2021高考数学(理)大一轮复习第八篇 平面解析几何第三课时 定点、定值、存在性专题

第三课时定点、定值、存在性专题
[选题明细表]
知识点、方法题号
定点问题3,4
定值问题2,6
存在性问题1,5,7
1.已知抛物线C:y=2x2,直线l:y=kx+2交C于A,B两点,M是AB的中点,过M作x轴的垂线交C于N点.
(1)证明:抛物线C在N点处的切线与AB平行;
(2)是否存在实数k,使以AB为直径的圆M经过N点?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0. 所以x1+x2=,x N=x M=,
所以N(,).
因为(2x2)′=4x,
所以抛物线在N点处的切线斜率为k,
故该切线与AB平行.
(2)解:存在.
假设存在实数k,使以AB为直径的圆M经过N点,
则|MN|=|AB|.
由(1)知y M=(y1+y2)=(kx1+kx2+4)=+2,
又因为MN垂直于x轴,
所以|MN|=y M-y N=,
而|AB|=|x 1-x2|·
=·,
所以·=,
解得k=±2.
所以存在实数k=±2使以AB为直径的圆M经过N点.
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.
(1)解:由题意知,a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
因为c==,
所以椭圆C的离心率e==.
(2)证明:设P(x 0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.
因为A(2,0),B(0,1),
所以直线PA的方程为y=(x-2),
令x=0,得y M=-,
从而|BM|=1-y M=1+.
直线PB的方程为y=x+1,
令y=0,得x N=-,
从而|AN|=2-x N=2+.
所以四边形ABNM的面积
S=|AN|·|BM|
=(2+)·(1+)
=
=
=2,
所以四边形ABNM的面积为定值2.
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为其左、右焦点,P为椭圆C上一点,且△F 1PF2的周长为4+2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点A(4,0)作关于x轴对称的两条不同的直线l1,l2,若直线l1交椭圆C于一点M(x1,y1),直线l2交椭圆C于一点N(x2,y2),x1≠x2,证明:直线MN过定点.
(1)解:根据椭圆的离心率为,及△F 1PF2的周长为4+2,
可得解得
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:设直线MN的方程为x=ny+m(n≠0).
联立方程组
整理得(n2+4)y2+2nmy+m2-4=0,
所以y1+y2=,y1y2=.
因为过点A(4,0)的关于x轴对称的两条不同直线l1,l2的斜率之和为0,
所以+=0,
即+=0,
所以2ny1y2+m(y1+y2)-4(y1+y2)=0,
所以-+=0,所以m=1.
所以直线MN的方程为x=ny+1,
所以直线MN过定点(1,0).
4.已知圆O:x2+y2=4,点 F(1,0),P为平面内一动点,以线段FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)M,N是曲线C上的动点,且直线MN经过定点(0,),问在y轴上是否存在定点Q,使得∠MQO=∠NQO?若存在,请求出定点Q;若不存在,请说明理由.
解:(1)设PF的中点为S,切点为T,连OS,ST,则|OS|+|SF|=|OT|=2,取F关于y轴的对称点F′,连F′P,故|F′P|+|FP|=2(|OS|+|SF|)=4. 所以点P的轨迹是以F′,F为焦点,长轴长为4的椭圆.
其中,a=2,c=1,b=,曲线C的方程为+=1.
(2)存在.
假设存在满足题意的定点Q,
设其坐标为(0,m).
当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为
y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2).由
消去y,得(3+4k2)x2+4kx-11=0.
由于直线l恒过椭圆内一点(0,),
故Δ=(4k)2+44(3+4k2)>0,
由根与系数的关系得x1+x2=,x1·x2=,
由∠MQO=∠NQO,得直线MQ与NQ的斜率和为零,
故+=+
==0,
则2kx1x2+(-m)(x1+x2)=2k·+(-m)·==0,则m=6.
所以Q的坐标为(0,6).
当斜率不存在时(0,6)也符合题意.
故存在定点Q(0,6),使得∠MQO=∠NQO.
5.已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上的点到左焦点的最小值为2-.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)已知直线x=1与x轴交于点M,过点M的直线AB与Γ交于A,B两点,点P为直线x=1上任意一点,设直线AB与直线x=4交于点N,记PA,PB,PN的斜率分别为k1,k2,k0,则是否存在实数λ,使得k1+k2=λk0恒成立?若存在,请求出λ的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)椭圆上的左顶点到左焦点的距离最小为2-=a-c,
依题意得解得
故椭圆Γ的方程为+y2=1.
(2)存在.
M(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),P(1,t).
若直线AB与x轴不重合,设直线AB的方程为x=my+1,则点N(4,),k0=,
将x=my+1代入椭圆方程整理得
(m2+4)y2+2my-3=0,显然Δ>0,
则y1+y2=-,y1y2=-,
k1+k2=+
=
=
=
=
=
=2·=2k0.
若直线AB与x轴重合,则B(-2,0),A(2,0),N(4,0),
此时k 1+k2=+=-t,
而k0=-t,故k1+k2=2k0.
综上所述,存在实数λ=2符合题意.
6.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且C过点(,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设B1,B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点,P是椭圆上异于B1,B2的任意一点,过点P作PM⊥y轴于M,N为线段PM的中点,直线B2N与直线y=-1交于点D,E为线段B1D的中点,O为坐标原点,则·是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
解:(1)由题意知焦距为2,所以c=,
又因为椭圆过点(,),
把此点坐标代入椭圆方程得+=1,
又因为a2=b2+c2,解得a=2,b=1,
故所求椭圆C的方程是+y2=1.
(2)是定值.
设P(x 0,y0),x0≠0,则M(0,y0),N(,y0),
因为点P在椭圆C上,+=1,即=4-4,
又B2(0,1),所以直线B2N的方程为y-1=x,
令y=-1,得x=,所以D(,-1),
又B1(0,-1),E为线段B1D的中点,
所以E(,-1),
所以=(,y 0),=(-,y0+1),
所以·=[-]+y 0(y0+1)
=-++y 0
=1-+y0
=1-y0-1+y0=0,
故·为定值0.
7.已知椭圆方程C:+=1(a>b>0),椭圆的右焦点为(1,0),离心率为e=,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点,且k OA·k OB=-.
(1)求椭圆的方程及△AOB的面积;
(2)在椭圆上是否存在一点P,使OAPB为平行四边形?若存在,求出|OP|的取值范围;若不存在,说明理由.
解:(1)由已知c=1,=,
所以a=2,
所以b2=a2-c2=3.
所以椭圆的方程为+=1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则A,B的坐标满足
消去y,化简得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, x1+x2=-,x1x2=,
b2-4ac>0得4k2-m2+3>0,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2+km(-)+m2
=.
因为k OA·k OB=-,
所以=-,
即y1y2=-x1x2,
所以=-·,即2m2-4k2=3,
因为|AB|=
=
=
=.
O到直线y=kx+m的距离d=,
所以S△AOB=d|AB|
=
=
=
=.
(2)不存在.理由如下:
若在椭圆上存在P使OAPB是平行四边形, 则=+,
设P(x0,y0),
则x0=x1+x2=-,
y0=y1+y2=,
由于P在椭圆上,
所以+=1,
即+=1,
化简得16k2m2+12m2=(3+4k2)2.①
由k OA·k OB=-,知2m2-4k2=3.②
联立方程①②知m=0,
故在椭圆上不存在P使OAPB为平行四边形.。