【全国百强校】江苏省南京师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期寒假复习数学试题(解析版)

南师附中高一数学寒假复习卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上
．．．．．．．．.
1. 已知数集，则实数的取值范围为_________．
【答案】且
【解析】由集合中元素的互异性可得：，即实数的取值范围为且
2. 设点是角终边上异于原点的一点，则的值为____________．
【答案】
【解析】由三角函数的定义可得：.
3. 幂函数的图象经过点，则的解析式是____________．
【答案】
【解析】试题分析：设幂函数为,将代入,即,解得
考点：待定系数法求函数解析式.
4. 方程的根，，则____________．
【答案】1
考点：函数的零点．
5. 求值：____________．
【答案】
【解析】略
6. 已知向量，且，则____________．
【答案】
【解析】试题分析：∵，∴，，
又∵，∴.
考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量共线的坐标表示.
7. 函数的图像先作关于轴对称得到图像，再将向右平移一个单位得到图像，则的解析式为____________．
【答案】
【解析】由题意可得：的解析式为：，
由平移变换的结论可得：的解析式为：.
8. 已知扇形的周长为，则该扇形的面积的最大值为____________．...
【答案】4
【解析】设扇形的半径为R，弧长为l，则：，且，
扇形的面积：，
当且仅当时等号成立，
该扇形的面积的最大值为4.
9. 函数的定义域为 ___________．
【答案】
【解析】函数有意义，则：，
求解关于x的不等式组可得函数的定义域为.
点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
10. 若，且，则向量与的夹角为____________．
【答案】
【解析】略
11. 设是定义域为，最小正周期为的函数，若，
则____________．
【答案】
【解析】略
12. 已知为原点，点的坐标分别为其中常数，点在线段上，且
，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】设P(x,y)，由 (0⩽t⩽1)，得(x−a,y)=t(−a,a)，∴x−a=−ta，y=at，
∴x=a−at，y=at， =(a,0)⋅(x，y)=ax=a(a−at)=a2(1−t)
∵0⩽t⩽1，∴t=0时， =a2(1−t)有最大值a2.
13. 定义在区间上的偶函数,当时单调递减,若，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】不等式等价于：，
求解关于实数m的不等式组可得实数的取值范围是.
点睛：关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
14. 若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是____________．
【答案】...
【解析】由题意可知k≠0，则：kx2−2kx=|x|
当x⩾0时：kx2−2kx=x
kx2−(2k+1)x=0
∴x1=0,
∴或k>0
当x<0时：kx2−2kx=−x
kx2−(2k−1)x=0
综上方程的根一正,一负,一个为0,k的范围是.
二、解答题：本大题共6小题，共计58分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15. 设集合．
（1）若，求实数的值；
（2）求，．
【答案】（1）1或4；（2）时，，；时,
；时, .
【解析】试题分析：
(1)首先求得集合A,B，由子集关系可得或；
(2)利用题中的结合分类讨论可得：
时，，；
时, ；
时, .
试题解析：
.
(1) 因为，所以，由此得或；
(2) 若，则，所以，；
若，则，所以, ；
若，则，所以, .
16. 已知，求：（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：
(1)利用题意首先求得，结合诱导公式可得三角函数式的值为....
(2)由(1)中的结论结合两角和差正余弦公式可得 .
试题解析：
∵，∴
（1）原式＝＝
（2）
＝
点睛： (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．
(2)诱导公式应用的步骤：
任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→
0～2π的角的三角函数→锐角三角函数
注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．
17. 已知向量．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）－1．
【解析】试题分析：
(1)首先求得向量，的坐标表示，然后结合向量平行的充要条件可得；
(2)利用题意首先求得的坐标表示，然后利用数量积为0即可求得.
试题解析：
（1），，
因为∥，所以，所以.
（2），
因为，所以，
所以.
18. 函数在它的某一个周期内的单调减区间是.
（1）求的解析式；
（2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
所得到的图象对应的函数记为，求函数在上的最大值和最小值.
【答案】（21）；（2）最大值为1，最小值为．
【解析】试题分析：
(1)利用三角函数的性质可求得函数的解析式为；...
(2)首先求得函数的解析式结合函数的定义域可得函数的最大值为1，最小值为
试题解析：
（1）由条件，，∴∴
又∴
∴的解析式为
（2）将的图象先向右平移个单位，得
∴
而
∴函数在上的最大值为1，最小值为
19. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于80时学习效果最佳．
（1）试求的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．
【答案】（1）；（2）．
【解析】试题分析：
(1)利用题意分段求解函数的解析式即可求得的函数关系式；
(2)利用题意得到关于实数t的不等式，求解不等式可得老师在时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳.
试题解析：
（1）当时，
设，
将(14，81)代入得
所以当时，.
当时，将(14，81)代入，得
于是
（2）解不等式组得
解不等式组得
故当时，，
答：老师在时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳．
20. 已知函数是偶函数.
（1）求的值；...
（2）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.
【答案】（1）－1；（2）．
【解析】本试题主要是考查了函数的奇偶性和函数与方程的综合运用。

（1）∵是偶函数，∴对任意
，恒成立即：恒成立，∴
（2）由于，所以定义域为，
也就是满足∵函数与的图象有且只有一个交点，
∴方程在上只有一解
即：方程在上只有一解，结合指数函数构造二次函数求解得到。

解：（1）∵是偶函数，
∴对任意，恒成立 2分
即：恒成立，∴5分
（2）由于，所以定义域为，
也就是满足7分
∵函数与的图象有且只有一个交点，
∴方程在上只有一解
即：方程在上只有一解 9分
令则，因而等价于关于的方程
（*）在上只有一解 10分
① 当时，解得，不合题意； 11分
② 当时，记，其图象的对称轴
∴函数在上递减，而
∴方程（*）在无解 13分
③ 当时，记，其图象的对称轴
所以，只需，即，此恒成立
∴此时的范围为15分
综上所述，所求的取值范围为16分。