广西北流市2020-2021学年高一上学期“农信杯”教学质量调研检测(12月)数学试题含答案

北流市2020年高中“农信杯”教学质量调研检测高一数学
一、选择题（每小题5分，共12小题60分）
1．已知全集U R =，集合{20}A x x =-≤<∣，1124x B x
-⎧
⎫
=<⎨⎬⎩⎭
∣，则()R C A B ⋂=（ ） A ．(,2)[1,)-∞-⋃-+∞B ．(,2](1,)-∞-⋃-+∞
C ．(,)-∞+∞
D ．(2,)-+∞
2．下列函数中，在[0,)+∞上是单调递增的是（ ）
A ．||y x =
B ．2y x -=
C ．2log y x =
D ．tan y x =
3．已知函数2,0
()1,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩
，则[(2)]f f -=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 4．已知0.3
a e
-=，2log 0.6b =，3log c π=，则（ ）
A ．b a c <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．c a b <<
5．设()3x
f x e x =+-，则函数()f x 的零点位于区间（ ）
A ．(1,0)-
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3)
6．函数()sin 2f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
是（ ） A ．奇函数，且在区间0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增B ．奇函数，且在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减 C ．偶函数，且在区间0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．偶函数，且在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减
7．若1)f x =()f x 的解析式为（ ）
A ．2()f x x x =-
B ．2()(0)f x x x x =-≥
C ．2()(1)f x x x x =-≥
D ．2()f x x x =+
8．函数y =
）
A ．,4k k πππ⎡⎫
+
⎪⎢⎣
⎭
，k Z ∈B ．,2k k πππ⎡
⎫
+
⎪⎢⎣
⎭
，k Z ∈ C ．,42k k π
πππ⎛⎤-
+ ⎥⎝
⎦，k Z ∈D ．,4k k πππ⎛⎤
- ⎥⎝⎦
，k Z ∈
9．若21cos 52πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，则sin 10πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．．12-C ．12D
10．函数(
)
3
()x f x x x e =-∣
的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知函数1
1,02
()ln ,2
x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值
范围是（ ）
A ．(1,)+∞
B ．3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭C ．32,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．[ln 2,)+∞
12．已知0a >，设120192017
()20191
x x
f x ++=+，（[,]x a a ∈-）最大值为M ，最小值为N ，那么M N +=（ ） A ．2017B ．2019C ．4036D ．4038 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是________． 14．函数()
213
()log 23f x x x =--的单调递增区间是________．
15．若[0,2)θπ∈
，则使cos θ≤的角θ的取值范围是________． 16
．设函数)
()ln
f x x =，若()23(21)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为________．
三、解答题（17题10分，18至22题每题12分，共70分）
17．已知4
cos(2)5
πα-=-
，且α为第三象限角， （1）求cos 2πα⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值； （2）求tan()sin()sin 2()cos()
f ππαπαααπα⎛⎫
-⋅-⋅- ⎪
⎝⎭=
+的值．
18．已知集合{121}A x a x a =+≤≤-∣，{35}B x x x =≤>∣或．
（1）若4a =，求A B ；
（2）若A B ⊆，求a 的取值范围．
19．已知()f x 是奇函数．当0x >时，23
()1
x f x x +=
+． （1）当0x <时，求()f x 的解析式；
（2）用定义证明：()f x 在(0,)+∞上是减函数．
20．已知函数()24f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭，x R ∈．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值． 21．已知函数()441()2log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+
⎪⎝
⎭
． （1）当[1,16]x ∈时，求该函数的值域；
（2）若4()log f x m x <对于[4,16]x ∈恒成立，求m 的取值范围．
22．设函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且对任意正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知(2)1f =，且1x >时，()0f x >．
（1）求12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）判断()y f x =在(0,)+∞上的单调性并给出证明；
（3）解不等式(2)(86)1f x f x >--．
北流市2020年高中“农信杯”教学质量调研检测高一数学参考答案
第13题：3π，第14题：(,1)-∞-，
第15题：57,66ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦第16题：11,3⎛⎫
- ⎪⎝⎭
第1题：【答案】A
【解析】集合1
12
{1}4x B x x x -⎧
⎫=<=<-⎨⎬⎩
⎭
∣∣，所以{21}A B x x ⋂=-≤<-∣， 所以{}
()21R C A B x x x ⋂=<-≥-∣或．
第2题：【答案】A
【解析】B 中在[0,)+∞是递减的，C 中定义域不能为0，D 中在[0,)+∞不具有单调性．
只有||y x =在[0,)+∞上是单调递增．
第3题：【答案】D
【解析】函数2,0()1,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，
(2)1f ∴-=，[(2)](1)3f f f -==．
第4题：【答案】A
【解析】0.3
001e
e -<<=，22log 0.6log 10<=，33log log 31π>=；
b a
c ∴<<．
第5题：【答案】B
【解析】()3x f x e x =+-，(0)0f ∴<，(1)0f >，
故函数()f x 的零点位于区间(0,1)内，故选：B ．
第6题：【答案】D
【解析】函数()sin cos 2f x x x π⎛⎫=-=
⎪⎝⎭，是偶函数，且在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，故选D ． 第7题：【答案】C
【解析】1)f x =1t =，1t ≥，
则2(1)x t =-，22()(1)1f t t t t t ∴=-+-=-，1t ≥，
∴函数()f x 的解析式为2()(1)f x x x x =-≥．
第8题：【答案】A
【解析】由题意得：tan 104x π⎛⎫
+
-≥ ⎪⎝
⎭，故tan 14x π⎛
⎫+≥ ⎪⎝⎭
， 故4
4
2
k x k π
π
π
ππ+
≤+
<+
，
解得：,4x k k πππ⎡
⎫
∈+
⎪⎢⎣
⎭
，k Z ∈． 第9题：【答案】B
【解析】221sin sin cos 105252ππππααα⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫
-
=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
． 第10题：【答案】C
【解析】(
)
3
||
()()x f x x x e f x ∴-=--=-，
()f x ∴为奇函数，即图象关于原点对称，排除A ，B ；
当x →+∞时，()f x →+∞，排除D ，即可得出答案为C ．
第11题：【答案】B
【解析】在同一坐标系中内作出函数()f x 的图象（如图）．
关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，等价于直线y k =与函数()f x 的图象有两个不同的交点，
所以k 的取值范围是3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，故选B ．
第12题：【答案】C
【解析】12019201720192019201922
()2019201912019120191x x x x x
f x ++⨯+-===-+++， 则120192017
()20191
x x f x ++=+，为[,]a a -上的增函数，
所以22()()403840362019120191a a
M N f a f a -⎛⎫
+=+-=-+=
⎪++⎝⎭
． 第13题：【答案】3π
【解析】扇形面积2
12033360
S ππ=
⨯=． 第14题：【答案】(,1)-∞-
【解析】由题意，令223u x x =--，令2
230x x -->， 解得1x <-或3x >，即函数()f x 的定义域为(,1)
(3,)-∞-+∞．
又根据二次函数的图象与性质可知，
函数2
23u x x =--在区间(,1)-∞-上单调递减，在区间(3,)+∞上单调递增．
又由函数12
()log f x u =为单调递减函数，
根据复合函数同增异减可得，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-．
第15题：【答案】57,66ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【解析】作出cos θ=[0,2)π内满足条件的角的取值范围57,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 第16题：【答案】11,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭
【解析】()f x 的定义域为R ，
))
()()ln
ln
ln10f x f x x x +-=+==，
()f x ∴是奇函数，
设()u x x =
，[0,)x ∈+∞为增函数，
()f x 在[=[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数，()f x 在0x =处连续的，
所以()f x 在R 上单调递增，()2
3(21)0f a
f a +-<，
化为()2
3(12)f a
f a <-，等价于2
312a
a <-，
即2
3210a a +-<，113
a -<<
， 所以实数a 的取值范围为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
第17题：
（1）
4
cos(2)cos 5
παα-==-，
且α
为第三象限角，3sin 5
α∴==-
， 3cos sin 25παα⎛⎫
∴+=-= ⎪⎝⎭
．
（2）tan()sin()sin 2()cos()
f ππαπαααπα⎛⎫
-⋅-⋅- ⎪
⎝⎭=
+
tan sin cos cos αααα-⋅⋅=-2
1
sin 9254cos 20
5
αα===--．
第18题：
（1）当4a =时，易得{57}A x x =≤≤∣，
{35}B x x x ∴=≤>∣或，{57}A B x x ∴=<≤∣．
（2）若211a a -<+，即2a <时，A =∅，满足A B ⊆，
若211a a -≥+，即2a ≥时，
要使A B ⊆，只需2132a a -≤⎧⎨≥⎩或15
2a a +>⎧⎨≥⎩
，
解得2a =或4a >，
综上所述，a 的取值范围为{24}a a a ≤>或∣．
第19题：
（1）当0x <时，0x ->，2()3
()()1
x f x x -+-=
-+，
由于()f x 是奇函数，于是()()f x f x -=-，
所以当0x <时，23
()1x f x x
-=
-． （2）证明：设1x ，2x 是(0,)+∞上的任意两个实数，且12x x <，
则()()()()
1221
12121223231111x x x x f x f x x x x x ++--=
-=
++++， 由120x x <<，得210x x ->，()()12110x x ++>， 于是()()120f x f x ->，即()()12f x f x >．
所以函数23
()1
x f x x +=
+在(0,)+∞上是减函数． 第20题：
（1）()f x 的最小正周期22||2
T πππω=
==． 当2224
k x k π
πππ≤-
≤+，
即58
8
k x k π
π
ππ+
≤≤+
，k Z ∈时，()f x 单调递减， ()f x ∴的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈．
（2）
,82x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，则32,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
故cos 242x π⎡⎤⎛
⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，
max ()f x ∴=204x π
-=，即8x π
=；
min ()1f x =-，此时3244x π
π-=，即2
x π=． 21题：（1）令4log t x =，[1,16]x ∈，
则[0,2]t ∈，函数()f x 转化为1(22)2y t t ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
，[0,2]t ∈， 则二次函数1(22)2y t t ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
， 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,24⎛⎤
⎥⎝
⎦上单调递增， 所以当14t =时，y 取到最小值为98
-， 当2t =时，y 取到最大值为5，
故当[1,16]x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
． （2）由于()44412log 2log log 2x x m x ⎛
⎫-+< ⎪⎝⎭
对于[4,16]x ∈上恒成立， 令4log t x =，[4,16]x ∈，则[1,2]t ∈， 即1(22)2t t mt ⎛
⎫-+< ⎪⎝⎭
在[1,2]t ∈上恒成立；
所以1
21m t t
>--在[1,2]t ∈上恒成立． 因为函数1
y t
=-在[1,2]上单调递增，2y t =也在[1,2]上单调递增， 所以函数1
21y t t =--在[1,2]上单调递增，它的最大值为52
， 故52
m >时，4()log f x m x <对于[4,16]x ∈恒成立． 第22题：
（1）对于任意,x y R ∈都有()()()f xy f x f y =+，
∴当1x y ==时，有(1)(1)(1)f f f =+，(1)0f ∴=，
当2x =，12y =时，有112(2)22f f f ⎛⎫⎛⎫⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即1(2)02f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 又(2)1f =，112f ⎛⎫∴=-
⎪⎝⎭． （2）证明如下：设120x x <<，
则()()2121x f x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
， 21
1x x >，故210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()21f x f x >， 故()f x 在(0,)+∞上为增函数．
（3）
1
1
2
f
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，
11
(86)1(86)(86)(43)
22
f x f x f f x f x
⎛⎫⎛⎫
--=-+=-=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
∴，
(2)(43)
f x f x-
∴>，
()
f x在定义域(0,)
+∞上为增函数，
243 430
x x
x
>-⎧
⎨
->
∴
⎩
，
解得解集为
33
42
x x
⎧⎫
<<
⎨⎬⎩⎭∣．。