2023-2024学年湖北省黄冈市部分普通高中高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年湖北省黄冈市部分普通高中高三（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题5分，共8小题40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．已知复数z 满足z =z +2i ，则复数z 的虚部为（ ） A ．i
B ．1
C ．﹣i
D ．﹣1
2．已知集合A ＝{x |a ﹣1＜x ＜a +2}，B ＝{x |x 2﹣6x +5＜0}，若A ∩B ＝{x |a ﹣1＜x ＜5}≠∅，则a 的取值范围是（ ） A ．[3，+∞）
B ．[2，+∞）
C ．[3，6）
D ．[2，6） 3．已知向量a →
=(−1，2)，b →
=(1，2)，设a →
，b →
的夹角为θ，则sin(3π
2−θ)=（ ） A ．−35
B ．35
C ．−45
D ．45
4．在平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别在线段AB 和CD 上，满足AM →
=λMB →
，CN →
=λND →
，若MN →
=
−12
AB →
+AD →，则实数λ＝（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
5．大美黄冈，此心安处．在这里，东坡文化独领风骚；在这里，红色文化光耀中华；在这里，戏曲文化绚丽多姿；在这里，禅宗文化久负盛名．现有甲乙两位游客慕名来到黄冈旅游，都准备从H ，G ，L ，Y 四个著名旅游景点中随机选择一个游玩，设事件A 为“甲和乙至少一人选择景点G ”，事件为B “甲和乙选择的景点不同”，则条件概率P （B |A ）＝（ ） A ．67
B ．37
C ．78
D ．
7
16
6．数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝﹣1，a n a n +2＝﹣1，设b n ＝a n a n +1，则数列{b n }的前10项和为（ ） A ．1
B ．0
C ．5
D ．﹣5
7．若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式(√x 3
+12x
)n
的展开式的常数项是（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．10
8．已知函数f(x)=√|x +1|−√|x −1|，则下列命题正确的是（ ） A ．∃x ∈R ，使得f （x ）+f （﹣x ）＞0
B ．方程f （x ）＝m 有两个不同实根，则实数m 的取值范围是（﹣1，1）
C ．∃x ∈（0，1），使得f （x ）＝f （2﹣x ）
D ．若f （a ）≥f （2﹣a ），则实数a 的取值范围是[1，+∞）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知实数a 、b 满足a ＞|b |，则下列不等式正确的是（ ） A ．a +b ＞0 B ．a 3＞b 3
C ．
1a+b
＞
12a
D ．若ab ＝﹣1，则1a −1b ＜4
a−b
10．下列命题中是真命题的有（ ） A ．若2x ＝3，3y ＝8，则xy ＝3
B ．若0＜a ＜1，b ＜﹣1，则函数y ＝a x +b 的图象必定不经过第一象限
C ．在△ABC 中，“C =π
2
”是“sin A ＝cos B ”的充要条件
D ．对于任意实数x ，用[x ]表示不大于x 的最大整数，例如：[π]＝3，[0.1]＝0，[﹣2.1]＝﹣3，则“[x ]＞[y ]”是“x ＞y ”的充分不必要条件
11．函数f(x)=sin(ωx −π
6
)(ω＞0)，设f '（x ）为y ＝f （x ）的导函数，f '（x ）的图象与直线y ＝1相交，其
中有三个相邻的交点A 、B 、C 满足AB →=2BC →
，则下列结论中正确的有（ ） A ．对∀x ∈R ，都有f(x)≥f(
5π6
) B ．将函数f （x ）图象向右平移π
4
个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原
来的2倍，即得函数f '（x ）的图象
C ．f （x +φ）为偶函数，则正实数φ的最小值为π
12
D ．f （x ）在[−
13π12，−3π
4
]上单调递增 12．已知定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足：①对∀x ∈（0，+∞）恒有xf ′（x ）﹣f （x ）＝x ；②对任意的正数m ，n 恒有f （mn ）＝nf （m ）+mf （n ）+mn ．则下列结论中正确的有（ ） A ．f （1）＝﹣1
B ．过点（e ，f （e ））的切线方程y ＝x ﹣1
C ．对∀x ∈（0，+∞），不等式f （x ）≥x ﹣e 恒成立
D ．若x 0为函数y ＝f （x ）+x 2的极值点，则f （x 0）+3x 0＞0 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．公比为2的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2023﹣S 2020＝1，则a 2023＝ ． 14．函数f （x ）＝cos （sin x ）﹣1在区间[0，a ]上有两个零点，则实数a 的取值范围为 ．
15．甲袋中有a 个苹果，b 个橘子，乙袋中有3个苹果，2个橘子，现从甲袋中随机取一个水果放在乙袋，再从乙袋中随机取一个水果，若从乙袋中取出的水果是苹果的概率为1118
，则a +6
b 的最小值为 ．
16．已知函数f （x ）＝e ax 与函数g(x)=lnx
a
互为反函数，它们的图象关于y ＝x 对称．若关于x 的不等式e ax ≥x +
1a ≥lnx a
恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，满足CA ＝CD ＝1，sinB =
√2
10，cos ∠BAC =−√2
10
．
（1）求AB ； （2）求∠BAD ．
18．（12分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇． （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：
完成2×2列联表，并判断依据α＝0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关． （2）为了解某一地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽
车销量（单位：万台）关于年份的线性回归方程为y =4.7x ﹣9495.2，且销量y 的方差s y 2
=50，年份x 的方差为s x 2=2．求y 与x 的相关系数r ，并据此判断该地区新能源汽车销量y 与年份x 的相关性强弱；
参考公式：
（i ）线性回归方程：y =b x +a ，其中b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n
i=1(x i −x)
2
，a =y −b x ；
（ii ）相关系数：r =
∑n i=1i −x)(y i −y)√∑ i=1(x i −x)2∑ i=1(y i −y)
2
，若r ＞0.9，则可判断y 与x 线性相关较强；
（iii ）χ2
=n(ad−bc)
2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n ＝a +b +c +d ．
附表：
19．（12分）数列{a n }的前n 项积为T n ，a 1＝2，数列{log 2T n
n }是公差为12
的等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =
(−1)n+1
a n
，若数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的最大值与最小值．
20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c sin 2（π4−B 2）+b cos C
2
=c ．
（1）求角C 的大小；
（2）B =π
2
，BC ＝2，点O 为线段BC 的中点，点M 、N 分别在线段AB 和AC 上，满足OM ⊥ON ，求△
OMN 面积的最小值．
21．（12分）为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如表：
（1）现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率；
（2）若该市所有参赛市民的成绩X 近似服从正态分布N （64，152），试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）；
（3）为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则如下：
①参加答题的市民的初始分都设置为100分；
②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量n （n ≤20，n ∈N *），每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k 题时所需的分数为0.1k （k ＝1，2，…，n ）； ③每答对一题得2分，答错得0分；
④答完n题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）．
已知市民甲答对每道题的概率均为0.6，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量n为多少时，他获得的平均话费最多？
参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）≈0.9973
22．（12分）已知关于x的方程e x−1=lnx+a
x
有两个不同实根x1，x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：x1x2＜1 e ．
2023-2024学年湖北省黄冈市部分普通高中高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共8小题40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．已知复数z 满足z =z +2i ，则复数z 的虚部为（ ） A ．i
B ．1
C ．﹣i
D ．﹣1
解：设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ），∴z =a −bi ， 又z =z +2i ，可得a ﹣bi ＝a +bi +2i ，解得b ＝﹣1， 所以复数z 的虚部为﹣1． 故选：D ．
2．已知集合A ＝{x |a ﹣1＜x ＜a +2}，B ＝{x |x 2﹣6x +5＜0}，若A ∩B ＝{x |a ﹣1＜x ＜5}≠∅，则a 的取值范围是（ ） A ．[3，+∞）
B ．[2，+∞）
C ．[3，6）
D ．[2，6）
解：集合A ＝{x |a ﹣1＜x ＜a +2}，B ＝{x |x 2﹣6x +5＜0}＝{x |1＜x ＜5}． 因为A ∩B ＝{x |a ﹣1＜x ＜5}≠∅， 所以{a −1＜5a +2≥5，解得3≤a ＜6．
故选：C ．
3．已知向量a →
=(−1，2)，b →
=(1，2)，设a →
，b →
的夹角为θ，则sin(3π
2−θ)=（ ） A ．−35
B ．35
C ．−45
D ．45
解：依题意，cosθ=a →⋅b
→
|a →
|⋅|b →
|
=35，所以sin(3π2−θ)=−cosθ=−35
． 故选：A ．
4．在平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别在线段AB 和CD 上，满足AM →=λMB →，CN →=λND →，若MN →
=
−12
AB →
+AD →，则实数λ＝（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解：因为AM →
=λMB →
，CN →
=λND →
，
所以AM →
=λλ+1AB →，DN →=1λ+1DC →=1λ+1
AB →
，
所以MN →=MA →+AD →+DN →
=−
λλ+1AB →+AD →+1λ+1AB →=1−λλ+1
AB →
+AD →，
因为MN →
=−12AB →+AD →，所以−12=1−λ
λ+1
，解得λ＝3．
故选：B ．
5．大美黄冈，此心安处．在这里，东坡文化独领风骚；在这里，红色文化光耀中华；在这里，戏曲文化绚丽多姿；在这里，禅宗文化久负盛名．现有甲乙两位游客慕名来到黄冈旅游，都准备从H ，G ，L ，Y 四个著名旅游景点中随机选择一个游玩，设事件A 为“甲和乙至少一人选择景点G ”，事件为B “甲和乙选择的景点不同”，则条件概率P （B |A ）＝（ ） A ．6
7
B ．37
C ．78
D ．
7
16
解：由题两位游客从4个著名旅游景点中各随机选择一个游玩，共有4×4＝16种， 其中事件A 的情况有4×4﹣3×3＝7种，事件A 和事件B 共同发生的情况有2×3＝6种， 所以P(A)=716，P(AB)=616，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=67
． 故选：A ．
6．数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝﹣1，a n a n +2＝﹣1，设b n ＝a n a n +1，则数列{b n }的前10项和为（ ） A ．1
B ．0
C ．5
D ．﹣5
解：数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝﹣1，a n a n +2＝﹣1，
数列{a n }中，奇数项构成首项为1公比为﹣1的等比数列，偶数项构成首项为﹣1公比为﹣1的等比数列，
则a 2n−1=(−1)n−1，a 2n =(−1)n ，可得a 2n−1a 2n =(−1)2n−1=−1，a 2n a 2n+1=(−1)2n =1， 由b n ＝a n a n +1，则n 为奇数时，b n ＝﹣1；n 为偶数时，b n ＝1， 所以数列{b n }的前10项和为0． 故选：B ．
7．若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式(√x 3
+12x
)n
的展开式的常数项是（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．10
解：由6×60%＝3.6，可知n ＝8，所以二项式为(√x 3
+
12x
)8． 其展开式的通项为T r +1=C 8r ⋅(x 13)8−r ⋅(12x −1)r =C 8r
⋅(12
)r ⋅x 8−4r 3．
令
8−4r 3
=0，即r ＝2，所以常数项为T 3=C 82
⋅(12
)2⋅x 0=7．
故选：B ．
8．已知函数f(x)=√|x +1|−√|x −1|，则下列命题正确的是（ ） A ．∃x ∈R ，使得f （x ）+f （﹣x ）＞0
B ．方程f （x ）＝m 有两个不同实根，则实数m 的取值范围是（﹣1，1）
C ．∃x ∈（0，1），使得f （x ）＝f （2﹣x ）
D ．若f （a ）≥f （2﹣a ），则实数a 的取值范围是[1，+∞）
解：对∀x ∈R ，都有f(−x)=√|−x +1|−√|−x −1|=√|x −1|−√|x +1|=−f(x)， 所以∀x ∈R ，f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x ）为奇函数，A 错；
当x ＞0时，f(x)=√|x +1|−√|x −1|={√x +1−√1−x ，0＜x ≤1√x +1−√x −1，x ＞1，
易知f （x ）在（0，1]上单调递增，此时f(x)∈(0，√2]， 当x ＞1时，f(x)=√x +1−√x −1=
2
√x+1+√x−1
，
∴f （x ）在（1，+∞）上单调递减，此时f(x)∈(0，√2) ∴x ＞0时，f(x)∈(0，√2]， ∴x ＜0时，f(x)∈[−√2，0)，
而f （0）＝0，所以m ＝0，方程f （x ）＝m 仅有一根，B 错； x ∈（0，1）时，2﹣x ∈（1，+∞），
此时f(x)−f(2−x)=(√x +1−√1−x)−(√2−x +1−√2−x −1) =√x +1−√1−x −√3−x +√1−x =√x +1−√3−x ，
而函数p(x)=√x +1−√3−x 在（0，1）上单调递增，得x ∈（0，1）时，p （x ）＜p （1）＝0， 所以对∀x ∈（0，1），f （x ）＜f （2﹣x ），C 错； 综上，a ≤0时，2﹣a ≥2，此时f （a ）≤0＜f （2﹣a ）， a ∈（0，1）时，2﹣a ∈（1，+∞），此时f （a ）＜f （2﹣a ）， a ≥1时，2﹣a ∈（0，1），此时f （a ）≥f （2﹣a ），D 对． 故选：D ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多 9．已知实数a 、b 满足a ＞|b |，则下列不等式正确的是（ ） A ．a +b ＞0 B ．a 3＞b 3
C ．
1a+b
＞
12a
D ．若ab ＝﹣1，则1a −1b ＜4
a−b
解：因a ＞|b |≥﹣b ，所以a +b ＞0，A 选项正确；
因a ＞|b |≥b ，函数y ＝x 3在R 上单调递增，a ＞b 时a 3＞b 3，B 选项正确； 由a ＞b ，2a ＞a +b ＞0，所以
1a+b
＞
12a
，C 选项正确；
由于a ＞0，ab ＝﹣1，则b ＜0，a ﹣b ＞0，−b
a ＞0，
(−b)a
+
a (−b)
≥2√
(−b)a
⋅
a (−b)
=2，由a ＞﹣b ，等号不成立， 则
a−b a
−
a−b b
=2+
(−b)a
+
a
(−b)
＞4，所以1a
−
1b
＞
4a−b
，D 选项错误．
故选：ABC ．
10．下列命题中是真命题的有（ ） A ．若2x ＝3，3y ＝8，则xy ＝3
B ．若0＜a ＜1，b ＜﹣1，则函数y ＝a x +b 的图象必定不经过第一象限
C ．在△ABC 中，“C =π
2
”是“sin A ＝cos B ”的充要条件
D ．对于任意实数x ，用[x ]表示不大于x 的最大整数，例如：[π]＝3，[0.1]＝0，[﹣2.1]＝﹣3，则“[x ]＞[y ]”是“x ＞y ”的充分不必要条件
解：对于A ，若2x ＝3，3y ＝8，则（2x ）y ＝8，即2xy ＝23，可得xy ＝3，故A 正确； 对于B ，由0＜a ＜1可得函数y ＝a x +b 是R 上的减函数，
结合b ＜﹣1，可知函数图象在y 轴上的截距1+b ＜0，可知函数图象不经过第一象限，故B 正确； 对于C ，在△ABC 中，若A =
7π12，B =π12，则sin A ＝cos B =√6+√24，此时C ≠π
2
， 故“C =π
2
”不是“sin A ＝cos B ”的充要条件，故C 不正确；
对于D ，由[x ]的定义，可知[x ]＞[y ]可以推出x ＞y ，
但x ＞y 时，可能x ＝3.5，y ＝π，此时[x ]＝[y ]，不能得到[x ]＞[y ]． 因此，“[x ]＞[y ]”是“x ＞y ”的充分不必要条件，故D 正确． 故选：ABD ．
11．函数f(x)=sin(ωx −π
6
)(ω＞0)，设f '（x ）为y ＝f （x ）的导函数，f '（x ）的图象与直线y ＝1相交，其
中有三个相邻的交点A 、B 、C 满足AB →=2BC →
，则下列结论中正确的有（ ） A ．对∀x ∈R ，都有f(x)≥f(
5π6
) B ．将函数f （x ）图象向右平移π
4
个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原
来的2倍，即得函数f '（x ）的图象
C ．f （x +φ）为偶函数，则正实数φ的最小值为π
12
D ．f （x ）在[−
13π12，−3π
4
]上单调递增 解：由f(x)=sin(ωx −π6)(ω＞0)，得f ′(x)=ωcos(ωx −π
6
)，
令ωx −π
6=2kπ，k ∈Z ，则f ′（x ）取得最大值时的x =π
6+2kπω
，k ∈Z ，
∵f ′（x ）的图象与直线y ＝1相交，其中有三个相邻的交点A 、B 、C 满足AB →=2BC →
， 结合f ′（x ）的大致图象，可以得到|AC →
|=T =
2πω，|BC|→
2=T 6=π
3ω
，
∴x c =
π
6+2kπ
ω
+π
3ω=π
2+2kπω
，k ∈Z ， ∴f ′(x c )=ωcos(ω
⋅π
2+2kπω
−π6)
=ωcos(π3+2kπ)=ω
2
=1，k ∈Z ， ∴ω＝2，即f(x)=sin(2x −π
6
)，
对于A .f(
5π6)=sin(2×5π6−π6)=sin 3π2=−1，f(x)=sin(2x −π6)≥−1，∴f(x)≥f(5π6
)，故A 正确； 对于B .f(x)=sin(2x −π6)，f′(x)=2cos(2x −π
6
)，
f(x)=sin(2x −π6)的图象向右平移π4
个单位长度，得到y =sin[2(x −π4)−π6]=sin(2x −2π
3)，
再将所得图象上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍， 得到y =2sin(2x −
2π3)=−2cos(2x −π6)，与f ′(x)=2cos(2x −π
6
)不符，故B 错误； 对于C ．若f(x +φ)=sin[2(x +φ)−π6]=sin(2x +2φ−π
6
)为偶函数，
则2φ−
π6=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=kπ2+π
3，k ∈Z ，则正实数φ的最小值为π3
，故C 错误； 对于D ．令2kπ−
π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ−π6≤x ≤kπ+π
3
，k ∈Z ， 即f(x)=sin(2x −π6)的单调递增区间为[kπ−π6，kπ+π
3
]，k ∈Z ，
令k＝﹣1，得[−7π
6
，−2π
3
]，
∵[−13π
12
，−3π
4
]⊆[−
7π
6
，−2π
3
]，
∴f（x）在[−13π
12
，−3π
4
]上单调递增，故D正确．
故选：AD．
12．已知定义在（0，+∞）的函数f（x）满足：①对∀x∈（0，+∞）恒有xf′（x）﹣f（x）＝x；②对任意的正数m，n恒有f（mn）＝nf（m）+mf（n）+mn．则下列结论中正确的有（）
A．f（1）＝﹣1
B．过点（e，f（e））的切线方程y＝x﹣1
C．对∀x∈（0，+∞），不等式f（x）≥x﹣e恒成立
D．若x0为函数y＝f（x）+x2的极值点，则f（x0）+3x0＞0
解：∵∀x∈（0，+∞），恒有xf′（x）﹣f（x）＝x，
∴(f(x)
x
)′=
xf′(x)−f(x)
x2
=
1
x
，
∴可设f(x)
x
=lnx+C（其中C为常数），
又∵对任意的正数m，n恒有f（mn）＝nf（m）+mf（n）+mn，
∴对任意的正数m，n恒有f(mn)
mn
=
f(m)
m
+
f(n)
n
+1，
∴ln（mn）+C＝lnm+C+lnn+C+1，可得C＝﹣1，即f(x)
x
=lnx−1，即f（x）＝xlnx﹣x，
对于A，由上式可得f（1）＝﹣1，故A正确；
对于B，f′（x）＝lnx，设切点为（x0，f（x0）），则切线斜率为k＝lnx0，
∴切线方程为y﹣f（x0）＝lnx0（x﹣x0），即y﹣x0lnx0+x0＝lnx0（x﹣x0），
代入点（e，f（e））得﹣x0lnx0+x0＝lnx0（e﹣x0），化简得elnx0＝x0，解得x0＝e，
所以点（e，f（e））就是切点，所以切线方程为y＝x﹣e，故B错误；
对于C，令g（x）＝f（x）﹣x+e＝xlnx﹣2x+e，x＞0，则g′（x）＝lnx﹣1，
令g′（x）＞0，可得x＞e，g′（x）＜0，可得0＜x＜e，
所以函数g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（e）＝elne﹣2e+e＝0，所以f（x）≥x﹣e，对∀x∈（0，+∞）恒成立，故C正确；对于D，设p（x）＝f（x）+x2＝xlnx﹣x+x2，p′（x）＝lnx+2x，
∵p′（x）在（0，+∞）上单调递增，且p′(1
e
)=−1+
2
e
＜0，p′（1）＝2＞0，
所以∃x 0∈(1
e ，1)使p （x ）在（0，x 0）上单调递减，p （x ）在（x 0，+∞）上单调递增，
∴x ＝x 0为函数p （x ）的极小值点且满足lnx 0+2x 0＝0，x 0∈(1
e
，1)，
∴f(x 0)+3x 0=x 0lnx 0+2x 0=−2x 02+2x 0=2x 0(1−x 0)＞0，故D 正确． 故选：ACD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．公比为2的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2023﹣S 2020＝1，则a 2023＝
4
7
． 解：根据题意，等比数列{a n }中，若S 2023﹣S 2020＝1，则a 2021+a 2022+a 2023＝1， 又由等比数列{a n }的公比为2，则有14a 2023+12a 2023+a 2023=7
4a 2023＝1，
则a 2023=4
7．
故答案为：4
7
．
14．函数f （x ）＝cos （sin x ）﹣1在区间[0，a ]上有两个零点，则实数a 的取值范围为 [π，2π） ． 解：由f （x ）＝cos （sin x ）﹣1在[0，a ]上有两个零点， 则cos （sin x ）＝1在[0，a ]上有两个实数根， 所以sin x ＝2k π，k ∈Z ， 又因为sin x ∈[﹣1，1]，
所以sin x ＝0在[0，a ]上有两个不同的实数根， 则a ∈[π，2π）． 故答案为：[π，2π）．
15．甲袋中有a 个苹果，b 个橘子，乙袋中有3个苹果，2个橘子，现从甲袋中随机取一个水果放在乙袋，再从乙袋中随机取一个水果，若从乙袋中取出的水果是苹果的概率为
1118
，则a +6
b 的最小值为 7 ．
解：从甲袋中取出的水果为苹果且从乙袋中取出的水果是苹果的概率为a a+b ⋅3+13+2+1=2a
3(a+b)
，a ∈N *，
b ∈N *，
从甲袋中取处的水果为橘子且从乙袋中取出的水果是苹果的概率为b
a+b ⋅
3
3+2+1
=
b 2(a+b)
，a ∈N *，
b ∈N *， 所以
2a 3(a+b)
+
b 2(a+b)
=
4a+3b 6(a+b)
=
11
18
，a ∈N *，b ∈N *， 即a ＝2b ，b ∈N *，则a +
6b =2b +6
b
，b ∈N *，
又函数f(x)=2x +6
x
在(0，√3)上单调递减，在(√3，+∞)上单调递增，
f(1)=2×1+
61=8，f(2)=2×2+6
2
=7， 所以当b ＝2时，a +6b =2b +6
b
取最小值为7． 故答案为：7．
16．已知函数f （x ）＝e ax 与函数g(x)=lnx
a
互为反函数，它们的图象关于y ＝x 对称．若关于x 的不等式e ax ≥x +
1a ≥lnx a
恒成立，则实数a 的取值范围为 [1，+∞） ． 解：由e ax ≥
lnx a 恒成立，可得a ＞0，此时直线y =x +1
a
恒在直线y ＝x 上方， ∴不等式e ax ≥x +
1a ≥lnx a 恒成立只需不等式e ax ≥x +1
a
恒成立即可， 令p(x)=e ax −(x +1a )，则p ′（x ）＝ae ax ﹣1，由p ′（x ）＝0可得x =−lna
a
，
当x ∈(−∞，−
lna a )时，p ′（x ）＜0，当x ∈(−lna a
，+∞)时，p ′（x ）＞0， ∴p （x ）在(−∞，−lna a )上单调递减，在(−lna
a
，+∞)上单调递增， ∴p(x)min =p(−lna a )=lna a
≥0， ∴a ≥1．
故答案为：[1，+∞）．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，满足CA ＝CD ＝1，sinB =
√2
10，cos ∠BAC =−√2
10
．
（1）求AB ； （2）求∠BAD ．
解：（1）根据题意，可得cos B =√1−sin 2B =
7√210，sin ∠BAC =√1−cos 2∠BAC =7√2
10
， 所以sin C ＝sin （B +∠BAC ）＝sin B cos ∠BAC +cos B sin ∠BAC =
√2
10
×(−
√2
10
)+
7√210×7√210=24
25
， 在△ABC 中，由AB
sinC =AC
sinB
，得AB =ACsinC sinB =1×24
25√210
=24√2
5；
（2）在△ADC中，CA＝CD，可得∠CAD=∠ADC=π
2
−
C
2
，
由sin C=24
25
，得2sin
C
2
cos
C
2
=
24
25
，结合sin2
C
2
+cos2
C
2
=1，0＜C2＜π4，解得sin C2=35，cos C2=45．
所以sin∠CAD=sin(π
2
−
C
2
)=cos
C
2
=
4
5
，cos∠CAD=cos(
π
2
−
C
2
)=sin
C
2
=
3
5
，
因此，cos∠BAD＝cos（∠BAC﹣∠CAD）=−√2
10×
3
5
+
7√2
10
×
4
5
=√
2
2
，结合0＜∠BAD＜π，可得∠BAD=
π
4
．
18．（12分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．（1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：
完成2×2列联表，并判断依据α＝0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关．（2）为了解某一地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销量（单位：万台）关于年份的线性回归方程为y=4.7x﹣9495.2，且销量y的方差s y2=50，年份x的方差为s x2=2．求y与x的相关系数r，并据此判断该地区新能源汽车销量y与年份x的相关性强弱；
参考公式：
（i）线性回归方程：y=b x+a，其中b=∑n
i=1
(x i−x)(y i−y)
∑n i=1(x i−x)
2
，a=y−b x；
（ii）相关系数：r=∑n
i=1i
−x)(y i−y)
√∑
i=1(x i−x)2∑i=1(y i−y)2
，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强；
（iii）χ2=
n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n＝a+b+c+d．
附表：
解：（1）根据题意，补全2×2列联表如下：
零假设为H0：选择新能源汽车与年龄无关，
所以χ2=200×(70×60−40×30)2
110×90×100×100
=
200
11
≈18.182＞10.828，
所以依据α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即能认为选择新能源汽车与年龄有关；
（2）相关系数为r=∑n
i=1i
−x)(y i−y)
√∑
i=1(x i−x)2∑i=1(y i−y)2
=∑
n
i=1i
−x)(y i−y)
∑n i=1i−x)
2
√∑n
i=1
(x−y)2
√(y i−y)2
√∑n(x i−x)
√∑i=1i−y)
=
b
√ns2√y =
√s2
√y
，
所以r＝4.7×√2
50=4.7×
1
5
=0.94＞0.9，
故y与x线性相关较强．
19．（12分）数列{a n}的前n项积为T n，a1＝2，数列{log2T n
n
}是公差为
1
2
的等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=(−1)n+1
a n
，若数列{b n}的前n项和为S n，求S n的最大值与最小值．
解：（1）数列{log2T n
n
}是公差为
1
2
的等差数列，
∵log2T1
1
=
log2a1
1
=1，∴
log2T n
n
=1+
1
2
(n−1)=
n+1
2
，
∴T n=2n(n+1)
2，
n≥2时，a n=T n
T n−1=2
n(n+1)
2−
(n−1)n
2=2n，
又a1=2=21符合上式，∴a n=2n．
（2）b n=(−1)n+1⋅1
2n
=−(−
1
2
)n，数列{b n}是首项为
1
2
，公比为−
1
2
的等比数列，
∴S n=1
2
[1−(−1
2
)
n
]
1−(−1
2
)
=
1
3
[1−(−
1
2
)n]，
当n为奇数时，S n=1
3
(1+
1
2n
)，
此时{S n }为单调递减数列，13＜S n ≤S 1=1
2，
当n 为偶数时，S n =13(1−1
2
n )，
此时{S n }为单调递增数列，14=S 2≤S n ＜1
3，
综上，S n 的最小值为14，最大值为1
2
．
20．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c sin 2
（π4−B 2）+b cos C
2
=c ．
（1）求角C 的大小；
（2）B =π
2
，BC ＝2，点O 为线段BC 的中点，点M 、N 分别在线段AB 和AC 上，满足OM ⊥ON ，求△
OMN 面积的最小值．
解：（1）因为2c sin 2
（π4−B 2）+b cos C
2
=c ，
所以c [1﹣cos2（π4−B 2）]+b cos C 2=c ，即﹣c sin B +b cos C
2=0，
由正弦定理得，﹣sin C sin B +sin B cos C
2=0，
所以﹣2sin C 2cos C 2sin B +sin B cos C
2
=0，
因为sin B ＞0，cos C 2≠0，所以﹣2sin C 2+1＝0，即sin C 2=1
2，
又C ∈（0，π），所以C 2=π6
，即C =π
3．
（2）因为BC ＝2，点O 为线段BC 的中点，所以OB ＝OC ＝1， 设∠CON ＝θ（0＜θ＜π2），则∠BOM =π
2
−θ，
在Rt △BOM 中，cos ∠BOM ＝cos （π2−θ）＝sin θ=OB OM ，所以OM =1
sinθ，
在△CON 中，∠ONC ＝π﹣（∠CON +∠C ）＝π﹣（θ+π3）=2π
3
−θ，
由正弦定理知，
OC sin∠ONC
=
ON sin∠C
，
所以ON =OCsin∠C
sin∠ONC =1×√
32sin(2π3
−θ)=√32sin(2π3
−θ)
，
所以△OMN 的面积S =12OM •ON =12×1sinθ×√32sin(2π3−θ)=√34⋅1
sinθsin(2π3
−θ)
， 设f （θ）＝sin θsin （2π3−θ）＝sin θ（√32cos θ+12sin θ）=√32sin θcos θ+12sin 2θ=√34sin2θ+12×1−cos2θ2=
12sin （2θ−π6）+1
4
， 因为0＜θ＜π2，所以−π6＜2θ−π6＜5π6
，
所以当2θ−
π6=π2，即θ=π
3时，f （θ）取得最大值，为12×1+14=34
， 此时△OMN 的面积S 取得最小值，为
√34⋅134
=√3
3
． 21．（12分）为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如表：
（1）现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率；
（2）若该市所有参赛市民的成绩X 近似服从正态分布N （64，152），试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）；
（3）为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则如下：
①参加答题的市民的初始分都设置为100分；
②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量n （n ≤20，n ∈N *），每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k 题时所需的分数为0.1k （k ＝1，2，…，n ）； ③每答对一题得2分，答错得0分；
④答完n 题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）．
已知市民甲答对每道题的概率均为0.6，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量n 为多少时，他获得的平均话费最多？
参考数据：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤Z ≤μ+σ）≈0.6827，P （μ﹣σ≤Z ≤μ+2σ）≈0.9545，P （μ﹣3σ≤Z ≤μ+3σ）≈0.9973
解：（1）从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，基本事件总数为C 1002，
设“抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分”为事件A ，
则事件A 包含的基本事件的个数为C 701C 301，
因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以P(A)=
C 701C 301
C 100
2
=
14
33
， 即抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率为14
33
；
（2）因为μ+δ＝79，所以P(X ＞79)≈
1−0.6827
2
=0.15865， 故参赛市民中成绩超过79分的市民数约为0.15865×10000≈1587； （3）以随机变量ξ表示甲答对的题数， 则ξ～B （n ，0.6）且E （ξ）＝0.6n ， 记甲答完n 题所加的分数为随机变量X ， 则X ＝2ξ，所以E （X ）＝2E （ξ）＝1.2n ， 依题意为了获取答n 道题的资格，
甲需要的分数为：0.1×（1+2+3+...+n ）＝0.05（n 2+n ）， 设甲答完n 题后的最终得分为f （n ）， 则f （n ）＝100﹣0.05（n 2+n ）+1.2n =−0.05n 2+
2320n +100=−120(n −232)2+8529
80
， 由于n ∈N *，所以当n ＝11或n ＝12时，f （n ）取最大值， 即当他的答题数量为n ＝11或n ＝12时，他获得的平均话费最多． 22．（12分）已知关于x 的方程e x −1=lnx+a
x
有两个不同实根x 1，x 2． （1）求实数a 的取值范围； （2）证明：x 1x 2＜1
e
．
解：（1）方程e x −1=
lnx+a
x
⇔xe x ﹣x ＝lnx +a ⇔e x +lnx ﹣（x +lnx ）＝a ， 令t ＝x +lnx ，因为函数t ＝x +lnx 在x ∈（0，+∞）单调递增且t ∈R ，
所以方程f(x)=lnx+a
x
在x∈（0，+∞）有两根x1，x2，
可转化方程e t﹣t＝a在t∈R有两根t1，t2，其中t1＝lnx1+x1，t2＝lnx2+x2，
令p（t）＝e t﹣t，则p′（t）＝e t﹣1，所以p（t）在t∈（﹣∞，0）为减函数，在t∈（0，+∞）为增函数，
所以p min（t）＝p（0）＝1，又x→﹣∞时，p（t）→+∞；x→+∞时，p（t）→+∞，
所以实数a的取值范围为（1，+∞）．
（2）证明：不妨设两根t1＜t2，则t1＜0＜t2，p（t1）＝p（t2），
令q（t）＝p（t）﹣p（﹣t）＝（e t﹣t）﹣（e﹣t+t）＝e t﹣e﹣t﹣2t，t＞0，则q′（t）＝e t+e﹣t﹣2＞0，所以q（t）在t∈（0，+∞）单调递增，所以t＞0时，q（t）＞q（0）＝0，
由t2＞0，得q（t2）＝p（t2）﹣p（﹣t2）＞0，所以p（t1）＝p（t2）＞p（﹣t2），
而p（t）在t∈（﹣∞，0）单调递减，且t1＜0，﹣t2＜0，
所以t1＜﹣t2，t1+t2＜0，所以t1+t2＝lnx1+x1+lnx2+x2＜0，
因为lnx1+x1+lnx2+x2=ln(x1x2)+x1+x2≥2ln√x1x2+2√x1x2，
所以ln√x1x2+√x1x2＜0，又
√e√e =
√e
1
2
＞0，
所以ln√x1x2+√x1x2＜1
√e
1
√e
，而y＝lnx+x在x∈（0，+∞）单调递增，
所以√x1x2＜1
√e
，所以x1x2＜
1
e
．。