专题02 分式运算(解析版)-备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练

备战2022年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练
专题02 分式运算
【典型例题】
1．（2022·广东惠州·模拟预测）化简：2112--1-11x x x x x æöæö+¸+ç÷ç÷+è
øèø【答案】
2
x 【解析】
【分析】
由分式的加减乘除运算进行化简，即可得到答案．
【详解】解：2112111x x x x x æöæö+¸+-ç÷ç÷--+è
øèø=3222(1)(1)11([11(1)(1)(1)(1)(1)(1)
x x x x x x x x x x x x x x x --++-+¸+----+-+-+=32222111(1)(1)
x x x x x x x -++-+¸--+=32
2(1)(1)(1)(1)
x x x x x x ¸-+-+=32
(1)(1)(1)(1)2x x x x x x -+´-+=2
x ．【点睛】
本题考查了分式的加减乘除运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
2．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）先化简，再求值：222444(2)11x x x x x x x
-+++-+¸--，其中x 满足x 2﹣4x +3＝0．【答案】化简结果是12x -
+，求值结果是：15
-．【解析】
【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x 的值代入进行计算即可．
【详解】
解：原式＝2224(2)(1)1(112)
æö-+---×ç÷--èø-+x x x x x x x x ＝222
243211(2)-+-+--×-+x x x x x x x ＝2
211(2)+-×-+x x x x ＝12x -
+，∵x 满足x 2﹣4x +3＝0，
∴(x -3)(x -1)＝0，
∴x 1＝3，x 2＝1，
当x ＝3时，原式＝﹣132+＝15
-；当x ＝1时，分母等于0，原式无意义．
∴分式的值为15
-．故答案为：化简结果是12x -
+，求值结果是：15
-.【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元二次方程的能力．【专题训练】
一、选择题
1．（2022·广东封开·八年级期末）要使分式
21x x -+有意义，则x 应满足的条件是（ ）A ．0
x >B ．0x ¹C ．1x >-D ．1
x ¹-【答案】D
【解析】
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零，进而得出答案．
【详解】
解：∵分式2
1x x -+有意义，
∴x +1≠0，
解得：x ≠-1．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（2021·山东济南·中考真题）计算221
11m m m m ----的结果是（ ）
A ．1m +
B ．1m -
C ．2m -
D ．2
m --【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式的减法法则可直接进行求解．
【详解】解：()
2
221212111111m m m m m m m m m m ---+-===-----；
故选B ．
【点睛】
本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
3．（2021·四川内江·中考真题）函数1
1y x =+中，自变量x 的取值范围是（
）
A ．2x …
B ．2x …且1x ¹-
C ．2x …
D ．2x …且1
x ¹-【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得结果．
【详解】
解：由题意得：20x -…，10x +¹，
解得：2x …且1x ¹-，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟知根号下为非负数以及分母不为零是解题的关键．
二、填空题
4．（2021·山东临淄·八年级期中）242
x x --分式的值等于0，则x ＝_______．【答案】-2
【解析】
【分析】
根据分子为零，分母不为零，即可求解．
【详解】
解：根据题意，得x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）＝0且x ﹣2≠0．
所以x +2＝0．
所以x ＝﹣2．
故答案是：﹣2．
【点睛】
此题只要分式的值，解题的关键是熟知分式的值等于零时，分子为零，分母不为零．
5．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）函数y x 的取值范围是______．【答案】x £1且x ¹-3
【解析】
【分析】
根据分母不为0，被开方数大于等于0，进行计算即可．
【详解】
解：由题意得：1-x ³0，且x +3¹0，
∴x £1且x ¹-3，
故答案为：x £1且x ¹-3．
【点睛】
本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握此函数关系式中分母不为0，被开方数大于等于0是解题的关键．
6．（2021·辽宁沈阳·中考真题）化简：()2184416x x x æö-×+=ç÷--èø__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．
【详解】解：218()(4)416
x x x -×+--48(4)(4)(4)x x x x +-=
×++-4(4)(4)(4)
x x x x -=×++-1=，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
三、解答题
7．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）先化简，再求值：2
23(93
a a a a a ¸---，其中3a ．
【答案】13a -
+；【解析】
【分析】将括号里先通分，除法化为乘法，化简，再代值计算．
【详解】解：2
23()93
a a a a a ¸---22
33((3)(3)33
a a a a a a a a -=¸-+---33(3)(3)3a a a a a -=
¸+--33(3)(3)3a a a a a
-=×+--13
a =-+，
当3a =-时，
原式==【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了二次根式的混合运算．
8．（2021·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学二模）先化简22211
x x x -+-÷（11x x -+﹣x +1），然后从﹣2，﹣1，0选择合适的数代入求值．【答案】1x -，12
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用异分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果，再根据分式有意义的条件，取2x =-代入求解即可．【详解】
22211
x x x -+-÷（11x x -+﹣x +1）()()()()()2
1111111x x x x x x x ----+=¸-++()()()()2
11111x x x x x x --=¸-++()()()()
2
11111x x x x x x -+=-´-+-1
x =-Q 1,0
x ¹±2x \=-时，原式12
=
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解和分式的性质是解题的关键．
9．（2021·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式22224242x x x x x x --æö¸--ç÷-+èø
的值，其中4cos302x =+°．
【答案】
12x -【解析】
【分析】先运用特殊角的三角函数求出x ，然后化简分式，最后代入计算即可．
【详解】
解：4cos30242x =+=+=°2，22224242x x x x x x --æö¸--ç÷-+èø=()
()()()()222242222x x x x x x x x x éù--+-¸-êú+-++ëû=()()()224242222x x x x x x x x -æö--¸-ç÷+-++èø=()()()()22222
x x x x x x x --¸+-+=()()()()
22222x x x x x x x -+´+--=12
x -；
当x =2+时，
12x ===-【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，灵活运用分式混合运算的法则化简分式成为解答本题的关键．
10．（2022·甘肃平凉·模拟预测）先化简再求值：2443111m m m m m -+æö¸--ç÷--èø
，其中2sin 303m =°+．【答案】
22m m -+，13
-【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将m 的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：2443111m m m m m -+æö¸--ç÷--èø=22443(1)11
m m m m m -+--¸--=2(2)(2)(2)11
m m m m m --+¸--=2(2)11(2)(2)
m m m m m --´--+=22m m
-+ 当12sin 303=2+3=42m =°+´时，原式=24212463
-=-=-+【点睛】
考查了分式的化简求值以及运用特殊角三角函数值计算，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
11．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）先化简，再求值：22124(
)(1)442x x x x x x x -+-¸--+-，其中x ＝2+tan 30°．【答案】
()212x -；3【解析】
【分析】
先根据异分母分式的加减化简括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据特殊角的三角函数值求得x 的值，代入化简结果进行计算即可．【详解】解：2
2124()(1)442x x x x x x x -+-¸--+-()()()()()22122422x x x x x x
x x x x éù-+-=-´êú---êúëû()2224
=42x x x x x
x x --+´--()
241=42x
x x -×--()2
12x =-
2tan 302x =+°=Q \
原式
3==【点睛】
本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
12．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）先化简，再求值：先化简，再求值：21269(222
x x x x x x --+-¸---，其中2021x =．【答案】
13x -，12018【解析】
【分析】
首先将分式的分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，根据分式的混合运算法则化简分式，然后代入求值即可．
【详解】解：原式2
322(3)x x x x --=×--13
x =-，当2021x =时，原式11202132018=
=-．【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
13．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）先化简，再求值
222214244
a a a a a a +æö-¸ç÷--++èø；其中a 是满足12a -<£的一个整数，择一个合适数，代入求值．【答案】
22
a a +-，-3【解析】
【分析】
先算括号里面的，再算除法，选取合适的a 的值代入进行计算即可．
【详解】
解：222214244
a a a a a a +æö-¸ç÷--++èø=2222224444a a a a a a a ++++æö-ç÷--èø
g =2(2)(2)(2)a a a a a
++-g =22
a a +- ∵a 是满足12a -<£的一个整数，
∴0,1,2a =
当0,2a =时，分式无意义，
∴1a =
∴原式=12=312
+--．【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，再选取a 的值时要保证分式有意义．
14．（2021·福建·泉州五中模拟预测）先化简，再求值2111211
x x x x x x +æö+¸ç÷--+-èø，其中1x =．
【答案】
1x x -．【解析】
【分析】
利用平方差和完全平方公式先化简分式，然后代值计算即可.
【详解】解：原式21111(1)x x x x x
éù+-=+×ê--ëû22111(1)x x x x
-+-=×-1
x x =-，
当1x =时，原式=
=【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，分母有理化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15．（2021·福建省福州屏东中学二模）先化简，再求值：2352362m m m m m -æö¸+-ç÷--èø，其中231m m +=．
【答案】
()133m m +；13
．【解析】
【分析】先进行因式分解，计算括号内的运算然后计算除法运算，得到最简分式，再把231m m +=代入计算，即可得到答案．
【详解】解：原式()()()2253322
m m m m m m +---=¸--()239322
m m m m m --=¸--()()()323233m m m m m m --=
×-+-()
133m m =+；∵()2331
m m m m +=+=∴原式11313
==´．【点睛】
本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行化简．
16．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）先化简，再求值：(1)3x x --÷2239
x x x +-，其中
111|(2
x -=---tan 45°．
【答案】3x -，【解析】
【分析】
先将括号里的分式通分，根据分式的减法进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，最后代入求值.
【详解】
解：原式33
x x x --=-÷(3)(3)(3)++-x x x x ，33x -=-·3x x
-，
3x
=-，
当111(2
x -----tan 45°121=+-时，
原式＝=【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式的运算法则.
17．（2021·广东·深圳市龙岗区百合外国语学校三模）先化简，再求值：(x －1－1x x ＋)÷221
x x x ＋＋，其中x 是不等式组()213324x x x ìí³î
－＜＋＋的整数解．【答案】321x x x
--，2-【解析】
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x 是不等式组()213324x x x ìí³î
－＜＋＋的整数解，可以得到x 的整数值，再从x 的整数值中选取使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：2(1)121
x x x x x x --¸+++2
(1)(1)(1)1x x x x x x
-+-+=×+22
1(1)1x x x x x
--+=×+2(1)(1)x x x x
--+=321x x x
--=，由不等式组()213324x x x ìí³î
－＜＋＋得，-1≤x <2，∴x 的整数值为-1，0，1，
∵x ≠0，x +1≠0，
∴x ≠0，-1，
∴x =1，
∴原式3121121
-´-==-．【点睛】
本题考查了分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18．（2021·广东·铁一中学二模）先化简，再求值：2212111x x x x x x æö++-¸-ç÷--èø，其中x 是不等式组13112
x x +>-ìïí<-ïî的整数解．【答案】
21
x -+，1【解析】
【分析】
根据分式混合运算的性质化简，再通过求解一元一次不等式组得x 的值，将x 代入到代数式计算，即可得到答案．【详解】2212111x x x x x x æö++-¸-ç÷--èø()2121111x x x x x x éù+=-´-êú--+ëû()212111
x x x x x x +-=´--+()21111
1x x x -=´--+111
x x -=-+()
111
x x x --+=+2
1
x -=+∵13112
x x +>-ìïí<-ïî∴42x x >-ìí<-î
，即42x -<<- ∵x 是不等式组13112
x x +>-ìïí<-ïî的整数解
∴3x =- ∴2212111x x x x x x æö++-¸-ç÷--èø
21x -=+2
31
-=-+1=．
【点睛】
本题考查了分式、一元一次不等式组、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握分式混合运算、一元一次不等式组的性质，从而完成求解．。