2018版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.4函数的应用Ⅱ学案新人教B版必修1201802262323

3.4 函数的应用（Ⅱ）
学习目标 1.尝试将实际问题转化为函数模型.2.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.3.会根据函数的增长差异选择函数模型．
知识点一函数模型
思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？
梳理一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．
知识点二三种常见函数模型的增长差异
比较三种函数模型的性质，填写下表．
类型一几类函数模型的增长差异
例1 (1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50x B．y＝x50
C．y＝50x D．y＝log50x(x∈N＋)
(2)函数y＝2x－x2的大致图象为( )
反思与感悟 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x
(a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n
(n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，y ＝a x
(a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n
(n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n
＜a x
. 跟踪训练1 函数f (x )＝lg|x |
x
2的大致图象为( )
类型二 函数模型应用 命题角度1 选择函数模型
例2 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y 与售出商品的数量x 的关系，则可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数
D ．对数型函数
反思与感悟 根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型．
跟踪训练2 某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系用图象表示，则正确的是( )
命题角度2 用函数模型决策
例3 某公司预投资100万元，有两种投资可供选择： 甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息； 乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．
哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
反思与感悟 建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要靠建立的函数模型与实际的拟合程度．而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据．
跟踪训练3 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价2
3
优惠．”这两家旅行
社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
1．下列函数中随x的增长而增长最快的是( )
A．y＝e x B．y＝ln x
C．y＝x100D．y＝2x
2．能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值区间是( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(4，＋∞)
3．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为( )
A．8℃ B．78℃
C．112℃ D．18℃
4．下面选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是( )
A．y＝10×1.05x B．y＝20＋x1.5
C．y＝30＋lg(x－1) D．y＝50
5．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg I
I0
(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB 的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.7
6
倍B．10倍
C．107
6倍D．ln
7
6
倍
1．四类不同增长的函数模型
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型．
(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型．
(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型．
2．函数模型的应用
(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
答案精析
问题导学 知识点一
思考 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型．函数模型通常用来解释已有数据和预测． 知识点二
增函数 增函数 增函数 快于 快于 a x >x n
>log a x 题型探究
例1 (1)C [四个函数中，增长速度由慢到快依次是y ＝log 50x ，y ＝50x ，y ＝x 50
，y ＝50x
.] (2)A [在同一平面直角坐标系内作出y 1＝2x ，y 2＝x 2
的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x ∈(0,2)时，2x ＞x 2，即此时y ＞0；当x ∈(2,4)时，2x ＜x 2
，即y ＜0；当x ∈(4，＋∞)时，2x ＞x 2，即y ＞0；当x ＝－1时，y ＝2－1
－1＜0.据此可知只有选项A 中的图象符合条件．] 跟踪训练1 D
例2 D [四个函数中，A 的增长速度不变，B 、C 增长速度越来越快，其中C 增长速度比B 更快，D 增长速度越来越慢，故只有D 能反映y 与x 的关系．] 跟踪训练2 A
例3 解 按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；
按乙，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092
，…，5年后本息合计100×1.095
≈153.86(万元)．
故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利．
跟踪训练3 解 设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N ＋)，旅游收费为y ，旅游原价为a . 甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1)＝a
2(x ＋3)；
乙旅行社收费：y ＝2a
3(x ＋2)．
∵2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a
6(x －1)， ∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等． 当x ＞1时，甲旅行社更优惠． 当堂训练
1．A 2.D 3.B 4.A 5.B。