2021年九年级数学上册同步测控优化训练(22.3实际问题与一元二次方程)
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：设盒子的高为x cm，则(24-2x)(18-2x)=24×18× 2 .
解得x1=3,x2=18（舍）.∴x=3.因此盒子的高为3米. 5.用一条长12厘米的铁丝折成一个斜边长是5厘米的直角三角形，则两直角边的长是多少？
思路分析：本题巧用勾股定理构造方程.
解：设其中一条直角边的长为x厘米，则(7-x) 2+x2=52,解得x=3厘米，则另一条直角边为4厘米.
解：设三个连续整数中间的一个数为x，则另外两个数分别为(x-1)、(x+1)，依题意，得
x(x-1)+x(x+1)+(x+1)(x-1)= 431.解这个方程得x1=12,x2=-12.x=12时，x-1=11,x+1=13.
x=-12时，x-1=-13,x+1=-11.所以三个连续整数为11，12，13或-13，-12，-11.
答案：D
4.利用墙的一边，再用13 m的铁 丝网围三边，围成一个面积为20 m2的长方形，设长为x m，可得
方程( )
A.x·(13-x)=20
13 x B.x· 2 =20
1 C.x·(13- 2 x)=20
13 2x D.x· 2 =20
13 x
13 x
思路解析：因长为x米,则宽为 2 米,于是有方程x· 2 =20.
思路分析：涉及到多位数问题，要注意通过数位上的元写出该多位数的正确形式.
解：设个位上的数为x，则十位上的数为x＋2,∴10(x+2)+x=(2x)2. ∴4x2-11x-20=0.
5 ∴x1=4,x=- 4 （舍）.
∴这个两位数为64. 4.有一块长方形的铝皮，长24 cm，宽18 cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没 盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高. 思路分析：弄清四角都截去相同的小正方形后盒子的底面形状.
D.8和10
思路解析：常规题型可直接列方程求解.设较小的正数为x，较大的为x+2,则x2+(x+2) 2=52,x1=4,x2=-
6(舍去).故所求的两个正数为4，6.
答案：C
3.如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和等于( )
A.34
B.-34
C.35或-35 D.34或-34
思路解析：两个连续偶数差2，设较小的数为x，较大的为x+2，则(x+2)x=288.解方程即可.
6.小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，
剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本
金和利息共66元，求这种存款的年利率.
思路分析：本题是近年来关于银行利率的一道新题，要弄清本金、利率、利息三者的关系.
解：设这种存款的年利率为x,则（100+100x-50）(1+ x)=66,解得x1=0.1,x2=-1.6（舍）.故这种存款的
B.4、6、8
C.-6、-4、-2或2、4、6
D.-8、-6、-4或4、6、8
思路解析：设中间的偶数为x，然后列方程得(x-2) 2+x2+(x+2) 2=56.解 得x=±4,所以这三个数分别为-
6、-4、-2或2、4、6,由于此题为选择题也可以直接验证选项.
答案：C
3.一个两位数，等于它的个位上数的2倍的平方，且个位上的数比十位上的数小2，求这个两位数.
3.某工厂计划在长24 m，宽20 m的空地中间画出一块140 m2的长方形地建造一个车间，并使剩余部
分的地一样宽，求四周剩余地的宽度(只列出方程).
思路分析：本题只需抓住相等关系：车间占地面积+四周面积=这块空地的面积.
解：设四周剩余地的宽度为x米,由题意得方程140+48x+2x（20-2x）=480.
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.若一个数和它的一半的平方和等于5，则这个数是( )
A.2
B.-2
C.2 或-2
D.以上都不对
x
思路解析：依据条件列方程即可求解.设这个数为x,可列方程x2+( 2 ) 2=5.解得x=±2.
答案：C
2.若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是( )
A.2、4、6
思路解析：解一元二次方程时，由于一元二次方程通常有两个实根，为此要根据题意对两根进行
检验，注意其根与实际背景是否相符合(如人数是整数、路程是正数等)，若不合题意或实情要将
所求根舍去.
答案：审题 设未知数 列方程 解方程 检验 作结论
2.三个连续整数两两相乘后相加得431，求这三个数.
思路分析：此题关键是依据所设写出另两个数的表达式, 再列方程求解.
答案：B
5.有一两位数，其个位和十位数字之和是14 ，交换数字位置后，得到的新的两位数比原两位数
1.若方程4x2+（a2－3a－10）x+4a=0的两根互为相反数，则a的值是( )
A .5或－2
B.5
C.－2
D.非以上答案
a2 3a 10
思路解析：抓特征:互为相反数的两数和为0.-
4
=0,得a1=5,a2=-2.
答案:A
2.两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( )
A.2和4
B.6和8 C.4和6
4.某专业户第一年养鸭4 000只，计划第三年养鸭9 000只，则平均每年应增加百分之几？
思路分析：本题不可直接设增加的百分数,宜设成纯小数.
解：设平均每年增加百分数为x，考虑第二年养鸡只数为4 000（1+x）只，由题意得方程4 000
（1+x）2=9 000.解得x1=0.5,x2=-2.5（不合题意，舍去）.所以平均每年应增加50%.
年利率为10%.
快乐时光
活学活用
美国一所法律学校，有一天考刑法.教授向学生提出的第一个问题是：“什么叫诈骗罪？”一个
学生回答说：“如果您不让我考试及格则犯诈骗罪.”教授非常诧异：“怎么解释？哪个学生能解
答这个问题.”一个学生说：“根据刑法，凡利用他人的无知而使其蒙受损失的人则犯诈骗罪.”
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
数学九年级上册同步测控优化训练
22.3 实际问题与一元二次方程
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.列方程解应用题的步骤，一般归结为如下几步；(1)____________；(2)
____________；(3)
____________；(4) ____________；(5) ____________；(6) ____________.
解得x1=3,x2=18（舍）.∴x=3.因此盒子的高为3米. 5.用一条长12厘米的铁丝折成一个斜边长是5厘米的直角三角形，则两直角边的长是多少？
思路分析：本题巧用勾股定理构造方程.
解：设其中一条直角边的长为x厘米，则(7-x) 2+x2=52,解得x=3厘米，则另一条直角边为4厘米.
解：设三个连续整数中间的一个数为x，则另外两个数分别为(x-1)、(x+1)，依题意，得
x(x-1)+x(x+1)+(x+1)(x-1)= 431.解这个方程得x1=12,x2=-12.x=12时，x-1=11,x+1=13.
x=-12时，x-1=-13,x+1=-11.所以三个连续整数为11，12，13或-13，-12，-11.
答案：D
4.利用墙的一边，再用13 m的铁 丝网围三边，围成一个面积为20 m2的长方形，设长为x m，可得
方程( )
A.x·(13-x)=20
13 x B.x· 2 =20
1 C.x·(13- 2 x)=20
13 2x D.x· 2 =20
13 x
13 x
思路解析：因长为x米,则宽为 2 米,于是有方程x· 2 =20.
思路分析：涉及到多位数问题，要注意通过数位上的元写出该多位数的正确形式.
解：设个位上的数为x，则十位上的数为x＋2,∴10(x+2)+x=(2x)2. ∴4x2-11x-20=0.
5 ∴x1=4,x=- 4 （舍）.
∴这个两位数为64. 4.有一块长方形的铝皮，长24 cm，宽18 cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没 盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高. 思路分析：弄清四角都截去相同的小正方形后盒子的底面形状.
D.8和10
思路解析：常规题型可直接列方程求解.设较小的正数为x，较大的为x+2,则x2+(x+2) 2=52,x1=4,x2=-
6(舍去).故所求的两个正数为4，6.
答案：C
3.如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和等于( )
A.34
B.-34
C.35或-35 D.34或-34
思路解析：两个连续偶数差2，设较小的数为x，较大的为x+2，则(x+2)x=288.解方程即可.
6.小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，
剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本
金和利息共66元，求这种存款的年利率.
思路分析：本题是近年来关于银行利率的一道新题，要弄清本金、利率、利息三者的关系.
解：设这种存款的年利率为x,则（100+100x-50）(1+ x)=66,解得x1=0.1,x2=-1.6（舍）.故这种存款的
B.4、6、8
C.-6、-4、-2或2、4、6
D.-8、-6、-4或4、6、8
思路解析：设中间的偶数为x，然后列方程得(x-2) 2+x2+(x+2) 2=56.解 得x=±4,所以这三个数分别为-
6、-4、-2或2、4、6,由于此题为选择题也可以直接验证选项.
答案：C
3.一个两位数，等于它的个位上数的2倍的平方，且个位上的数比十位上的数小2，求这个两位数.
3.某工厂计划在长24 m，宽20 m的空地中间画出一块140 m2的长方形地建造一个车间，并使剩余部
分的地一样宽，求四周剩余地的宽度(只列出方程).
思路分析：本题只需抓住相等关系：车间占地面积+四周面积=这块空地的面积.
解：设四周剩余地的宽度为x米,由题意得方程140+48x+2x（20-2x）=480.
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.若一个数和它的一半的平方和等于5，则这个数是( )
A.2
B.-2
C.2 或-2
D.以上都不对
x
思路解析：依据条件列方程即可求解.设这个数为x,可列方程x2+( 2 ) 2=5.解得x=±2.
答案：C
2.若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是( )
A.2、4、6
思路解析：解一元二次方程时，由于一元二次方程通常有两个实根，为此要根据题意对两根进行
检验，注意其根与实际背景是否相符合(如人数是整数、路程是正数等)，若不合题意或实情要将
所求根舍去.
答案：审题 设未知数 列方程 解方程 检验 作结论
2.三个连续整数两两相乘后相加得431，求这三个数.
思路分析：此题关键是依据所设写出另两个数的表达式, 再列方程求解.
答案：B
5.有一两位数，其个位和十位数字之和是14 ，交换数字位置后，得到的新的两位数比原两位数
1.若方程4x2+（a2－3a－10）x+4a=0的两根互为相反数，则a的值是( )
A .5或－2
B.5
C.－2
D.非以上答案
a2 3a 10
思路解析：抓特征:互为相反数的两数和为0.-
4
=0,得a1=5,a2=-2.
答案:A
2.两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( )
A.2和4
B.6和8 C.4和6
4.某专业户第一年养鸭4 000只，计划第三年养鸭9 000只，则平均每年应增加百分之几？
思路分析：本题不可直接设增加的百分数,宜设成纯小数.
解：设平均每年增加百分数为x，考虑第二年养鸡只数为4 000（1+x）只，由题意得方程4 000
（1+x）2=9 000.解得x1=0.5,x2=-2.5（不合题意，舍去）.所以平均每年应增加50%.
年利率为10%.
快乐时光
活学活用
美国一所法律学校，有一天考刑法.教授向学生提出的第一个问题是：“什么叫诈骗罪？”一个
学生回答说：“如果您不让我考试及格则犯诈骗罪.”教授非常诧异：“怎么解释？哪个学生能解
答这个问题.”一个学生说：“根据刑法，凡利用他人的无知而使其蒙受损失的人则犯诈骗罪.”
30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)
数学九年级上册同步测控优化训练
22.3 实际问题与一元二次方程
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.列方程解应用题的步骤，一般归结为如下几步；(1)____________；(2)
____________；(3)
____________；(4) ____________；(5) ____________；(6) ____________.