模糊系统建模

y
j
i1i2
g e1 , e2
i1
i2

（7.1）
j A x 其中 ei 为 i 在模糊集 i 上的中间值或边界值。
步骤3：采用乘机推理机，单值模糊器和中心平 均解模糊器，根据 M N1 N2 条规则来构造模 糊系统 f x
i1i2 i1 i2 y ( ( x ) A1 1 A2 ( x2 )) i1 1 i 2 1 N1 N 2 N1 N2
1
2
设计过程中，还必须知道 gx 在
i1 1,
2, , N1 , i2 1, 2, , N 2
g x1
和

g x2
。同时，在

i1 i2 x (e1 , e2 )
处的值。
3
仿真实例
针对一维函数 g x ，设计一个模糊系统 f x ，使
sup g x f x
万能逼近定理
系统， gx 为式（7.1）中的未知函数，如果 gx
1 1 1 2
令 f x为式（7.2）中的二维模糊
在 U , 上是连续可微的，模糊系统的 逼近精度为：
g f

g g h1 h2 x1 x2
(7.3)
hi max eij 1 eij i 1, 2
2 模糊系统建模 1 模糊逼近
设二维模糊系统 g ( x)为集合 U , , R 上的一个函数，其解析式形式未知。假设对任意一
1 1 2 2 2
个 x U ，都能得到 g ( x) ，则可设计一个逼近的模糊系统。 模糊系统的设计步骤为： 步骤1：在 i , i 上定义 Ni i 1, 2 个标准的、一致 的和完备的模糊集。
f (x)
(
i1 1 i 2 1
i1 A1
( x1 ) ( x2 ))
i2 A2
（7.2）
在上述模糊系统推理中,规则前提之间采用 交运算中的代数积算子,规则前提与结论之 间采用交运算中的代数积算子,规则之间采 用模糊并算子运算。最后的结果再进行反模 糊化。
下图为二维模糊系统示意图:
1 j Ni 1
(7.4)
xU
式中，无穷维范数
定义为 d x sup d x 。
由(7.4)式可知：假设 x i 的模糊集的个数为 N i ，
j e 其变化范围的长度为 Li ，取 i 为均匀间隔，则模糊
系统的逼近精度满足
Ni Li 1 hi
即：
Li hi Ni 1
由该定理可得到以下结论：
（1）形如式（7.2）的模糊系统是万能逼近器，对任意
给定的 0 ，都可将 成立，从而保证
h1 和 h2
选得足够小，使 g

sup g x f x g f
xU
。
x1
h1

g x 2
h2

（ 2 ）通过对每个 xi 定义更多的模糊集可以得到更为准 确的逼近器，即规则越多，所产生的模糊系统越有效。 （3）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道 gx 关于 x 和 x 的导数边界，即
N1 4 N2 5 1 2 0 1 2 1
2 万能逼近定理
万能逼近定理表明模糊系统是除多项函数逼近器、神 经网络之外的一个新的万能逼近器。模糊系统较之其它逼 近器的优势在于它能够有效地利用语言信息的能力。万能 逼近定理是模糊逻辑系统用于非线性系统建模的理论基础， 同时也从根本上解释了模糊系统在实际中得到成功应用的 原因。
0.6
0.4
0.2
0 -3
-2
-1
0 x
1
2
3
图1
隶属函数
一维函数逼近仿真程序见iden_fuzz1.m。逼近效 果如图2和3所示：
1
0.5
Approaching
0
-0.5
-1 -3
-2
-1
0 x
1
2
3
图2
模糊逼近
5
x 10
-3
Approaching error
0
-5 -3
-2
-1
0 x
1
2
3
图3
A , A , , Ai
1 i 2 i
Ni
步骤2：组建 M N1 N2 条模糊集IF-THEN规则：
Ru
i1i2
：如果 x1 为 A1i 且 x2 为 A2i ，则
1 2
y
为 B i1i2
其中，i1 1, 2, , N1 ,
12
i2 1, 2, , N2
将模糊集 B i i 的中心（用 y i1i2 表示）选择为
0.6
0.4
0.2
0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0 x1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图4
x1 的隶属函数
1
0.8
Membership function
0.6
0.4
0.2
0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0 x2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图5
x2 的隶属函数
图6
模糊逼近
图7
逼近误差
逼近误差
实例2
针对二维函数 g x ，设计一个模糊系统 f x ，使
U 1, 1 1, 1 上的连续函数
之一致的逼近定义在
g x 0.52 0.1x1 0.28x2 0.06x1 x2
所需精度为 0.1 。
由于
g x1
sup 0.1 0.06x 2 0.16，
U 1,1
N
L 1 11 h
上定义11个具有三角形隶属函
数的模糊集 A j 。
所设计的模糊系统为：
i1 i2 i1 i2 g e , e x A 1 A x 2 i1 1 i2 1 11 11
f x


x x
则模糊集的个数为 N L 上定义31 个具有 1 31 。在 U 3,3 h 三角形隶属函数的模糊集 A j，如图 1 所示。所设计的模 糊系统为：
f x
sin e x
31 j j 1 j A
x
j 1 j A
31
1
0.8
Membership function
xU
g x 2
sup 0.28 0.06x1 0.34
x U
由式（5.3）可知，取 h
1
0.2
h2 0.2 时，有 ，
g f 0.16 0.2 0.34 0.2 0.1
满足精度要求。由于 L 2 ，此时模糊集的个数为 即 x1 和 x2分别在
i1 1 i2 1 i1 A 1 i2 A 2
11
11
(5.6)
该模糊系统由 11 11 121 条规则来逼近函数 g x
二维函数逼近仿真程序见iden_fuzz2.m 。x1 和 x2 的 隶属函数及 g x 的逼近效果如图4至7所示
1
0.8
Membership function
xU
实例 1
之一致的逼近定义在 U 3, 3上的连续函数 g x sinx，
所需精度为 0.2 ，即 。
由于 知， g f

g x
cos x


1
， 由 式 （ 5.3 ） 可

g h h ，故取 h 0.2 x
满足精度要求。取 h 0.2 ，