【配套K12】2018年高考数学总复习第七章数列推理与证明第1讲数列的概念及简单表示法课时作业

第1讲 数列的概念及简单表示法
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.（－1）n
＋12
B.cos n π
2 C.cos
n ＋1
2
π
D.cos
n ＋2
2
π
解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D
2.数列23，－45，67，－8
9，…的第10项是( )
A.－1617
B.－1819
C.－2021
D.－2223
解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1
·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021
. 答案 C
3.(2017·绍兴一中检测)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A.2n
－1 B.2
n －1
＋1
C.2n －1
D.2(n －1)
解析 法一 由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n
－1. 法二 由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴
a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.
答案 A
4.数列{a n }的前n 项积为n 2
，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A.2n －1
B.n 2
C.（n ＋1）
2
n 2
D.
n 2
（n －1）
2
解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2
，
当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2
（n －1）2
.
答案 D
5.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A.7
B.6
C.5
D.4
解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D 二、填空题
6.若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝34
21，则a 5＝________.
解析 借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝8
5.
答案 8
5
7.(2017·绍兴月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
＋2n ＋1(n ∈N *
)，则a 1＝________；a n ＝________.
解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 答案 4 ⎩
⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2
8.(2017·嘉兴七校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *
)，又a n a n ＋1＝S n ，则
a 3－a 1＝________.
解析 因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，由于a 1≠0，则a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1. 答案 1 三、解答题
9.数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2
－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42
－4×7＋6＝－6.
(2)令a n ＝150，即n 2
－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.
(3)令a n ＝n 2
－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍). ∴从第7项起各项都是正数.
10.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2
3
a n .
(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.
解 (1)由S 2＝4
3a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，
解得a 2＝3a 1＝3.
由S 3＝5
3a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，
解得a 3＝3
2(a 1＋a 2)＝6.
(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23
a n －n ＋1
3
a n －1，
整理得a n ＝n ＋1
n －1
a n －1. 于是
a 1＝1， a 2＝31
a 1， a 3＝42a 2，
……
a n －1＝n
n －2a n －2，
a n ＝n ＋1n －1
a n －1.
将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝
n （n ＋1）
2
.
显然，当n ＝1时也满足上式. 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝
n （n ＋1）
2
.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11.设a n ＝－3n 2
＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163
B.133
C.4
D.0
解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522
＋3
4
，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.
答案 D
12.(2017·石家庄质检)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 016的值为________.
解析 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 016＝6×336，∴a 2 016＝a 6＝－1. 答案 －1
13.(2017·金丽衢十二校联考)对于各项均为整数的数列{a n }，如果a i ＋i (i ＝1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{a n }具有“P 性质”.不论数列{a n }是否具有“P 性质”，如果存在与{a n }不是同一数列的{b n }，且{b n }同时满足下面两个条件： ①b 1，b 2，b 3，…，b n 是a 1，a 2，a 3，…，a n 的一个排列； ②数列{b n }具有“P 性质”，则称数列{a n }具有“变换P 性质”. 下面三个数列：
①数列{a n }的前n 项和S n ＝n
3(n 2
－1)；
②数列1，2，3，4，5； ③1，2，3， (11)
具有“P 性质”的为________；具有“变换P 性质”的为________.
解析 对于①，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2
－n ，∵a 1＝0，∴a n ＝n 2
－n ，∴a i ＋i ＝i 2
(i ＝1，2，3，…)为完全平方数，∴数列{a n }具有“P 性质”；对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换P 性质”，数列{b n }为3，2，1，5，4，具有“P 性质”，∴数列{a n }具有“变换P 性质”；对于③，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，…，11，不具有“变换P 性质”. 答案 ① ②
14.(2017·瑞安市模拟)已知数列{a n }中，a n ＝1＋
1a ＋2（n －1）
(n ∈N *
，a ∈R 且a ≠0).
(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *
，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋
1a ＋2（n －1）
(n ∈N *
，a ∈R ，且a ≠0)，
又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *
).
结合函数f (x )＝1＋
1
2x －9
的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，
a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *).
∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1
a ＋2（n －1）＝1＋12n －
2－a
2，
已知对任意的n ∈N *
，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12
x －
2－a 2的单调性，
可知5<2－a
2<6，即－10<a <－8.
即a 的取值范围是(－10，－8).
15.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2
＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n . (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝a 2
n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1＜c n . (1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4.
对于n ≥2，有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n . 又当n ＝1时，a 1＝4适合上式，故{a n }的通项公式a n ＝4n . 将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1. (求b n 法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ，
得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，b n ＝12b n －1，所以数列{b n }是以1为首项，公比为1
2的等比数列，
故b n ＝2
1－n
.
(求b n 法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n ，得T n ＝2－(T n －T n －1)， 2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12
(T n －1－2)，T n －2＝21－n (T 1－2)＝－21－n
，
T n ＝2－21－n ，b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n .
又n ＝1时，b 1＝1适合上式，故{b n }的通项公式b n ＝21－n
.
(2)证明 (法一)由c n ＝a 2
n ·b n ＝n 22
5－n
，
得c n ＋1c n ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n 2. 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤4
3＜2，即c n ＋1＜c n .
(法二)由c n ＝a 2
n ·b n ＝n 22
5－n
，得
c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2].
当且仅当n≥3时，c n＋1－c n＜0，即c n＋1＜c n.。