江西省樟树中学、高安市第二中学等六校高三上学期第一

江西省樟树中学、高安市第二中学等六校
2017届高三上学期第一次联考
数学（理）试题
一、选择题 (在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在
题后的括号内,每小题5分，共60分）
1、 已知集合}1|{2x y Z x P -=∈=，},cos |{R x x y R y Q ∈=∈=,则=（ ）
A . B. C. D. 2、函数的定义域是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3、下列函数中，最小正周期是且在区间上是增函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4、已知sin()2sin(
)2
π
παα-=-+，则（ ）
A ．
B ．
C ．或
D ．
5、 已知为的三个角所对的边，若()3sin cos sin 13cos B C C B =-，则（ ） A ．2：3 B ．4：
3 C ．3：1 D ．3：2 6、 函数在区间上的图像大致是（ ）
A B C D
7、已知函数()()2
ln x x b f x x
+-=，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8、若函数()cos 26f x x xf π⎛⎫
'=+
⎪⎝⎭
，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D.不确定
9、已知函数()2sin sin(3)f x x x ϕ=+是奇函数，其中，则函数的图像（ ） A ．关于点对称 B ．可由函数的图像向右平移个单位得到
C ．可由函数的图像向左平移个单位得到
D ．可由函数的图像向左平移个单位得到
10、如图，设区域{}(,)|02,13D x y x
y =＃-＃，向区域D 内任投一点，
记此点落在阴影区域{
}2(,)|02,11M x y x y
x =＃-＃-的概率为，
则函数有两个零点是的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件 11、定义在R 上的可导函数32
11()232
f x x ax bx c =
+++,，当x ∈（0，1）时取得极大值， 当x ∈（1，2）时，取得极小值，若恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．（2，+∞） B ．
12、定义在R 上的函数满足，当时，，则函数在上的零点个数是（ ）
A ．505
B ．504
C ．1008
D ．1009 二、填空题(每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13、已知幂函数在上单调递增，则的值为 . 14、设p ：函数＝在区间(4，＋∞)上单调递增；q ： <1，
如果“p ”是真命题，“p 或q ”也是真命题，则实数的取值范围为 . 15、在中，内角的对边分别为,若的面积为,且, 则等于 .
16、函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，，为两点间距离，定义为曲线在点与点之间的“曲
率”，
给出以下命题： ①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数； ②函数2
()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点之间的“曲率”； ③函数图像上两点与的横坐标分别为1,2，则“曲率”； ④设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，
实数的取值范围是。

其中正确命题的序号为_____________(填上所有正确命题的序号)。

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤) 17、(本小题满分10分）已知集合211
{|
2128},{|log ,[,32]}48
x A x B y y x x =≤≤==∈， （1）求,
（2）若，且，求实数的取值范围。

18、（本小题满分12分）在中,角所对的边分别为，已知1
4,cos 2
a b A ===-
， (1)求角的大小；
（2）若2()cos 2sin (),2
c f x x x B =++，求函数的单调递增区间
19、（本小题满分12分）如图，某小区准备在一直角围墙内的空地上植造“绿地”，
其中，长可根据需要进行调节（足够长），现规划在内接正方形内种花，其余地方种草，设种草的面积与种花的面积的比为.
（1）设角，将表示成的函数关系；
（2）当为多长时，有最小值，最小值是多少？ 20、（本小题满分12分）已知函数在上是奇函数．
（1）求； （2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）令，若关于的方程有唯一实数解，
求实数的取值范围．
21、（本小题满分12分）已知函数()()()
sin 0,0,0,f x A x b A b ωϕωϕπ=++>><<为常数的
一段图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）函数在轴右侧的极小值点的横坐标组成数列，
设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项， 试求数列的前项和．
22、 （本小题满分12分）设． （1）求证：当时，；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1-5ABDBC, 6-10BBCCD, 11-12DA
13. 0 14．a >4 15. 16. ①②
17.【解析】，
， （2）{}
73≤≤-=x x B A , 18、解：（Ⅰ）由得 由 得 ,又， 得 （Ⅱ）由余弦定理
可得
=
由得所以，函数的对称轴为
由，得
所以所求函数的单调递增区间为
19. 解：（1）21tan ,tan ((0,))22
ABD
BD a S
a π
θθθ==
∈………………………2分
设正方形BEFG 的边长为t,
tan ,1tan FG DG a t AB DB θ
θ
==
+ ………………………4分 222122
2tan (1tan )11
,1(tan )(1tan )2tan 2tan s a S y s θθθθθθ
+===-=++………………8分 (2)tan 1
122tan y θθ
=
+≥，当且仅当时，等号成立； 此时，最小值为1．………………12分
20.（1）因为()(),1(1)2121
x x a a
f x f x -=-
=--++即,所以 （2）
221
()12121
x x x f x -=-=++，21(0,1],()0,21()x x x f x s f x -∴∀∈>≥
=+故 所以max(21),(0,1]x
s x ≥+∈，即
（3）因为121
()()12
x g x f x +==--，(2)(1)0(2)(1)g x mg x g x mg x -+=⇒=+
即；，所以222210x x m m -+-=（） 因为关于的方程有唯一实数解， 所以方程（）有且只有一个根， 令，则方程（）变为有且只有一个正根，
①方程有且只有一个根且是正根，则2
2
4444(1)0m m m m ∆=+-=+-= 所以，当时，方程的根为满足题意； 当时，方程的根为不满足题意- ②方程有一正根一负根，则，所以
③方程有一正根一零根，则，所以，此时满足题意综上，的范围为或
21.（1）由图可知，
()
51523,22A b +-=-==
=，
因为，所以，由“五点法”作图，，解得，
所以函数的解析式为()3sin 22
6f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭．
（2）易知为等差数列，设其公差为，则， 又函数在轴的右侧的第一个极值点横坐标为，
则有，得，所以
()21133n a n n πππ⎛
⎫=
+-=- ⎪⎝
⎭， 221
1
1111
1111113333n n a a n n n n ππ+⎛⎫
⎪==- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-+--+- ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭， 所以22
11111
11191111116412231333333n n
S n n n n π⎛⎫
⎪=-+-++-=⋅ ⎪+ ⎪-----+-⎝
⎭
． 22.（Ⅰ）证明：，则， 设，则，
当时，，即为增函数，所以， 即：在时为增函数，所以． （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知时，，，
所以2cos sin 12
2
+-≥++x x x x ， 设，则，设，则， 当时，所以为增函数， 所以，所以为增函数，所以， 所以对任意的恒成立.又，时，， 所以时对任意的恒成立.
当时，设2cos sin )(-+-=x x e
x h ax
，则x x ae x h ax sin cos )('--=，
，所以存在实数，使得任意，均有，所以在为减函数，所以在时，所以时不符合题意. 综上，实数的取值范围为.
（Ⅱ）解法二：因为等价于ln(sin cos )ax x x ≥-+2
设()ln(sin cos )g x ax x x =--+2，则sin cos ()sin cos x x
g x a x x +'=-
-+2
可求
sin cos [,]sin cos x x
x x +∈--+112
，
所以当时，恒成立，在是增函数， 所以，即ln(sin cos )ax x x ≥-+2，即 所以时，对任意恒成立． 当时，一定存在，满足在时，， 所以在是减函数，此时一定有，
即ln(sin cos )ax x x <-+2，即，不符合题意， 故不能满足题意，
综上所述，时，对任意恒成立．。