平面向量经典例题讲解

平面向量经典例题讲解
讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________
一、选择题（题型注释）
1． 空间四边形OABC 中，OA a =,OB b =, OC c =,点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的
中点，则MN =（ ）
A 121
-a b c + B 211a b c ++
C 112-a b c +
D 221
-a b c +
【答案】B 【解析】 试
题
分
析
：
因
为
N
为
BC
的中点，则
1
()
ON OB OC =+，
12()MN ON OM OB OC OA =-=+-=112
b c a +-，选B
考点：向量加法、减法、数乘的几何意义；
2．已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b
，且()+⊥a b a
，则a 与b 的夹角是（
）
（A
（B （C （D 【答案】D 【解析】
试题分析：
2
()()00a b a a b a a a b +⊥∴+⋅=∴+⋅=，||1=a ，||2=b ，设夹角为θ，则
2
112cos a a b +⋅=+⨯ 考点：本题考查向量数量积的运算
点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos θ的值，求出角 3．若OA 、
OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60
OA OB OC ++=
【答案】D
【解析】
试题分析： OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为
60°
2
2
2
2
22232cos602cos602cos60
a b c a b c ab bc ac a b b c a c ++=+++++=+++6=
6a b c ++=
考点:向量的数量积.
4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC a =，BD b =，则AF =( )
A.1142a b +
B.1233a b +
C.1124a b +
D.21
33
a b + 【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可知，AEB ∆与FED ∆相似，且相似比为3:1，所以1
DF DC =
,由向量加减法的平行四边形法则可知，,AB AD a AD AB b +=-=，解得，,a b a b
AD AB +-=
=
法的三角形法则可知，121
AF AD DF AD AB a b =+=+=+,故D 正确。

考点：平面向量的加减法
5．在边长为1的等边ABC ∆中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC
=
则AD BE ⋅
=（ ）
A
．【答案】A 【解析】
试题分析：由已知,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC = 则D 是BC 的中轴点，E 为AC 的三等分点，以D 为坐标原点，DA
所在直线为y 轴，BC 边所在直线为
x 轴，建立平面直角坐标系，
，设),
(y x E ，由
考点：平面向量的坐标运算
6．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（ ） A ．（2,4） B ．（3,5） C ．（1，1） D ．（－1，－1） 【答案】C ． 【解析】
试题分析：()(1,1)DA AD AC AB =-=--=． 考点：平面向量的线性运算．
7．已知向量()1,2a =，()
//a b b +，则b 可以为（ ）
A ．()1,2
B ．()1,2-
C ．()2,1
D ．()2,1- 【答案】A 【解析】
试题分析：设),(y x b =，则)2,1(++=+y x b a ，因()
//a b b +，所以0)2()1(=+-+y x y x ，
02=-x y ，只有A 满足
考点：向量共线的条件
8．已知向量(2,3),(1,2)a b ==-，若4ma b +
与2a b -共线，则m
的值为（ ）
A ． 2 C ．2- 【答案】D 【解析】
试题分析：由已知得4ma b +)83,42()2,1(4)3,2(+-=-+=m m m ，
2a b -)1,4()2,1(2)3,2(-=--=
又因为4ma b +与2a b -共线，
所以有228140)83(4)1()42(-=⇒-=⇒=+⨯--⨯-m m m m ， 故选D ．
考点：1．向量的坐标运算；2．向量平行的坐标条件．
9．已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→
a ,)23,(-=→
m m b ,且平面内的任一向量→
c 都可以唯一的表示成→
→
→
+=b a c μλμλ,(为实数）,则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(2,)+∞
C ．(,)-∞+∞
D ．(,2)(2,)-∞+∞
【答案】D 【解析】
试题分析：平面内的任一向量→
c 都可以唯一的表示成→
→
→
+=b a c μλμλ,(为实数）的充要条件是
)2,1(=→
a ,)23,(-=→
m m b 不共线,即()132202m m m ⨯--⨯≠⇒≠,故选 D.
考点：平面向量的基底及向量共线
10．若向量(1,2)=-a ,(2,1)=b ,(4,2)--c =,则下列说法中错误．．
的是（ ） A. a b ⊥
B. 向量a 与向量c 的夹角为90︒
C. b ∥c
D.对同一平面内的任意向量d ,都存在一对实数12,k k ,使得12k k =d b +c 【答案】D 【解析】
试题分析：022=-=⋅b a ，故A 正确；0)2()2()4(1=-⨯-+-⨯
=⋅c a ，所以B 故C 正确；因为c b ,是共线的，不能作为基底，故D 错 考点：向量的夹角
11．已知向量()3,4a =，若
，则实数λ的值为（ ）
A
．1 C ．1± 【答案】D 【解析】
试题分析：因为()3,4a =，所以
1λ=±，故选D ．
考点：1、向量的数乘运算；2、向量的模．
12．若向量()2,1a =-，()0,2b =，则以下向量中与a b +垂直的是（ ） A ．()1,2- B ．()1,2 C ．()2,1 D ．()0,2 【答案】A
【解析】
试题分析：∵向量()2,1a =-，()0,2b =，∴(2,1)a b +=，而12(2)10⨯+-⨯=，∴以下向量中与a b +垂直的是()1,2-. 考点：向量垂直的充要条件.
13．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若1
AD BE ⋅=-
则λ的值为（ ） （A
（B ）2 （C （D ）3
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意可得：
()()()
1AD BE AB BD BC CE AB BC BC CA λ⎛⎫
⋅=++=++ ⎪
211AB BC BC AB CA BC CA λλ⋅++⋅+
⋅=
考点：向量的应用.
14．已知向量(1,2)a =， (1,0)b =，(3,4)c =
，若λ为实数，
()a b c λ+
⊥，则λ=（
）
A 【答案】D 【解析】
试题分析：()1,2a b λλ+=+,因为()
a b c λ+⊥,所
以()
()31420a b c λλ+⋅=++⨯=,解得
故D 正确. 考点：向量垂直;向量的数量积.
15．在△ABC 中，已知||4,||1AB AC ==，，则AB AC ⋅的值为（ ）
（A ）2-（B ）2（C ）4±（D ）2± 【答案】D 【解析】
试题分析：由题根据三角形面积公式不难得到角A 的正弦值，然后得到其对应的余弦值，结合平面向量数量积运算求得结果.
141sin A AC AB S AC AB ===
=，，cosA AB AC AB AC ∴⋅=⨯⨯D
考点：平面向量的数量积
二、填空题（题型注释）
16．已知两个非零向量a 与b ，定义|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中
θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－
3,4)，b ＝(0,2)，则|a×b|的值为________．
【答案】6
【解析】|a|
5，|b|
2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cos θ
θ∈[0，π]，所以sin θ
故根据定义可知|a×b|＝|a|·|b|sin θ 6.
17．△ABC 中AB ＝2，AC ＝3，点D 是△ABC 的重心，则AD ·BC ＝________．
【解析】设E 为边BC 的中点，因为点D 是△ABC 的重心，所以AD ＝3AE ＝32
(AB ＋AC )3(AB ＋AC )，又BC ＝AC －AB ，所以AD ·BC ＝(AB
＋AC )·(AC －AB )＝(AC 2－AB 2
)＝18．已知a =（2,0），||3b =，,a b 的夹角为2|a b -=
【解析】
22
24416a b a a b b -=
-⋅+=-
考点：向量的基本运算.
19．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O 的表面积为48π，则异面直线AB 与OC 所成角余弦值为 .
【解析】
试题分析：过O 作BC 的垂线，垂足为M ，以MA 所在线为x 轴，以MC 所在线为y 轴，以MO 所
在线为z 轴，建立直角坐标系，所以(2,00)A ，，(0,2,0)B -，(0,2,0)C ，
，(2,2,0)BA =，(0,2,OC =
考点：1.空间向量法；2.夹角公式.
20．已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++=，则a 与c 的夹角为 ． 【答案】90︒
【解析】
试题分析：要求a 与c 的夹角一般可先求两向量的数量积a c ⋅，而()c a b =-+，因此
a c ⋅=()a a
b -⋅+=2
a a
b --⋅，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0，故a ⊥
c ，夹角为90︒．
考点：向量的夹角．
21．已知0=++c b a ，且a 与c 的夹角为︒60，
，则〉〈b a ,cos 等于 .
【解析】
试题分析：∵0=++c b a ，∴()b a c =-+，∴2
2
2
02||||cos60b a c a c =++，
∴2
2
2
3||||a a c a c =++，∴2
2
2||||0a a c c --=，∴||||a c =，
∴2
2023
()||||||cos60||a b a a c a a c a a c a ∙=-+=--∙=--=-
2
3||3
2,2||||||3||
a a
b a b a b a a -∙<>===-.
考点：1.向量的运算； 2.两向量的夹角公式.
22．已知点G 为ABC △的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM xAB =
,AN y AC = ,x y R ∈，则
【答案】3 【解析】
试题分析：根据题意画出图像，因为G 为ABC △的重心,所以
(
)211
1
1
11
A G A B
A C A M A N A M A
N ⎛⎫=⨯
+=+
=+ ⎪,因为:,,M G N 三点共线,所以所以答案为: 3． 考点：1．向量的运算；2．三点共线的性质．
23．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a
-=-=
，若//a b ，则=x ； 【答案】-6 【解析】
试题分析：由b a λ=可知，2λ=-，所以6x =-.
考点：空间向量共线定理.
24(3,1),(2,2)a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .
【解析】
(3a b λλ+=+(3a b λλ-=-
由()()a b a b λλ+⊥-得()()0a b a b λλ+⋅-
= 即0842=-λ
，解得
考点：向量的数量积的坐标运算.
25．已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】9λ<且1x ≠- 【解析】
试题分析：m a b λ=+(2,23)λλ=-++， n a b =-(3,1)=--，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则()()3(2)(23)0a b a b λλλ+⋅-=--+-+<，即：9λ<，又m n 与不共线，则
(2)λ--+3+
(23)0λ+≠,即：1λ≠-，则9λ<且1x ≠-
考点：1
．向量的夹角；2．向量的数量积；3．共线向量；4．向量的坐标运算公式；
26．已知向量b a ,满
足
，且
，则在上的投影为
_______________．
【解析】
试题分析：设a 与b 的夹角为，∵向量a ，b 满足(∴2
2
146a a b b a b +⋅+=+⋅+=，∴a b ⋅=1．∴cos θ=
a b a b
⋅⋅=
1
2
，再由π，则a 在b 上的投影为1π考点：向量的数量积。

27．若向量a 与b 满足||2a =
，||2b =
，()a b a -⊥．则向量a 与b 的夹角等于 ；
||a b += ．
【解析】
试题分析：
()a b a -⊥
，()
0a b a ∴-⋅=，2
2a a b ∴=⋅=，2,2
a b a b a b
⋅=
=
，,a b π
=
，
(
)
2
22
2a b a b
a a
b b +=
+=+⋅+=
考点：平面向量数量积的运算和性质.
28．已知向量,a b 满足()()26+--a b a b =，且，则a 与b 的夹角为 .
【解析】
试题分析：2
2
2(2)()21226a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=-，1a b ⋅=，
1,2a b a b a b
⋅>=
=
，,a b π<>=． 考点：向量的数量积与向量的夹角．
三、解答题（题型注释）
29．设D C B A ,,,为平面内的四点，且).1,4(),2,2(),3,1(C B A - （1）若,=求D 点的坐标；
（2）设向量,,b a ==若b ka -与b a 3+平行，求实数k 的值.
【答案】（1）()5,6-；（2）1
3k =-.
【解析】
试题分析：（1）两向量相等即坐标相同，设出()
,D x y 即可就得；（2）两向量()()
1122,,,a x y b x y ==平行，满足条件是1221x y x y =. 试题解析：⑴设(),D x y ．
由AB CD =，得()()()()2,21,3,4,1x y --=--，则()()1,54,1x y -=-+， 3分
所以
{41,15,x y -==-+解得{
5,6.
x y ==- 5分
所以点D 的坐标为()5,6-． 6分
⑵因为()()()2,21,31,5AB ==--=-a ，()()()4,12,22,1BC ==---=b , 8分
所以()()()1,52,12,51k k k k -=--=---a b ，()()()31,532,17,2=-=-++a b ． 10分
由k -a b 与3+a b 平行，得()()()225170k k -⨯----⨯=， 12分
所以1
3
k =-． 14分 考点：1.向量相等；2.向量共线.
30．平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM ＝BC ，CN ＝CD
，OA ＝a
，OB ＝
b ，用a 、b 表示OM 、ON 、MN .
【解析】BA ＝，BM ＝
6BA ＝66，OM ＝OB
＋BM ＝66
.OD ＝a ＋b ，ON ＝OC ＋CN ＝OD ＋OD ＝2OD ＝.MN ＝ON －OM ＝
31．（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）
的夹角为060. （1）求⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→∙→→b a b a 2 ；
（2）若⎪⎭
⎫
⎝⎛-⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→b a b a 2λ，求λ的值.
【答案】（1）-12；（2）12λ=
【解析】
试题分析：（1）由题意得cos6014a b a b ⋅=⋅=⨯ ∴()()
22
22221612a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=+-=-
（2）∵()()
2a b a b λ+⊥-，∴()()
20a b a b λ+⋅-=，
∴()2
2
220a a b b λλ+-⋅-=，∴(
)22320λλ+--=， ∴12λ=
考点：平面向量的数量积的定义的应用，平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件 点评：解决此题的关键是掌握平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件 32．（本小题满分14分）己知向量 R θ∈．
（1）若 a b ⊥，求 tan θ的值： （2）若 /
/a b ，且
θ的值．
【答案】（1
，（2【解析】
试题分析：（1
，因为cos 0θ≠
（2）先由向量平行得等量关系：
试题解析：（1）因为⊥a b ，所以=0⋅a b ，
2分
4分
因为cos 0θ≠，所以
6分
（2）由a
∥b ，得 8分
分
14分 考点：向量平行与垂直，两角和正弦及二倍角公式
33．（本题满分9分）已知向量)sin ,(cos αα=a ，)sin ,(cos ββ=b ，
（1）求cos()αβ-的值；
（2
，求sin α的值。

【答案】（1
（2
；
【解析】
试题分析：（1
变形即可得解；（2）把角变形[]()ααββ=-+，然后用恒等变形公式即得解；
试题解析：解：（1）由已知，a 2－2a ·b ＋b
2且a 2＝b 2
＝1，所以a ·b ＝
（2）由已知，0αβπ<-<，所以
[]sin sin ()ααββ=-+sin()cos cos()sin αββαββ=-+-＝
考点：向量的坐标运算及三角恒等变换。

34．已知(1,2),(cos 2m n x ==且n m x f ⋅=)(.
（1）在ABC ∆中，若1)(=A f
，求A 的大小；
（2）将)(x g 图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2
倍，得到)(x h
的图像，求)(x h 的单调减区间.
【答案】（1（2，Z k ∈. 【解析】
试题分析：（1）利用数量积公式以及二倍角公式得到关于A cos 的方程，解方程得到A cos 的值，结合角的范围，得到角A ；（2）求出)(x g ，利用三角恒等变形化为)sin()(ϕω+=x A x g 的形式，再利
用图像变换法则得到)(x h ，然后利用整体思想求其单调区间.
试题解析：（1 ∴1cos cos 2)
(2=+=A A A f ， 2分
分 ),0(π∈A 分
（2
7分
8分
，Z k ∈， ，Z k ∈ 11分 ∴)(x h ，Z k ∈. 12分 考点：1.平面向量的数量积；2.二倍角公式；3.三角恒等变换；4.三角函数的图像变换和性质.。