高中数学 电子题库 第三章 3第2课时知能演练轻松闯关 北师大版必修4

高中数学 电子题库 第三章 3第2课时知能演练轻松闯关 北师
大版必修4
1.已知180°<α<360°，则sin α
2的值等于( )
A ．－1－cos α
2 B. 1－cos α
2 C ．－
1＋cos α
2
D.
1＋cos α
2
解析：选B.180°<α<360°， ∴90°<α
2<180°，
∴sin α2
＝
1－cos α
2
. 2.(2012·汉中质检)已知tan α
2
＝3，则cos α为( ) A.45 B ．－45
C.415
D ．－35
解析：选B.cos α＝cos 2α2－sin 2α
2＝cos
2
α2－sin 2α2cos 2α2＋sin
2α
2
＝1－tan
2
α
21＋tan
2α
2＝1－91＋9＝－4
5.
3.已知sin θ＝45且5π2<θ<3π，则tan θ
2＝________．
解析：∵5π
2<θ<3π，
∴cos θ＝－3
5.
又∵5π4<θ2<3π2
，
∴tan θ2＝
1－cos θ
1＋cos θ
＝
1＋
35
1－35
＝2. 答案：2
4.(2012·吉安调研)若cos22°＝a ，则sin11°＝________，cos11°＝________(用a 表示)．
解析：sin11°>0，cos11°>0，
∴sin11°＝ 1－a
2
，cos11°＝ 1＋a
2
. 答案：
1－a
2
1＋a
2
[A 级 基础达标]
1.已知cos α＝23，270°<α<360°，那么cos α
2的值为( )
A.6
6 B ．－66 C.306
D ．－
306 解析：选D.∵270°<α<360°， ∴135°<α2<180°，∴cos α
2<0.
故cos α
2＝－
1＋cos α
2
＝－1＋232
＝－
56＝－306
. 2.设－3π<α<－5π
2，化简
1－cos （α－π）
2
的结果是( )
A ．sin α2
B ．cos α2
C ．－cos α
2
D ．－sin α
2
解析：选C.原式＝ 1＋cos α2＝|cos α
2
|， ∵－3π<α<－5
2
π，
∴－3π2<α2<－54π.∴cos α
2<0.
因此原式＝－cos α2
.
3.(2012·九江调研)已知sin α2＝35，cos α2＝－4
5
，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D.∵sin α2＝35>0，cos α2＝－4
5<0
∴α
2是第二象限的角． 又∵|sin α2|<|cos α
2
|，
∴2k π＋34π<α
2<2k π＋π(k ∈Z )．
∴4k π＋3
2π<α<4k π＋2π(k ∈Z )．
∴角α是第四象限角．
4.已知α是第二象限角，sin α＝513，则tan α
2的值是________．
解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝－12
13.
∴tan α2＝1－cos α
sin α＝1＋12135
13＝5.
答案：5
5.(2012·南昌调研)化简
sin4x 1＋cos4x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x
1＋cos x
＝________．
解析：原式＝2sin2x cos2x 2cos 2
2x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x
1＋cos x ＝sin2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x
＝
2sin x cos x 2cos 2
x ·cos x 1＋cos x ＝sin x
1＋cos x
＝tan x
2. 答案：tan x
2
6.已知sin α＝－2425，3π2<α<2π，求sin α2，cos α2，tan α
2的值．
解：由已知sin α＝－2425，3π
2<α<2π得
cos α＝1－sin 2
α＝725，α2∈(3π
4
，π)， 根据半角公式得
sin α2＝
1－cos α
2＝1－
7252＝35
， cos α
2
＝－
1＋cos α
2
＝－1＋7252＝－45
， tan α2＝sin
α2cos α2＝3
5－
45
＝－3
4
.
[B 级 能力提升]
7.设5π≤x ≤6π，cos x 2＝a ，则sin x
4的值为( )
A ．－1＋a
2 B ．－1－a
2 C ．－
1＋a
2
D ．－
1－a
2
解析：选D.∵5π≤x ≤6π，∴5π4≤x 4≤3
2π.
∴sin x
4
<0.
∴sin x
4
＝－
1－cos
x
22
＝－1－a
2
. 8.(2012·咸阳高一检测)已知3＋tan θ1－tan θ
＝1＋23，那么sin 2
θ＋sin2θ的值为( )
A ．1 B.45 C.35
D.25
解析：选A.由条件等式可解得tan θ＝1
2
.
∴sin 2
θ＋sin2θ＝sin 2
θ＋2sin θcos θsin θ＋cos θ＝tan 2
θ＋2tan θtan θ＋1＝14＋2×
121
4
＋1＝1. 9.当0<α<π时，（1＋sin α＋cos α）（cos α2－sin α
2
）
2＋2cos α＝________．
解析：∵0<α<π，∴0<α2<π2，cos α
2>0.
原式＝[（1＋cos α）＋sin α]（cos α2－sin α
2
）
2（1＋cos α）
＝
（2cos 2
α2＋2sin α2cos α2）（cos α2－sin α2
）2×2cos
2
α2
＝2cos α2（cos 2α2－sin 2α2
）
2cos
2
α2，
＝2cos α
2
cos α
2cos
α2＝cos α.
答案：cos α
10.已知tan α＝a ，求1＋sin2α－cos2α
1＋sin2α＋cos2α的值．
解：∵1－cos2α＝2sin 2
α，1＋cos2α＝2cos 2
α， ∴
1＋sin2α－cos2α1＋sin2α＋cos2α＝1－cos2α＋sin2α
1＋cos2α＋sin2α
＝2sin 2
α＋2sin αcos α2cos 2
α＋2sin αcos α ＝
2sin α（sin α＋cos α）
2cos α（cos α＋sin α）
＝tan α.
又∵tan α＝a ，∴1＋sin2α－cos2α
1＋sin2α＋cos2α
＝a .
11.(创新题)已知OA →＝(1，sin x －1)，OB →＝(sin x ＋sin x cos x ，sin x )，f (x )＝OA →·OB →
(x ∈R )．求：
(1)函数f (x )的最大值和最小正周期； (2)函数f (x )的单调递增区间．
解：(1)f (x )＝OA →·OB →＝sin x ＋sin x cos x ＋sin 2
x －sin x ＝12sin2x ＋1－cos2x 2
＝
22sin(2x －π4)＋1
2
， 令2x －π4＝π
2
＋2k π，k ∈Z ，
∴当x ＝k π＋3π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1＋2
2
，
最小正周期为π.
(2)当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
即k π－π8≤x ≤k π＋3π
8，k ∈Z 时函数为增函数，
原函数的递增区间是[k π－
π8，k π＋3π
8
](k ∈Z )．。