立体几何证明平行的方法及专题训练(学生)

立体几何证明平行的方法及专题训练 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。

（2） 利用三角形中位线的性质。

（3） 利用平行四边形的性质。

（4） 利用对应线段成比例。

（5） 利用面面平行的性质，等等。

(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形
2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；
分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
（第1题图）
D
E B 1A 1
C 1
C A
B F
M
3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.
分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA
4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;
分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是
平行四边形
(2) 利用三角形中位线的性质
5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。

分析：法一：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 法二：证平面EGF ∥平面ABC ，从而AM ∥平面EFG
A
B
C
D
E
F G M
6、如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，
2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中
点。

7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；
分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是
△B 1AC 的中位线
8、如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点.证明: BC 1//平面A 1CD;
分析：此题与上面的是一样的，连结AC 1与A 1C 交F,连结DF ，则DF//BC 1
9、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一
P
E
D
C
B
A 点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .
利用平行四边形的性质
10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，求证： D 1O//平面A 1BC 1;
11、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2
1
DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；
12、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90 ，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
利用对应线段成比例
13、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别 是SA 、BD 上的点，
（1）SM AM =ND BN
， 求证：MN ∥平面SDC （2）AM DN
SM BN
=, 求证：MN ∥平面SBC
（6） 利用面面平行
15、如图，三棱锥ABC P -中， E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，
点F 在PA 上，且2AF FP =. 求证：//CM 平面BEF ；
16、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =,14AA =，点D 是AB 的中点，
（1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：11CDB //平面AC ； （3）求三棱锥11C CDB -的体积。

N
M
B 1
C 1
D 1
A 1
D
C
B
A
分析:取A 1B 1的中点E ，连结C 1E 和AE ，易证 C 1E ∥CD,AE ∥DB 1，则平面AC 1E ∥DB 1C,于是
11CDB //平面AC
17在长方体1111ABCD A BC D -中, 11,2AB BC AA ===, 点M 是BC 的中点,点N 是1AA 的中点. (1) 求证: //MN 平面1
ACD ; (2) 过,,N C D 三点的平面把长方体1111ABCD A BC D -截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.。