中小学燃气管理制度规范

03级全校各专业《概率论与数理统计》(04秋)
期末考试题A 卷
备注：1. 第一题只填结论,其余各题必须要有解题步骤,否则不予给分.
2. 要求卷面整洁清晰,字迹清楚,解题步骤完整.
一．填空题（每空2分，共20分）
1.设有随机变量A i (i=1,2,…,n), n
i i A A 1==,则A 的对立事
件A = .
2.设A 和B 为相互独立的随机事件，P （A ）=3
1， P （A ∪B ）=3
2，P （B ）= .
3.设随机变量X 服从二项分布,即X ～b(n,p),则分布律 P ｛X=m ｝= .
4.设随机变量X 服从正态分布,其概率密度为
10
)1(2101)(--=
x e
x f π
,+∞<<∞-x .则其标准差DX = .
5.二维随机变量（X,Y ）的协方差Cov(X,Y)=0.36,且DX=0.81,DY=0.64.则其相关系数),(Y X ρ= .
6. 设随机变量X ～N(0,1),已知)2.2(Φ=0.9861,则P{2.2<X }= . 7．设随机变量X ～F(6,12),已知
)6,12(,10)12,6(995.0005.0F F 则== .
8. 设总体X,且E(X)=μ,今有简单随机样本
∑=n
i i i n X X X X 1221)(,,,,α而 (其中2i α是常数)是数学期望E(X)
的无偏估计量,则∑=n
i i 1
2α= .
9.设离散型随机变量X 具有概率分布律
则常数a =_____.
10设总体X 的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=2σ. 21,X X 是总体的样本，又设
,3231211X X +=
Φ,4341212X X +=Φ,2
1
21213X X +=Φ都是总体数学期望E(X)的无偏估计量,则1Φ、2Φ、3Φ中最有效的估计量是_____.
二．计算题（每题6分，共36分）
1.某厂生产的电子元件中有4%的产品不合格，又在 100件合格品中有75件一等品，试求从该厂生产的电子元件中任取一件产品是一等品的概率.
2.甲、乙、丙三人独立去破译密码,已知甲、乙、丙各自能译出密码的概率分别是4
1
3151、、.问三人中至少一人能将
此密码译出的概率是多少?
3.在一个口袋中装有标号为1、2、3、4、5的五只球，今从中任取3只球，X 表示取出的球中最大号码，试写出随机变量X 的概率分布律.
4. 设二维离散型随机变量（X,Y ）的联合概率分布律为
求:X+Y 和XY 的概率分布律. 5.设随机变量X 具有概率分布律
求: E(X); E(X 2); D(X). 6. 设随机变量X 的概率密度为⎩
⎨
⎧≤<=.,0,
10,2)(其它x x x f 求随机变量X 的分布函数.
三.计算题（每题8分，共16分）
1.设随机变量X 概率密度函数是⎩⎨⎧≤<--=.
,0,11),1(3)(2其它x x c x
f
求:(1)常数c;(2)P{01≤<-X };(3) D(X).
2. 设二维随机变量（X,Y ）的联合概率密度是
⎩⎨⎧≤<≤<=.
,0,10,20,)(2其它y x cxy x f
求: (1)常数c; (2)关于X 和Y 的边缘概率密度;
(3)X 和Y 是否相互独立?为什么? 四.计算题（每题8分，共24分）
1.设随机变量X 的概率密度函数是⎩
⎨⎧<<+=.,0,
10,)1()(其它x x x f θθ
今有一组样本观测值.,,21n x x x 用极大似然法估计参数θ的值.
2.从一批保险丝中任抽取9根,测得熔化时间分别是65,75,78,87,68,80,54,65,67(秒),设这批保险丝的熔化时间服从正态分布N(μ,4),试求参数μ的置信度为95%的双侧置信区间.
3.某厂用自动包装机包装白糖，规定每袋糖标准重量为100千克,假设包装机包装白糖的重量服从正态分布.某天开机后，为检查其机器工作是否正常，从装好的白糖中任抽取9袋，测得其重量是: (千克)
99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,102.1,100.5,99.5,样本方差2s =1.问：这一天包装机工作是否正常？（显著
性水平α=0.05）
五.证明题（共4分）
设随机事件A 和B 相互独立. 证明:事件A 与B 的对立事件B 也相互独立.
参考数据:
,65.105.0=Z ,96.1025.0=Z ,8331.1)9(05.0=t ,
2622.2)9(025.0=t ,
8595.1)8(05.0=t ,
3060.2)8(025.0=t ,919.16)9(205.0=χ,023.19)9(2
025.0=χ,507
.15)8(2
05.0=χ
,535
.17)8(2025.0=χ ,325
.3)9(2
95.0=χ
,700
.2)9(2
975.0=χ ,733.2)8(295.0=χ .180
.2)8(2
975.0=χ
《概率论与数理统计B 》（04秋）A 卷参考答案及评分标准
一、 填空题（每空2分，共20分）
1、i n
i A U 1= ；
2、1/2； 3 m n m m n p p C --)1( (m=0,1,…,n) ； 4、5 ； 5、1/2； 6、0.9722； 7、1/10 ； 8、1； 9、0.2； 10、3φ 二、计算题（每题6分，共36分） 1、设A 表示一等品，B 表示合格品（1分） 则 P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B) （3分) =
1007510096⋅ =100
72
=0.72 （2分） 2、设A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙破译密码（1分） 则 P(A ∪B ∪C)=1-P(_
__________AUBUC )=1-P(C B A ) （3分） =1-⋅544
3
32⋅=5
3 （2分） 3、设随机变量为X ，则X 的可能取值有3、4、5（1分） 则 P （X=3）=
C
3
5
1
=10
1
（1分） P （X=4）=
103
（1分） P （X=5）=10
6
（1分）
故
（2分）
4、
（3分）
（3分）
5、E （X ）=-0.2 （2分）； E （X 2）=2.8 （2分）； D （X ）=2.76 （2 分）.
6、（1）当x 0)(0=≤x F 时， （1分） （2）当⎰==≤<x
x tdt x F x 022)(10时， （1分） （3）当x >1时,)(x F =1
(1分)
故 )(x F =⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤<≤1,110,0,02x x x x (3分)
三、计算题（每题8分，共16分） 1、（1）因为 1=,4)1(3)(1
12c dx x c dx x f =-=⎰⎰+∞∞-- 所以 c=1/4 (2分)
（2）p {}2
1)1(43)(0120
10
1=-==≤<-⎰⎰--dx x dx x f X (2分) （3）因为E(X)=
,0)1(1
1
243=-⎰
-dx x x (1分)
E(2X )=,5
1)1(1
12
23=
-⎰-dx x x (1分) 所以 D （X ）=[]5
1
)()(22=-X E X E （2分） 2、（1）因为1=,
),(32c dxdy y x f ⎰⎰+∞∞-+∞
∞-= 所以c=3/2（2分） 因此 ⎪⎩⎪⎨
⎧≤<≤<=.
,0,
10,20,23),(2
其它y x xy y x f (2) 因为 )(x f X =,
20,),(1≤<=⎰+∞
∞-x x dy y x f 所以 ⎪⎩⎪⎨
⎧≤<=.
,0,
20,21
)(其它x x x f X （2分） 又因为 )(y f Y =,10,3),(2≤<=⎰+∞
∞-y y dx y x f
所以 ⎩⎨⎧≤<=.
,0,
10,3)(2其它y y y f Y （2分）
（3）因为 =),(y x f )(x f X )(y f Y ,
所以 X 与Y 相互独立. （2分）
四、计算题（每题8分，共24分）
1、 10,)()1(])1[()()(1
1
1
<<+=+==∏∏∏===x x x x f L n
i i n
n
i i n
i i θθ
θθθ
（2分）
∑=++=n
i i x n L 1ln )1ln()(ln θθθ （2分）
++=1
)(ln θθθn
d L d ∑=n
i i
x 1
ln =0 （2分）
解之，得 11
ln ˆ1
-=
∑=n
i i x n θ （2分）
2、已知 .05.0,2==ασ 又因 71919
1
==∑=i i x x （2
分） 故 Z=
n
X σ
μ
- ~ N （0，1） （2分）
P{
2
ασ
μ
Z n
X <-}=1-α，
即 2
2
αασ
μσ
Z n
X Z n
X +
<<-
（2分）
代入数据，得所求区间为
69.693<μ<72.307 （2分）
3、假设
100:)100(:μμμμ≠==H H （2分）
因σ未知，故选取统计量
)1(~0
--n t n
S X μ （2分） P αμα-=⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨
⎧-<-1)1(20n t n S X 故原假设0H 的接受域为：)1(2
0-<-n t n
S X αμ （2分）
已知 n=9， 又
98.99,1,05.02===x s α 02.0,3060.2)8(0025.0=-=μX t
代入数据得：
0.02<7687.03
13060.231)8(025.0=⋅=⋅t （1分）
因此接受原假设0H ，即该天包装机工作正常。

（1分） 五、证明题（共4分）
证明：因为 B A =)(B A -Ω=A-AB 且AB A ⊂ （1分） 所以 B A P (）=P （A-AB ）=P （A ）-P （AB ） =P （A ）-P （A ）P （B ）=P （A ）[])(1B P - =P （A ）P （B ） （2分） 所以事件A 与事件B 互相独立。

（1分）。