值问题主要题型有： 1．圆的半径最小时，圆面积最小．2．圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值d ＋r ，最小值d －r(d 是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值d ＋r ，最小值r －d.3．圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d ，直线与圆相离，则最大值d ＋r ，最小值d －r ；直线与圆相交，则最大值d ＋r ，最小值0.4．P(x ，y)为⊙O 上一动点，求x 、y 的表达式(如x ＋2y ，x 2＋y 2等)的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化．二、填空题10．(文)设直线mx －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦长为23，则m ＝________.[答案] 0[解析] 圆的半径为2，弦长为23，∴弦心距为1，即得d ＝|m ＋1|m 2＋1＝1，解得m ＝0.(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A＋sin2B＝12sin2C，则直线ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________．[答案] 27[解析] 由正弦定理得a2＋b2＝12c2，∴圆心到直线距离d＝|c|a2＋b2＝c12c2＝2，∴弦长l＝2r2－d2＝29－2＝27.11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．要使圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．即|c|122＋52<1，解|c|<13，∴－13<c<13.12．已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x2＋y2＋2ax ＋ay＋2a2＋a－1＝0相切，则实数a＝________.[答案] －1[解析] 由条件知点P在⊙C上，∴4＋1＋4a＋a＋2a2＋a－1＝0，∴a＝－1或－2.当a＝－1时，x2＋y2－2x－y＝0表示圆，当a＝－2时，x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示圆，∴a＝－1.三、解答题13．(2015·福建文，19)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．[分析] 考查：1.抛物线标准方程；2.直线和圆的位置关系．(1)利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化；(2)欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等(此时需确定两条直线方程)；也可以证明∠AGF＝∠BGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．[解析] 法一：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋p 2 .因为|AF|＝3，即2＋p2＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B(12，－2)．又G(－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：(1)同法一．(2)设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)． 由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－2. 又G(－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r.这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．14．(文)已知圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)经过点(1，3)． (1)求圆C 的方程；(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l ，它与圆C 相交于A 、B 两个不同点，且满足关系OM →＝12OA →＋32OB →(O 为坐标原点)的点M 也在圆C 上，如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由圆C ：x 2＋y 2＝r 2，再由点(1，3)在圆C 上，得r 2＝12＋(3)2＝4，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)假设直线l 存在，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)． ①若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －1＝k(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)＋1，x 2＋y 2－4＝0.消去y 得，(1＋k 2)x 2＋2k(k ＋1)x ＋k 2＋2k －3＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－2k (k ＋1)1＋k 2＝－2＋2－2k1＋k 2，x 1x 2＝k 2＋2k －31＋k 2＝1＋2k －41＋k2，y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k(k ＋1)(x 1＋x 2)＋(k ＋1)2＝2k ＋41＋k2－3，因为点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在圆C 上， 因此，得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4，由OM →＝12OA →＋32OB →得，x 0＝x 1＋3x 22，y 0＝y 1＋3y 22，由于点M 也在圆C 上，则(x 1＋3x 22)2＋(y 1＋3y 22)2＝4，整理得x 21＋y 214＋3·x 22＋y 224＋32x 1x 2＋32y 1y 2＝4，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1＋2k －41＋k 2＋(2k ＋41＋k 2－3)＝0，从而得，k 2－2k ＋1＝0，即k ＝1，因此，直线l 的方程为 y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. ②若直线l 的斜率不存在，则A(－1，3)，B(－1，－3)，M(－1－32，3－32)(－1－32)2＋(3－32)2＝4－3≠4，故点M 不在圆上与题设矛盾，综上所知：k ＝1，直线方程为x －y ＋2＝0.(理)已知圆O：x2＋y2＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为22的椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．[解析] (1)因为a＝2，e＝22，所以c＝1，则b＝1，即椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以k PF＝1 2，∴k OQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x.又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)．∴k PQ＝－1，k OP＝1，∴k OP·k PQ＝－1，即OP⊥PQ，故直线PQ与圆O相切．(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±2)，则y20＝2－x20，k PF＝y0x0＋1，k OQ＝－x0＋1y0，∴直线OQ的方程为y＝－x0＋1y0x，∴点Q(－2，2x0＋2y0)，∴k PQ＝y0－2x0＋2y0x0＋2＝y20－(2x0＋2)(x0＋2)y0＝－x20－2x0(x0＋2)y0＝－x0y0，又k OP＝y0x0.∴k OP·k PQ＝－1，即OP⊥PQ(P不与A、B重合)，直线PQ始终与圆O相切．15．(文)(2014·石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C方程；(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P 、Q ，求△APQ 面积的最小值及此时点A 的坐标．[解析] (1)设动圆圆心坐标为C(x ，y)，根据题意得 x 2＋(y －2)2＝y 2＋4， 化简得x 2＝4y.(2)解法一：设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝kx ＋b消去y 得x 2－4kx －4b ＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k x 1x 2＝－4b，且Δ＝16k 2＋16b以点P 为切点的切线的斜率为y ′1＝12x 1，其切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)， 即y ＝12x 1x －14x 21.同理过点Q 的切线的方程为y ＝12x 2x －14x 22.两条切线的交点A(x A ，y B )在直线x －y －2＝0上，解得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝x 1＋x 22＝2ky A＝x 1x24＝－b ，即A(2k ，－b)．则：2k ＋b －2＝0，即b ＝2－2k ，代入Δ＝16k 2＋16b ＝16k 2＋32－32k ＝16(k －1)2＋16>0， |PQ|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝41＋k2k 2＋b ，A(2k ，－b)到直线PQ 的距离为d ＝|2k 2＋2b|k 2＋1， S △APQ ＝12|PD|·d ＝4|k 2＋b|·k 2＋b ＝4(k 2＋b)32＝4(k 2－2k ＋2)32＝4[(k －1)2＋1]32.当k ＝1时，S △APQ 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0)．解法二：设A(x 0，y 0)在直线x －y －2＝0上，点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)在抛物线x 2＝4y 上，则以点P 为切点的切线的斜率为y 1＝12x 1，其切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)， 即y ＝12x 1x －y 1，同理以点Q 为切点的方程为y ＝12x 2x －y 2.设两条切线均过点A(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12x 1x 0－y 1，y 0＝12x 2x 0－y 2.点P ，Q 的坐标均满足方程y 0＝12xx 0－y ，即直线PQ 的方程为：y ＝12x 0x －y 0，代入抛物线方程x 2＝4y 消去y 可得： x 2－2x 0x ＋4y 0＝0 |PQ|＝1＋14x 20|x 1－x 2|＝1＋14x 204x 20－16y 0A(x 0，y 0)到直线PQ 的距离为d ＝|12x 20－2y 0|14x 20＋1，S △APQ ＝12|PQ|d ＝12|x 20－4y 0|·x 20－4y 0＝12(x 20－4y 0) 32 ＝12(x 20－4x 0＋8) 32 ＝12[(x 0－2)2＋4] 32 当x 0＝2时，S △APQ 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0)．(理)已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA 与直线PB 斜率之积为－34，记点P 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程；(2)设M 、N 是曲线C 上任意两点，且|OM→－ON →|＝|OM →＋ON →|，是否存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P(x ，y)，则由直线PA 与直线PB 斜率之积为－34得，y x ＋2·y x －2＝－34(x ≠±2)， 整理得曲线C 的方程为x 24＋y23＝1(x ≠±2)．(2)若|OM→－ON →|＝|OM →＋ON →|，则OM →⊥ON →. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．若直线MN 斜率不存在，则y 2＝－y 1，N(x 1，－y 1)． 由OM →⊥ON →得y 1x 1·－y 1x 1＝－1，又x 214＋y 213＝1.解得直线MN 方程为x ＝±127.原点O 到直线MN 的距离d ＝127. 若直线MN 斜率存在，设方程为y ＝kx ＋m. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3. (*)由OM →⊥ON →得y 1x 1·y 2x 2＝－1，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m2＝0.代入(*)式解得7m2＝12(k2＋1)．此时(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0中Δ>0. 此时原点O到直线MN的距离d＝|m|k2＋1＝127.故原点O到直线MN的距离恒为d＝127.存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为x2＋y2＝12 7 .。
2020高考数学冲刺 直线和圆
直线和圆的方程 知识点总结精华考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。
理解圆的参数方程． §07. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800πααπποο≤≤.注：①当ο90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件） 4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当ο90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当ο90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++=.注：两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P-+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =定比分点坐标分式。
2020年高考数学(理)二轮专题学与练 14 直线与圆(高考押题)(解析版)
高考押题专练1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( ) A ．0 B.3 C.33或0 D.3或0【答案】D【解析】因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.2．圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋22【答案】A【解析】将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋1＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件．4．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．6个 【答案】C【解析】三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－14；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝1或－53.故实数m 的取值最多有4个，故选C.5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0 【答案】C【解析】由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，由x ＋1＝0且x ＋y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2 【答案】D【解析】由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝(32)2，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又圆心(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为52－322＝2，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.7．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13【答案】C【解析】设圆的方程为(x ±a )2＋y 2＝r 2(a >0)，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |＝3，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝⎛⎭⎫±332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43，故选C.8．设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0【答案】B【解析】由题可知，圆心C(1,1)，半径r＝2.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|k2＋1＝1，解得k＝－34，所以直线l的方程为y＝－34x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选B.9．关于曲线C：x2＋y4＝1，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；③曲线C的长度l满足l>42；④曲线C所围成图形的面积S满足π<S<4.上述命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2D．1【答案】A【解析】①将(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y)代入，方程不变，则可以确定曲线关于x轴，y轴对称，关于原点对称，故①是真命题．②由x2＋y4＝1得0≤x2≤1,0≤y4≤1，故x2＋y2≥x2＋y2·y2＝x2＋y4＝1，即曲线C上的点到原点的距离为x2＋y2≥1，故②是真命题．③由②知，x2＋y4＝1的图象位于单位圆x2＋y2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l>42，故③是真命题．④由③知，π×12<S<2×2，即π<S<4，故④是真命题．综上，真命题的个数为4.10．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( ) A ．2 B ．4 2 C ．6D ．210【答案】C【解析】由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，解得a ＝－1，∴A (－4，－1)，|AC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36，即|AB |＝6.11．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R)与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R)恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( ) A ．32 B ．－32 C ．6D ．－6【答案】B【解析】两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以C 1(－a,0)，C 2(0，b )，||C 1C 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时等号成立．所以a ＋b 的最小值为－3 2.12．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5] 【答案】A【解析】设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.13．若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．1或－3D ．2【解析】因为圆(x －1)2＋y 2＝5的圆心C (1，0)，半径r ＝ 5.又直线x －y ＋m ＝0被圆截得的弦长为2 3.所以圆心C 到直线的距离d ＝r 2－（3）2＝2， 因此|1－0＋m |12＋（－1）2＝2，所以m ＝1或m ＝－3. 【答案】C14．已知过点(－2，0)的直线与圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0相切于点P (P 在第一象限内)，则过点P 且与直线3x －y ＝0垂直的直线l 的方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C.3x ＋y －2＝0D ．x ＋3y －6＝0【解析】圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0的标准方程(x －2)2＋y 2＝4， 所以圆心C (2，0)，半径r ＝2.又过点(－2，0)的直线与圆C 相切于第一象限， 所以易知倾斜角θ＝30°，切点P (1，3)， 设直线l 的方程为x ＋3y ＋c ＝0，把点 P (1，3)代入，所以1＋3＋c ＝0，所以c ＝－4. 所以直线l 的方程为x ＋3y －4＝0. 【答案】B15．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43 B ．－34C. 3 D ．2 【答案】A【解析】因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.16．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0 【答案】D【解析】直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.17．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 【答案】D【解析】设圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫a ，2a (a >0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a ＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1，2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.18．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( ) A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ] 【答案】A【解析】由圆的方程可知圆心为O (0，0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <2＋1＝3，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)，故选A. 19．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2 【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.20．过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________． 【解析】由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，∵圆心(0，3)到l 的距离为d ＝1，∴所求弦长＝2R 2－d 2＝27－1＝2 6. 【答案】2621．已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2) 处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________．【解析】由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又∵f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f (x )的图象在点P (1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，∴|（3＋a ）×2＋4－a －5|（3＋a ）2＋12＝5⇒a ＝－52，∴b ＝14，∴3a ＋2b ＝－7.【答案】－722．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．【解析】∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝（x ＋2）2＋（0－4）2＋（x ＋1）2＋（0－3）2，∴f (x )的几何意义为点M (x ，0)到两定点A (－2，4)与B (－1，3)的距离之和，设点A (－2，4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝（－1＋2）2＋（3＋4）2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2. 【答案】5223．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________． 【解析】圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9， 所以圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线y ＝a (x －3)与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短． 因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，所以a ＝－1.故所求直线的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 【答案】x ＋y －3＝024．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S . 【解析】(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，配方， 得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2，3)． 当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为 y －5＝k (x －3)， 即kx －y ＋5－3k ＝0.由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切， 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0. (2)直线OA 的方程为y ＝53x ，即5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离为 d ＝|5×2－3×3|52＋32＝134，又|OA |＝32＋52＝34， 所以S ＝12|OA |d ＝12.25．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． 【解析】(1)将圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0化为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5－m ， 因为圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切， 所以圆心(－2，1)到直线x －3y ＋3－2＝0的距离d ＝41＋3＝2＝r ， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，则可设直线MN 的方程为2x －y ＋c ＝0， 因为|MN |＝23，半径r ＝2，所以圆心(－2，1)到直线MN 的距离为22－（3）2＝1. 则|－4－1＋c |5＝1，所以c ＝5±5， 所以直线MN 的方程为2x －y ＋5± 5＝0.26．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)设圆心C (a ，0)⎝⎛⎭⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
2020高考数学二轮复习 第14讲 直线与圆专题限时集训
专题限时集训(十四)A[第14讲 直线与圆](时间：10分钟＋25分钟)2．若点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，则直线方程可表示为( ) A ．A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0 B ．A (x －x 0)－B (y －y 0)＝0 C ．B (x －x 0)＋A (y －y 0)＝0 D ．B (x －x 0)－A (y －y 0)＝03．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)4．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－31．若直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－22．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋2y －1＝03．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线x －y ＋1＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切B ．直线过圆心C ．直线不过圆心但与圆相交D ．相离5．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P (x ，y )引圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线段的长度为( )A.62 B.32C.12D.326．直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π37．若直线2x－y＋a＝0与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则实数a的取值范围为( ) A．(－2－5，－2＋5) B．[－2－5，－2＋5]C．[－5，5] D．(－5，5)8．若a，b，c是直角△ABC的三边的长(c为斜边)，则圆M：x2＋y2＝4截直线l：ax ＋by＋c＝0所得的弦长为________．9．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．10．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且OA⊥OB，求a的值．专题限时集训(十四)B[第14讲 直线与圆](时间：10分钟＋25分钟)1．已知两直线x ＋ay ＋1＝0与ax a 的取值集合是( ) A ．{－1,1} B ．{x |x ≠0} C ．R D ．∅ 2．直线(a ＋1)x －y ＋1－2a ＝0与直线(a 2－1)x ＋(a －1)y －15＝0平行，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1,1C ．－1D ．03．过点(1,3)作直线l ，使l 过点(a,0)与(0，b )，a ，b ∈N *，则可作出的直线l 的条数为( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．多于3条4．已知点M (0,1)、A (1,1)、B (0,2)，且MP →＝cos θMA →＋sin θMB →(θ∈[0，π])，则点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝1(0≤x ≤1)B ．x 2＋y 2＝1(0≤y ≤2)C ．x 2＋(y －1)2＝1(0≤y ≤1)D ．x 2＋(y －1)2＝1(1≤y ≤2)1．若直线2ay －1＝0与直线(3a －a 等于( ) A.12 B ．－12 C.13 D ．－132．与圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线x －2y －3＝0对称的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝12B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝12D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝23．把直线x －2y ＋λ＝0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．3或13B ．－3或13C ．3或－13D ．－3或－13 4．两圆相交于两点(1,3)和(m,1)，两圆的圆心都在直线x －y ＋c2＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．05．已知两点P (－1,1)，Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 的延长线相交．如图14－2，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，32B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－23 C ．(－∞，－3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞ 6．过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8的直线l 的方程为____________________．7．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．8．已知点A (1，－1)，点B (3,5)，点P 是直线y ＝x 上动点，当|PA |＋|PB |的值最小时，点P 的坐标是________．9．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．10．圆C 1：x 2＋y 2－5x －5y ＋6＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y ＝0相交所得公共弦长为________．11．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．专题限时集训(十四)A【基础演练】1．D 【解析】 由a ＋b ＝0得a ＝－b ，直线在x 轴上的截距为－b a＝1，故选D. 2．A 【解析】 依题意得Ax 0＋By 0＋C ＝0，即C ＝－Ax 0－By 0，代入直线方程得Ax ＋By －Ax 0－By 0＝0，故直线方程为A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0，选A.3．D 【解析】 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，选D.4．B 【解析】 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.【提升训练】1．A 【解析】 依题意，在l 1方程中以－x 代替y ，－y 代替x ，则得直线l 1关于直线y ＝－x 对称的直线l 2的方程为x －2y ＋3＝0，所以直线l 2的斜率为12，选择A.2．A 【解析】 因为直线x －y ＋2＝0的斜率为1，故有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －2，y ＝x ＋2，将其代入直线2x －y ＋3＝0即得：2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，整理即得x －2y ＋3＝0.故选A.3．A 【解析】 由a (a －1)－2×3＝0，解得a ＝3或a ＝－2，且两直线均不重合，即当a ＝3或a ＝－2时，两直线平行，故选A.4．B 【解析】 圆心坐标为(－1,0)满足直线方程．5．A 【解析】 2x＋4y≥22x 4y＝22x ＋2y＝42，当且仅当2x ＝4y＝22，即x ＝2y ＝32时取得最值，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，34，所以切线长l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋142－12＝62.故选A. 6．D 【解析】 弦心距为|0＋0＋2|12＋12＝1，圆的半径为4＝2，于是弦长为23，设劣弧所对角为θ，则cos θ＝4＋4－122×2×2＝－12，故θ＝2π3.7．B 【解析】 依题意得|2＋a |5≤1，－5－2≤a ≤5－2，选择B.8．2 3 【解析】 圆M ：x 2＋y 2＝4截直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所得的弦长l ＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以l ＝2 3. 【点评】 如果圆的半径是r ，圆心到直线的距离是d ，则圆截直线所得的弦长l ＝2r 2－d 2，这个公式是根据平面几何中直线与圆的位置关系和勾股定理得到的．在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用．9．2x －y ＝0 【解析】 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0配方得(x －1)2＋(y －2)2＝1， ∴该圆半径为1，圆心M (1,2)．∵直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径，∴该直线的方程的斜率k ＝2－01－0＝2， ∴该直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.10．【解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程 2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.专题限时集训(十四)B【基础演练】1．C 【解析】 当a ＝0时，两直线为x ＝－1和y ＝－3，则两直线垂直，当a ≠0时，两直线的斜率分别为－1a 和a ，又－1a×a ＝－1，则两直线垂直，故a 的取值集合是R ，选C.2．C 【解析】 将－1,1,0分别代入两直线方程检验得a ＝－1符合题意．3．B 【解析】 因为1a ＋3b ＝1，且a ，b ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.故选B.4．D 【解析】 设P (x ，y )，则MP →＝(x ，y －1)，又MA →＝(1,0)，MB →＝(0,1)，故有(x ，y －1)＝(cos θ，sin θ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y －1＝sin θ，x 2＋(y －1)2＝1.又∵θ∈[0，π]，∴y ＝sin θ＋1，且1≤sin θ＋1≤2.∴选D. 【提升训练】1．C 【解析】 因为两直线平行，所以3a －1＝0，即a ＝13.故选C.2．B 【解析】 将圆x 2＋y 2－2y －1＝0化为x 2＋(y －1)2＝2，因为两圆关于直线x －2y －3＝0对称，故半径相等，故排除A 、C ，又两圆圆心关于直线x －2y －3＝0，故两圆圆心连线斜率为k ＝－2，故排除D.选B.3．A 【解析】 直线x －2y ＋λ＝0按a ＝(－1，－2)平移后的直线为x －2y ＋λ－3＝0，由该直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，易得λ＝13或3.4．C 【解析】 由题意知两点(1,3)、(m,1)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，2在直线x －y ＋c 2＝0上，即m ＋12－2＋c2＝0.∴m ＋c ＝3.5．B 【解析】 易知k PQ ＝2－12－－1＝13，直线x ＋my ＋m ＝0过点M (0，－1)．当m ＝0时，直线化为x ＝0，一定与PQ 相交，所以m ≠0，当m ≠0时，k ＝－1m，考虑直线l 的两个极限位置．(1)l 经过Q ，即直线l 1，则k 1＝2－－12－0＝32；(2)l 与PQ 平行，即直线l 2，则k 2＝k PQ ＝13，所以13<－1m <32，即－3<m <－23.故选B.6．3x ＋4y ＋15＝0或x ＝－3 【解析】 由题意知，斜率存在时，过P 的直线为y ＋32＝k (x ＋3)⇒2kx －2y ＋6k －3＝0，圆心到直线的距离d ＝|6k －3|22＋4k2＝3⇒k ＝－34；斜率不存在时直线x ＝－3满足条件．故直线l 的方程为3x ＋4y ＋15＝0或x ＝－3.7．2x －4y ＋3＝0 【解析】 由平面几何知识可知，当l 与CM 垂直时∠ACB 最小．∵k CM ＝112－1＝－2，∴k l ＝12，故直线l 方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.8．(2,2) 【解析】 连接AB 与直线y ＝x 交于点Q ，则当P 点移动到Q 点位置时，|PA |＋|PB |的值最小．直线AB 的方程为y －5＝5－－13－1(x －3)，即3x －y －4＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －4＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.于是当|PA |＋|PB |的值最小时，点P 的坐标为(2,2)．9．1或177 【解析】 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋2＝k ()x ＋1.又圆的方程为()x －12＋()y －12＝1，圆心为()1，1，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝||k －1＋k －21＋k2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，解得k ＝1或177. 10．26 【解析】 设两圆的交点为A ，B ，则这两点的坐标都满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－5x －5y ＋6＝0，x 2＋y 2－4x －4y ＝0，对应的方程相减可得两圆的公共弦所在的直线方程为x ＋y －6＝0，根据圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y ＝0可得圆心坐标C 2(2,2)，半径r ＝22，则C 2(2,2)到直线AB 的距离为d ＝|2＋2－6|12＋12＝2， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝26，即两圆的公共弦长为2 6. 11．【解答】 (1)由两圆外切， ∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是：(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2， 两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x ＋y ＋1－22＝0.(2)设圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，∵圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0.①作O 1H ⊥AB 于H ，则|AH |＝12|AB |＝2，又r 1＝2，故|O 1H |＝2，由圆心(0，－1)到直线①的距离得|r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
【2019-2020学年度】最新新课标高考数学二轮复习专题能力训练14直线与圆理
教学资料参考范本【2019-2020学年度】最新新课标高考数学二轮复习专题能力训练14直线与圆理撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到l的距离为,则l的方程是( )A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0D.x-3y-4=02.若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或123.(2017浙江宁波中学模拟)若过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( )A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0D.x-2y-7=04.已知直线l:kx+y+4=0(k∈Z)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为( )ABCD.25.已知直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是( )ABC.[-]D 6.若圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,则ab的最大值为( )AB.2C.4D.27.已知圆C:(x+2)2+y2=4,直线l:kx-y-2k=0(k∈R),若直线l与圆C恒有公共点,则实数k的最小值是( )B.-1A.-DC.18.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )A.(0,1)B。
2019-2020年高三数学二轮复习第一部分重点保分专题检测(十四)直线与圆
2019-2020年高三数学二轮复习第一部分重点保分专题检测(十四)直线与圆一、选择题1．(xx·福建厦门联考)“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．(xx·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．23．(xx·山西运城二模)已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝04．圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝55．(xx·福州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]6．(xx·河北五校联考)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )A．2 6 B．4 C. 6 D．2二、填空题7．(xx·山西五校联考)过原点且与直线6x－3y＋1＝0平行的直线l被圆x2＋(y－3)2＝7所截得的弦长为________．8．已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的图象在切点P(1，－2) 处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝________．9．(xx·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x－a）2＋（y－b）2可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝x2＋4x＋20＋x2＋2x＋10的最小值为________．三、解答题10．(xx·全国卷Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.11．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．12．(xx·湖南东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．一、选择题1．解析：选B 点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.2．解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.3．解析：选D 直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.4．解析：选D 设圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a (a >0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a＋15＝5，当且仅当2a ＝2a，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1，2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.5．解析：选A 由圆的方程可知圆心为O (0，0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <2＋1＝3，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)，故选A.6．解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.二、填空题7．解析：由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，∵圆心(0，3)到l 的距离为d ＝1，∴所求弦长＝2R 2－d 2＝27－1＝2 6.答案：2 68．解析：由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又∵f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f (x )的图象在点P (1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，∴|（3＋a ）×2＋4－a －5|（3＋a ）2＋12＝5⇒a ＝－52，∴b ＝14，∴3a ＋2b ＝－7. 答案：－79．解析： ∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝（x ＋2）2＋（0－4）2＋（x ＋1）2＋（0－3）2，∴f (x )的几何意义为点M (x ，0)到两定点A (－2，4)与B (－1，3)的距离之和，设点A (－2，4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝（－1＋2）2＋（3＋4）2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.答案：5 2 三、解答题10．解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1， 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.11．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则＝(x ，y －4)，＝(2－x ，2－y )． 由题设知·＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离d 为4105，所以|PM |＝2|OP |2－d 2＝4105， 所以△POM 的面积为S △POM ＝12|PM |d ＝165.12．解：(1)设圆心C (a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
2020版高考数学二轮复习第四层热身篇专题检测(十四)直线与圆
专题检测（十四）直线与圆A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行"的（）A.充要条件B。
充分不必要条件C。
必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析:选C 因为两直线平行,所以斜率相等，即－错误!＝－错误!,可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时,满足ab＝4，但是两直线重合,故选C.2.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是（)A。
相离B。
相交C。
外切 D.内切解析:选B 圆O1：x2＋y2－2x＝0，即(x－1）2＋y2＝1，圆心是O1（1，0），半径是r1＝1，圆O2：x2＋y2－4y＝0,即x2＋(y－2）2＝4,圆心是O2(0，2),半径是r2＝2，因为｜O1O2|＝错误!，故｜r1－r2|＜|O1O2｜＜|r1＋r2｜所以两圆的位置关系是相交。
3。
已知直线l1过点（－2,0）且倾斜角为30°，直线l2过点（2，0）且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为( ) A。
（3，错误!) B.(2,错误!）C.（1,错误!)D.错误!解析:选C 直线l1的斜率k1＝tan 30°＝错误!，因为直线l2与直线l1垂直,所以直线l2的斜率k2＝－1k1＝－错误!，所以直线l1的方程为y＝错误!（x＋2)，直线l2的方程为y＝－错误!（x－2）,联立错误!解得错误!即直线l1与直线l2的交点坐标为（1，错误!)。
4。
（2019·江苏徐州期末)若圆（x＋1）2＋y2＝m与圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0内切，则实数m的值为（)A。
1 B.11C。
121 D。
1或121解析：选D 圆（x＋1)2＋y2＝m的圆心坐标为（－1，0),半径为m；圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0,即(x－2）2＋（y＋4）2＝36，故圆心坐标为（2，－4)，半径为6.由两圆内切得错误!＝｜错误!－6｜，解得m＝1或m＝121。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题检测（十四） 直线与圆A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.外切D.内切解析：选B 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心是O 1(1，0)，半径是r 1＝1， 圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4， 圆心是O 2(0，2)，半径是r 2＝2，因为|O 1O 2|＝5，故|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜|r 1＋r 2| 所以两圆的位置关系是相交.3.已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A.(3，3)B.(2，3)C.(1，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3).4.(2019·江苏徐州期末)若圆(x ＋1)2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2－4x ＋8y －16＝0内切，则实数m 的值为( )A.1B.11C.121D.1或121解析：选D 圆(x ＋1)2＋y 2＝m 的圆心坐标为(－1，0)，半径为m ；圆x 2＋y 2－4x ＋8y －16＝0，即(x －2)2＋(y ＋4)2＝36，故圆心坐标为(2，－4)，半径为6.由两圆内切得 32＋42＝|m －6|，解得m ＝1或m ＝121.故选D.5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A.－2B.－1C.0D.1解析：选C 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4（k 2＋1）2＋4k 2（k 2＋1）2＝4，解得k ＝0.法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k2＝1，解得k ＝0.6.(2019·广东省广州市高三测试)已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点A (－2，0)及点B (2，a )，若直线AB 与圆C 没有公共点，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞D.(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析：选C 由点A (－2，0)及点B (2，a )，得k AB ＝a 4，所以直线AB 的方程为y ＝a4(x ＋2)，即ax －4y ＋2a ＝0.因为直线AB 与圆C 没有公共点，所以|2a |a 2＋（－4）2＞1，解得a ＞433或a＜－433，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎫433，＋∞，故选C.二、填空题7.(2019·贵阳市第一学期监测)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________.解析：由题意，圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，所以所求直线的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝08.已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2).显然直线x ＝1不满足P (0，4)到直线l 的距离为2.设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝09.(2019·广东六校第一次联考)已知点P (－1，2)及圆(x －3)2＋(y －4)2＝4，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |的值为________.解析：点P 关于x 轴的对称点为P ′(－1，－2)，如图，连接PP ′，P ′Q ，由对称性可知，P ′Q 与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |＝|P ′T |.圆(x －3)2＋(y －4)2＝4的圆心为A (3，4)，半径r ＝2，连接AP ′，AT ，则|AP ′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT |＝r ＝2，所以|PQ |＋|QT |＝|P ′T |＝|AP ′|2－|AT |2＝4 3.答案：4 3 三、解答题10.已知圆(x －1)2＋y 2＝25，直线ax －y ＋5＝0与圆相交于不同的两点A ，B . (1)求实数a 的取值范围；(2)若弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)，求实数a 的值. 解：(1)把直线ax －y ＋5＝0代入圆的方程，消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0， 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点， 故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0， 即12a 2－5a >0，解得a >512或a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞. (2)由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 的斜率为a ，则直线l 的斜率为－1a，所以直线l 的方程为y ＝－1a(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0，由于l 垂直平分弦AB ， 故圆心M (1，0)必在l 上，所以1＋0＋2－4a ＝0， 解得a ＝34，由于34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞， 所以a ＝34.11.在平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为 6. (1)求圆O 的方程；(2)若直线l 与圆O 相切于第一象限，且直线l 与坐标轴交于点D ，E ，当线段DE 的长度最小时，求直线l 的方程.解：(1)因为点O 到直线x －y ＋1＝0的距离为12，所以圆O 的半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝2， 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，即bx ＋ay －ab ＝0， 由直线l 与圆O 相切，得|－ab |b 2＋a 2＝2，即1a 2＋1b 2＝12，则|DE |2＝a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝4＋2b 2a 2＋2a2b2≥8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.12.已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|PA |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.解：(1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43， ∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m ＜3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29，∴|PA |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13. (2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13， 令x ＝0，得y ＝0或4；令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)， ∴△MON 为直角三角形，斜边|MN |＝213， ∴△MON 内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.B 组——大题专攻强化练1.已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍.(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点.当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程.解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意得 （x ＋1）2＋y 2＝3·（x －1）2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求. (2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0).设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t解得点P ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝ |ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－（t －2）22，整理得t 2－3t ＝0， 解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3. 2.已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值. 解：(1)由过点A 的圆的切线只有一条，得点A 在圆上，故12＋a 2＝4，解得a ＝± 3. 当a ＝3时，A (1，3)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为x －3y －4＝0.综上所述，当a ＝3时，切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，切线方程为x －3y －4＝0.(2)设直线方程为x ＋y ＝b ，由于直线过点A ，则1＋a ＝b ，即a ＝b －1， 又圆心(0，0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝±2，因此a ＝b －1＝－1± 2.3.在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0， 所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， 所以设圆心C 为(a ，2a －4)， 又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤ a 2＋（2a －4＋1）2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.4.在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12， 可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12. 所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2 r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.。