专题01 集合与常用逻辑用语(知识梳理)(新高考地区专用)(原卷版)

专题01 集合与常用逻辑用语（知识梳理）
一、集合
1、集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用英语大写字母A 、B 、C 、…来表示。

2、元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a 、b 、c 、…来表示。

注意：在集合中，通常用小写字母表示点(元素)，用大写字母表示点(元素)的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点(元素)，用小写字母表示点的集合，应注意区别。

3、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。

4、元素与集合的关系：之间只能用“∈”或“∉”符号连接。

(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；
(2)不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉。

5、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。

集合中的元素互不相同。

例：集合},1{a A =，则a 不能等于1。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。

例：}2,1,0{有}1,2,0{、}2,0,1{、}0,2,1{、}1,0,2{、}0,1,2{等六种表示方法。

6、集合的分类：
(1)有限集：含有有限个元素的集合。

(2)无限集：含有无限个元素的集合。

(3)空集：不含任何元素的集合。

7、常见的特殊集合：
(1)正整数集*N 或+N ；
(2)非负整数集N (即自然数集，包括零)；
(3)整数集Z (包括负整数、零和正整数)；
(4)有理数集Q (包括整数集Z 和分数集→正负有限小数或无限循环小数)；
(5)实数集R (包括所有的有理数和无理数)；
例1-1．判断下列说法是否正确，并说明理由。

(1)某个单位里的年轻人组成一个集合；
(2)1，23，46，|21|-，2
1这些数组成的集合有5个元素； (3)由a 、b 、c 组成的集合与由b 、a 、c 组成的集合是同一个集合。

例1-2．下列说法正确的是( )。

A 、2020年上半年发生的大事能构成一个集合
B 、小于100的整数构成的集合是无限集
C 、空集中含有元素0
D 、自然数集中不含有元素0
例1-3．若元素Q a ∈，但Z a ∉，则a 的值可以是( )。

A 、5-
B 、0
C 、3
1 D 、3 例1-4．已知集合S 中三个元素a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，那么ABC ∆一定不是( )。

A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、等腰三角形 例1-5．下列描述的对象组成的集合是无限集的是( )。

A 、方程0562=+-x x 的根
B 、大于0且小于2的实数
C 、小于20的质数
D 、倒数等于它本身的实数
例1-6．已知集合}04|{2=++=mx x x A 为空集，则实数m 的集合是( )。

A 、}44|{<<-m m
B 、}44|{≤≤-m m
C 、}22|{<<-m m
D 、}22|{≤≤-m m
二、集合的表示方式
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个花括号全部括上。

(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是点集、数集还是其它集合。

集合的所有元素用“{}”括起来，元素间用分隔号“，”。

(2)元素不重复，元素无顺序。

(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号。

(4)适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集。

需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合}4,3,2,1{与}3,4,1,2{表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集}4,3,2,1{⋅⋅⋅，就不能写成}3,4,1,2{⋅⋅⋅。

2、自然语言描述法：用自然的文字语言描述。

如：昌图一高的所有团员组成的一个集合。

3、特征性质描述法(简称描述法)：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法。

它的一般格式为)}(|{x P x ，“|”前是集合元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性。

例：}032|{2=--x x x 、}32|{2--=x x y x 、}32|{2--=x x y y 、}32|),{(2--=x x y y x 。

以一个方程(组)或不等式(组)的所有解为元素的集合叫做该方程(组)或不等式(组)的解集。

例：012≥-x 的解集就是}11|{≥-≤=x x x A 或，
012≤-x 的解集就是}11|{≤≤-=x x B ，
012=-x 的解集是}1,1{-=C 。

(1)写清楚该集合代表元素的符号。

例如，集合}1|{<∈x R x 不能写成}1{<x 。

(2)所有描述的内容都要写在花括号内。

例如，}2|{k x R x =∈，Z k ∈，这种表达方式就不符合要求，需将Z k ∈也写进花括号内，即},2|{Z k k x R x ∈=∈。

(3)不能出现未被说明的字母。

(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写。

例：方程0122=+-x x 的实数解集可表示为}012|{2=+-∈x x R x ，也可写成}012|{2=+-x x x 。

(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如}{直角三角形，}{自然数等。

4、韦恩(Venn )图法：如：
例2-1．用适当的方法描述下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集。

(1)方程092=-x 的解集；
(2)大于0且小于10的奇数构成的集合；
(3)不等式23>-x 的解集；
(4)抛物线2x y =上的点构成的集合；
(5)方程012=++x x 的解集。

例2-2．由大于3-且小于11的偶数所组成的集合是( )。

A 、},113|{Q x x x ∈<<-
B 、}113|{<<-x x
C 、},2,113|{+∈=<<-N k k x x x
D 、},2,113|{Z k k x x x ∈=<<-
例2-3．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示集合B 为 。

例2-4．下列正确表示集合}1,0,1{-=M 和}0|{2=+=x x x N 关系的Venn 图是( )。

A 、
B 、
C 、
D 、 例2-5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )。

A 、}2021|{=x x
B 、}0)2021(|{2=-y y
C 、}2021{=x
D 、}2021{
例2-6．设集合}3|||{≤∈=+n N n A ，},1|{2A x x y y B ∈-==，},1|),{(2A x x y y x C ∈-==，试用列举法分别写出集合A 、B 、C 。

例2-7．已知全集Z U =，},05|{2Z x x x x A ∈<-=，}2,1,0,1{-=B ，则图中阴影部分所表示的集合等于( )。

A 、}2,1{-
B 、}0,1{-
C 、}1,0{
D 、}2,1{
三、集合之间的关系
1、子集、真子集和集合相等：
定义 符号语言 图形语言 (Venn 图) 子集 如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫
做集合B 的子集
B A ⊆ (或A B ⊇) 真子集 如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于
A ，那么集合A 叫做集合
B 的真子集
A ≠⊂
B (或B ≠⊃A )
集合 相等 如果集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，反过来，集合B 的
每一个元素也都是集合A 的元素，那么就说集合A 等于集合B B A =
(1)任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆。

(2)空集∅是任何集合的子集，记作A ⊆∅。

(3)空集∅是任何非空集合的真子集。

(4)若非空集合A 有n 个元素，则其子集个数为n 2，真子集个数为12-n ，非空子集个数为12-n ，非空真子集个数为22-n 。

(5)对于集合A 、B 、C ，如果B A ⊆且C B ⊆，那么C A ⊆。

对于真子集也同时成立。

(6)B A ⊆且A B ⊆，则B A =；反之B A =，则B A ⊆且A B ⊆。

3、集合之间只能用“⊆、⊂、≠⊂、⊄”，“ ⊇、⊃、≠⊃”，“ =、≠”等连接，不能用“∈”或“∉”符号连接。

4、集合关系与其特征性质之间的关系
(1)推出符号(又称双推符号)⇒的应用：是正确的推理“因为…所以…”的简写形式。

例如：“因为A ，所以B ”意指“由A 成立可得到B 必成立”，这时用推出符号表示为：B A ⇒，其中命题A 称为条件、命题B 称为结论，简称“由A 推出B ”或“A 是B 的充分条件”。

这时命题A 、B 的关系称为因果关系。

(2)互推符号⇔的应用：B A ⇔意指“不但由A 可推出B ，而且由B 也可推出A ”，简称“A 等价于B ”或“A 是B 的充要条件”。

这时命题A 、B 的关系称为等价关系。

例3-1．设集合},45|{2R a a a x x M ∈+-==，集合},244|{2R a a a y y N ∈++==，则下列关系正确最准确的是( )。

A 、N M =
B 、M N ∈
C 、N M ∈
D 、N M ⊆
例3-2．设集合},45|{2+∈+-==N a a a x x A ，集合},22|{2+∈++==N a a a y y B ，则下列关系正确最准确的是( )。

A 、
B A ⊆ B 、A B ⊆
C 、A ≠⊂B
D 、B ≠⊂A
例3-3．已知集合}4,3,2,1{=A ，那么A 的真子集的个数是( )。

A 、3
B 、4
C 、15
D 、16
例3-4．集合},023|{2R x x x x A ∈=+-=，集合},50|{N x x x B ∈<<=，则满足条件B C A ⊆⊆的集合C 的个数为( )。

A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
例3-5．设集合}21|{<<=x x A ，}|{a x x B <=，若B A ⊆，则a 的取值范围为( )。

A 、2≥a
B 、1≤a
C 、1≥a
D 、2≤a
例3-6．已知集合}12,3,1{--=m A ，集合},3{2m B =，若A B ⊆，则实数=m 。

四、集合的运算
1、交集的定义：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合叫做集合A 与集合B 的交集。

记作B A ，读作“A 交B ”，即}|{B x A x x B A ∈∈=且 。

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集。

记作B A (读作“A 并B ”)，即}|{B x A x x B A ∈∈=或 。

3、全集与补集
(1)全集：如果所有要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 来表示。

(2)补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集。

记作：}|{A x U x x A C U ∉∈=且。

主要性质和运算律：
①重要结论：A A A = ，∅=∅=∅A A ；A A A = ，A A A =∅=∅ ；A A U = ，U A U = 。

②包含关系：A A ⊆，A ⊆∅，U A ⊆，U A C U ⊆；B A ⊆，C B ⊆⇒C A ⊆；
A B A ⊆ ，B B A ⊆ ，A B A ⊇ ，B B A ⊇ 。

③等价关系：B A ⊆⇔A B A = ⇔B B A = ⇔B C A C U U ⊇⇔∅=B C A U ⇔U B A C U = ； ④集合的运算律：交换律：A B B A =，A B B A =；
结合律：)()(C B A C B A =，)()(C B A C B A =；
分配律：)()()()()(C A B A C A B A C B A ==；
求补律：∅=A C A U ，U A C A U = ，A A C C U U =)(；
反演律：B C A C B A C U U U =)(，B C A C B A C U U U =)(。

4、有限集的元素个数
(1)定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为)(A card 。

规定0)(=∅card 。

(2)基本公式：
①)()()()(B A card B card A card B A card -+=；
②)()()()()()()(C A card C B card B A card C card B card A card C B A card ---++=
)(C B A card +；
③)()()(A card U card A C card U -=。

5、集合的运算
(1)集合有三种运算关系：交集、并集和补集。

在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观，简洁。

(2)一般来讲，集合中的元素是离散的，则用列举法或韦恩图表示；集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意。

遗忘空集的存在性也是常见的致误原因。

例4-1．设集合},02|{2R x x x x M ∈=+=，},02|{2R x x x x N ∈=-=，则=N M ( )。

A 、}0{
B 、}2,0{
C 、}0,2{-
D 、}2,0,2{- 例4-2．已知集合}21|{<≤=x x A ，集合}32|{<≤=x x B ，则下列关系中正确的是( )。

A 、∅=
B A B 、}2{=B A
C 、}31|{<<=x x B A
D 、}21|{<<=x x B A
例4-3．已知集合}02|{2<-=x x x A ，集合}6|1||{2≤+=x x B ，则下列关系正确的是( )。

A 、∅=
B A B 、R B A =
C 、A B ⊆
D 、B A ⊆
例4-4．已知集合R U =，}02|{2≥--=x x x A ，则=A C U ( )。

A 、}21|{≤≤-x x
B 、}21|{<<-x x
C 、}12|{<<-x x
D 、}12|{<≤-x x 例4-5．已知集合}04|{2<-=x x x A ，}12|{+∈-==N x x y y B ，，则如图所示的Venn 图中，阴影部分表示的集合中元素的个数为( )。

A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
例4-6．已知集合}4|),{(22=+=y x y x A ，}2|),{(2+==x y y x B ，则集合B A 的真子集的个数为( )。

A 、3
B 、4
C 、7
D 、8
例4-7．设集合}3,1,1{-=A ，}4,2{2++=a a B ，}3{=B A ，则=a 。

五、命题与量词
1、命题：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题。

2、命题的分类：①真命题：判断为真的语句叫做真命题；
②假命题：判断为假的语句叫做假命题。

一个命题要么是真，要么是假。

数学中的定义、公理、定理等都是真命题。

3、全称量词：短语“所有”、 “任意”、 “每一个”、 “一切”等在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，读作“对任意”。

含有全称量词的命题称为全称命题。

4、存在量词与存在性命题：短语“有一个”、 “存在一个”、 “至少有一个”、 “有的”、 “有些”、 “某个”等在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中叫做存在量词，并用符号“∃”表示，读作“存在”。

存在量词的命题称为存在性命题。

5、命题的否定：若一个命题为“若p 则q ”，则它的否定为若p 则非q ”，即命题的否定不否定条件，只否定结论，注意当条件有量词时必须更改量词，即“∀”改作“∃”，“∃” 改作“∀”。

命题p 的否定记住“p ⌝”，读作“非p ”。

例5-1．“关于x 的不等式0)(>x f 有解”等价于( )。

A 、R x ∈∃0，使得0)(0>x f 成立
B 、R x ∈∃0，使得0)(0≤x f 成立
C 、R x ∈∀，使得0)(>x f 成立
D 、R x ∈∀，0)(≤x f 成立
例5-2．命题“R x ∈∀，x x ≠2”的否定是( )。

A 、R x ∉∀，x x ≠2
B 、R x ∈∀，x x =2
C 、R x ∉∃，x x ≠2
D 、R x ∈∃，x x =2 例5-3．若命题p ：R x ∈∀，0122>-x ，则该命题的否定是( )。

A 、R x ∈∀，0122<-x
B 、R x ∈∃，0122≤-x
C 、R x ∈∀，0122≤-x
D 、R x ∈∃，0122>-x
六、充分条件与必要条件
1、定义：对于“若p 则q ”形式的命题：
从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件p 与结论q 之间的关系。

(1)若q p ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；
(2)若q p ⇒但q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；
(3)若p q ⇒且p ⇏q ，则p 是q 成立的必要不充分条件；
(4)若既有q p ⇒，又有p q ⇒，记作q p ⇔，则q 是p 的充分必要条件(充要条件)。

(5)若p ⇏q 且q ⇏p ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件。

2、从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断p 、q 相应的集合关系。

建立与p 、q 相应的集合，即p ：})(|{成立x p x A =，q ：})(|{成立x q x B =。

(1)若B A ⊆，则p 是q 的充分条件，若A ≠⊂B ，则p 是q 成立的充分不必要条件；
(2)若A B ⊆，则p 是q 的必要条件，若B ≠⊂A ，则p 是q 成立的必要不充分条件；
(3)若B A =，则p 是q 成立的充要条件；
(4)若B A ⊄且A B ⊄，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件。

例6-1．“2>x ”是“0232>+-x x ”的 ( )。

A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
例6-2．设p ：2>x 或32<
x ；q ：2>x 或1-<x ，则p ⌝是q ⌝的( )。

A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
例6-3．圆122=+y x 与直线3-=kx y 有公共点的充分不必要条件是( )。

A 、22-≤k 或22≥k
B 、22-≤k
C 、2≥k
D 、22-≤k 或2>k 例6-4．“2->a ”是“函数||)(a x x f -=在]1,(-∞上单调递减”的( )。

A 、充分而不必要条件
B 、必要而不充分条件
C 、充分必要条件
D 、既不充分也不必要条件。