ch11-模糊系统

2、 模糊数学的产生与发展
2.1模糊数学的产生
1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
“事物的复杂性与精确性的矛盾是当代科学的一 个基本矛盾”，由此促使着模糊数学的产生和发展。 “模糊”并非坏事，在有些情况下它比精确更有 意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特征，对 人进行模糊综合评价。郑板桥讲“难得糊涂”，实际 上包含了难得模糊的哲理。
2.3
模糊数学的发展
1975年之前，发展缓慢；1980以后发展迅速； 1990-1999 Fuzzy Boom
• 杂志种类 1978年，Int. J. of Fuzzy Sets and Systems 每年1卷共340页，99年8卷每卷480页 Int. J. of Approximate Reasoning
2.2 基本思想
用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于秃子的程 度为0.3等. 任何事物的发展都有一个从量变到质变的过程,这个 过程用经典数学很难描述,模糊数学的发明完成了这一使 命: （1）给数学“禁区”的各门学科，如社会、人文学科等 提供新的语言和工具； （2）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别和判断， 提高自动化水平，使电脑更“聪明”。
3.2 隶属函数
特征函数 在经典集合论中，一个元素x和一个集合A之间的 关系只能有xA或者xA这两种情况。集合可以通过其 特征函数来刻划，每一个集合A都有一个特征函数A(x)， 其定义如下：
每一个集合A都有一个特征函数A(x)，其图形如 图1所示：
图1特征函数A(x) 图
例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高， 那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数 A(x)可定义为
图2 一般情形下的特征函数图
3.3 模糊子集的表示
可确定U 的一个模糊子集A


μ A (x)称为A的隶属函数，μ A (xi)称为 元素xi的隶属度。当μ A (xi)＝1时，则xi 完全属于模糊集A，当μ A (xi)＝0则xi完 全不属于模糊集A．

例1 已知论域为实数集R，设A是“比0大 得多的所有实数”，A就是论域R上的一个 Fuzzy 集，且： A ： R→[0 ， 1] ， x∈R 关于 A 的隶属度为：
EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐 • 模糊产品
洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯 •国内状况 1976年，潘学海，弗齐集合论，计算机应用及应用数学； 1980年，汪培庄，模糊数学简介，数学的实践与认识. 1981年，模糊数学创刊
―20岁左右”

原集合（年龄）
• {...., 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, ...}

―20岁左右”这个模糊集可以表示为：
• 0.8/18 + 0.9/19 + 1/20 + 0.9/21 + 0.8/12 隶属度[0,1] 集合元素
• 0.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22 +0.6/23
0 x≤0
A（x）= 1/（1+（100/x2）） x>0

年轻”和“年老”是两个模糊概念，可 用Fuzzy集来描述它们。取年龄论城U ＝[0，200]，设描述“年轻”和“年 老”的这两个Fuzzy集分别为Y和O， 年龄u属于Y及O的隶属度分别为：

Y (23)＝l，O(80)＝0.99；这意味着 23岁属于“年轻”的程度为100％， 80岁属年老”的程度为99％．
0 0 u 50 u 50 2 1 A(u) (1 ( ) ) 50 u 100 5
1
0 50
U 100
再如，B= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶 属 于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数：
1 0 u 25 u 25 2 1 B(u ) (1 ( ) ) 25 u 100 5
2.4 为什么研究模糊数学
•复杂性要求 不相容原理 (Incompatibility Principle)
As the complexity of a system increases, our ability to make precise and yet significant statements about its behavior diminishes until a threshold is reached beyond which the precise and significance become mutually exclusive characteristics.
2、集合的基本运算 并集、交集、差集、补集。
3.1模糊子集
模糊集合 1、模糊集合：无明确边界的集合。 2、模糊集合的特点：把原来普通集合对类属、 性态的非此即彼的绝对属于或不属于的判定，转化为 对类属、性态做从0互1不同程度的相对判定。
★模糊子集：设给定论域U和一个资格函数把U 中间每个元素x和区间[0，1]中的一个数μ A(x) 结合起来。μ A(x)表示x在A中的资格的等级。此 处的A我们就说是U的一个模糊子集。
1 B（u）
0 25
50
U
共同特点：模糊概念的外延不清楚。 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。 模糊概念导致模糊现象 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。 • 术语来源 Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的 模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰
x 140 A( x) 190 140
x 100 A( x) 200 100
也可用Zadeh表示法：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6 0.15 0.2 0.42 0.6 0.8 0.9 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
1.1 从《伊索寓言》的故事开始

一个路人问一位智者，要走几小时才能到达某 地。智者默不作答，等过路人走了一小段路以 后，他才把那人叫回，答以时间……
• 赞成

说话要有根据 回答十分精确 说话要灵活处理 路人又没问精确时间
• 反对

―3小时左右”

模糊性
• 日常生活中，早已运用自如 • 科学分析中，理论却还未完善
还可用向量表示法： A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1). 另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、 “中等个子”、“年轻人”、“中年人”等模糊 子集. 从上例可看出： (1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集, 而经典子集是有限的； (2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是 主观的. 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一， 模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观 的方法.
Int. J. Fuzzy Mathematics
Int. J. Uncertainty, Fuzziness, knowledge-based Systems
IEEE 系列杂志
主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种
• 国际会议
IFSA (Int. Fuzzy Systems Association)
3.2 隶属函数
隶属函数
设给定论域 U ， U 在闭区间 [0 ， 1] 中的任一 映射μ A
3.2 隶属函数
模糊数学是将二值逻辑｛0，1｝拓广到可取 [0，1]闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。 因此，也必须把特征函数作适当的拓广，这就是隶 属函数μ(x)，它满足： 0≤μ(x)≤1 (2) (1)式也可以记作μ(x)∈[0，1]，一般情形下， 其图形如图2所示。


模糊概念用数学语言来说就是模糊集合。模糊 集合的基本思想是把经典集合中的绝对隶属关 系灵活化，用特征函数的语言来讲就是；元素 对“集合”的隶属度不再是局限于取0或1，而 是可以取从0到1。的任一数值。 模糊数学的几个概念： • 映射：在两个集合X、Y之间，如果有一个法 则f，使得对X中的每个元素x，在Y中都有唯 一元素y与之对应，则称f是X到Y的映射。 即：对每个x∈X都存在着唯一确定的元素y＝ f(x)∈Y与之对应．

模糊理论
• 模糊集，模糊逻辑，模糊数，...

历史
• 20c60s，奠定理论基础

L.A.Zadeh, ―Fuzzy Set‖, 1965.
荷兰，热水站，传统方法难以控制 日本，地铁列车自动运转，自来水厂净化处理
• 20c70s，广泛应用于控制领域

秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
•设某人头发根数为n，当n=1（即该人头上只 有一根头发），显然该人一定是秃子，结论 正确； •若某人头发根数n=k时为为秃子；（归纳假 设） •那么当n=k+1 （即该人头上只比秃子多一根 头发）， 当然该人亦为秃子。
•人工智能的要求
• 取得精确数据不可能或很困难 •没有必要获取精确数据 结语:
模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学破了以二值 逻辑为基础的传统思维，使得模糊推理成为严格 的数学方法。随着模糊数学的发展，模糊理论和 模糊技术将对于人类社会的进步发挥更大的作用。