SXC130高考数学必修_数学思想方法在数列解题中的应用

数学思想方法在数列解题中的应用
数列是高中数学的重要内容之一，也是数学高考中热考的内容之一.在解数列题目时,数学思想方法应用十分广泛.比如函数的思想、方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等的应用就是具体的体现，下面我们结合实例，分类予以例析.
一、函数的思想在解数列题中的应用
数列本身就是一种特殊的函数，既然数列也是函数.运用函数的思想解数列题是行之有效的.也是常用的.
例1 数列}{n a 的通项公式为a n =(n+1)⨯0.9n ,问是否存在这样的正整数N ，使a n ≤a N 对一切正整数都成立？并证明你的结论.
解： a n - a 1+n =（n+1）⨯0.9n -（n+2）⨯0.91+n =0.9n ⨯
10
8-n ， ∴当n<8时, a n < a 1+n ; 当n=8时, a n = a 1+n ;
当n>8时, a n > a 1+n .
即a 1<a 2<…<a 7<a 8=a 9>a 10>a 11….
故存在N=8或9，使a n ≤ a N 一切正整数n 恒成立.
评析：本题的解法类似于运用函数的单调性，求出函数的最大值.只不过这里边函数是以其特殊形式数列显现出来的，其本质仍是函数.
例 2 设S n 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知31S 3与4
1S 4的等比中项为51S 5、31S 3与4
1S 4的等差中项为1，求数列}{n a 的通项公式a n . 解： S 3= a 1+a 2+ a 3=3 a 2，S 4= a 1+a 2+ a 3+ a 4=2（a 2+ a 3）， S 5= a 1+a 2+ a 3+ a 4+a 5=5 a 3 ， 由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯++24)(23
3554)(2333222
3322a a a a a a a
解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧==,54,58,1,13232a a a a 或
设a n = a ·n+b (a,b 为常数),从而
a n =1或)(.543,582*⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=+b a b a 由(*)得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=,532,512b a 故a n =1或a n =.512532n - 评析：等差数列当公差不为0时，a n 可以看成关于n 的一次函数，求通项公式类似于求函数解析式.
二、方程的思想在解数列题中的应用
运用方程的思想解等差（比）的数列问题，是常见题型，解决此类问题需抓住基本量a 1、d(或q),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节.有时通过“设而不求、整体代入”还可简化运算.
例3 公差不为零的等差数列}{n a 和等比数列{}n b 中，已知a 1=b 1=1, a 2= b 2, a 38b =，请问：是否存在常数a 、b 使得对一切非零自然数n ，都有a b b n a n +=log 成立？若存在，求a 、b 的值；若不存在，说明理由.
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q.
因为a 1=b 1=1, a 2= b 2, a 38b =，
则得⎩⎨⎧⋅=+⋅=+217111q
d q d 解得)0,(0156≠⎩
⎨⎧==⎩⎨⎧==d d q d q 因舍去或 所以d=5，q=6
故a n =1+（n-1）16,455-=-=⨯n n b n
假设存在常数a 、b 使得对一切非零自然数n 都有a b b n a n +=log 成立
即45-n =b n a +-16log ①
不妨设n=1，n=2时，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=-⨯+=-⨯b
a b a 61log 425log 415
解得a=1,65=b
把a=1,65=b 代入①，整理得45-n =45-n
此式对一切非零自然数n 都成立
故存在常数a=1,65=b 满足题意.
评析：本题解法中，根据已求量，通过列方程组，求出等差、等比数列基本量d 、q.从而确定其通项公式.为进一步求解奠定了基础.方程的思想方法得到了具体的应用.
三、化归的思想在解数列题中的应用
化归的思想就是化未知为已知、化生疏的为熟悉的、化难为易.在解决数列问题时，我们往往化非等差、等比数列问题为等差、等比数列问题，达到化难为易的目的.有时也通过a n 与n S 的转化来解决问题.
例4 设a 0为常数，且a )(2311+--∈-=N n a n n n ，证明：对任意的n ≥1， a []
012)1(2)1(351a n n n n n n ⋅⋅-+⋅-+=-. 证明：由a 1123---=n n n a ，得1
1332313--⋅-=n n n n a a 设b n n n a 3
=，则b 31321=+-n n b ① 令)(321λλ+-=+-n n b b ，与①式比较，得λ=－5
1 ∴为公比的等比数列，以为首项是以3
2,)51(32515101--=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-a b b n ∴n n n n a a b )3
2)(51()1()32)(51(32510110--=--=---， 即b 5
1)32)(51()1(01+--=-n n n a ∴
51)32)(51()1(301+--=-n n n n a a
故a []
012)1(2)1(351a n n n n n n ⋅⋅-+⋅-+=- 评析：通过变形、变量替换、构造等多种化归手段，把非等比数列先化为a d ca n n +=-1的形式.而后进一步化归为等比数列问题来解.本题解法步步体现化归的思想.
四、分类讨论思想在解数列题中的应用
分类讨论的思想是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象划分为不同种类.然后逐类进行分析研究.达到解决问题的目的.事实上，分类讨论也是一种化整为零进而各个击破再进行整合的解题策略.
例5 若等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项的和为80，其中数值最大的一项为54，前2n 项的和为6560，求前100项之和.
解（1）若q=1，则各项都相等，S 2,22121===n
n n n S S na ，S
na .这与已知中28280
65602≠==n n S S 相矛盾，故q ≠1； (2)若0<q<1，则0<q n <1，S q q a S q q a n n n n --=--=1)1(,1)1(2121 ∴,212<+=n n n q S S 这与822=n
n S S 相矛盾，故0<q<1不成立； （3）若q>1，则0<a 1<a 2<…<a n ，∴ a n =54
即a 5411=-n q ①
又81,182=∴+==n n n
n q q S S ② ②÷①，得1132,2
35481a q a q =∴==③ )1(8054,80111q q a q
q a a S n n -=-∴=--= q a 26801-=∴④
将③代入④，得a 1=2，∴q=3
131)1(1001001100-=--=∴q
q a S . 评析：确定数列{}n a 中哪一项是最大的项，是本题之关键，而这又决定于公比q ，题中已知各项都是正数，所以q>0，故可分q=1、0<q<1、q>1三种情况讨论，化整为零而后各个击破.
五、数形结合思想在解数列题中的应用
对于等差数列{}n a ，若其公差d 0≠.由d n a a n )1(1-+=知点(n,a )n 在同一直线上，由,2)1(1d n a n s n -+=，知点),(n
s n n 也在同一直线上.对于等差数列的有关问题通过构造点共线模型，可简化解题过程.有时由前n 项和S n 联系二次函数，利用二次函数的对称性解决问题也十分有效.这些方法不一定要画图形助解.但其解题过程蕴含着数形结合的思想.
例6 一个等差数列的第3项为9，第9项为3，求它的第12项.
解：由题设知3,993==a a
三点（3，9）、（9，3）、（12，12a ）共线，
,9
123399312--=--∴a 解得012=a 例7 在等差数列{}n a 中，若b S a S n n ==2,，求n S 3.
解：由题设知(n,)n a 、()2,2n
b n 、()3,33n S n n 三点共线， n
n n b n S n n n a n b n 2323223--
=--∴， 解得)(33a b S n -=.。