2019-2020学年宁夏银川一中高二(上)期中数学试卷(文科)(PDF版 含答案)

2019-2020学年宁夏银川一中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．“0x >”是“0x ≠”的()
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()
A ．x R ∀∈，||0
x >B ．0x R ∃∈，0||0x >C ．x R ∀∈，||0x D ．0x R ∃∈，0||0
x 3．椭圆22
143
x y +
=的离心率为()
A ．
72
B ．
12
C ．32
D ．
14
4．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为(
)
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．命题“若AB AC =，则ABC ∆为等腰三角形”与它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是()
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
6．椭圆22
1169
x y +
=的焦距为()
A ．10
B ．5
C 7
D ．7
7．袋中有3个白球和2个黑球，从中任意摸出2个球，则至少摸出1个黑球的概率为(
)
A ．
37
B ．
710
C ．
110
D ．
310
8．双曲线22
1169
x y -
=上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是()
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
9．集合{2A =，3}，{1B =，2，3}，从A ，B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是()
A ．
23
B ．
12
C ．
13
D ．
16
10．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为()
A ．10组
B ．9组
C ．8组
D ．7组
11．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(
)
A ．
14
B ．
8
πC ．
12
D ．
4
π12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(F c -，0)(0)c >作圆222
4
a x y +=的切线，切
点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2
OE OF OP =+
，则双曲线的离心率为()
A 10
B 10
C 10
D 2
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，⋯，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为．
14．已知命题:p x R ∀∈，21
04
x x -+<，命题0:q x R ∃∈，00sin cos 2x x +=，则p q ∨，p q ∧，p ⌝，q ⌝中是真命题的有
．
15．已知椭圆
22189
x y a +=+的离心率1
2e =，则a 的值等于．
16．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
．
三、解答题：（满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知命题:p m R ∈且10m + ，命题:q x R ∀∈，210x mx ++>恒成立，若p q ∧为假命题且p q ∨为真命题，求m 的取值范围．
18．（12分）为了了解四川省各景点在大众中的熟知度，随机对15~65岁的人群抽样了n 人，回答问题“四川省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如表．组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组[15，25)a
0.5第2组[25，35)18x
第3组[35，45)b
0.9第4
组[45，55)90.36第5组
[55，65]
3
y
（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
（3）通过直方图求出年龄的众数，平均数．
19．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表所示：
零件的个数x （个)2345加工的时间()
y h 2.5
3
4
4.5
可能用到的计算结果： 3.5x =， 3.5y =．
线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中1
22
1
ˆn
i
i
i n
i
i x y
nxy b x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-．（1）求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+；（2）试预测加工10个零件需要多少时间？
20．（12分）已知抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）求证：OA OB ⊥；
（2）当2k =时，求AB 的弦长．
21．（12分）已知2:8200p x x --<，22:210(0)q x x a a -
+-<>，若p 是q
的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
22．（12分）已知中心在原点O ，焦点在x 的椭圆过点，2
2
．（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ ∆面积的取值范围．
2019-2020学年宁夏银川一中高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．“0x >”是“0x ≠”的()
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：对于“0x >”⇒“0x ≠”；反之不一定成立，
因此“0x >”是“0x ≠”的充分而不必要条件，故选：A ．
2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()
A ．x R ∀∈，||0
x >B ．0x R ∃∈，0||0x >C ．x R ∀∈，||0x D ．0x R ∃∈，0||0
x 【解答】解：命题“有些实数的绝对值是正数”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是：x R ∀∈，||0x ，
故选：C ．
3．椭圆22
143
x y +
=的离心率为()
A ．
72
B ．
12
C ．
32
D ．
14
【解答】解：椭圆22143
x y +=，可得2a =，3b =，1c =，所以椭圆的离心率是：1
2c e a ==．
故选：B ．
4．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为(
)
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解答】解：模拟执行程序框图的运行过程，如下；0k =，13322
a =⨯=，1k =，313224a =⨯=，2k =，313428
a =
⨯=，3k =，313
8216a =⨯=，
4k =，此时满足14
a <
，所以输出的k 值为4．故选：B ．
5．命题“若AB AC =，则ABC ∆为等腰三角形”与它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是()
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
【解答】解： 原命题“若AB AC =，则ABC ∆为等腰三角形”，为真命题；∴其逆命题为：
“若ABC ∆为等腰三角形，则AB AC =”，为假命题；其否命题为“若AB AC ≠，则ABC ∆不是等腰三角形”，为假命题；∴其逆否命题为：“若ABC ∆不是等腰三角形，则AB AC ≠”，为真命题；故真命题的个数是2个故选：C ．
6．椭圆22
1169
x y +
=的焦距为()
A ．10
B ．5
C D ．
【解答】解： 椭圆方程为22
1169
x y +
=
216a ∴=，29b =，得c ==
由此，可得椭圆的焦距等于2c =故选：D ．
7．袋中有3个白球和2个黑球，从中任意摸出2个球，则至少摸出1个黑球的概率为()
A ．
3
7
B ．
710
C ．
110
D ．
310
【解答】解：所有的摸球方法共有2
510
C=种，其中没有黑球的摸法有2
33
C=种，故没有黑
球的概率为3 10．
故至少摸出1个黑球的概率为
37
1
1010 -=，
故选：B．
8．双曲线
22
1
169
x y
-=上P点到左焦点的距离是6，则P到右焦点的距离是()
A．12B．14C．16D．18【解答】解：设点P到双曲线的右焦点的距离是(0)
t t>．
双曲线
22
1
169
x y
-=上一点P到左焦点的距离是6，
|6|24
t∴-=⨯
t>
，14
t∴=．
故选：B．
9．集合{2
A=，3}，{1
B=，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是()
A．2
3B．1
2
C．1
3
D．1
6
【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有236
⨯=种分法，而两数之和为4的有：(2,2)，(3,1)两种方法，
故所求的概率为：21 63=．
故选：C．
10．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为()
A．10组B．9组C．8组D．7组
【解答】解： 数据中的最大值是40
l，最小值是51，
故该组数据的极差为1405189
-=
又 组距为0l，
89108.9
÷=
故可将该组数据分成9组，
故选：B．
11．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(
)
A ．
14
B ．
8
πC ．
12
D ．
4
π【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积2
S π=
，则对应概率248
P π
π
==，
故选：B ．
12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(F c -，0)(0)c >作圆222
4
a x y +=的切线，切
点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2
OE OF OP =+
，则双曲线的离心率为()
A 10
B ．
105
C ．
102
D 2
【解答】解：||OF c = ，||2a OE =，22
||4
a EF c ∴=-，
1()2OE OF OP =+ ，22
||4a PF c ∴=-
，||PF a '=，||||2PF PF a -'= ，2
2
224
a c a a ∴-=，∴102e =，故选：C ．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，⋯，80的80件不同产品中抽出一个容量为16
的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为78．
【解答】解：样本间隔为80165÷=，若抽出的产品中有一件产品的编号为13，则13352=+⨯，即第一组抽到的编号为3，则抽到产品的最大编号为315578+⨯=，故答案为：78
14．已知命题
:p x R ∀∈，21
04
x x -+<，命题0:q x R ∃∈，00sin cos x x +=，则p q ∨，p q ∧，p ⌝，q ⌝中是真命题的有
p q ∨，p ⌝．
【解答】解： 当1x =时211044x x -+=>，∴命题:p x R ∀∈，21
04
x x -+<为假命题，
当04
x π
=
时，0022sin cos 22x x +=+=，
故命题0:q x R ∃∈，00sin cos x x +=则p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，q ⌝为假命题，故答案为：p q ∨，p ⌝，
15．已知椭圆
22189
x y a +=+的离心率1
2e =，则a 的值等于4或54
-
．
【解答】解：当焦点在x 轴上时：则2891c a a =+-=-又 1
2
e ==4
a ∴=当焦点在y 轴上时：则2981c a a =--=-又 132
c e ==54
a ∴=-
故答案为：4或54
-
16．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
1
x =-．
【解答】解：设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，则有2112y px =，2
2
22y px =，
两式相减得：121212()()2()y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以
12
12
1y y x x -=-，所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为2，即124y y +=，所以2p =，所以抛物线的准线方程为12
p
x =-=-．故答案为：1x =-
．
三、解答题：（满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知命题:p m R ∈且10m + ，命题:q x R ∀∈，210x mx ++>恒成立，若p q ∧为假命题且p q ∨为真命题，求m 的取值范围．【解答】解：命题:p m R ∈且10m + ，解得1m - ．
命题:q x R ∀∈，210x mx ++>恒成立，∴△240m =-<，解得22m -<<．p q ∧ 为假命题且p q ∨为真命题，p ∴，q 必然一真一假．当p 真q 假时，122m m m -⎧⎨-⎩或 ，解得2m - ，
当p 假q 真时，1
22m m >-⎧⎨-<<⎩
，解得12m -<<．
m ∴的取值范围是2m - 或12m -<<．
18．（12分）为了了解四川省各景点在大众中的熟知度，随机对15~65岁的人群抽样了n 人，回答问题“四川省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如表．组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15，25)a 0.5第2组
[25，35)18x 第3组
[35，45)b 0.9第4组
[45，55)90.36
第5组[55，65]3y （1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
（3）通过直方图求出年龄的众数，平均数．
【解答】解：（1）由频率分布表得第四组人数为：9250.36
=人，由频率分布直方图得第四组的频率为0.025100.25⨯=，
251000.25
n ∴==．∴第一组抽取的人数为：1000.011010⨯⨯=人，
第二组抽取的人数为：1000.021020⨯⨯=人，
第三组抽取的人数为：1000.031030⨯⨯=人，
第五组抽取的人数为：1000.151015⨯⨯=人，
∴100.55300.927180.92030.215a b x y =⨯=⎧⎪=⨯=⎪⎪⎨==⎪⎪==⎪⎩
．（2） 第2，3，4组回答正确的人分别有18、27、9人，
从中用分层抽样的方法抽取6人，
∴第2组抽取：186218279
⨯=++人，第3组抽取：276318279⨯
=++人，第4组抽取：96118279
⨯=++人．（3）由频率分布直方图得：年龄的众数为：3545402
+=，年龄的平均数为：
200.01010300.02010400.03010500.02510600.0151041.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯=．
19．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表所示：零件的个数x （个)
2345加工的时间()y h 2.534 4.5
可能用到的计算结果： 3.5x =， 3.5y =．
线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中1221ˆn i i i n i i x y nxy b x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-．（1）求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+；（2）试预测加工10个零件需要多少时间？
【解答】解：（1）由已知得： 3.5x =， 3.5y =．
代入公式得4142214ˆ0.74i i i i i x y xy b x
x ==-==-∑∑，ˆˆ 3.50.7 3.5 1.05a
y bx =-=-⨯=，∴ˆ0.7 1.05y
x =+；（2）将10x =代入线性回归方程，
得ˆ0.710 1.058.05()y
h =⨯+=．∴预测加工10个零件需要8.05h ．
20．（12分）已知抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．
（1）求证：OA OB ⊥；
（2）当2k =时，求AB 的弦长．
【解答】解：（1）证明：由方程组2(1)y x y k x ⎧=-⎨=+⎩
，消去x 后整理得20ky y k +-=，
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
由韦达定理，得121y y =- ，
由A ，B 在抛物线2y x =-上，
211y x ∴=-，222y x =-，221212y y x x = ．
1212121212
11OA OB y y y y k k x x x x y y ====- OA OB ∴⊥．
（2）由（1）得12121121
y y k y y ⎧+=-=-⎪⎨⎪=-⎩，
可得||AB ==
==；21．（12分）已知2:8200p x x --<，22:210(0)q x x a a -+-<>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【解答】解：由28200x x -- ，解得210x - ，
即:210p x - ．
由22210(0)x x a a -+-> ，
得[(1)][(1)]0x a x a ---+ ，
即11a x a -+ ，即:11q a x a -+ ，
要使p 是q 的充分不必要条件，
则121100a a a --⎧⎪+⎨⎪>⎩
，解得9a ，a ∴的取值范围是[9，)+∞．
22．（12分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为
32
的椭圆过点，22
．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ ∆
面积的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，则
则22
2112c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩故21
a b =⎧⎨=⎩所以，椭圆方程为2
214
x y +=．（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由2214
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=，
则△22222226416(14)(1)16(41)0k b k b b k m =-+-=-+>，且122814km x x k -+=+，2122
4(1)14m x x k -=+ ．故2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++．因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以22
21212121212
()y y k x x km x x m k x x x x +++== ，即22
228014k m m k
-+=+，又0m ≠，
所以214k =，即12k =±．由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且△0>，得202m <<且21m ≠．设d 为点O 到直线l 的距离，
则1211||||||22OPQ S d PQ x x m ∆==-=，所以OPQ S ∆的取值范围为(0,1)．。