三角函数讲义201204

第一章：三 角 函 数
一、任意角和弧度制
1、按___________方向旋转形成的角叫正角;按___________方向旋转形成的角叫负角。

象限角： 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与________重合，那么角的_______在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果终边在________上，就认为这个角不属于任何象限。

所有与α终边相同的角，连同α在内，可以用式子__________来表示。

2、弧度制：
︒1的角 周角的__________为︒1的角。

1弧度的角 ____________叫1弧度的角。

360o =______rad 180o =______rad ∴ ︒1=______rad 1rad=______ ∴ n o =______rad n rad=_____o
3、扇形弧长与面积：扇形半径为R ，圆心角为α，弧长为l ，则l ＝______,面积S ＝________=________. 推导：
二、任意角的三角函数
1、设α是一个任意角，α的终边上任意一点()y x P ,
，它与原点的距离0r OP ==>，那
么sin α=_________,cos α=_________，tan α=________。

2、设
α是一个任意角，α的终边与单位圆的交点为()y x P ,，它与原点的距
离
1r OP ===，那么sin α=_________,cos α=_________，tan α=________。

3、同终边角的三角函数值相等：sin(α+k2π)= _______ cos （α+2 k π)=
_______
tan(α+2 k π)= _______ (k 为整数，可为正整数、负整数、零)
例1、若α为第一象限，则α/3为第_________象限角，若α为第二象限，则2α为第________象限角
总结：
例2、以下有四个命题：①小于︒90的角是锐角；②第一象限的角一定不是负角；③锐角是第一象限的角；④第二象限的角一定大于第一象限的角。

其中，正确命题的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
例3、 (2007年高考北京卷)已知cos tan 0θθ⋅<,那么角θ是（ ）
A. 第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
课堂训练
1、若角α的终边落在直线0=+y x 上，求ααcos sin +的值。

2、 ⑴若角θ的终边与π
76角的终边相同，求在()π2,0内终边与3θ的终边相同的角。

⑵写出终边在直线y =上的集合。

3、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R 。

⑴若cm R 10,60=︒=α，求扇形的弧长及该弧所在的扇形的面积。

⑵若扇形的周长是一定值)0(>C C 。

当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
4、下列终边相同的一组角是（ ） A.2
k π
π+与90,()k R Z ⋅︒∈ B.(21)k π+与(41),()k k Z π±∈C.6
k π
π+与2,()6
k R Z π
π±
∈ D.
3k π与,()3k R Z π
π+∈
5、2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆的角所夹的扇形面积的数值是（ ）。

A.1sin 1 B.1
sin 12 C.1
1cos 2- D.1tan
6、函数x
x
x x x x y tan tan cos cos sin sin +
+=
的值域是（ ）。

A.{}1,3- B. {}1,3,3- C. {}0,3,3- D. {}1,0,3-7、如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8、在直角坐标系中，O 是原点，)1,3(A ,将点A 绕O 逆时针旋转︒450到B 点，
则B 的坐标为_________.
二、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数基本关系式：平方关系______________________，商数关系_______________________.诱导公式 口诀： 奇变偶不变，符号看象限
口诀解读：偶：终边落在x 轴上(没有分母，为π的整数倍) 奇：终边落在y 轴上（有分母2）
符号：不论α为多少度，都把α当作锐角，看所得角为第几象限，前面的三角函数在这一象限为正，则不添负号，为负，则添负号。

由诱导公式可推出：1、若α+β=π/2（互余），则：
sin α= cos α= 2、若α+β=π（互补），则：
sin α= cos α= tan α=
所以：Sin30 o =cos = sin60 o = sin0 o = sin80 o = Sin120 o = Sin135 o = Sin150 o = Sin160 o = cos120 o = cos 135 o = cos 150 o = cos 160 o =
tan120 o = tan 135 o = tan 150 o = tan 160 o = 课堂训练 ⒈=+)sin(απ21-，则=αsin （ ）. A. 21 B. 21- C 2
3
D. 23-
2.(2007高考全国卷I) ︒210sin 等于（ ）. A.
2
3
B. 23-
C. 21
D. 21-
3. (2007高考全国卷I)α是第四象限角，12
5
tan -=α，则=αsin （ ）. A.
51
B. 51-
C. 135
D. 13
5- 4、【2012高考全国文3】若函数()sin ([0,2])3
x f x ϕ
ϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π （B ）32π （C ）23π （D ）3
5π
5、若21)sin(=+A π，则=-)2
3
cos(A π_________________．
6.已知3
3)6
cos(=
-απ
，求)32sin()6(sin )65cos(2
αππααπ-+--+。

7、化简)
cos()2
cos()
t an()3cos()2sin(πααπαπαπαπ
--⋅-+⋅-⋅+ 8、已知81cos sin =⋅αα，且24παπ<<，求
ααsin cos -的值.
9、已知：tan α=3,求
sin cos sin cos x x x x +-的值 10、求证：2212sin cos tan 1
sin cos tan 1
x x x x x x --=-+
三、三角函数的图象与性质
1、正弦函数：y=sinχ五点法：（0，）（π/2 ，）（π，）（3π/2，）（2π，）
余弦函数：y=cosχ五点法：（0，）（π/2 ，）（π，）（3π/2，）（2π，）这五个点分别为波峰、波谷和三个____________
1、求下列函数的定义域。

⑴y=⑵2
9
sin
lg x
x
y-
+
=（3）、
c o s()
28
y=
+
2、在[]π2,0上满足21sin ≥x 的x 的取值范围是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0πB 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππC 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππD 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,65
3、ααtan tan -=，则α的取值范围是__________。

⒋ （2007年高考题江苏卷）下列函数中，周期是2
π
的是（ ） A 、sin
2x y = B 、sin 2y x = C 、cos 4
x
y = D 、cos 4y x = 5、求最小正周期：（1）、y=|cosx| （2）、|x t a n |)x (f =
6、关于x 的函数()sin()f x x ϕ=+有以下命题：①对任意的ϕ，()f x 都是非奇非偶函数；②不存在ϕ，使()f x 既是奇函数又是偶函数；③存在ϕ，使()f x 是奇函数；④对任意的ϕ，()f x 都不是偶函数. 其中真命题的序号是_________
7求下列函数的单调递增区间：
（1）、s i n
()3
y x π
=+
（2）、)4
c o s (
x y -=π
（3）、)3
2s i n (π
+
-=x y （4）、)4
t a n ()(π
+
=x x f
总结：求单调区间的方法：1、_________________ 2、把ϕω+x 看作一个整体
8．函数)2
2cos(π
+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ）
A ．2
π
-
=x B. 4
π
-
=x C. 8
π
=
x D. π=x
9．函数)6
2sin(π
-
=x y 的一个对称中心为（ ）
A ．)0,12(
π B ．)0,3
(π
C ．)0,6
(
π
D ．)0,6
(π
-
10、函数)2cos()(ϕ+=x x f 的图象是关于点)0,3
(π
中心对称的充要条件是（ ）
A 、Z k k ∈+=
,65ππϕ B 、Z k k ∈+-=,26ππ
ϕ C 、Z k k ∈+-
=,32ππϕ D 、Z k k ∈+=,23
4ππ
ϕ 11、【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4
π
=
x 和4
5π
=
x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ= （ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π
4 12、已知0sin >θ，且1sin ≠θ，函数5
62
)(sin +-=x x
y θ的最大值为16，求θ值。

（2013年高考课标Ⅰ卷（文））函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为
四、函数)sin(ϕω+=x A y 的图象 1、)sin(ϕω+=x A y 的两种画图方法 a 、图象变换
由x y sin =的图象得到的图象主要有下列两种方法。

①x y sin =（加ϕ）→_______________(加ω) →__________________(加A) →_________________
②x y sin = (加ω)→______________（加ϕ）→__________________(加A) →________________
b 、描点法：“五点法” 例：用五点法作)3
2sin(π
+
=x y 的图象
所以：五个点分别为：____________________________________________________，最后描点画图。

2、求函数)sin(ϕω+=x A y +m 的解析式： A=2min max y y - ， T π
ω2= ， m=2
min max y y + ，ϕ：把一个已知点的坐标代入求
课堂训练：
1、函数3sin()2
3
x
y π
=+
的周期是____,振幅是_____,初相是____,单调增区间是______________
2、把函数x y cos =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移
4
π
个单位，则所得图形表示的函数的解析式为（ ） A 、x y 2sin 2= B 、x y 2sin 2-= C 、)4
2cos(2π
+
=x y D 、)42cos(
2π+=x y
3、【2012高考山东文8】函数2sin (09)6
3x y x ππ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为
(A)2- (B)0 (C)－1 (D)1-
4、【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是
5、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A>0,ω>0) 在同一周期内，当 x=
35π 时，y 有最大值为3
2
，当 x= 311π时，y 有最小值 3
2
- ，则此函数的解析式 .
6．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析
式为 （ ） （A ）)3
22sin(2π+
=x y （B ）)3
2sin(2π
+=x y
（C ）)3
2sin(2π
-=x y
（D ）)32sin(2π
-
=x y
7、已知函数m x A y ++=)sin(ϕω的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3
π
=x 是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（ ） A 、)4
4sin(4π
+=x y B 、2)3
2sin(2++
=π
x y
C 、2)3
4sin(2++
=π
x y
D 、2
)6
4sin(2++
=π
x y
8、已知函数)20,0,0( )sin(πϕωϕω<≤>>++=A b x A y 在同一周期内有最高点)1,12
(
π
和最低点
)3,12
7(
-π
，则此函数的解析式
9、函数)3
2sin(π
+=x y 在[0，π]内的一个单调区间为（ ）
A ．]125,0[π
B ．]127,12[ππ
C ．]12
11,125[ππ D ．]2,6[ππ
（2013年高考四川卷（文））函数()2sin()(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-
<<
的部分图象如图所示,则
,ωϕ的值分别是
（ ）
A ．2,3
π
-
B ．2,6
π
-
C ．4,6
π
-
D ．4,
3
π
【答案】A
（2013年高考课标Ⅱ卷（文））函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移
2
π
错误！未找到引用
源。

个单位后,与函数sin(2)3
y x π
=+
的图像重合,则||ϕ=___________.
【答案】
56
π
（2013年高考课标Ⅰ卷（文））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______.
【答案】;
（2013年高考江西卷（文））设f(x)=错误！未找到引用源。

sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是_____._____
【答案】2
a≥
（2013年上海高考数学试题（文科））若
1
cos cos sin sin
3
x y x y
+=,则()
cos22
x y
-=________.
【答案】
7 9 -。