兴国县第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

兴国县第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知点F 1，F 2
为椭圆
的左右焦点，若椭圆上存在点P
使得
，
则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．（0
，） B ．（0
，] C
．（
，] D ．
[，1）
2． 设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P ∩（∁U Q ）=（ ） A ．{1，2，3，4，6} B ．{1，2，3，4，5} C ．{1，2，5}
D ．{1，2}
3． 如图Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′=2，则这个平面图形的面积是（ ）
A
． B ．1 C
． D
．
4． 已知f （x ）是R 上的偶函数，且在（﹣∞，0
）上是增函数，设，b=f （log 43），c=f （0.4﹣1.2
）
则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a
5． 已知函数y=f （x ）的周期为2，当x ∈[﹣1，1]时 f （x ）=x 2，那么函数y=f （x ）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（ ）
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．1个
6． 若函数f （x ）=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 7． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ） A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a ，b 不能被5整除 D ．a ，b 有1个不能被5整除
8． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c
，若
﹣
+1=0，则角B 的度数是（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．150°
D ．60°或120°
9． 函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在
x=处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．7
D ．9
10．函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞ 11．如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题．
①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等
④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③
D ．③④
12．已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，且双曲线C 过点P （﹣2，0），则双曲线C 的
渐近线方程是（ ）
A ．y=±x
B ．y=±
C ．xy=±2
x
D ．y=±x
二、填空题
13．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC=5，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 ．
14．已知sin α+cos α=，且＜α＜
，则sin α﹣cos α的值为 ．
15．函数
的单调递增区间是 ．
16．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时．
17．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +< 恒成立，则m 的取值范围是_______．
【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．
18．在极坐标系中，O 是极点，设点A ，B 的极坐标分别是（2，
），（3，
），则O 点到直线AB
的距离是 ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为方程为r
（],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2t cos 2sin x y t a
a
ì=+ïí=+ïî（t 为参数）．
（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的直角坐标和曲线C
的参数方程；
（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．
20．已知椭圆
，过其右焦点F 且垂直于x 轴的弦MN 的长度为b ．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知点A 的坐标为（0，b ），椭圆上存在点P ，Q ，使得圆x 2+y 2
=4内切于△APQ ，求该椭圆的方程．
21．（本题12分）如图，D 是Rt BAC ∆斜边BC 上一点，AC =. （1）若22BD DC ==，求AD ； （2）若AB AD =，求角B .
22．（本小题满分12分）
成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从
某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试
成绩（百分制）的茎叶图如图所示.
（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）
23．在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B为短轴的一
个端点，E是椭圆C上的一点，满足，且△EF1F2的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l距离的取值范围．
24．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨
迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；111]
（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C交于A，B两点与曲线C交于E，F两点，
线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．
兴国县第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由题意设=2x，则2x+x=2a，
解得x=，故||=，||=，
当P与两焦点F1，F2能构成三角形时，由余弦定理可得
4c2=+﹣2×××cos∠F1PF2，
由cos∠F1PF2∈（﹣1，1）可得4c2=﹣cos∠F1PF2∈（，），
即＜4c2＜，∴＜＜1，即＜e2＜1，∴＜e＜1；
当P与两焦点F1，F2共线时，可得a+c=2（a﹣c），解得e==；
综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[，1）
故选：D
【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想，属中档题．2．【答案】D
【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，
∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，
∴P∩（C U Q）={1，2}
故选D．
3．【答案】D
【解析】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，
∴直角三角形的直角边长是，
∴直角三角形的面积是，
∴原平面图形的面积是1×2=2
故选D．
4．【答案】C
【解析】解：由题意f（x）=f（|x|）．
∵log43＜1，∴|log43|＜1；
2＞|ln|=|ln3|＞1；
∵|0.4﹣1.2|=| 1.2|＞2
∴|0.4﹣1.2|＞|ln|＞|log43|．
又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．
∴c＜a＜b．
故选C
5．【答案】A
【解析】解：作出两个函数的图象如上
∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数
∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，
在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，
在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，
且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，
再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，
且当x=1时y=0；x=10时y=1，
再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，
故选：A．
【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．
6．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，
可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，
所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，
函数的最大值为：5．
故选：A．
【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．
7．【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故应选B．
【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．
8． 【答案】A
【解析】解：根据正弦定理有： =，
代入已知等式得：﹣+1=0，
即
﹣1=
，
整理得：2sinAcosB ﹣cosBsinC=sinBcosC ， 即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）， 又∵A+B+C=180°， ∴sin （B+C ）=sinA ， 可得2sinAcosB=sinA ， ∵sinA ≠0，
∴2cosB=1，即cosB=， 则B=60°． 故选：A ．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
9． 【答案】C
【解析】解：∵函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，
∴sin
+acos
=﹣
=﹣2，∴a=
，∴f （x ）=sin ωx+
cos ωx=2sin （ωx+
）．
再根据f （）=2sin （+
）=﹣2，可得
+
=2k π+
，k ∈Z ，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，
则ω的可能值为7， 故选：C ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 11．【答案】D
【解析】
【分析】对于①可构造四棱锥CABD 与四面体OABC 一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD ，此时存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥；对于③取CD=AB ，AD=BD ，此时CD 垂直面ABD ，即存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC 的内接球的球心P ，使半径为r ，只需PD=r ，可判定④的真假．
【解答】解：∵四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，
∴AC=BC=
，AB=
当四棱锥CABD 与四面体OABC 一样时，即取CD=3，
AD=BD=2 此时点D ，使四面体
ABCD 有三个面是直角三角形，故①不正确
使AB=AD=BD ，此时存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥，故②不正确；
取CD=AB ，AD=BD ，此时CD 垂直面ABD
，即存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等，故③正确； 先找到四面体OABC 的内接球的球心P ，使半径为r ，只需PD=r 即可 ∴存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上，故④正确 故选D
12．【答案】A
【解析】解：抛物线y 2
=8
x 的焦点（2，0），
双曲线C 的一个焦点与抛物线y 2
=8
x 的焦点相同，c=2
，
双曲线C 过点P （﹣2，0），可得a=2，所以b=2．
双曲线C 的渐近线方程是y=±x ．
故选：A ．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．
二、填空题
13．【答案】 5 ．
【解析】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，
∵CD⊥BC，∴CD∥AE，
∵CD=5，BD=2AD，∴，解得AE=，
在RT△ACE，CE===，
由得BC=2CE=5，
在RT△BCD中，BD===10，
则AD=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．
14．【答案】．
【解析】解：∵sinα+cosα=，＜α＜，
∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=，
∴2sinαcosα=﹣1=，
且sinα＞cosα，
∴sinα﹣cosα=
==．
故答案为：．
15．【答案】[2，3）．
【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得1＜x＜3，则y=，
本题即求函数t在（1，3）上的减区间．
利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3），
故答案为：[2，3）．
16．【答案】0.9
【解析】解：由题意， =0.9，
故答案为：0.9
17．【答案】15(,)43
-
18．【答案】 ．
【解析】解：根据点A ，B 的极坐标分别是（2，
），（3，
），可得A 、B 的直角坐标分别是（3，
）、（﹣，），
故AB 的斜率为﹣
，故直线AB 的方程为 y ﹣
=﹣
（x ﹣3），即x+3
y ﹣12=0，
所以O 点到直线AB 的距离是=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
（Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(22
2
≥=+y y x 相切时
21|22|2
=+-k
k
0142=+-∴k k ，32-=∴k ，32+=k （舍去）
设点)0,2(-B ，2
AB
k =
=-
故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--. 20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设F （c ，0），M （c ，y 1），N （c ，y 2），
则
，得y 1=﹣
，y 2=
，
MN=|y 1﹣y 2|==b ，得a=2b ，
椭圆的离心率为： =
=
．
（Ⅱ）由条件，直线AP 、AQ 斜率必然存在，
设过点A 且与圆x 2+y 2
=4相切的直线方程为y=kx+b ，转化为一般方程kx ﹣y+b=0，
由于圆x 2+y 2
=4内切于△APQ ，所以r=2=
，得k=±（b ＞2），
即切线AP 、AQ 关于y 轴对称，则直线PQ 平行于x 轴， ∴y Q =y P =﹣2，
不妨设点Q 在y 轴左侧，可得x Q =﹣x P =﹣2，
则
=
，解得b=3，则a=6，
∴椭圆方程为：
．
【点评】本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．
21．【答案】（1）2=AD ；（2）3
π
=
B .
【
解
析
】
考点：正余弦定理的综合应用，二次方程，三角方程.
【方法点晴】本题主要考查三角形中的解三角形问题，解题的关键是合理选择正、余弦定理..当有三边或两边及其夹角时适合选择余弦定理，当有一角及其对边时适合选择正弦定理求解，解此类题要特别注意，在没有明确的边角等量关系时，要研究三角形的已知条件，组建等量关系，再就是根据角的正弦值确定角时要结合边长关系进行取舍，这是学生们尤其要关注的地方.
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.
23．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）由已知F 1（﹣c ，0），设B （0，b ），即=（﹣c ，0），=（0，b ），
∴=（﹣c ，
），即E （﹣c ，
），
∴
，得
，①…
又△PF
1F 2的周长为2（），
∴2a+2c=2+2
，②…
又①②得：c=1，a=
，∴b=1，
∴所求椭圆C 的方程为：
=1．…
（2）设点M （m ，0），（0＜m ＜1），直线l 的方程为y=k （x ﹣1），k ≠0，
由
，消去y ，得：（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2
﹣2=0，
设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），PQ 中点为N （x 0，y 0），
则，∴y 1+y 2=k （x 1+x 2﹣2）=
，
∴， =
，
即N （
），…
∵△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，∴MN ⊥PQ ，
即
=﹣1，
∴m=∈（0，），…
设点M 到直线l ：kx ﹣y ﹣k=0距离为d ，
则d 2=
=＜=，
∴d ∈（0，），
即点M 到直线距离的取值范围是（0，）．…
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式的合理运用．
24．【答案】（１） 2
4y x ；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则直线：(1)y k x =-，1212
(
,)22
x x y y M ++， 由24,
(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 2242(24)416160k k k ∆=+-=+>，
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．
【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当)(x f 不含参数时，可通过解不等式)
0)((0)('
'<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件
),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意
参数的取值是)('
x f 不恒等于的参数的范围．。