浅谈高考数学创新问题应对策略

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撷英篇
一、问题特点
统观近几年数学高考试题，创新题频繁出现。

主要以新运算、新概念和新背景形式给出命题。

要求学生不仅有扎实的基础知识、基本方法，还要有较强的阅读能力、分析转化能力、逻辑推理能力、抽象概括能力和良好的数学综合素养。

由于试题新颖对每个考生公平、公正有利于选拔优秀人才。

二、常见问题1.新运算：所指通过数学中符号语言、图形语音、文字语言给出新的运算模型，要求考生根据模型结合所学知识点、方法和数学思想去探究，求解结论。

例1.2015浙江（理6）设A ，B 是有限集，定义d （A ，B ）=card （A ∪B ）-card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数
命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）>0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ），
A.命题①和命题②都成立
B.命题①和命题②都不成立
C.命题①成立，命题②不成立
D.命题①不成立，命题②成立试题解析：命题①显然正确，通过右图可知a （A ，C ）表示的区域不大于d （A ，B ）+d （B ，C ）的区
域，所以命题②也正确，故选A
例2.2013湖北（理14）古希腊毕达哥拉斯学
派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数1，3，6，10，…，第n
个三角形数为n
（n +1）2
=12n 2+12n 。

记第n 个k 边形数为N （n ，k ）（k ≥3），以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：
三角形数N （n ，3）=12n 2+12
n 正方形数N （n ，4）=n 2
五边形数N （n ，5）=32
n 2+12n 六边形数N （n ，6）=2n 2-n
……可以推测N （n ，k ）的表达式，由此计算N （10，24）=。

试题解析：观察n 2和n 前面的系数，可知一个成递增的等差
数列另一个成递减的等差数列，故N （n ，24）=11n 2-10n ，∴N （10，24）=1000
点评：从上述例题可以得出此类问题的研究。

首先根据运算模型把问题转化为集合、向量、数列的相关知识，再利用恒等代入、数形结合、归纳猜想等方法去解决实际问题。

2.新概念：是指利用数学问题的表述形式在一定限制条件下，给出一个问题新的定义，从而要求考生探究新概念下问题属性。

例1.2017全国I （理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，
其中第一项是20，接下来的两项是20，21
，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。

求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂。

那么该款软件的激活码是（）
A.440
B.330
C.220
D.110
试题解析：由题意得，则该数列共有1+2+…+k=k
（k +1）2
项，它的前k （k +1）2
和为S k （k +1）2()
=1+（1+2）+…+（1+2+…2k -1）=2
k +1-k -2，要使k （k +1）2
>100，有k ≥14，此时k +2<2k +1，所以k +2是第k +1组等比数列1，2，…，2k 的部分和，设k +2=1+2+…+2t -1=2t -1，所以k =2t -3≥14，则t ≥5，此时k =25-3=29，
所以对应满足条件的最小整数N =29×302
+5=440，
故选A.例2.2016四川（理15）在平面直角坐标系中，当P （x ，y ）不是
原点时，定义P 的“伴随点”为P '（y x 2+y 2，-x x 2+y 2
）；当P 是原点
时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”。

现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线。

其中的真命题是_____（写出所有真命题的序列）。

试题解析：
解法一：对于①，若令p （1，1），则伴随点为p '
12，
12
()
，而p '12，-12()
的伴随点为（-1,-1），而不是p ,故①错误；对于②，设曲线f （x ，y ）=0关于x 轴对称，则f （x ，-y ）=0对曲线f （x ，y ）=0
表示同一曲线，其伴随曲线分别为y x 2+y 2，-x
x 2+y
2()
=0与
f -y x 2+y 2,-x
x 2+y 2(
)=0也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为f y x 2+y 2，-x x 2+y 2()
=0与f -y x 2+y 2，-x
x 2+y 2()
=0的图像关于y 轴对称，所以正确；③中令单位圆上点的坐标为p （cos x ，sin x ）其伴随点为p （sin x ，-cos x ）仍在单位圆上，故正确；对于④，直线y=kx+b 上取
点后得其伴随点y x 2+y 2，-x
x 2+y
2()
消参后轨迹是圆，故错误，所以
正确的为序号为②③。

解法二：由定义可知p （x ，y ）伴随点p'（x'，y'）应满足x '2+y '2=1x 2+y 2和y 1x 1越-x y
，所以①④错误，②③正确。

点评：从前面问题可以总结出探究此类问题，首要细致理解定义，把握住限制条件，再确定所用知识点如数列、圆锥曲线，然后结合本知识点研究问题的方法，适当合理选用方法去解决问题。

三、总结梳理
针对创新问题研究策略，笔者认为，首先应掌握运算模型、理解定义，分析出新背景下含义，把问题转化为相关的数学知识点与方法上，再构建恰当模型后求解结论。

应注意从正反两个角度分析探究问题，创新问题。

不仅对学生数学知识方法、思想和能力做全面考查，而且对数学文化作一定的考查，能达到让学生形成良好的数学素养的目的。