四川省新高考联盟校级2025届高三九月适应考数学试题(解析版)

高三数学试题
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题
:p x ∀∈R ，1||1x
x <+，命题:0q x ∃>，32x x <，则（ ） A. p 和q 都是真命题 B. p ¬和q 都是真命题 C. p 和q ¬都是真命题 D. p ¬和q ¬都是真命题
【答案】A 【解析】
. 【详解】对于命题p ，当0x ≤时，
011
x
x ≤<+， 当0x >时，
111
x x x x =<++，所以命题p 是真命题； 对于命题q ，当12x =时，32
1184
x x =<=，所以命题q 是真命题； 故选：A.
2. 已知向量a 与向量b 共线，()4,3a =− ，10b = ，且向量b
与向量()1,1c = 的夹角为锐角，则向量b = （ ）
A. ()8,6−
B.
()6,8− C. ()8,6− D. ()6,8−
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意()4,3,b a λλλλ==−∈R
，根据模长公式以及数量积的坐标运算求解即可.
【详解】由题意可知：向量a 与向量b 共线，()4,3a =
−
，可设()4,3,b a λλλλ==−∈R
，
因为510b λ===
，解得2λ=±， 又因为向量b 与向量()1,1c =
的夹角为锐角，
则43043b c λλλλλ
⋅=−+=−> −≠
，解得0λ<， 综上所述：2λ=−，()8,6b =
−
.
故选：C ．
3. 在空间四边形ABCD 中，,E F 分别为边,AB AD 上的点，且::1:4AE EB AF FD ==，又,H G 分别为,BC CD 的中点，则（ ）
A. //BD 平面EFG ，且四边形EEEEEEEE 是矩形
B. //EF 平面BCD ，且四边形EEEEEEEE 是梯形
C. //HG 平面ABD ，且四边形EEEEEEEE 是菱形
D. //EH 平面ADC ，且四边形EEEEEEEE 是平行四边形 【答案】B 【解析】
【分析】根据比值关系，利用线面平行判定定理证明//EF 平面BCD ，然后证明,EF HG 平行且不相等即可.
【详解】如图所示，在平面ABD 内，::1:4AE EB AF FD == ，
//EF BD ∴，又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，
//EF ∴平面BCD ．
,
H G 分别是,BC CD 的中点，
//,//HG BD HG EF ∴∴．
又1152
EF AE HG CH BD AB BD BC =
===，， EF HG ∴≠．在四边形EEEEEEEE 中，//EF HG 且EF HG ≠，
∴四边形EEEEEEEE 为梯形．
故选：B ．
4. 若点P
在曲线3y x =−上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A. π0,
2
B. ππ2π0,
,223
C 2π,π3
D. π2π0,
,π23
【答案】D 【解析】
【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角范围即可.
【详解】设()00,P x y ，(
)3f x x =−，则(
)23f x x ′=−所以过点P 切线斜率(
)
2
002k f x x ′=
=−≥
所以[)tan 0,παα≥∈ 所以得π2π0,,π23α
∈
故选：D
5. 已知复数112i z =−，复数z 满足12z z +=
，则（ ） A. 112i z z ⋅=+
B. 复数1z 在复平面内所对应的点的坐标是()1,2−
C.
22z ≤≤+
D. 复数z 在复平面内所对应的点为(),Z x y ，则22(1)(2)2x y ++−= 【答案】C 【解析】
【分析】根据共轭复数的概念求1z ，
结合复数的乘法公式求11z z ⋅，根据复数的模的公式求2i +，判断A ，.
根据复数的几何意义求复数1z 在复平面内所对应的点的坐标，判断B ，根据复数的模的几何意义确定复数
z 所对应的点的轨迹，由此判断C ，结合复数的模的公式，由条件求点Z 的轨迹方程，判断D.
【详解】因为112i z =−，所以112z i =+，
所以2211125z z ⋅=+=，又2i +，A 错误；
1z 对应的点的坐标为()1,2，B 错误；
由12z z +=
知z 对应的点在以1z −对应点()1,2−为圆心，2为半径的圆上，
又1z =22z −≤≤+，C 正确；
1z 对应的点的坐标为()1,2−，因此22(1)(2)4x y ++−=，D 错误，
故选：C ．
6. 用数字0，1，2，3，4，5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 76 B. 38 C. 36 D. 30
【答案】B 【解析】
【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是0和不是0进行分类; 个位不是0时要注意选中的数有0和不是0情况求解.
0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时，
如果百位数为2，则十位数有6种选择，
如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时，
如果百位数为4，则十位数有6种选择，
如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，51511642164238×+×+×+×+×+×=. 故选：B.
7. 设n ，k 为正整数，1A =
，2A ，3A ，
4A ，…，k A ，…，已知1002005A =，则n 的值为（ ）
A. 1806
B. 2005
C. 3612
D. 4100
【答案】A 【解析】
【分析】根据已知条件化简归纳通项公式即可求参.
【详解】1
1A n =+,
23A n =+,
35A n =+,
依此类推得出()21k A n k =+
−, 所以()100210012005A n =+×−=, 所以1806n =. 故选：A.
8. 已知角α是锐角，角β是第四象限角,且17
3cos 5αβ=，243sin 5
αβ=，
3
tan 4
α=
，则下列结论不正确的是（ ）
A. ()cos αβ+
B. ()sin αβ+
C. ()9tan 213
αβ+= D. tan 3β=−
【答案】C 【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出所有三角函数值，利用两角和的余弦公式判断A ；利用两角和的正弦公式判断B ；利用二倍角公式结合两角和的正切公式判断C ；利用同角三角函数的基本关系结合给定条件判断D 即可. 【详解】因为3tan 4
α=
，所以sin 3
cos 4αα=，因为角α是锐角，角β是第四象限角， sin 0,cos 0,sin 0,cos 0ααββ>><>，因为22sin cos 1αα+=，
解得3sin 5α=
，4cos 5
α=.
因为24
3sin 5
αβ=
，所以
92455β=
，解得sin β=
因为17
3cos 5
αβ=
，所以121755β+=
，解得cos β=， 由两角和的余弦公式得(
)43cos (55αβ+−×，故A 正确， 由两角和的正弦公式得(
)34sin (5
5αβ+=+×B 正确，
因为sin β=
cos β=，所以tan 3β=−，故D 正确， 由二倍角公式得23
22tan 31624491tan 27
7
ta 1n 216ααα×
=
==×=−−， 由两角和的正切公式得()243
3377tan 224
79791(3)
7
7
αβ−+=
==−×−，故C 错误. 故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量X 满足：()()()34,,01,2
X B p p E X D X ∼<<=，则（ ） A. 23
p =
B. ()43
E X =
C. ()11213
E X += D. ()32219
D X +=
【答案】BCD 【解析】
【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式列方程求出p ，然后根据期望性质和方差性质依次判断即可.
【详解】对A ，因为()()()34,,2X B p E X D X ∼=
，所以()34142
p p p ×−=， 解得1
3
p =
，故A 错误；
对B ，由上知()14
433
E X =×
=，故B 正确； 对C ，()()11
2121
3
E X E X +=+=，故C 正确； 对D ，()()1132
214441339
D X D X
+==××−=
，故D 正确． 故选：BCD ．
10. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. 4ln ln y x x
=+
B. 222x x y −=+
C. 1
4sin sin y
x x
+
D. y =
【答案】BCD 【解析】
【分析】利用基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】对于A ：当ln 0x <时，1
ln 0ln y x x
=+
<，故A 错误；
对于B ：2224x x y −=+≥=，当且仅当222x x −=，即1x =时取等号，故B 正确；
对于C ：令sin t x =，则0t <≤，1
44y t t =+≥=，当且仅当12t =时取等号，而01t <≤，
故C 正确；
对于D 1≥，故4y =
+
≥，
x =时取等号，故D 正确.
故选：BCD
11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线2:2(0)C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90180270 ､､后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（ ）
A. 开口向上的抛物线的方程为212
y x = B. |AAAA |=4
C. 直线x y t +=
截第一象限花瓣的弦长最大值为3
4
D. 阴影区域的面积大于4 【答案】ABD 【解析】
【分析】对于A ，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B ，联立抛物线方程，求出点,A B 的坐标，即得；对于C ，将直点线与抛物线方程联立求出,M N 的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D ，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断.
【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为2:2C y x =，顶点在原点，焦点为11
(,0)2
F ,
将其逆时针旋转90 后得到的抛物线开口向上，焦点为21(0,)2F ，则其方程为22x y =，即2
12
y x =，故A 正确；
对于B ，根据A 项分析，由2222y x
x y = =
可解得，0x =或2x =，即2A x =，代入可得2A y =，
由图象对称性，可得(2,2),(2,2)A B −,故4AB =，即B 正确；
对于C ，
如图，设直线x y t +=
与第一象限花瓣分别交于点,M N , 由22y x t y x =−+ =
解得11M M x t y =+ =− 22y x t x y =−+ =
解得，11N
N x y t =−
=+ ,
即得(11),1,1M t N t +−−−+−,
则弦长为：||
|2|MN t =+−，
由图知，直线x y t +=
经过点A 时t 取最大值4，经过点O 时t 取最小值0， 即在第一象限部分满足04t <≤
，不妨设u =
13u <≤，且21
2
u t −=，
代入得，221
||
|22|
|(2)1|2
u MN u u −=+−=−−，
（13u <≤） 由此函数的图象知，当2u =时，|MN
，即C 错误； 对于D ，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求
1
8
部分面积的近似值. 如图，
在抛物线2
1,(0)2
y
x x ≥上取一点P ，使过点P 的切线与直线OA 平行， 由1y x ′==可得切点坐标为1
(1,)2
P ,因:0OA l x y −=,则点P 到直线OA
的距离为d =，
于是1
12
2
OPA S ==
,
由图知，半个花瓣的面积必大于12，
故原图中的阴影部分面积必大于1842
×=，故D 正确. 故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，属于难题.
解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ()x x ∈R 表示不小于x 的最小整数，例如22= ，3
12
−
=−．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且77S =−，463a a +=
−．记n n b a =，则数列{}n b 的前10项的和______． 【答案】15− 【解析】
【分析】先求出数列{}n a 的通项公式，再求数列{}n b 的前10项的和. 【详解】由77S =−，可得477a =−，解得41a =−， 又463a a +=
−，得523a =−，解得53
2
a =−， 所以数列{}n a 的公差为12
d =−，1
12n a n ∴=−， 又[]n n b a =，
1112b
∴==
，同理23
0b b ==，451b b ==−，672b b ==−，893b b ==−，104b =−， 所以数列{}n b 的前10项的和为()()()()()()()100112233415+++−+−+−+−+−+−+−=−. 故答案为：15−.
13. 在ABC 中，点D 在BC 边上，2,,BC BAD CAD AB AC AD AB AC AD ∠∠==
⋅=⋅+⋅，则
ABC 的外接圆的半径为______.
【解析】
【分析】设2BAC θ∠=，则由题以及正弦定理形式的面积公式结合ABC
ABD ADC S S S =+ 可得sin2sin θθ=，进而可求出θ，再由2sin BC
R BAC
∠=
即可得解.
【详解】设2BAC θ∠=，则BAD CAD θ∠=∠=，
的
由ABC
ABD ADC S S S =+ ，得111sin2sin sin 222AB AC AD AB AD AC θθθ⋅=⋅+⋅， 即()sin2sin AB AC AD AB AD AC θθ⋅⋅+⋅，
又AB AC AD AB AC AD ⋅=⋅+⋅，所以sin2sin θθ=，即2sin cos sin θθθ=，
又02πθ<<，所以π02θ<<
，所以sin 0θ>，则1cos 2θ=， 所以π3θ=，所以2π23BAC θ∠==， 则ABC
外接圆的半径为2sin BC R BAC ∠==
【点睛】关键点睛：根据已知条件,BAD CAD AB AC AD AB AC AD ∠=
∠⋅=⋅+⋅的结构特征可知解决本题的关键是利用ABC ABD ADC S S S =+ 即111sin2sin sin 222
AB AC AD AB AD AC θθθ⋅=⋅+⋅求出BAC ∠.
14. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍（chú méng ）者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体．刍甍字面意思为茅屋屋顶．如图所示，现有刍甍ABCDEF ，所有顶点都在球O 的球面上，球心O 在矩形ABCD 所在的平面内，4AB =
，BC =EF =________，体积的最大值为_________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】设2EF x =，由球的性质可得出OM ==，把几何体补形为直三棱柱，利用三棱柱与三棱锥体积的差表示出刍甍的体积，利用导数求最大值即可.
【详解】连接,AC BD 交于点O ，取EF 中点M ,连接,,OE OF OM ,补几何体为直三棱柱LAD KBC −，如图，
因为顶点都在球O 的球面上，球心O 在矩形ABCD 所在的平面内，故球心为,AC BD 的交点O ,故
OC OB OA OD OE OF R =====
设2EF x =，则Rt OEM 中，OM ==（0x <<）
， 设刍甍的体积为V ，则LAD KBC F BCK E ADL V V V V −−−=−−, 即11111()23232
V BC OM AB BC OM FK BC OM LE =⋅⋅⋅−×
⋅⋅⋅+×⋅⋅⋅
11()4)26BC OM AB BC OM AB EF x x =⋅⋅⋅−⋅⋅−+<<，
令22432()(6)(4)8104896,0f x x x x x x x x =−+=−−−++<<，
32()4242048f x x x x ′=−−−+，
令32()4242048h x x x x =−−−+，则2()124820h x x x ′=
−−−，
当0x <<()0h x ′<，故()h x 单调递减，令()0h x =解得1x =，
所以当01x <<时，()0h x >，即()0f x ′>，()f x 单调递增，
当1x <<()0h x <，即()0f x ′<，()f x 单调递减，
故当1,2x EF =时，max
()(1)125f x f ==，
此时max V =
=
故答案为：2【点睛】关键点点睛：利用补形的方法，将几何体补形为直三棱柱，根据三棱柱与棱锥的体积差求出刍甍的体积，是解题的关键，同时注意利用导数求函数的最大值也是解题的一个难点，属于难题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A =“表示的三位数能被5整除”，B =“表示的三位数能被3整除”.
（1）求事件A ，B 的概率.
（2）求事件A B 、A B ∩的概率.
【答案】（1）()12P A =；()14
P B = （2）()18P A B ∩=；()58
P A B ∪=
【解析】
【分析】（1）所有组成的三位数的个数是32，由个位数是5的数的个数可求()P A ；由被3整除三位数的个数可求()P B ；
（2）根据和事件的概率公式和积事件的性质即可得解.
【小问1详解】
只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是328=，
要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，
而这些数中个位数是5的数的个数为224=，
所以事件A 发生的概率()4182
P A ==. 由题意要使得组成的三位数能被3整除，
则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数，
即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个，
所以事件B 发生的概率()
2184P B ==. 故()12
P A =，()14P B =. 小问2详解】
因为A B ∩表示，组成的三位数既能被3整除，又能被5整除，
555既能被3整除，又能被5整除，
所以()18P A B ∩=
. 因为A B 表示，组成的三位数能被3整除或能被5整除，
所以()()()()11152488P A B P A P B P A B ∪=+−∩=+
−=. 故()1
8P A B ∩=，()58
P A B ∪=. 16. 如图，在三棱锥P ABC −
中，AB
BC ==，6PA PB PC AC ====，点O 是AC 的中
点.
（1）求POB 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积；
（2）点M 在棱BC 上，且13BM BC =
，求直线PC 与平面PAM 所成角的大小. 【答案】（1
）
（2
）arcsin
θ=【解析】
【分析】（1）由题意可知POB 绕PO 旋转一周形成的几何体为以3OB =为底面圆半径，以
【
PO =为高的圆锥，求出体积即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出直线PC 与平面PAM 所成角的正弦值，再把角用反三角的形式表示出来即可.
【小问1详解】
如图：因为POB 绕PO 旋转一周形成的几何体为以OB 为底面圆半径的圆锥，
由AB BC ==，6PA
PB PC AC ====， 所以222AB BC AC +=，所以π
2ABC ∠=，所以3OB =， 又因为6PA PC AC ===，点O 是AC 的中点，
所以PO AC ⊥，且PO =
所以222PO OB PB +=， 所以PO OB ⊥，且AC OB O = ，
所以⊥PO 平面ABC ，所以POB 绕PO 旋转一周形成的几何体
为以3OB =为底面圆半径，以PO =
所以21π33
V =⋅⋅⋅=. 【小问2详解】
如图：由上可知：⊥PO 平面ABC ，又AB BC ==
6PA PB PC AC ===
=， 所以222AB BC AC +=，所以π2
ABC ∠=
，ABC 为等腰直角三角形， 又由点O 是AC 的中点，所以OB AC ⊥，
以O 坐标原点，以,,OB OC OP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角 为
坐标系O xyz −， 由13
BM BC =，
(P ，()0,3,0C ，()0,3,0A −，()2,1,0M ，
所以(0,3,PC =−
，又有((),2,4,0AP AM ，
设平面MAC 的一个法向量为(),,n x y z =
， 则00n AP n AM ⋅= ⋅=
即30240y x y += +=
令y =
1x z −=−，
所以()1n −− ，设直线PC 与平面PAM 所成角π,0,2θθ ∈
，
所以sin PC n PC n
θ⋅==⋅
所以arcsin
θ=17. 已知函数()()()211R f x m x mx m m =+−+−∈.
（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；
（2）当2m >−时，解不等式()f x m ≥；
（3）对任意的[]1,1x ∈−，不等式()2
1f x x x ≥−+恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1
） +∞
（2）答案见解析 （3
） +∞
【解析】
【分析】（1）对参数m 进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解； （2）当2m >-时，()f x m ≥，即2(1)1m x mx m m ++≥--，因式分解，对m 进行讨论，可得解集； （3）转化为,1[]1x ∈-恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解m 的取值范围．
【小问1详解】
当1m =−时，由()0f x <，得到20x −<，所以2x <，不合题意，
为
当1m ≠−时，由()0f x <，得到210Δ4(1)(1)0m m m m +> −+−≤
，解得m ≥， 所以实数m
的取值范围为∞ + . 【小问2详解】
当2m >−时，()f x m ≥，即2(1)1m x mx m m +−+−≥，
可得[(1)1](1)0m x x ++−≥，因为2m >−，
①当10m +=时，即1m =−，不等式的解集为{|1}x x ≥
②当21m −<<−时，1(1)01x x m
+−≤ + ，因为111
m −>+， 所以不等式的解集为1|11x x m
−≥≥ +
③当1m >−时，1(1)01x x m
+−≥ + ．又1011
m −<<+， 所以不等式的解集为1{|1}1x x x m ≤−
≥+或, 综上：1m =−，不等式的解集为{|1}x x ≥，
当21m −<<−时，不等式的解集为1|11x x m −
≥≥ + ， 当1m >−时，不等式的解集为1{|1}1x x x m ≤−
≥+或． 【小问3详解】
由题对任意[1,1]x ∈−，不等式22(1)11m x mx m x x +−+−≥−+恒成立． 即()212m x x x −+≥−，因为[1,1]x ∈−时，()
210x x −+>恒成立． 可得221
x m x x −≥
−+，设2t x =−，则13t ≤≤，所以2x t =−， 可得222131(2)(2)13x t x x t t t
t −==−+−−−++−
因为3t t +≥
，当且仅当t =是取等号．
所以
2
2
1
x
x x
−
≤
−+
，当且仅当2
x=−是取等号．
故得m
的取值范围∞
+
．
18. 如图，已知点列
2
,
n n
n
P x
x
与(),0
n n
A a满足
1
n n
x x
+
>，
11
n n n n
P P A P
++
⊥
且
11
n n n n
P P A P
++
=
，其中
n
+
∈N，
1
1
x=．
（1）求
2
x；
（2）求
1
n
x
+
与
n
x的关系式；
（3）证明：22222
1231
41
n
x x x x n
+
++++≤+
．
【答案】（1）
2
2
x=
（2）1
1
2
n n
n
x X
X
+
+
−=（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由垂直向量的坐标表示和模长公式列出方程组，解方程即可得出答案.
（2）根据垂直向量的坐标表示和模长公式列出方程组，解方程即可得出答案.
（3）要证22222
1231
41
n
x x x x n
+
++++≤+
等价于证明2222
231
4
n
x x x n
+
+++≤
，先证明2
1
84
n
x n
+
≤−，再由累加法即可证明.
【小问1详解】
因为
1212
PP A P
⊥
，
1212
PP A P
=
，
1221
21
22
,
PP x x
x x
=−−
，
1221
2
2
,
A P x a
x
=−
，
所以()()21221222221212124222x a x x x x x a x x x −=
−+−=−+
， 得212
2x x x −=，所以22x =. 【小问2详解】 由11122,n n n n n n P P x x x x +++ =−−
，1112,n n n n n A P x a x +++ =− ， 1112140n n n n n n n n
P P A P x a x x ++++⋅=⇒−= ①， 又11n n n n P P A P ++= ，则()()22221111222n n n n n n n x x x a x x x ++++ −+−=−+
②，
将①代入②得:
()212222211144411n n n n n n n X X X X X X x ++++ −+=+
即()21121142n n n n n n X X x X X X ++++−=
⇒−=. 【小问3详解】
要证22222123141n x x x x n +++++≤+ 等价于证明2222
2314n x x x n ++++≤ ， 当2n ≥时，
(
)12122212n n n n i i i i i i x x x x x ++===+−=−=<∑∑(
)
222111112221111221
2n n n n n n n n n n i i n i x x x x x x x x x x x n x ++++++++= −=⇒=−<− ⇒−=−>⇒> ∑，
<，
所以
12n x x +−≤−
12n x +⇒≤−
2188484
n x n n +⇒≤++−≤− ()()2222231413214n x x x n n +⇒+++≤+++−=
， 22222314n x x x n +∴+++≤ ，
222221231
41n x x x x n +∴++++≤+ ． 【点睛】关键点点睛：本题（3）的关键点在于将题意转化为证明22222314n x x x n ++++≤ ，先由放缩法证明2184n x n +≤−，再由累加法即可证明.
19. 通过研究，已知对任意平面向量
(),AB x y = ，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=−+ ，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ，
（1）已知平面内点(A ，点B
−，把点B 绕点A 逆时针旋转π3得到点P ，求点P 的坐标： （2）已知二次方程22
1+−=x y xy 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆()22
2210+=>>x y a b a b 绕原点O 逆时针旋转π4
所得的斜椭圆C ， （i ）求斜椭圆C 的离心率；
（ⅱ）过点Q 作与两坐标轴都不平行的直线1l 交斜椭圆C 于点M 、N ，过原点O 作直线2l 与直线
1l 垂直，直线2l 交斜椭圆C 于点G 、H 说明理由.
【答案】（1）()6,3
（2）（i ；（ⅱ）是，2 【解析】 【分析】（1）借助所给定义计算即可得；
（2）（i ）计算出该斜椭圆的长轴长与焦距，结合离心率定义计算即可得；
（ⅱ）法一：设出直线1l 、2l
，联立斜椭圆方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合弦长公式即可表示出 法二：将所有点、直线与曲线都绕原点O 顺时针旋转π4
后，再设出直线1l 、2l 旋转后方程，联立标准方程
. 【小问1详解】
由已知可得(AB =−
，则(6AP =+− ， 设()00,P x y =
，则(
(006AP x y =−=− ， 所以06x =，03y =，即点P 的坐标为()6,3；
【小问2详解】
（i ）由y x =与221+−=x y xy 交点为()1,1和()1,1−−，则22a =，
由y x =−与221+−=x y xy
交点为
和， 则223b =，所以243c =
，e （ⅱ）法一：设直线1l
：y k x = ，()12,M x y 、NN (xx 2,yy 2)， 与斜椭圆221+−=x y xy
联立：221y k x x y xy −= +−=
， 有(
))
()2222213211103k k x k k x k −+−−+−−=，
∵12x x +，2122122231
k k x x k k −−=−+， ∴MN =
= 设直线2l ：1=−
y x k ，代入斜椭圆221+−=x y xy ， 有2222111x x x k k ++=， ∴22
21k x k k =++，∴2221
1k OH k k +=++， 222211211k k k k k k −++++=++.
法二：将椭圆顺时针旋转π4
，由①可得椭圆方程为22
3122
x y +=， 点Q 旋转后的坐标为
，
当直线1
l 旋转后斜率不存在时，MN =
，OH =
2，
当直线1l 旋转后斜率存在时，设直线1l 旋转后为x my =+
旋转后()12,M x y 、NN (xx 2,yy 2
)， 与椭圆方程223122x y +=联立，即22312
2x my x
y =+ += 可得(
)22
3320m y ++−=，
12y y +，(
)122233y y m =−+，
MN =， 设直线2l 旋转后为y mx =−，代入椭圆方程223122
x y +=中， 有2
2213x m =+，2222213m OH m +=+，
()
2231221m m ++=+.
2
.
上计算，也可在标准椭圆下计算，其旋转前后的线段长度不变.。