凸二次规划SDP松弛解的存在性证明

重庆工商大学学报！自然科学版)
J Chongqing Technol&Business UnH(Nat Sei Ed)2020年6月Jun.2020
第37卷第3期
Vol.37No.3
doi：10.16055/j.Hsn.1672-058X.2020-0003-010
凸二次规划SDP松弛解的存在性证明
张思颖
(重庆师范大学数学科学学院，重庆401331)
摘要:针对利用CVX软件求解半定规划问题的有效性依赖于该半定规划问题的原始-对偶性,提出利用半定规划问题的强对偶定理和GershyoOn圆盘定理证明在箱子约束及单位球形约束下的凸二次规划问题的半定规划松弛模型解的存在性。

该证明方法为嵌入了SeDuMi和SDPT3这两种内点算法的CVX软件提供了有效求解半定规划松弛模型的理论依据;一旦利用该方法证明了半定规划问题解的存在，必然可利用CVX软件有效求解。

关键词：二次规划；强对偶定理；GershyoOn圆盘定理
中图分类号：0224文献标志码:A文章编号：1672-058X(2020)03-0066-04
0引言
二次规划是连续优化理论的基础问题，同时也被认为是最具挑战的组合优化问题之条T
*二次规划问题自半定规划(SDP)松弛方法提出以来在连续和组合优化领域得到了广泛的重视和研究[3_4]*本文将考虑两种特殊约束即箱子约束(式(1))和单位球形约束(式(2))下的凸二次规划问题SDP问题的解的存在性*
=bx=min2f(x):=X T gx+2c T x]s.y X%[-,1)%
(1)
=bn l=min{f(x):=lQx+2%x}s.i.X T X(1(2)
其中c%R%,Q%R%”为对称半正定矩阵*不失一般性，本文假设Q为对角矩阵，即
Q=<=(,g("1,•••,"%)
其中
0("1("(•••("%
SDP问题的解存在并不能确保它就能利用CVX进行有效求解*众所周知，用于求解半定规划CVX软件的两个核心算法SeDuMi和SDPT3都是利 用内点算法法行设计的,这两种算法均是通过问题的原始-对偶信息来判断一个SDP问题是否是超定的、不可行的、无界的、不精确的、可解的和求解失败的*确切地说，利用CVX求解一个SDP问题的有效性依赖于SDP的原始和对偶的可行性、正交性和严格互补条件*如果一个SDP问题满足原始和对偶严格可行性,就能从理论上保证CVX给出其满足任意精度的解*否则，即便一个SDP问题存在最优解，也不能确保CVX能够有效求解，具体的例子可以参见文献[5]中的例4.1*
本文将利用SDP的强对偶定理和Gershyorin圆盘定理证明式(1)(2)两种凸二次规划问题SDP松方优的在在性*
1预备知识
在本文中，用R表示全体实数,R%是%维欧几里得空间,R：表示数"中分量为非负数的向量集合, R：+表示数"中分量全为正数的向量集合*x T表示列向量x的转置，下标变量x=表示向量x的第=个分量或者一个实数，而上标变量x则表示欧几里得空间的一个向量;S%表示%x%实对称矩阵集合,X& 0(x>0)表示X是正半定矩阵(正定矩阵)；1=表示
收稿日期：2019-09-16；修回日期：2019-10-11,
基金项目：重庆师范大学2019年研究生科研创新项标YKC19003).作者简介:张思颖(1995-,女，四川绵竹人，硕士，从事半定规划研究.
第3期张思颖：凸二次规划SDP松弛解的存在性证明67
矩阵M第)亍第j列元素*[•，-]为引"中两向量的内积或两矩阵的Fwbenious内积。

引理1[6](半定规划的强对偶定理)如果原始半定规划及其拉格朗日对偶半定规划都严格可行,则它们的对偶间隙为0,且原始最优解和对偶最优解都可达
*
引理2[7](GershgoWn圆盘定理)令5= (Z)%*%是一个复矩阵，41=)Z丨是第i行中非对角项的绝对值之和,X(A u,4J为以4,为半径, Z为中心的封闭圆盘，则5的每个特征值至少在一个圆盘X(Z,4)中*
2箱子约束下凸二次规划SDP松弛解的存在性
■Q%
设5=冷,对所有x%F%+设X=xx T,且
%0.
x”+1=l,则式(1)等价于
min[5,X] ,s.t.x$(x”+1,”+1J=l,2,•••,%
x”+1,”+1=1,X&0,rank(X)=1
松弛式(3)的秩-1约束,得到式(1)的SDP松弛模型：
min[5,X]
s.t.x(x”+1,”+1J=l,2，…，”
x”+1,”+1=l,x&0(4)接下来利用引理1和引理2给出SDP松弛问题式(4)解的存在性证明*
定理1%&2时箱子约束下的SDP松弛问题式(4)和它的对偶问题式(5)都至少有一个最优解，且具有相同的最优值
*
证明首先令
%+1,%+1=1
则有
「11
—i0
X=2>0
一01“1_
x=+<l=x”+1,”+1J=1,2,…,％
因此1是SDP松弛问题式(4)的一个严格可行解，即问题式(4)是严格可行的*
再令
%
：1(X,%)=[5,X]+)2([',X]-
&1
['”+1,X])+2”+1(['”+1,X]-1)+
2”+2(1-['”+1,X])
其中％=(21,2，…，2+2)T%町2%S”+为第/个主对角元素为1,其余元素全为0的对角矩阵
*
那么对偶函数
+1(%)=.h：1(X，%)=
x&0
”
rA%+2-A%+1,5+)'-'”+1)+(A%+1-A%+2)'”+1&0 i-8，否则
因此半定规划问题式(4)的拉格朗日对偶问题如下：
mg x(2%+2-2”+1)
”
S..5+)2='一'”+1)+
&1
(入”+1-入”+2)'”+1&0,%%F+(5)由引理1,只需证明存在％%F：+使得矩阵5+
n
)'-'+1)+(入”+1-2”+)'”+1%S%+1是正
&1
定矩阵，就可以完成证明*将在下面证明存在一个%%R"+,使得该矩阵所有实特征值都是正数*也就是得证对偶问题式(5)有一个严格可行解*
因为
”
5+)'-'”+1)+(入”+1-入”+2)'”+1二&1
Q+)%
&1
”
%2%+1-2%+-)2
L J=1」
所以需要利用引理2验证如下系统的可行性："+2丿>I*I=1,2,•••,%
%%
'A%+1-2%+-)2>)|*
&=&=
'X B>0,B=1,2,…,％+2
其中*为向量％的第丿个分量*
先令*=max2I>>,"=mH{"&J=1,2,…，%*再进一步验证如下系统的可行性：
2>--"j==,2 ,•••,%
入”+1-2”+2
”
-)2>虑
&1
'2B>0,B=1,2,•••,%+2
2二|c-"\+1J二1,2,…，
％
68重庆工商大学学报！自然科学版)第37卷
2+1=%(2c+"+2),2+2=】
则％=(21，…,2+2)T是上述系统的可行解，因此矩%
阵5+)2&'—'%+1)+(入％+1—2%+2)'%+1是严&1
格对角占优的。

根据引理2知该矩阵的所有特征值都是正数,即矩阵为正定矩阵。

因此SDP松弛模型式(4)和它的拉格朗日对偶问题式(5)都至少有一个最优解。

由引理1知它们有相同的最优值。

3单位球形约束下凸二次规划SDP 松弛解的存在性
■Q%
设A=%,对所有x%R%+设X=xx T,
*”+1=1,对秩-约束进行松弛，则式(2)的SDP松弛模型如下：
min[A,X)
s-.M11+M22+…+M””(M”+1,”+1
M”+1,”+1=1
X&0(6)接下来利用引理1和引理2给出SDP松弛模型式(6)解的存在性证明。

定理2单位球约束下的SDP松弛问题式(6)和它的对偶问题式(7)都至少有一个最优解,且具有相同的最优值。

证明首先令
X=^=”+，&1,2'…'”
.M”+1,”+1=1
—「丄I0]
则有X=n+1"”"”X1>0,且
一01X1_
M11+M22+1+M””=”+1<1=M”+1,”+1
因此,X是SDP松弛问题式！6)的一个严格可行解,即问题式(5)是严格可行的*
再令
：2(M,2)=[A,X]+21()['&X)-['”+1,X])+
2(['”+1,X]-)+2(1i['”+1,X])其中％=(21，…,2)T%R+,'%S"+为第丿个主对角元素为1,其余元素全为0的对角矩阵。

那么对偶函数
+2(%)=mp：2(X,%)=
2—2
”
A+入1)'+(-入1+入2—
“&1
入3)'”+1&0
、-S，否则
因此半定规划问题式(6)的拉格朗日对偶问题如下：
max(23—22)
”
s.t.A+21)'&+
&1
(-2+2-2)'”+1&0,%%R I(7)由引理1,只需证明存在％%R++,使矩阵A+”
2)'+(-'1+入2-入3)'”+1是正定矩阵，就可
&E1
以完成证明*将在下面证明存在一个正％R++,使得该矩阵所有实特征值都是正数*也就是证明对偶问题式(7)有一个严格可行解*
又因为矩阵
”
A+入1)'+(—入1+入2—2)'”+1=
&E1
Q+入1'”w”C
%T—21+22—23
所以需要利用引理2验证如下系统的可行性：
"+入1>'*'J=1,2,…，％
”
<-入1+入2一2>)'+
&1
>0,e=1,2,…，3
其中+为向量％的第丿个分量*
首先令c=max21*(,"=min{"&,J=1,2，…,”，然后再进一步验证如下系统的可行性：
■入1>j一"
-21+22-23>”*
A e>0,e=1,2,3
再令
入1二|+-"|+1,入2=(”+1)++"+3,入3=1则可知％二(21，…,2)T是上述系统的可行解，因此
”
矩阵A+2)'+(-2+2-入3)'”+1是严格对&1
角占优的*根据引理2知该矩阵的所有特征值都是正数，即矩阵为正定矩阵*因此SDP松弛模型式(6)和它的拉格朗日对偶问题式(7)都至少有一个最优解*由引理1知它们有相同的最优值*
第3期张思颖：凸二次规划SDP松弛解的存在性证明69
4总结
本文考虑了箱子约束和单位球形约束这两种约束条件下的二次规划问题。

引机了一种新的办法证明两种约束下二次规划问题的SDP松弛解的存在性。

一旦用该方法证明了SDP模型解的存在性，必然可利用CVX软件有效求解。

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The Existonee Proot ot the Solutien of SDP Relaxatien for
Con v ex Quadrotic Progrom
ZHANG Si-ying
(School of Mathematical Science,Chongqing Normal Universitx,Chongqing401331,China)
Abstract:Because tha problem of quadratic program has received extensive attention and resexmh H tha fielU of continuous and combinatorial optimization since Ha semi-deVnite planning(SDP)relaxation method was proposed,because Ha effectivanes of Ha solution of SDP by using CVX soXwce relias on tha primal SDP and dual SDP,this paper proposes te use Ha strong duality theorem and Gershgorin cimla theorem te prove Ha existence of Ha solution of SDP relaxation model of convex quadratic program under Ha condition of boa constraints and uni-spherical constraints.Tha new proof method of Ha existence of Ha solution of Ha SDP Uys Ha theoretical foundation of Ha effectivenes for solving Ha SDP relaxation model by Ha CVX soXwaro with Ha two kinds of interior point algorithms of SeDuMi and SDPT3.Once this method is used te prove Ha existence of Ha solution of SDP,it is necessay te use CVX software te receive eVective solution.
Key wonis:quadratic program%strong duality theorem%Gershgorin circle theorem
责任编辑:李翠薇
引用本文/Cite this paper:
张思颖•凸二次规划的SDP松弛的解的存在性证明[J].重庆工商大学学报！自然科学版),2020,37(3):66—69
ZHANG S Y.The Existence Proof of He Solution of SDP Relaxation for Convea Quadratic Program[J].Journal of Chongqing Technology and Business University(Natural Science Edition),2020,37(3)：66—69。