2020年四川省绵阳市三台县中考数学一模试卷 (Word含解析)

2020年中考数学一模试卷一、选择题1．下列各组数中，互为倒数的是（ ）A ．2和−12B ．3和13C ．|﹣3|和−13D ．﹣4和4 2．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．下列计算正确的是（ ）A ．a 2+a 2＝2a 4B ．a 2•a 3＝a 6C ．（﹣a 2）2＝a 4D ．（a +1）2＝a 2+14．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为（ ） A ．126×104 B ．1.26×105 C ．1.26×106 D ．1.26×1076．如图，函数y ={1x (x ＞0)，−1x(x ＜0)的图象所在坐标系的原点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q7．一元一次不等式组{2(x+3)−4≥0x+13＞x−1的最大整数解是（）A．﹣1B．0C．1D．28．如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（）A．10.8米B．8.9米C．8.0米D．5.8米9．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是（）A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm210．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（）A．6B．24C．26D．1211．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于（）A．√74B．√74+3C．√74−3D．312．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）13．因式分解：2mx2﹣4mxy+2my2＝．14．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是．15．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，则三辆车直行的概率是．16．关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3＝0的一个根为x＝2，则代数式4b﹣8a+3的值为．17．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．18．如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M ，使S △ABM =32，过点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，O 是对角线AC ，BD 的交点，连接ON ，则ON 的长为 ．三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）计算：√4−（π﹣3.14）0﹣|√3−2|1√3−3tan30°﹣（−12）﹣1； （2）先化简，再求值：x 2−2x+1x 2−1•x+1x −x −1x+1，其中x 是方程x 2+x ﹣3＝0的解．20．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）此次共调查了多少人？（2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数； （3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？21．春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．22．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠CAB的角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝6，cos C=35，求⊙O的半径．24．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF，交点为G．若正方形的边长为2．（1）求证：AE⊥BF；（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求AQ的长；（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，求四边形MNGH的面积．25．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列各组数中，互为倒数的是（）A．2和−12B．3和13C．|﹣3|和−13D．﹣4和4【分析】根据倒数之积等于1进行分析即可．解：A、2和−12不是倒数关系，故此选项错误；B、3和13是倒数关系，故此选项正确；C、|﹣3|＝3，3和−13不是倒数关系，故此选项错误；D、﹣4和4不是倒数关系，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了倒数以及绝对值，关键是掌握倒数定义．2．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4B．a2•a3＝a6C．（﹣a2）2＝a4D．（a+1）2＝a2+1【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．解：A、结果是2a2，故本选项错误；B、结果是a5，故本选项错误；C、结果是a4，故本选项正确；D、结果是a2+2a+1，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方的应用，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．4．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，如图所示：故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．5．今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为（）A．126×104B．1.26×105C．1.26×106D．1.26×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将126万用科学记数法表示为1.26×106．故选：C ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．6．如图，函数y ={1x (x ＞0)，−1x (x ＜0)的图象所在坐标系的原点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【分析】由函数解析式可知函数关于y 轴对称，即可求解；解：由已知可知函数y ={1x (x ＞0)，−1x (x ＜0)关于y 轴对称，所以点M 是原点；故选：A ．【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．7．一元一次不等式组{2(x +3)−4≥0x+13＞x −1的最大整数解是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【分析】求出不等式组的解集，即可求出最大整数解；解：{2(x +3)−4≥0①x+13＞x −1②， 由①得到：2x +6﹣4≥0，∴x ≥﹣1，由②得到：x +1＞3x ﹣3，∴x ＜2，∴﹣1≤x ＜2，∴最大整数解是1，故选：C ．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法，属于中考常考题型．8．如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB 的坡度为1：2.4，AB 的长度是13米，MN 是二楼楼顶，MN ∥PQ ，C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC ⊥MN ，在自动扶梯底端A 处测得C 点的仰角为42°，则二楼的层高BC 约为（精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90）（ ）A ．10.8米B ．8.9米C ．8.0米D ．5.8米【分析】延长CB 交PQ 于点D ，根据坡度的定义即可求得BD 的长，然后在直角△CDA 中利用三角函数即可求得CD 的长，则BC 即可得到．解：延长CB 交PQ 于点D ．∵MN ∥PQ ，BC ⊥MN ，∴BC ⊥PQ ．∵自动扶梯AB 的坡度为1：2.4，∴BD AD =12.4=512．设BD ＝5k （米），AD ＝12k （米），则AB ＝13k （米）．∵AB ＝13（米），∴k ＝1，∴BD ＝5（米），AD ＝12（米）．在Rt △CDA 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝42°，∴CD ＝AD •tan ∠CAD ≈12×0.90≈10.8（米），∴BC ＝10.8﹣5≈5.8（米）．故选：D ．【点评】本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．9．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是（）A．68πcm2B．74πcm2C．84πcm2D．100πcm2【分析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．解：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴其表面积＝π×4×5+42π+8π×6＝84πcm2，故选：C．【点评】考查了圆锥的计算及几何体的表面积的知识，解题的关键是能够了解圆锥的有关的计算方法，难度不大．10．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（）A．6B．24C．26D．12【分析】根据题意和图形，可以先设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b ，然后根据图2和图3可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得图1中菱形的面积．解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ， {a +b =5a −b =1，得{a =3b =2，∴图1中菱形的面积为：3×22×4＝12，故选：D ．【点评】本题考查正方形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．如图，平面直角坐标系中，分别以点A （﹣2，3），B （3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A 、⊙B ，M 、N 分别是⊙A 、⊙B 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM +PN 的最小值等于（ ）A ．√74B ．√74+3C ．√74−3D ．3【分析】作⊙A 关于x 轴的对称⊙A ′，连接BA ′分别交⊙A ′和⊙B 于M 、N ，交x 轴于P ，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM +PN 最小，再利用对称确定A ′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A ′B 的长，然后用A ′B 的长减去两个圆的半径即可得到MN 的长，即得到PM +PN 的最小值．解：作⊙A 关于x 轴的对称⊙A ′，连接BA ′分别交⊙A ′和⊙B 于M 、N ，交x 轴于P ，如图，则此时PM +PN 最小， ∵点A 坐标（﹣2，3）， ∴点A ′坐标（﹣2，﹣3）， ∵点B （3，4），∴A ′B =√(3+2)2+(4+3)2=√74，∴MN ＝A ′B ﹣BN ﹣A ′M =√74−2﹣1=√74−3， ∴PM +PN 的最小值为√74−3．【点评】本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征；会利用两点之间线段最短解决线段和的最小值问题；会运用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质．12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据抛物线的图象，对称轴的位置，利用二次函数的性质一一判断即可．解：由图象可知，a＞0，b＞0，c＞0，∵−b2a＞−1，∴b＜2a，故①正确，如图易知A（﹣1，0），B（﹣1，a﹣b+c），C（0，c），当AB＝OC时，﹣（a﹣b+c）＝c，可得a+2c﹣b＝0，当AB＞OC时，﹣（a﹣b+c）＞c，可得a+2c﹣b＜0，当AB＜OC时，﹣（a﹣b+c）＜c，可得a+2c﹣b＞0，故②错误，∵−b2a＜−12，设x 1＞x 2∵−12＜x 1＜0，﹣2＜x 2＜﹣1，∴x 1•x 2＜1， ∴c a ＜1，∴a ＞c ，∴b ＞a ＞c ，故③正确， ∵b 2﹣4ac ＞0， ∴2ac ＜12b 2， ∵b ＜2a ， ∴32b 2＜3ab ，∴32b 2＝b 2+12b 2＞b 2+2ac ， b 2+2ac ＜32b 2＜3ab ， ∴b 2+2ac ＜3ab ．故④正确． 故选：C ．【点评】本题考查二次函数的性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象信息解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13．因式分解：2mx 2﹣4mxy +2my 2＝ 2m （x ﹣y ）2 ．【分析】先提取公因式2m ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解：2mx 2﹣4mxy +2my 2， ＝2m （x 2﹣2xy +y 2）， ＝2m （x ﹣y ）2． 故答案为：2m （x ﹣y ）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是15°．【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．解：如图，过A点作AB∥a，∴∠1＝∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3＝∠4＝30°，而∠2+∠3＝45°，∴∠2＝15°，∴∠1＝15°．故答案为15°．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．15．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，则三辆车直行的概率是127．【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出三辆车全部直行的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：画树状图得：共有27种等可能的情况数，其中三辆车全部直行的情况有1种，则三辆车直行的概率是127；故答案为：127．【点评】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解．16．关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3＝0的一个根为x＝2，则代数式4b﹣8a+3的值为9．【分析】由已知可得4a﹣2b+3＝0，再将所求式子化为﹣2（4a﹣2b）+3，最后将已知代入即可．解：∵x＝2是方程ax2﹣bx+3＝0的根，∴4a﹣2b+3＝0，∵4b﹣8a+3＝﹣8a+4b+3＝﹣2（4a﹣2b）+3，∴4b﹣8a+3＝﹣2×（﹣3）+3＝9，故答案为9．【点评】本题考查一元二次方程的解；理解方程的解与方程的关系，并能结合已知将所求代数式变形是解题的关键．17．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4√3．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P 与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC 是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB=√82−42=4√3．综上所述，BP的长为3或4√3．【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．18．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M，使S△ABM=32，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC，BD的交点，连接ON，则ON的长为√55．【分析】先根据三角形的面积公式求出BM的长，由条件可证得△ABN∽△BNM∽△ABM，且可求得AM=√10，利用对应线段的比相等可求得AN和MN，进一步可得到AO AM =ANAC，且∠CAM＝∠NAO，可证得△AON∽△AMC，利用相似三角形的性质可求得ON解：∵正方形ABCD的边长为3，S△ABM=3 2，∴BM=1 2．∵AB＝3，BM＝1，∴AM=√10，∵∠ABM＝90°，BN⊥AM，∴△ABN∽△BNM∽△AMB，∴AB2＝AN×AM，BM2＝MN×AM，∴AN=9√1010，MN=√1010，∵AB＝3，CD＝3，∴AC＝3√2，∴AO=3√22，∵AOAM =3√510，ANAC=3√510，∴AOAM =ANAC，且∠CAM＝∠NAO∴△AON∽△AMC，∴ONMC =AOAM=3√510，∴ON =6√55．故答案为：6√55． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）计算：√4−（π﹣3.14）0﹣|√3−2|3−3tan30°﹣（−12）﹣1；（2）先化简，再求值：x 2−2x+1x −1•x+1x −x−1x+1，其中x 是方程x 2+x ﹣3＝0的解．【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案；（2）直接利用分式的混合运算法则计算，再利用已知整体代入得出答案．解：（1）原式＝2﹣1﹣（2−√3）+√33−3×√33+2＝2﹣1﹣2+√3+√33−√3+2＝1+√33；（2）原式=(x−1)2(x−1)(x+1)•x+1x(x−1)−1x+1=x−1x+1•x+1x(x−1)−1x+1=1x −1x+1 =x+1x(x+1)−xx(x+1) =1x(x+1) =1x 2+x ， ∵x 是方程x 2+x ﹣3＝0的解， ∴x 2+x ＝3， ∴原式=13．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 20．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）此次共调查了多少人？（2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数；（3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？【分析】（1）根据体育人数80人，占40%，可以求出总人数．（2）根据圆心角＝百分比×360°即可解决问题．（3）求出艺术类、其它类社团人数，即可画出条形图．（4）用样本百分比估计总体百分比即可解决问题．解：（1）80÷40%＝200（人）．∴此次共调查200人．（2）60200×360°＝108°．∴文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数为108°．（3）补全如图，（4）1500×40%＝600（人）．∴估计该校喜欢体育类社团的学生有600人．【点评】此题主要考查了条形图与统计表以及扇形图的综合应用，由条形图与扇形图结合得出调查的总人数是解决问题的关键，学会用样本估计总体的思想，属于中考常考题型．21．春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到利润与甲种商品的关系，由甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，可以得到甲种商品的取值范围，从而可以求得获利最大的进货方案，以及最大利润．解：（1）设甲、乙两种商品每件的进价分别是x 元、y 元，{2x +3y =2703x +2y =230， 解得，{x =30y =70， 即甲、乙两种商品每件的进价分别是30元、70元；（2）设购买甲种商品a 件，获利为w 元，w ＝（40﹣30）a +（90﹣70）（100﹣a ）＝﹣10a +2000，∵a ≥4（100﹣a ），解得，a ≥80，∴当a ＝80时，w 取得最大值，此时w ＝1200，即获利最大的进货方案是购买甲种商品80件，乙种商品20件，最大利润是1200元．【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答问题．22．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =m x （x ＞0）的图象交于点P （n ，2），与x 轴交于点A （﹣4，0），与y 轴交于点C ，PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC ． （1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．【分析】（1）由AC ＝BC ，且OC ⊥AB ，利用三线合一得到O 为AB 中点，求出OB 的长，确定出B 坐标，从而得到P 点坐标，将P 与A 坐标代入一次函数解析式求出k 与b 的值，确定出一次函数解析式，将P 坐标代入反比例解析式求出m 的值，即可确定出反比例解析式；（2）假设存在这样的D 点，使四边形BCPD 为菱形，根据菱形的特点得出D 点的坐标． 解：（1）∵AC ＝BC ，CO ⊥AB ，A （﹣4，0），∴O 为AB 的中点，即OA ＝OB ＝4，∴P （4，2），B （4，0），将A （﹣4，0）与P （4，2）代入y ＝kx +b 得：{−4k +b =04k +b =2， 解得：k =14，b ＝1，∴一次函数解析式为y =14x +1，将P （4，2）代入反比例解析式得：m ＝8，即反比例解析式为y =8x ；（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，连接DC与PB交于E，∵四边形BCPD为菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，将x＝8代入反比例函数y=8x得y＝1，∴D点的坐标为（8，1）∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠CAB的角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝6，cos C=35，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OM．证出∠EBM＝OMB，得出OM∥BE；由等腰三角形的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；（2）设⊙O的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE＝CE＝3，解直角三角形求得AB＝AC＝5，则OA＝5﹣r，从而根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】（1）证明：连接OM ，如图：∵OB ＝OM ，∴∠OBM ＝∠OMB ，又BM 平分∠ABC 交AE 于点M ，∴∠OBM ＝∠EBM ，∴∠EBM ＝∠OMB ，∴OM ∥BE ．∵AB ＝AC ，AE 是∠CAB 的平分线，∴AE ⊥BC ，∴OM ⊥AE ，∴AE 与⊙O 相切；（2）解：设⊙O 的半径是r ．∵AB ＝AC ，AE 是∠CAB 的角平分线，∴AE ⊥BC ，BE ＝CE ＝3，∠ABC ＝∠C ，又cos C =35=CE AC， ∴AB ＝AC =CE cosC =335=5， 则OA ＝5﹣r ．∵OM ∥BE ，∴OM BE=OA AB ， 即r 3=5−r 5，解得r =158； 即⊙O 的半径为158．【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定和等腰三角形的性质是解题的关键．24．如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连接AE ，BF ，交点为G ．若正方形的边长为2．（1）求证：AE ⊥BF ；（2）将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF （如图2），延长FP 交BA 的延长线于点Q ，求AQ 的长；（3）将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转，使边AB 正好落在AE 上，得到△AHM （如图3），若AM 和BF 相交于点N ，求四边形MNGH 的面积．【分析】（1）运用Rt △ABE ≌Rt △BCF ，再利用角的关系求得∠BGE ＝90°求证； （2）△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，利用角的关系证明QF ＝QB ，在Rt △QPB 中，利用勾股定理即可解决问题．（3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得S △AGN =45，再利用S 四边形GHMN ＝S △AHM ﹣S △AGN 求解．【解答】（1）证明：如图1，∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CF ＝BE ，在Rt △ABE 和Rt △BCF 中，{AB =BC ∠ABE =∠BCF BE =CF，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF．（2）解：如图2，根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，∵PF＝FC＝1，PB＝BC＝2，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣1）2+22，∴x=5 2，∴AQ＝BQ﹣AB=52−2=12．（3）解：∵正方形ABCD的面积为4，∴边长为2，∵∠BAE＝∠EAM，AE⊥BF，∴AN＝AB＝2，∵∠AHM＝90°，∴GN ∥HM ，∴△AGN ∽△AHM ，∴S △AGN S △AHM =（AN AM ）2， ∴S △AGN 1=（ √5）2， ∴S △AGN =45，∴S 四边形GHMN ＝S △AHM ﹣S △AGN ＝1−45=15， ∴四边形GHMN 的面积是 15． 【点评】本题考查的是旋转变换、翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟知旋转、翻折不变性是解答此题的关键，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．25．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A （1，1），且与直线y ＝x ﹣2交于B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点B 、C 的坐标；（2）求△ABC 的内切圆半径；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C 点坐标；（2）先求出AB ，BC ，AC ，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC 是直角三角形，最后利用三角形的面积即可求出内切圆的半径；（3）设出N 点坐标，可表示出M 点坐标，从而可表示出MN 、ON 的长度，当△MON 和△ABC 相似时，利用三角形相似的性质可得MN AB =ON BC 或MN BC =ONAB ，可求得N 点的坐标．解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2+1，又抛物线过原点，∴0＝a （0﹣1）2+1，解得a ＝﹣1，∴抛物线解析式为y ＝﹣（x ﹣1）2+1，即y ＝﹣x 2+2x ，联立抛物线和直线解析式可得{y =−x 2+2xy =x −2，解得{x =2y =0或{x =−1y =−3，∴B （2，0），C （﹣1，﹣3）；（2）由（1）知，B （2，0），C （﹣1，﹣3）；∵A （1，1），∴AB =√(2−1)2+(0−1)2=√2，BC =√(2+1)2+(0+3)2=3√2，AC =√(1+1)2+(1+3)2=2√5，∴AB 2+BC 2＝AC 2∴△ABC 是直角三角形，设△ABC 的内切圆的半径为r ，∴r =AB+BC−AC 2=√2+3√2−2√52=2√2−√5；（3）假设存在满足条件的点N ，设N （x ，0），则M （x ，﹣x 2+2x ），∴ON ＝|x |，MN ＝|﹣x 2+2x |，由（2）知，AB =√2，BC ＝3√2，∵MN ⊥x 轴于点N ，∴∠ABC ＝∠MNO ＝90°，∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN AB =ON BC 或MN BC =ON AB ，①当MN AB =ON BC 时，∴2√2=3√2，即|x ||﹣x +2|=13|x |， ∵当x ＝0时M 、O 、N 不能构成三角形，∴x ≠0，∴|﹣x +2|=13，∴﹣x +2＝±13，解得x =53或x =73， 此时N 点坐标为（53，0）或（73，0）； ②当MN BC =ON AB ，时， ∴23√2=√2，即|x ||﹣x +2|＝3|x |，∴|﹣x +2|＝3，∴﹣x +2＝±3，解得x ＝5或x ＝﹣1，此时N 点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N 、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。