2019-2020学年湘教版初三数学下学期第二章圆单元测试题(含答案)

第2章圆
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
1．如图1，正三角形ABC内接于⊙O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与点A，B重合，则∠BPC的度数为( )
图1
A．30°B．60°C．90°D．45°
2．下列说法正确的是( )
A．长度相等的弧叫等弧
B．平分弦的直径一定垂直于该弦
C．三角形的外心是三条角平分线的交点
D．不在同一直线上的三个点确定一个圆
3．如图2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，则∠ADB的度数为( )
图2
A．45°B．25°C．22.5°D．20°
4．如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B＝135°，则劣弧AC的长为( )
图3
A．8 2 B．4 2 C．2πD．π
5．数学课上，老师让学生利用尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条
直角边BC＝a.小明的作法如图4所示，你认为这种作法中判定∠ACB是直角的依据是( )
图4
A．有两个锐角互余的三角形是直角三角形
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
6．今年寒假期间，小芮参观了中国扇博物馆，图5是她看到的折扇和团扇．已知折扇的骨柄长为30 cm，扇面的宽度为18 cm，折扇张开的角度为120°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为( )
图5
A．6 7 cm B．8 7 cm C．6 6 cm D．8 6 cm
7．如图6，点A，B，C在⊙O上，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∠B＝30°，OP＝3，则AP的长为( )
图6
A．3 B.3
2
C.
2 3
3
D.
3 3
2
8．如图7，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，连接OD，OC.有下列结论：①∠DOC＝90°；②AD＋BC＝CD；③S△AOD∶S△BOC
＝AD2∶AO2；④OD∶OC＝DE∶EC；⑤OD2＝DE·CD.其中正确的有( )
图7
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
9．如图8所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作________个．
图8
10．已知直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为________cm.
11．已知⊙O的内接正六边形的周长为18 cm，则这个圆的半径是________cm.
12．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图9所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为________mm.
图9
13．如图10，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC 的外心，则点C的坐标为________．
图10
14．如图11，将一块长为4 cm，宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2时共走过的路径长为________cm.(结果保留π)
图11
三、解答题(本大题共4小题，共44分)
15．(10分)如图12, 在△ABO中，OA＝OB，C是边AB的中点，以点O为圆心的圆过点C.
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若∠AOB＝120°，AB＝43，求⊙O的面积．
图12
16．(10分)如图13，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，交BC 于点E .
(1)求证：BE ＝CE ；
(2)若BD ＝2，BE ＝3，求AC 的长．
图13
17．(12分)如图14，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为劣弧CD ︵
上任意一点(不与点C ，D 重合)，连接DE ，AE .
(1)求∠AED 的度数；
(2)如图②，过点B 作BF ∥DE 交⊙O 于点F ，连接AF ，AF ＝1，AE ＝4，求DE 的长度．
图14
18．(12分)如图15，已知直线y ＝－2x ＋12分别与y 轴，x 轴交于点A ，B ，点M 在y 轴上，以点M 为圆心的⊙M 与直线AB 相切于点D ，连接MD .
(1)求证：△ADM ∽△AOB .
(2)如果⊙M 的半径为2 5，请写出点M 的坐标，并写出以点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－52，292为顶
点，且过点M 的抛物线的函数表达式．
(3)在(2)的条件下，在此抛物线上是否存在点P ，使以P ，A ，M 三点为顶点的三角形与△AOB 相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
图15
答案
1． B 2．D 3． C 4． C 5． B 6． A 7． D 8．C 9． 3
10．5 11.3
12． 8
13． (7，4)或(6，5)或(1，4)
14.7π2
15．解：(1)证明：连接OC.∵在△ABO中，OA＝OB，C是AB的中点，∴OC⊥AB.
∵以点O为圆心的圆过点C，
∴AB与⊙O相切．
(2)∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°.
∵AB＝4 3，C是边AB的中点，
∴AC＝1
2
AB＝2 3，
∴OC＝AC·tan A＝2 3×
3
3
＝2，
∴⊙O的面积为π×22＝4π. 16．解：(1)证明：连接AE，如图．∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，而AB＝AC，
∴BE＝CE.
(2)连接DE，如图．
∵BE＝CE＝3，
∴BC＝6.
∵∠BED＋∠DEC＝180°.∵∠DEC＋∠DAC＝180°，∴∠BED＝∠BAC，∠DBE＝∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴BE
BA
＝
BD
BC
，
即
3
BA
＝
2
6
，
∴AB＝9，∴AC＝AB＝9.
17．解：(1)如图①，连接OA，OD. ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝1
2
∠AOD＝45°.
(2)如图②，连接CF，CE，CA，作DH⊥AE于点H. ∵BF∥DE，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE.
∵∠CFA＝∠AEC＝90°，∠AED＝∠BFC＝45°，∴∠DEC＝∠AFB＝135°.
∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，
∴AF＝CE＝1，
∴AC＝AE2＋CE2＝17，
∴AD＝
2
2
AC＝
34
2
.
∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°，∴DH＝HE，设DH＝HE＝x.
在Rt△ADH中，
∵AD 2＝AH 2＋DH 2，∴34
4
＝(4－x )2＋x 2， 解得x ＝32或x ＝5
2.
∵DE ＝2DH ， ∴DE 的长度为
3 22或5 2
2
.
18．解：(1)证明：∵AB 是⊙M 的切线，D 是切点， ∴MD ⊥AB ，∴∠MDA ＝90°＝∠AOB . 又∵∠MAD ＝∠BAO ，∴△ADM ∽△AOB .
(2)设M (0，m )，由直线y ＝－2x ＋12得OA ＝12，OB ＝6，则AM ＝12－m ，而
DM ＝2 5.
在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋62＝6 5. ∵△ADM ∽△AOB ， ∴
AM AB ＝DM
OB
， 即
12－m 6 5
＝2 5
6，
解得m ＝2，
∴M (0，2)．设顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，292的抛物线的函数表达式为y ＝a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋522＋
292，将点M 的坐标代入，得a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0＋522＋292＝2，解得a ＝－2，∴抛物线的函数表
达式为y ＝－2⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋522＋292.
(3)存在．①当顶点M 为直角顶点时，M ，P 两点关于抛物线的对称轴(直线x ＝－5
2
对称)，此时MP ＝5，AM ＝12－2＝10，AM
MP ＝21，符合题意，此时点
P 的坐标为(－5，2)；
②当顶点A 为直角顶点时，点P 的纵坐标为12，代入抛物线的表达式，得－2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋522＋292＝12，解得x ＝－52±52，此时AP ＝52±52，AM ＝10，不符合题意； ③当顶点P ′为直角顶点时，则由相似三角形的性质可设P ′的坐标为(n ，－2n ＋2)或(－2m ，m ＋2)．若P ′(n ，－2n ＋2)，则－2n －1
2n ＝10，解得n ＝－4；
当x ＝－4时，y ＝－2×⎝ ⎛
⎭⎪⎫－4＋522＋292＝10，－2n ＋2＝10，符合题意．若P ′(－
2m ，m ＋2)，则4m ＋m ＝10，解得m ＝2，当x ＝－2m ＝－4时，y ＝－2×⎝ ⎛
⎭⎪
⎫－4＋522＋29
2＝10，m ＋2＝4，不符合题意．综上所述，符合条件的点P 的坐标为(－5，2)，(－4，10)．。