结构力学主要定理

§11-1概述
1．变形功与变形能
弹性杆受拉力P作用（图11-1），当P从零开始到终
值缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也
由零增至而做功，称为变形功。

（11-1）
与此同时弹性杆被拉长而具有做功的能力，表明
杆件内储存了变形能。

单位体积储存的应变能称为应
变比能（11-2）
整个杆件的变形能为（11-3）
如果略去拉伸过程中的动能及其它能量的变化与损失，由能量守恒原理，杆件的变形能U在数值上应等于外力做的功W，即有U=W （11-4）这是一个对变形体都适用的普遍原理称为功能原理，弹性固体变形是可逆的，即当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。

但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残
余变形。

2．应变余功与余能
变形体受外力作用时的余功定义
为
其中P1是外力从零增加到的终值，
仿照功与变形能相等的关系，将余功
相应的能称为余能，用U c表示。

余
功与余能相等，
即
可仿照前面，定义单位体积余应变能（或应变余能），称为余应变比能
由此整个结构余应变能可写成
应指出：余功、余应变能、余应变比能具有功的量纲，是变形体的另一能量参数，但都没有具体的物理概念，只是常力所做的功减去变力所做功余下的那部分功。

3．能量原理
固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理，由此发展出来的方法称为能量法。

能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。

4．本章内容
本章只涉及能量原理在材料力学中常用的部分内容，如：变形能、互等定理、卡氏定理、虚功原理、单位载荷法及图乘法，更为深入的，如最小势能原理，最小余能原理等变分原理，
可参考其它专著。

§11-2 杆件变形能计算
杆件不同受力情况下的变形能。

1．轴向拉伸或压缩线弹性杆件（图11-3）
拉、压杆应变比能则整个杆的变形能
或
（11-5）
（11-6）
其中，N是内力（轴力），A是截面面积，l是杆长。

对于等截面杆，内力N=P=常数，用
（11-1），线弹性范围内拉压杆的变形
能
而杆的伸长（或缩短），上式
可改写成（11-7）
2．纯剪，扭转线弹性杆件（图11-4）
线弹性材料纯剪应力状态杆件的应变比能为或（11-8）
扭转杆的变形能（11-9）
其中，T（x）是截面上的扭矩（内力）。

对于受扭转力偶矩m作用的等截面圆杆，如果杆件材料是线弹性的，则其扭转角为
；扭转力偶矩m所作的功为。

则由（11-1），扭转变形能为（11-10）
3．线弹性梁弯曲
弹性弯曲杆的应变比能；整个杆的变形能
（11-11）
=（11-12）
其中，M（x）是梁截面的弯矩（内力矩）。

对于弹性纯弯曲梁，其两端受弯曲力偶矩
m作用，m由零开始逐渐增加到最终值，
则两端截面的相对转角为θ，则弯曲力偶
矩所做的功为（图11-5）
，
则由（11-1）得杆的应变
能11-13）对于纯弯曲梁常数，上式亦可由（11-8）得到。

4．广义力与广义位移
对于拉压杆、扭转杆、弯曲杆的变形能可统一写成（11-14）
式中P在拉伸时代表拉力，扭转时代表扭转力偶矩，弯曲时代表弯曲力偶矩，P称为广义力，而与之相应的位移δ，称为广义位移，如拉伸时它是与P相应的线位移；扭转时，它是与扭转力偶矩相应的角位移；弯曲时，它是与弯曲力偶矩相应的截面角位移θ。

更一般地
说，广义力矢量与相应广义位移矢量的点积等于功。

5．非线性弹性材料的构件的变形功、变形能
对于非线性弹性材料的构件（图11-1），（11-4）式仍成立，但力与位移关系，应力与应变关
系应为由试验确定的曲线（图11-1），变形能与应变比能为，
（11-15）
例题11-1轴线为半圆形平面曲杆如图11-6，作用
于A点的集中力P垂直于轴线所在平面，求P力
作用点的垂直位移。

解：杆的任一截面mn位置可用圆心角φ来表示，
曲杆在P力作用下，mn截面上有弯矩与扭矩为
对于截面尺寸远小于半径R的曲杆（常称小曲率曲杆），可按直杆计算其变形能，微段
内的变形能是
整个曲杆变形能可在杆上积分，即
P做的功W为, 根据（11-1）有, ,
由此得:，
例题11-2 图11-7简支梁中间受集中力P作用，试导出横力弯曲变形能U1和剪切变形能U2，以矩形截面梁为例比较这两变形能的大小。

解：（1）变形能计算如图11-8所示，m-n
截面上内力为M(x)、Q(x)，则
有, 。

弯曲变形比能又可称应变比能u1，剪切变
形比能u2分别为
,
∴，
令，并令，则有：，。

横力弯曲总应变能；
对于矩形截面梁（图11-8）无量纲参数k为
；
对其它截面形状，同理可求得相应的k，例如圆形截面
，圆管截面梁k=2。

（2）两变形能的比较
图11-7简支梁，
则按上式，
总应变能，两应变能之比，。

矩形截面，，∴。

取，当，以上比值为0.125；当，为0.0312。

可见对细长梁，剪切应变能可以忽略不计，而短粗梁应予考虑。

例题11-3梁的材料应力—应变关系为，试求梁的变形能U及变形余能U c的表达式。

解：（1）变形能U应变比能u为，∴。

将关系，以及代入，则有：，其中。

（2）变形余能U c∴。

将代入上式。

（3）非线性应力—应变关系下，比较U与U C可见，变形能与余变形能不相等，因为它们按照定义是不同的，对线性弹性材料它们在数值上相等。

§11-3变形能普遍表达式
广义力P1，P2，…，P n作用于物体（图11-9），且设按同一
比例系数β从零增长到终值。

相应地物体产生变形（广义位
移）δ1，δ2，…，δn，对于线性弹性材料，则变形也将按
相同比例β增加，这时，外力对物体做功称为变形功，这一
功以变形能储藏在物体内。

如果外力在某一中间值βP1，β
P2，…，βP n时，外力有一增量dβ，此时外力将在位移增
量δ1dβ,δ2dβ，…，δn dβ上做功为：
外力从零到终值（即β从0到1）做的功可积分上式：
=
所以，物体的变形能为（11-16）
对于杆件的组合变形，如图11-10，可取出微段dx来考察，截面上有弯矩M(x)，扭矩T(x)和轴力N(x)，它们可视为外力。

设两截面轴向位移为，相对扭转角为，相对转角为
，微段变形能（对线弹性材料）：
其中，
，。

代入上式并积分，得组合变形杆件的变形能：
（11-17）
§11-4 互等定理
1．功互等定理
对于线弹性体（此物体可以代表
梁，桁架，框架或其它类型结
构），第一组力在第二组力引起
的位移上所做的功，等于第二组
力在第一组力引起的位移上所
做的功，这就是功互等定理。

为证明上述定理，考察如图
11-11两组力P，Q作用于线弹
性物体所做的功，第一组力有m
个载荷P1，P2，…，P m，第二组力有n个载荷Q1，Q2，…，Q n。

第一组力P 引起相应位移为，引起第二组力Q作用点及其方向的位移为。

第二组力Q引起相应位移为，引起第一组力P作用点及其方向的位移为。

若先将第一组力P i（i=1,2,…,m）单独作用，这组力引起其作用点沿该组力作用方向位移为(i=1,2,…,m)（称为相应位移，见图11-11（a）），其所做的功为：
随后作用上第二组力Q j（j=1,2,…,n）（图11-11（b）），此时Q j在其相应位移上做功应为。

与此同时，因为P i力已存在，且已达到终值，其值不变为常力，P i在Q j产生P i作用点、P i 方向上的位移做功为
故先加P后加Q时做功总和
为：
将加载次序反过来，先加力Q后加力P，Q j在相应位移上做功为：再加P i (i=1,2,…,m)
力，P i在其相应位移做功为：
同时物体上已作用有Q j且其值不变，Q j在由于P i引起的Q j作用点及方向的位移上做功为：
对此加载顺序，两组力所做的总功为：
由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故必有U1=U2，从而得功互等定理的表达式为：
=（11-18）
2．位移互等定理
利用（11-18），并设两组力各只有一个力P i、Q j作用于同一物体，则有：；
若，则有。

若将引起相应位移写成，将引起的相应于的位移写成，则上式又可写
成常用的公式（11-19）。

此式即为位移互等定理：Pi作用点沿Pi方向由于而引起的位移，等于作用点沿
方向由于Pi引起的位移。

上述互等定理中的力与位移都应理解为广义的，如果力换成力偶，则相应的位移应是转角位移，其推导不变。

例题11-4 装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁如图11-12，试用互等定理求解。

解：解除支座B，把工件看成悬臂梁，将切削力P及顶
针反力R B作为第一组力，设想在同一悬臂梁右端作用
单位力X=1，作为第二组力。

在X=1作用下悬臂梁上
的P及R B作用点的相应位移分别为（图11-12（b））
,
第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为：
第一组力作用下，其右端B实际位移为零，所以第二组力在第一组力引起的位移上所做的功等于零。

由功互等定理有：
，由此解得：。

§11-5 卡氏定理
1．卡氏第一定理
弹性杆件的应变能U()对于杆件上与某一载荷相应的位移（i=1,2,…,n）的变化率等于
该载荷的值，即：（11-20）。

以图11-13简支梁为例，其上作用有载荷P1，P2，…，
P n（广义力），其相应位移为δ1，δ2，…，δn（广义位移）。

假定载荷P i（i=1,2,…,n）同时作用，且由同一比例从零加载到终值P i（i=1,2,…,n）。

结构的变形能等于载荷作用期间所做的功，通过材料的载荷—位移关系，每个力P i 可表成为其相应位移的函数，通过积分求得的变形能是位移δ的函数，即
如果此时某—位移有一增量，其余位移保持不变，则此时变形能的增量dU
为: 。

当位移增大时，相应力P i将做功，而其它任何力都不做功，因为其它的位移没
有改变，∴，根据（11-1）故有：。

卡氏第一定理还可通过虚位移原理导出，不受线弹性材料的限制，可用于非线性弹性材料杆件或结构。

2．卡氏第二定理
线弹性杆件或杆系的应变能U（）对于作用在该杆件或杆系上的某一载荷的变化率等于
该载荷相应的位移，即：（11-21）
弹性结构，在外力P1，P2，…，P i，…作用下，其相应的位移为δ1，δ2，…，δi，…，结
构的应变能是P1，P2，…，P i，…的函数，即
设诸力中只有P i有一个增量，其余不变，则相应产生位移增量，，…，，…，
此时功的增量，亦即应变能增量为（略去高阶小量
）。

将原作用力P1，P2，…，P i，…作为第一组力，把看作第二组力，则由功互等定理，
得：。

所以有：或；
若趋近于零，则：。

这就是卡氏第二定理表达式。

对于横力弯曲，应变能用（11-12），用卡氏定理，有：对于桁架、拉、压杆，应用（11-6）
（11-21a）（11-21b）
例题11-5图11-14外伸梁抗弯刚度为EI，试求外伸端C的挠度f C和左端截面的转角θA。

解：外伸端C作用有集中力P，截面A作用有集中力偶矩m，根据卡氏第二定理有：。

弯矩应分段表达：
AB
段：；
；。

BC段：，，
则：
这里f C与θA皆为正号，表示它们的方向分别与P和m作用方向相同，而如果是负号，则表示与之方向相反。

用卡氏定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的载荷，如果计算某处位移，而该处没有与此位移相应的载荷，则可采用附加力法（见例11-6）。

例题11-6线弹性材料悬臂梁，自由端A作用有集中力（图
11-15），若P、l、EI已知，试求：1）加力点A的位移δA；2）
非加力点B的位移δB。

解：（1）求加力点A的位移，用卡氏第二定理：
，，
代入上式得：。

（2）求非加力点B的位移时，可在B点附加力,仍用，有附加力后弯矩为：
AB段：，；BC段：，。

∴
因为实际上B处并无力作用，故应令上式中的才是实际情况下B处位移，
故
由以上计算可见，在加附加力计算非加力点位移时，只要在计算时考虑附加力，而在
M(x)中，可令，则积分计算可以简化。

§11-6虚功原理
虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。

所谓虚位移的“虚”字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。

对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。

真实力在虚位移上做的功称为虚功。

虚功原理又称虚位移原理：如果给在载荷系作用下处于平衡的可变形结构以微小虚位移，则
外力系在虚位移上所做的虚功等于内力在相应虚变形上
所做的虚功，即：（11-22a）。

虚功原理可以用梁的例子给出其表达式和原理的证明：
图11-16，11-17（a）梁受外力P1，P2，…，P n及分布载荷q(x)作用而处于平衡。

在给此梁任一虚位移时，所有载荷作用点均有沿其作用方向的虚位
移，，…，，，于是外力在相应虚位移上的总虚功为：
另一方面，梁内力对于虚位移所做的虚功，可从
梁中取出任一微段dx（图11-17（b））来研究，
微段左、右截面上内力有：剪力Q、Q+dQ，弯
矩M、M+dM，轴力N、N+dN，扭矩T、T+dT，
对微段，这些力可看作是外力。

微段的虚位移可
分为刚体虚位移和变形虚位移，在载荷作用下梁
所有微段都会发生变形，所研究微段因其余各微
段变形而发生虚位移，就是此微段的刚体虚位
移，而由于该微段本身变形所引起的虚位移称为
变形虚位移。

由于微段处于平衡状态，由质点系
虚位移原理知，所有外力对于该微段的刚体虚位
移所做的总虚功必等于零。

而该微段的变形虚位
移为图11-17（c）、（d）、（e）、（f）所示，此时
轴力、弯矩、剪力、扭矩在变形虚位移上所做的虚功为（略去高阶小量）：
根据能量守恒，这两个总虚功相等，故有：
（11-22b）
在导出虚功原理时，并没有涉及应力—应变关系，因此与材料性质无关，故这一原理可用于线性弹性材料，也可用于非线性应力—应变关系的材料。

§11-7 单位载荷法莫尔积分
单位载荷法：用于求结构上某一点某方向上
位移的方法。

如要求图11-18刚架A点a-a
方向的位移△，可将该系统（图11-18a）真
实位移作为虚位移，而将单位力（广义力）
作用于同一结构上A点a-a方向的结构作为
一个平衡力系（图11-18b）,则应用虚功原理
有：
（11-23）
其中，，，是单位力系统的内力，而d(△l)，dθ、dλ是原系统的变形，现在被看作是虚变形；△是原系统上A点沿a-a方向的真实位移。

对于以拉压杆件，则只保留（11-23）式的第一项：（11-24）
若杆的内力=常数，则上式改为：
对于有n根杆组成的桁架，则有：对于杆以弯曲为主，则可忽略轴力与剪力的影响，有：
（11-25）（11-26）
仿照上述推导，如要求受扭杆某一截面的扭转角△，则以单位扭矩作用于该截面，并引起扭
矩，以原结构引起微段两端截面相对扭转角为虚位移，则：（11-27）以上诸式中。

如求出的△为正，则表示原结构位移与所加单位力方向一致。

若结构材料是线弹性的，则有：
；。

则式（11-25）、（11-26）、（11-27）分别化为
（11-28）；（11-29）；（11-30）这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分，显然只适用于线弹性结构。

当需要求两点的相对位移时，如图11-19a所示截面A与B的相对位移△A+△B，则只要在A，B两点的联线方向上加一对方向相反的单位力（图11-19b），然后用单位载荷法计算，即可
求得相对位移，因为这时的，即是A，B两点的相对位移。

同理，如需要
求两截面相对转角，只要在两截面上
加方向相反的一对单位力偶矩即可。

莫尔积分还可用另一方法导出：如欲求梁上C点在载荷P1，P2，…作用下的位移△（图11-20a），可在C点假想先只有单位力P0=1作用（图11-20b），由应变能公式（11-12）（对
线弹性材料）得P0作用的应变能：（11-31）
此后将P1，P2，…作用于梁（图11-20c），由于P1，P2，…作用的变形能为。

这时，梁的总变形能为：
其中是因为已作用在梁上的单位力在P1，P2，…作用后引起的位移△上所做的功。

如果将P1，P2，…与P0=1共同作用（图11-20c），则梁内弯矩为，此时应变
能为：
此两最后状态的应变能相等，故有：比较以上诸式，不难得到：
（11-32）此即（11-28）。

例题11-8图11-21简单桁架，两杆截面积为A，材料应力—应变
关系为：。

试求结点B的垂直位移△V。

解：由结点B的平衡条件可解得BD杆的应力、应变及伸
长分别为：
,,
同样可求得BE杆的应力，应变及伸长分别为：
,,
设B点作用有单位力，则与单位力相应的BD、BE内的轴力分别为：，
由单位载荷法莫尔积分，得B点的垂直位移为：若材料是线弹性的，弹性模量为E，则有：
,
,
,,
而单位载荷引起的内力不变，故
得：。

§11-8 计算莫尔积分的图乘法
莫尔积分（11-28）中的EI（或GIρ）为常量，可提到积分号外，只需计算积分：
,如有一个是x的线性函数，即可采用图乘法
简化积分计算。

图11-22表示直杆AB的图与图，其中可
用直线式表达：
则莫尔积分可写
成：
右边积分中，M(x)dx为微面积，整个积分为M(x)所围面积ω对y轴的静矩，若x c为M(x)面积的形心到y轴的距离，则：
，于是：（11-33）
其中是图中与图的形
心C所对应的纵坐标，故（11-32）可写
成
（11-34）
这就是计算莫尔积分的图乘法。

常用的几种图形的面积及形心位置计算
公式见图11-23。

使用（11-34）时，为了计算方便，可将弯矩分解成几部分，对每一部分使用如图11-23的标准图形叠加求和。

有时M(x)为连续光滑曲线，而图为折线，则应以折线的转折点
为界，将积分分成几段，逐段使用图乘法，然后求和。

例题11-9 均布载荷作用下简支梁如图11-24，EI为已知
常量，试求跨度中点C的挠度f c。

解：简支梁受均布载荷作用弯矩图为二次抛物线（图b），
求中点挠度时，单位载荷作用于中点，故单位载荷的弯矩
图为一折线（图d）。

用图乘法时应分为两段，以折
点为界。

AC、CB两段弯矩图的面积ω1、ω2
为：
ω1、ω2的形心c1、c2所对应的图的纵坐标
为：
按图乘法，跨中挠度为：。

§12-1 静不定结构概述
1．定义
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。

2．静定、静不定结构（系统）
无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部支承反力与内力都可由静力平衡条件求得，此系统称为静定结构或系统。

静定结构除了变形外，没有可运动的自由度（图12-1（a、b））如解除简支梁的右端铰支座，或解除悬臂梁固端对转动约束，使之成为铰支座，则此时的梁变成了图12.1（c）的可动机构，是几何可变系不能承受横向载荷。

在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系，称为多余约束，并因而产生多余约束反力，则这样的有多余约束的系统，仅利用静力平衡条件无法求得其反力和内力，称为静不定（或超静定）系统，如图12-2。

外静不定：静不定结构的外部支座反力不能全由静力平衡方程求出的情况，常称为外静不定结构（图12-2b，d）
内静不定：静不定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况称为内静不定结构（图12-2a，c）。

对于内、外静不定兼而有之的结构，有时称为混合静不定结构。

3．静不定次数的确定
1）根据结构约束性质可确定内、外约束力总数，内、外约束力总数与独立静力平衡方程总
数之差即为静不定结构的静不定次数。

2）外静不定的判断：根据结构与受力性质，确定其是空间或是平面承载结构，即可确定全部约束的个数。

根据作用力的类型，可确定独立平衡方程数，二者之差为静不定次数。

如图12-3（b），外载荷为平面力系，则为三次外静不定静，而图12-3（c）为空间力系，则为六次外静不定。

3）内静不定次数确定
桁架：直杆用铰相连接，载荷只作用于结点，杆只受拉压力的杆系，其基本几何不变系由三杆组成（图12-4a）。

图12-4（b）仍由基本不变系扩展而成，仍是静定系，而（c）由于在基本系中增加了一约束杆，因而为一次超静定。

刚架：杆以刚结点相连接，各杆可以承受拉、压、弯曲和扭转，这样的杆系为刚架（图12-5）。

对于闭口框架，则需用截面法切开一个切口使其变为静定结构（几何不变可承载结构），其
截面上作为平面受力结构（图12-5（a）），出现三个内力（轴力,弯矩，剪力），为
三次静不定，而对于空间受力结构（图12-5（b））则为6次静不定。

对于大型结构，若为平面问题，则每增加一个闭合框架，结构超静定次数数便增加3次，而一个平面受力闭合圆环与之类似，也是三次静不定。

4）混合静不定次数确定
先判断外静不定次数，后判断内静不定次数，二者之和为结构静不定次数。

4．基本静定系（静定基），相当系统
解除静不定结构的某些约束后得到静定结构，称为原静不定结构的基本静定系（简称静定基）。

静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。

在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统称为静不定问题的相当系统。

§12-2 用力法解静不定结构
1．力法与位移法
力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。

位移法：以结点位移作为基本未知量，将力通过本构关系表示成位移的函数。

通过结点平衡条件，解出未知量，这种方法称为位移法，又叫刚度法。

本文以力法为主，不涉及位移法。

2．力法的基本思路：以一例说明
例12-1 图12-6（a）是车削工件安有尾顶针的简化模型。

这是一次静不定，解除B端约束成悬臂梁（静定基，亦可解除左端转动约束，简化为简支梁），加上多余约束支座反力为
及外载荷成相当系统（图12-6（b））。

现求解相当系统中的未知多余约束反力：
在，作用下，悬臂梁的B端位移为。

其中是由于C处作用有外载引起的B点在方向的位移（图（c）），而是支反力引起的B点在方向的位移（图（d））。

因原系统B端是铰支座，在方向上不
应有位移，与原系统比较知相当系统的B点的位移应为零，故
（12-1）。

这就是协调方程，即得到一个补充方程（补充独立平衡方程不足）在计算时，可在静
定基上沿方向作用单位力（图12-6（e）），B点沿方向单位力引起的位移为，对
线弹性结构应有：。

代入（12-1）有：（12-2）
与可用莫尔积分或其他方法求得：，，由协调
方程（12-2）可解得：。

求得后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当系统的解即原系统的解。

3．n次静不定的正则方程
可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除n个多余约束后的未知多余约束力为
，它们将引起作用点的相应的位移为，而原系统由于
与外载荷共同作用对此位移限制为零（或已知），故有
(12-3) 根据位移互等定理有：（12-4）
称为柔度系数，是引起的作用点方向上的位移；是外载荷引起
的处的相应位移。

（12-3）称为静不定力法正则方程，它们是对应于n个多余未知力的变形协调条件，是求解静不定问题的补充方程。

例12-2 图12-7（a）所示为一静不定刚架，设两杆相同。

解：为三次静不定结构，解除B端约束，代之以多余约束反力，，，图（b）为
相当系统，按式（12-3），、均可用莫尔定理计算，即有：
；；
；；
；
；
将以上值代入（12-3），整理后得：；
；
解此联立方程，求出，，。

式中负号表示与所设方向相反，应向下。

求出多余约束力，即求出了支座B的支反力，进一步即可作出内力图。

§12-3 对称及反对称性质的利用
1．对称结构的对称变形与反对称变形
结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构（图12-8a）。

当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形（图12-8b）。

如外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形（图12-8c）。

正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称
截面上（图12-8b），反对称内力等于零或已知；反对称变形（图12-8c）反对称截面上，对称内力为零或已知。

2．对称变形
以图12-9（a）对称变形为例，切开结构
对称截面，此为三次超静定，应有三个
多余未知力，即轴力，弯矩与。