2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷(上海专用,沪教版2020必修第三册全册)(全解全析

2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷
（上海专用）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册全册。

5．难度系数：0.65。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为．
【答案】平行或相交
【解析】若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b平行或相交.
故答案为：平行或相交.
2．袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为．（只需写出一个）
【答案】（白球）（答案不唯一）
【解析】所有的样本点为（白球），（黑球），（红球），
故答案为：（白球）（答案不唯一）
3．某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为．
4．若一个球的体积是4
π
3
，则这个球的表面积是．
所以这个球的表面积为24π4πR =.故答案为：4π.
5．“直线m ^平面a ”是“m 垂直平面a 内无数条直线”的
条件．
【答案】充分不必要条件
【解析】“直线m ^平面a ”Þ“m 垂直于平面内无数条直线”成立；
“m 垂直于平面内无数条直线”Þ“直线m ^平面a ”不成立；因为无数条直线可以是平面内平行的直线；故“直线m ^平面a ”是“m 垂直于平面内无数条直线”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件.
6．如图，矩形O A B C ¢¢¢¢是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中3O A ¢¢=，1O C ¢¢=，则原图形周长是
．
在直观图中，设O y ¢¢与B C ¢¢交于点P ¢，则cos 45O C O P ¢¢
¢¢=
°
在原图形中，1CP =，222OP O P ¢¢==，2OC OP =+所以原图形的周长是()()223312OA OC ´+=´+=．
7．已知PA ^正方形ABCD 所在的平面，且24PC =，PB PD ==，则PC 和平面ABCD 所成角的大小为
．
8．在某演讲比赛中，七位评委对甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为
．
9．如图，在三棱锥D -AEF 中，111,,A B C 分别是DA ，DE ，DF 的中点，B ，C 分别是AE ，AF 的中点，设三棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，三棱锥D -AEF 的体积为2V ，则12:V V =
．
10．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论序号是 ．
（1）BM 与ED 平行； （2）CN 与BE 是异面直线；（3）CN 与BM 成π
3
； （4）DM 与BN 垂直；【答案】（3）（4）
【解析】将该正方体的平面展开图还原得到如图所示：
11．设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：
（1）若M 、N 为互斥事件，且()0.5P M =，()0.25P N =，则()0.45P M N È=；（2）若()12P M =，()13P N =，()1
6P M N Ç=，则M 、N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()
5
6
P M N Ç=，则M 、N 为相互独立事件；（4）若()12P M =
，()13P N =，()1
6
Ç=P M N ，则M 、N 为互斥事件；其中正确命题的个数为
．
则事件M ，N 不能同时发生，故事件M ，N 为互斥事件，故（4）正确；综上，正确命题的个数为3.故答案为：3.
12．如下图，已知四边形,,ABCD ADEF AFGH 均为正方形，先将矩形EDHG 沿AD 折起，使二面角E AD B ¢--的大小为30o ，再将正方形AF G H ¢¢沿AF ¢折起，使二面角H AF D ¢-¢-的大小为30o ，则平面AF G H ¢¢¢¢与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为
．
作,H M DE ¢^¢交DE ¢于M ，作
,DE AD ¢在平面AF E D ¢¢内，由,DE AD ¢在平面AF E D ¢¢内，由
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)
13．①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4100m ´接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（ ）
A ．分层抽样，简单随机抽样
B ．简单随机抽样，简单随机抽样
C ．简单随机抽样，分层抽样
D ．分层抽样，分层抽样
【答案】A
【解析】对于①：考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当；对于②：总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当．故选：A
14．某单位共有A 、B 两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条
形图如下.设A 、B 两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为1n ，2n ，方差分别为21s ，2
2s ，则（ ）
A ．12n n >，22
12s s >B ．12n n >，22
12
s s <C ．12n n <，22
12s s <D ．12n n <，22
12
s s >【答案】C
【解析】根据频率分布条形图可知14n =，25n =，即12n n <；
显然A 部门得分数据较B 部门更为集中，其方差更小，即22
12s s <；
故选：C
15．若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（ ）
A ．
45
B ．45
-
C ．
35
D ．35
-
16．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b ．对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有两条直线l 与a 、b 都成75°角．以下判断正确的是（ ）
A ．①为真命题，②为真命题
B ．①为真命题，②为假命题
C ．①为假命题，②为真命题
D ．①为假命题，②为假命题
【答案】B
【解析】如下图所示，在侧面正方形11A B BA 和11A D DA 再延伸一个正方形11B E EB 和11D F FD ，则平面1E C 和1C F 在同一个平面内，所以过点P ，有且只有一条直线l ，即1EF 与a 、b 相交，故①为真命题；取1A A 中点N ，连PN ，由于a 、b 为异面直线，a 、b 的夹角等于11A B 与b 的夹角.由于11AC Ì 平面11A
C ，NP Ë平面11A C ，11NP A C P ，所以NP P 平面11A C ，所以NP 与11A B 与b 的夹角都为45o .又因为1C C ^平面11A C ，所以1C C 与11A B 与b 的夹角都为90o ，而457590<<o o o ，所以过点P ，在平面1AC 内存在两条直线，使得与a 与b 的夹角都为75o ，同理可得，过点P ，在平面1F E 内存在两条直线，使得与a 与b 的夹角都为75o ，故②为假命题.故选：B
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图所示，圆柱1OO 的母线长为2，矩形11AA B B 是经过1OO 的截面，点C 为母线1BB 的中点，点1C 为弧
11A B 的中点.
(1)求异面直线AB 与11A C 所成角的大小；
(2)若圆柱1OO 的侧面积为4π，求直线1CC 与平面111A B C 所成角的正弦值的大小.【解析】（1）连接11A B ，则11//A B AB ，
所以111B AC Ð是异面直线AB 与11A C 所成角（或其补角）
， (2分)
因为点1C 为弧11A B 的中点，所以11145B A C Ð=o
，所以异面直线AB 与11A C 所成角为45o ； (6分)
（2）设圆柱底面半径为r ，由已知2π24πr ⋅=，则1r =，连接11B C ，因为1CB ^平面111A B C ，
所以11B C 是直线1CC 在平面111A B C 上的射影， 所以11CC B Ð是直线1CC 与平面111A B C 所成的角， (8分)
111B C CC ===，
所以11sin CC B Ð=
=
即直线1CC 与平面111A B C (14分)
18．已知三棱锥P ABC -中，,AB AC PA ^^平面,3,4,ABC PA AB AC M ===为BC 中点，过点M 分别作平行于平面PAB 的直线交AC PC 、于点E F 、.
(1)求直线PM 与平面ABC 所成的角的正切值；
(2)证明：平面//MEF 平面PAB ，并求直线ME 到平面PAB 的距离.【解析】（1）
因为PA ^平面ABC ，连接AM ，
则PMA Ð即为直线PM 与平面ABC 所成的角， (2分)
又3PA AB ==，4AC =，AB AC ^，
M 为BC 中点，可得5BC =，52
AM =
，所以6
tan 5
PA PMA AM Ð=
=，即直线PM 与平面ABC 所成的角的正切值为6
5
.
(6分)
（2）由题知，//ME 平面PAB ，//MF 平面PAB ，ME MF M =I ，,ME MF Ì平面MEF ，
所以平面//MEF 平面PAB . (8分)
因为PA ^平面ABC ，AC Ì平面ABC ，所以PA AC ^，
(10分)
又AC AB ^，,AB PA Ì平面PAB ，AB PA A =I ，所以AC ^平面PAB ，又//ME 平面PAB ，所以AE 就是直线ME 到平面PAB 的距离，又M 为BC 中点，则1
22
AE AC =
=，即直线ME 到平面PAB 的距离为2.
(14分)
19．某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下（其中N a Î，N b Î）；进球数012
345高一人数42a
b 4212高二人数
3
1
12
44
33
7
(1)请写出高二年级样本的中位数；
(2)若高一年级样本的平均数为3.2，求a 的值；
(3)在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是40.16%，求a 的值；
【解析】（1）因为高二年级进球数不超过2个的人数为311216++=人，不超过3个的人数为164460+=人，
所以高二年级样本的中位数为3个； (2分)
（2）因为高一年级样本的平均数为3.2，所以
()1
0412******** 3.2100
a b ´´+´+++´+´=，即2390a b +=，
又因为424212100a b +++++=，所以40a b +=，
联立方程239040a b a b +=ìí+=î，解得30
10a b =ìí=î，
即a 的值为30；
(6分)
（3）由题意可知，高一100人中进球数为2的有a 人，
则随机抽一人进球数为2 高二100人中进球数为2的有12人，则随机抽一人进球数为2的概率为
123
10025
=， (10分)
所以“至少有一个人的进球数为2”的概率31110.401610025a P ⎛⎫⎛⎫
=--´-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，解得32a =．
(14分)
20．在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，1BC =2π
3
ABC Ð=，111AB AC ^，,,,,D E F H G 分别为11111,,,,AC AA A C C C BB 的中点.
(1)证明：平面DBE ∥平面1FB H ；(2)证明：平面1A AC ⊥平面ABC ；
(3)若P 为线段1B G 上的动点，求二面角P AC B --的平面角的余弦值的取值范围．
【解析】（1）三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 为平行四边形，,D F 分别为11,AC A C 的中点，所以1AA //DF ，且1DF AA =，
又因为1AA 1//BB ，且11BB AA =，所以1BB //DF ，且1DF BB =，所以四边形1DFB B 为平行四边形，所以1FB //DB ，
又由于DB Ë面1B FH ，1FB Ì面1B FH ，所以DB //面1B FH ， (2分)
在11AA C C Y 中，1CA //DE ，且112DE CA =，同理1CA //FH ，且11
2
FH CA =，
所以FH //DE ，又由于DE Ë面1B FH ，FH Ì面1B FH ，所以DE //面1B FH ，又DB //面1B FH ，DB DE D Ç=，,DB DE Ì平面DBE ，所以平面DBE ∥平面1FB H ； (4分)
（2）连接1DA ， DB ，
因为 AB BC = ，所以 AC DB ^ ，又因为 11//AC A C ，且111A C A B ^，所以 1AC A B ^ ，因为 1A B ， DB Ì 平面 1OBA ，且1A B DB B Ç= ，所以 AC ^ 平面 1DBA ，因为 1DA Ì 平面 1DBA ， (6分)
所以1AC DA ^ ，在 ABC V 中， 2AB BC == ， 2π
3
ABC Ð=
，
AC ===由余弦定理求得
AC ==则
11A C AC ==
，1BC = ，
(8分)
因为111A C A B ^，所以222
1111A C A B BC += ，解得
1A B =，
在1Rt ADA ，12AA =
，AD = ，可知11A D =，又1DB =，
在1DBA △中，222
11DA DB A B +=，因此1A D DB ^ ．
由（1）知，1AC DA ^ ，且 AC ， DB Ì 平面 ABC ，且 AC DB D =I ，所以1A D ^ 平面ABC ，
因为1A D Ì 平面 1A AC ，因此平面 1A AC ^ 平面 ABC ．
(10分)
（3）设[]()1,2BP x x =Î，12P ABC B ABC x V V --=
，11222P ABC B ABC A ABC V x V x V x ---====所以P 到平面ACB 的距离为2
x
d =
， (12分)
在平行四边形11AA B B 中，计算得1cos 4
3BAA Ð=，在ABP 中可得2234AP x x =++
，
在平行四边形11CC B B 中，计算得11cos 4
3
BB C Ð=-，
(14分)
在CBP 中可得2234CP x x =-+，在CAP
中，CAP
S ==
所以P 到AC
设二面角P AC B --的平面角为q
，cos q =
=
.
(18分)
21．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，经过A ，1D ，E 三点的平面记为平面a ，点P 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A P a .
(1)设平面11BCC B l a =I ，求证：1//AD l ；
(2)平面a 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分，求这两部分的体积之比1
2
V V （其中12V V ≤）；(3)当1A P 最小时，求三棱锥11P AA D -的外接球的表面积.
【解析】（1）连接1BC ，因为11AB D C =且11//AB D C ，所以11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，1AD Ë平面11BCC B ，1BC Ì平面11BCC B ，所以1//AD 平面11BCC B ， (2分)又平面11BCC B l a =I ，1AD Ì平面a ，所以1//AD l .
(4分)
（2）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F =I ，连接AF ，设BC AF G =I ，连接GE ，由E 为1CC 的中点，得G 为BC 的中点，1//EG AD \，所以平面1AGED 即为平面a ， (6分)
因为E 为1CC 的中点，所以C 为DF 的中点，
所以平面a 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，所以1
1
1F DAD F CGE
CGE DAD V V V V ---=-=棱台11771711564488838323
F DAD DAD V S FD -==´´=´´´´´= ，\另一部分几何体的体积3256136
433
V -==，\两部分的体积
127
17
V V =． (10分)（3）取11B C 的中点N ，1BB 的中点M ，连接MN 、ME 、1A M 、1A N ，
显然1//MN BC ，1//EG BC ，所以//MN EG ，MN Ë平面1AGED ，EG Ì平面1AGED ，所以//MN 平面1AGED ，
又E 为1CC 的中点，所以11//ME B C 且11ME B C =，又1111//B A C D 且1111A D B C =，所以11//A D ME 且11A D E M =，
所以11A D EM 为平行四边形，所以11//A M D E ，
1A M Ë平面1AGED ，1D E Ì平面1AGED ，
所以1//A M 平面1AGED ，
(12分)
又1A M ME M =I ，1,A M ME Ì平面1A MN ，所以平面1//A MN 平面1AGED ，又点P 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A P a ，
所以P 在线段MN
上，又11A N A M ===，
即1A MN 为等腰三角形，所以当P 为MN 的中点时1A P 最小，
(14分)
因为11AA D 为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边1AD 的中点，设为Q ，令1ME BC H =I ，则H 为1BC 的中点，连接QH ，则//QH AB ，所以QH ^平面11AA D ，
所以球心在QH 上，设球心为O ，连接1OD 、OP 、PH ，设外接球的半径为R ，OQ h =，则1OD OP R ==，
又111
2
D Q AD =
=，PH =
所以(2
22R h =+，()2
2
24R h =-+
，解得54h =
，则215316
R =，所以外接球的表面积2
153
4ππ4
S R ==
. (18分)。