圆锥曲线典例讲解

y
A.
1 -1 o 1
.
.
x
始点的对称点终点 -——反射线； 终点的对称点始点 -——入射线.
A‫׳‬.
x2 y 2 (2005∙江苏) 点P(-3,1)在椭圆 2 2 1 a b 0 a b
的左准线上, 过点P且方向为a=(2,-5)的光线, 经
直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点, 则这个椭圆
x
光的ห้องสมุดไป่ตู้射
基本原理:
(Ⅰ)光的传播遵循“光行最速原理”; (Ⅱ)光的反射应满足：“入射角=反射角”; 入射线与反射线关于法线对称; 由此推得
投影线为水平线时,
k入射线+k反射线=0.
始点
光的反射
基本技巧:

终点


始点终点的对称点 ——入射线; 始点的对称点终点 ——反射线.
(1989· 全国) 自点A( -3, 3 )发出的光线 l 射到x 轴上被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0相切, 求光线 l 所在直线的方程. (x-2)2+(y-2)2=1
p 2
y2=18x
y2=8(x-6)
(2004 ∙全国东部卷) 设抛物线y2=8x的准线与x 则直线l的斜率的取值范围是 (
1 1 A. [ , ] B. [-2,2] 2 2
y
轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，
) C
P
F x
C. [-1,1]
D. [-4,4]
o
已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上的 任一点，过点F且斜率为1的直线与C交于A、B 两点，若PAB的面积为4 2，则这样的点P有 ( C ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 AB：x-y-1=0 求得|AB|=8 ； 取点M(1,2) 点M到直线AB的距离为 2 MAB的面积为4 2
2
2
线的离心率是 (
A. 4+2 3
D
)
C.
3 1 2
B. 3 -1
D. 3 +1
y M N F2 o F1 x
因为|NF1|=exN-a=c, 又|NF2|= 3 |NF1|, 即exN+a= 3 c 2exN=( 3+1)c
将xN=c/2代入即得.
要点提炼：设双曲线的离心率为e, 一条有
A30º 即 ex1-a=c, ex1+a= 3 c,
F2
o x F x 1 1
两式相减：2a=( 3 -1)c,
两边同除以a得 e=
2 3 1. 3 1
x y (2005· 福建理科)已知F1、F2是双曲线 2 2 1 a b
(a > 0,b> 0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三 角形MF1F2, 若边MF1的中点在双曲线上, 则双曲
证明：点P处的切线斜率为1
y=ax2
y
1 x y a
2
F
o
P
x
1 y=4a
2a
∵ y =2ax,
∴ y | x 1 =1.
证明：点P处的切线斜率为1
法一：由 y2=2px 2yy=2p,
p y , y y p 1. y
法二：由 y 2 px
y
P F
因为A、P、B共线, 且AP=PB. 1 1 ∴QP= QA+ QB= (QA+QB). 1 1 1 欲证QP⊥(QA-QB), 只须证QP ∙(QA-QB)=0, 即证|QA|2-2|QB|2=0. 而 |QA|2-2|QB|2=[
o
x Q(0,-m)
x
2 2 2 2 2] +( y + m ) ] [ +( y + m ) 1 2 1 2
A o B F
x
(2004∙湖南理科卷)如图，过抛物线x2=4y的对
称轴上任一点P(0,m) (m>0)作直线与抛物线交于
A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
( I ) 设点P分有向线段AB所成的比为，证明
QP⊥(QA-QB)；
( II ) 设直线AB的方程是
y B o Q P
A x
x-2y+12=0，过A、B两点
2 y (2005· 全国Ⅲ卷)已知双曲线 x 2 1 的焦 2 点为F1、F2, 点M在双曲线上且MF1· MF2=0,则点
M到 x轴的距离为( C
4 A． 3
y x2+y2=3
) C．2 3
3
5 B． 3
D． 3
MF1· MF2=0MF1⊥MF2
M F2
x
F1
o
{
4 x2+y2=3, 2 y P= . 3 2x2-y2=2
y


S△F1MF2=b2.
F1
o
M F2
x
2 y (2005· 全国Ⅲ卷)已知双曲线 x 2 1 的焦 2 点为F1、F2, 点M在双曲线上且MF1· MF2=0,则点
M到 x 轴的距离为( C
4 A． 3
y
) C．2 3
3
5 B． 3
D． 3
S△F1MF2=b2=2
M F2
x
F1
o
设点M到 x 轴的距离为d, 则 cd=S
(2004∙全国东北理科卷)设双曲线的焦点在x 1 轴上,两条渐近线为y =± x，则该双曲线的离 2 心率e=( C ) 5 5 A. 5 B. 5 C. D. 4 2
c a b 2. e2=5/4. e 2 =1+ k 2 a a
2 2 2 2
其中k为双曲线渐近线的斜率.
x y 已知F1、F2为双曲线 2 2 1(a > 0, a b b> 0)的焦点，过F2作垂直于 x 轴的直线交
b> 0)的焦点，过F2作垂直于 x 轴的直线交双曲 线于P, 且∠PF1F2＝30º (如图), 求双曲线的渐近 线方程. y
P
2
2
|PF1|＝2|PF2|， exP+a=2(exP-a)， exP＝3a,
F1 o F2 x
即 ec ＝3a, e2＝3, k2=e2-1=2. y=± 2 x.
1 1 cos tan 2. e 3
y B
M
o F A x
引申1
y
椭圆通径一个端点处切线的斜率
P F1 o
引申2
b 2 2 a x , 由 y a b 1 2 x . x 得 y a 2 a2 x2 b c y x c e. a a2 c2
双曲线通径端点处切线的斜率为e.
x y 过椭圆 2 2 1(a b 0) 引申3 a b 上一点 P (x0, y0) 的切线方程为：
o
x
1 2p y 2 2 px
y x p 1.
2
回 顾
y
A
y2=2px
o
F
x
∣PF∣= p
p x 2
命题1 设抛物线y2=2px(p>0)的通径为PQ，则
抛物线在点P、Q处的切线的斜率分别为1和-1,
x=-
且切线通过抛物线的准线与x轴的交点.
y P M
O
F Q
x
x= -
b x0 k切 f ( x0 ) 2 . a y0
2
引申5
过抛物线y2=2px上一点P (x0, y0)的切 线方程为： y0y=p (x+x0 ) y0y=p (x+x0 )
p k切= y0
命题2 若PQ为焦点在x轴上的圆锥曲线 的通径，则曲线在点P、Q处的切线的斜率 为e和-e，且切线通过相应准线与x轴的交
点.
或表述为：过焦点在x轴上的圆锥曲线 的准线与x轴的交点，且斜率为e(或-e)的 直线，与圆锥曲线相切，且切点为圆锥曲 线一条通径的端点.
作离心率为1/2的椭圆
y
o
x
作离心率为2的双曲线 |OF|＝c, |FA|＝b, |OA|＝a.
c· |AB|＝2ab
y
2ab |AB|＝ c 2b . ＝ e
较小倾斜角 的渐近线的斜率为k,则双曲线的 如下性质在解题时十分有用： ①过焦点作一条渐近线的垂线,垂足在双曲线 的准线上, 垂线段的长等于半虚轴长； ②＝arccos(1/e)； ③ e2＝k2＋1. 此外, 双曲线的焦半径公式：r1 ＝|ex0＋a|，r2＝|ex0－a| 在处理涉及双曲线的 焦半径问题时是十分有用的,必须要学生熟记
x2 (2005· 福建理科) 已知F1、F2是双曲线 a 2
-
y2 b2
=
1(a>0, b>0)的两焦点, 以线段F1F2为边作正三角
形MF1F2, 若边MF1的中点在双曲线上，则双曲
线的离心率是 (
A. 4+2 3
y
)
B. 3 -1
3 1 C. 2
D. 3+1
M
由已知, |AF1|=c, |AF2|= 3 c,
2 d= . 3
将直角坐标系中的曲线平移(或平 移坐标轴)，曲线上任意两点之间的距 离（弦长）、两条定弦之间的夹角、
以及曲线上任一点处的切线的斜率，
都是平移变换下的不变量.
y2＝a(x-3) (1995∙全国)直线l过抛物线y2＝a(x+1) (a>0)的焦点, 并且与x轴垂直, 若l被抛物线 截得的线段长为4, 则a ＝ 4 .
的离心率为 (
A. 3 3
1 B. 3
)
2 C. 2
1 D. 2
解法一：
依题意, 入射线方程为

y P(-3,1) (-c,0) N F o M
a 3 c
x
2
5 y-1=- (x+3) 2
9 令y=-2, 得M(- , -2); e l 5 13 2=3 F ( 1,0) a 令y=0, 得N(,0). 5
的圆C与抛物线在点A处有
共同的切线，求圆C的方程.
AP=(-x1, m-y1), PB=(x2, y2-m), 由已知,
x1=-x2, y1-m=-(y2-m). 即
2 x12 2 x2 , 2 y m 1 y2 m . 2 2
y
P
B (x2,y2)
A (x1,y1)
x2 2 (1994· 全国)设F1, F2为双曲线 y 1 的两 4 个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90º 则
△F1PF2的面积是 ( A. 1 B.
A )
5 2
C. 2 D.
5
设 PF1 r1 , PF2 r2 r 1 r 2
2 2
4
r1 r2 2r1r2 16. 2 2 2 r1 r2 (2c) 4 5 20, r1 r2 2, 1 SF1PF2 r1 r2 =1. 设而不求 2
S PF1F2
1 F1 F2 yP 2
F1
y
以F1F2为直径的圆 的方程是：
o
P F2
x
x2+y2=5,
2 2 x 4 y 4, 1 1 2 y y . 2 P 2 5 x y 5 5
SPF1F2
1 1 1 F1 F2 yP 2 5 1. 2 2 5
直线l过抛物线 y2＝4(x+1)的焦点, 并且 与x轴垂直, 若 l 被抛物线截得的线段长 4 为 .
（2003 · 新课程卷）设a>0，f(x)=ax2+bx+c, 曲 线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的倾斜角的 距离的取值范围为 (
1 A. 0, a 取值范围为 0, ，则点P到曲线y=f(x)对称轴 4
B )
1 b B. 0, C. 0, D. 2a 2a
b 1 0, 2a
∵f (x)=2ax, ∴曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处 的切线的斜率 k=2ax0.
1 . 依题意,0≤k≤1,即 0≤2ax0≤1. 0 x0 2a
2
2
b x0 x0 x y0 y k切 f ( x0 ) 2 . 1; 2 2 a y0 a b
x y 引申4 过双曲线 2 2 1(a 0, b 0) a b 上一点 P (x0, y0) 的切线方程为：
2 2
2
x0 x y0 y 1; 2 2 a b
平几知识的应用
0,b> 0)的焦点，M为双曲线上的点, 若∠F1MF2 ＝90º , 则△F1MF2的面积等于________.
x y 一般化 已知F 、F 为双曲线 2 1(a > 1 2 2 a b
2
2
{
x2+y2=c2, b2x2-a2y2=a2b2 y=b2/c
c2y2=b2(c2-a2)=b4
2
2
双曲线于P, 且∠PF1F2＝30º (如图), 求双
y
曲线的渐近线方程.
b2 PF2 , F1F2 2c, a PF2 1 . F1F2 3
F1 o
P F2 x
1 , 2 2 3 2a a b
b
2
3k 4k 4 0
4 2
2
x y 已知F1、F2为双曲线 2 2 1 (a > 0, a b