人教A版高中数学必修五高二上学期期中考试(理)试题 (24)

高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
山东省淄博一中2012—2013学年度高二数学（理科）第一学期
期中考试
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。

2．第Ⅰ卷12小题，每小题5分；每小题只有一个正确答案，请将选出的答案标号（A 、B 、C 、D ）涂在答题卡上。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1、数列0，―1，0，1，0，―1，0，1，…的一个通项公式是( )
（A ） (―1)n ＋12 （B ） cos n π
2 (C) cos (n ＋1)π2 (D) cos (n ＋2)π2 2、不等式x 2―y 2≤0表示的平面区域是( )
3、在等差数列{a n }中，已知前15项之和S 15＝90，那么a 8＝( )
x
y
0 B
x
y 0
A
x
y
0 C
x
y
0 D
A.3
B.4
C.6
D.12 4、给出以下判断：
① 若1>1a ，则a>1；② 若0<α<π，0<β<π2，则α―β∈(0，π
2)； ③ 若|a|>|b|，则a 2>b 2；
④ 若a>b ，则1a <1b ；⑤ 若ac 2>bc 2，则a>b; ⑥ 若a>b ，c>d ，则a d >b
c .
其中正确的有( )个 (A) 4 (B) 5 (C) 3 (D) 2 5、设{a n }是由正数组成的等比数列,且a 3·a 7=64,那么log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 9的值是 ( ) A. 10 B. 27 C. 36 D. 20 6、若不等式ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ． (0,4) B. [0,4 ) C ． [0,4] D ． (0,4]
7、设x ，y >0，且x ＋2y ＝2，则1x ＋1
y
的最小值为( )
A ． 2 2 B. 32 C ．3
2＋ 2 D ． 2
8、以下判断正确的是( )
(A) y=sin 2x ＋2sin 2x 的最小值为22 (B) 223<3
2
(C) |a ―b|≥|a ―c |＋|b ―c | (D) 若a<1，b<1，则ab ＋1>a ＋b 9、各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =2，S 3n =14，则S 4n 等于( )
（A ）80 （B ）30 (C) 26 (D) 16
10、已知关于x 的不等式|x ＋1|<2和不等式ax 2＋bx ＋3>0有相同的解集，则实数a,b 的值为( )
(A) a=―1，b=―2 (B) a=1，b=2 (C) a=―2，b=―1 (D) a=2，b=1 11、数列{a n }的通项公式是a n =(n ＋2)(9
10)n ,那么在此数列中( )
A. a 7=a 8最大
B. a 8=a 9最大
C. 有唯一项a 8最大
D. 有唯一项a 7最大 12、函数f(x)=|x ―1|＋|x ―2|＋|x ―3|＋|x ―4|与函数f(x)＝x 2＋2ax ＋5有相同的最小值，则
a 的值等于( ) (A) ―1 (B) 1 (C) ±1 (D) ±2
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
注意事项：
1．用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

2．答卷前先将密封线内的项目填写清楚。

密封线内不准答题。

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案须填在答题纸上．．．．．．．．．. 13、函数f(x)=
x ＋1
1－x
的定义域是 14、在数列{a n }中，已知a n =―1，a n ＋1=2a n ＋3，则通项a n =
15、设a>b>0,设M=a ＋b 2,N=2ab
a ＋b
,P=ab,Q=
a 2＋
b 2
2
，请把M,N,P,Q 按从小到大的顺序用“<”号排列起来 （用M,N,P,Q 填）
16、函数y=(x ＋5)(x ＋2)
x ＋1
(x>―1) 的值域为
17、在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且a 1=1，a 2=2，a n+2=a n ＋1＋(―1)n ，则S 100= 三、解答题：解答应写在答题纸相应位置，并写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.本
大题共6个小题，共70分。

18、（本小题满分10分）
已知a ，b ，c 为正实数，且不全相等，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a
2>lga ＋lgb ＋lgc
19、（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如下表所示：
消耗量 产品 资源 甲产品 (每吨) 乙产品 (每吨) 资源限额 （每天）
煤(t)
9 4 360 电力(kw ·h)
4 5 200 劳力(个)
3 10 300 利润（万元）
7 12 问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · x y
o
20、（本小题满分12分）
某家庭要建造一个长方体形储物间，其容积为2400m 3，高为3m ，后面有一面旧墙可以利用，没有花费，底部也没有花费，而长方体的上部每平方米的造价为150元，周边三面竖墙(即不包括后墙)每平方米的造价为120元，怎样设计才能使总造价最低？最低总造价是多少？
21、（本小题满分12分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1，a n+1=2S n ＋1，数列{b n }满足a 1=b 1，点P(b n ，b n+1)在直线x ―y ＋2=0上，n *∈N . （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）设c n =b n
a n ，求数列{ c n }的前n 项和T n .
22、（本小题满分12分） 已知―1≤a ≤1，解关于x 的不等式：ax 2―2x ＋a>0
3
后墙
23、（本大题满分12分）设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0 (n=1,2,3,……) （Ⅰ）求q 的取值范围；
（Ⅱ）设b n =a n ＋2―3
2a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小.
高二理科数学参考答案 2012.10
一、BACDB B C DBA AC
二、13、[―1，1） 14、2n ―3 15、N<P<M<Q 16、[9，＋∞) 17、2600
18、证明：要证原式成立，只需证：lg a ＋b 2×b ＋c 2×c ＋a
2>lgabc
∵ y=lgx 在(0,＋∞)上是增函数 ∴ 只需证 a ＋b 2×b ＋c 2×c ＋a
2>abc ∵ a ，b ，c 为∈R ＋, ∴ a ＋b 2≥ab>0 b ＋c 2≥bc>0 c ＋a
2≥ca>0 ∵ a ，b ，c 不全相等， ∴ 上面三个“=”号不能同时取到 ∴ a ＋b 2×b ＋c 2×c ＋a
2>ab ×bc ×ca=abc
∴ 原式得证 .................. ............ 10分
注：“=”号不能同时取到不作交代扣1分，用综合法也可以
19【解】：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品
x 吨、y 吨，获得利润z 万元. ........1分
依题意的约束条件： ⎩
⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤360 4x ＋5y ≤2003x ＋10y ≤300x ≥0
y ≥0 ........4分 · · · · · · · · · · · ·
· ·
·
·
· · ·
·
x
y o 9x+4y=360
4x+5y=200 3x+10y=300
M L:7x+12y=0 L1
利润目标函数为z=7x ＋12y... ..........6分 如图，作出可行域，做直线L: 7x ＋
12y=0,把直线L 向右上方平移至L1位置，直线经过可行域的点M ，此时z=7x ＋12y 有最大值. ... ..... ..... ..... ..... ........9分
解方程组： ⎩⎨⎧3x ＋10y=300
4x ＋5y=200
得M(20, 24) ..... ..... . ..... ..... ..... ..... ..... .........11分
答：生产甲种产品20吨、乙种产品24吨，才能使工厂获得最大利润. ........12分 20、【解】：长方体的长为xm ，宽为ym ，总造价为z 元. 则由题意知3xy=2400，xy=800， ∴ z=xy ×150＋3(x ＋2y)×120=800×150＋3(x ＋2y)×
120=120000＋360(x ＋2y)≥120000＋360×2x ×2y =120000＋360×21600=148800..... ..... ..... .........8分
当且仅当⎩⎨⎧x=2y xy=800，即⎩⎨⎧x=40
y=20
时，取等号.... ..... .........11分
答：当长方体的底面设计成长为40m,宽为20m 的长方形时总造价最低，最低总造价是148800元
..... ..... ..... (12)
分
21、【解】：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得
()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥.
又21213a S =+= ,所以213a a =.
故{}n a 是首项为，公比为3的等比数列.所以1
3n n a -=.…………4分
由点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=.
则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列.则1(1)221n b n n =+-⋅=-………6分 （Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --=
=，所以0121
13521
333
3
n n n T --=++++
.…………7分 则1
221
11352321
3333
33
n n n n n T ---=
++++
+,…………8分 两式相减得：
3
后墙
x
y
2111222221133333
11[1()]
2112133122()133313n n n n n n n
n T n n ----=++++----=+⨯-=---…………10分 所以2112132323n n n n T ---=--⋅⋅1
1
33
n n -+=-. …………………………………12分 22、【解】：
① 当a=0时，原式化为―2x>0，即x<0；a ≠0时，△=(―2)2―4a 2=4(1＋a)(1―a)
........... .......... ........... ..........1分
② 当a=―1时，△=0，原式化为―x 2―2x ―1>0，即 (x ＋1)2<0 ∴ x ∈φ.......... 2分
③ 当―1<a<0时，△>0，方程ax 2―2x ＋a=0的根为x 1、2=2±4(1―a 2)2a =1±1―a 2
a
∴ 1＋1―a 2a <x<1―1―a 2
a
.......... 6分 ④ 当0<a<1时,结合③知，x<1―1―a 2a 或x>1＋1―a 2a
.......... 10分 ⑤ 当a=1时，原式化为x 2―2x ＋1>0，即(x ―1)2>0 ∴ x ∈R,且x ≠1..........11分 总之，原不等式的解集为：当a=―1时，x ∈φ；当―1<a<0时，x ∈ (1＋1―a 2a ，1―1―a 2a
)；当a=0时，x ∈(―∞,0)；当0<a<1时，x ∈ {x|x<1―1―a 2a 或x>1＋1―a 2a }；当a=1时，{x|x ∈R,且x ≠1}...............................12分
23、【解】：（Ⅰ）∵是等比数列{a n }的公比，且其前n 项和S n >0 (n=1,2,3,……)
∴ a 1>0,q>0 ∴ (1) 当q=1时, S n =n a 1>0，∴ 成立.............................................1分 ( 2) 当q ≠1时, S n =a 1(1―q n )1―q >0，即 1―q n 1―q
>0 (n=1,2,3,……) ..................................2分
等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧1―q n <01―q<0 (n=1,2,3,……) …… ① 或 ⎩⎪⎨⎪⎧1―q n >0
1―q>0
(n=1,2,3,……) …… ②
解①得：q>1；解②： 由于对于n 为奇数和偶数时都成立，∴ |q|<1 ∴ ―1<q<1
由(1)、(2)可知q 的取值范围为(―1,0)∪(0,＋∞) ..................................5分 （Ⅱ）∵ b n =a n ＋2―32a n ＋1=a n (q 2―32q) ∴ T n =(q 2―3
2q)S n
∴T n ―S n = (q 2―32q ―1) S n = (q ―2) (q ＋1
2) S n .................................9分 ∵ S n >0， ―1<q<0或q>0
∴ ① 当―1<q<―1
2，或q>2时，T n ―S n >0，即T n >S n ； ②―1
2<q<2，且q ≠0时,T n ―S n <0，即T n <S n ；
③ 当q=―1
2或q=2时，T n ―S n =0，即T n =S n .................................12分。