复变测试卷2017answer

一、填空题(每题2分，共20分)
1. __2________, _-1+i √3__, ___-1-i √3__。

2. (34)Ln i -+=4ln5[(21)arctan ]3
i k π++-，16i e π-+12i +e 3. 曲线()2z i t =+在映射2w z =下的象曲线方程为43
u v =。

4. 函数223u x z xy z =-+在点(1,1,0)P -处沿方向_{1,-1,3}____的方向导数最大，其最大值为___√11__。

5. 曲线33x t =+,67y t =-,225z t t =-, 对应于3t =的点M 处的切向矢量A v 为
2767i j k ++v v v 。

6.矢量场23A xi yj zk =++v v v v 从内向外穿出闭合面S 的通量Φ =_64π_____。

S 为球面
2224x y z ++=。

7. 矢量场222(36)(33)A x xy i y x j =-+-v v v 逆时针方向沿闭合曲线l 的环量___0______，其中l 为 2225,0x y z +==。

8. 已知r xi yj zk =++v v v v ,r r =v ,则rot()rr v
= 0
9. 332grad()x y y z += 232233(3)2x yi x y z j y zk +++v v v
10.222grad()x y y z z x ++= 222(2)(2)(2)xy i x yz j y xz k +++++v v v z 二、选择题(每题2分，共20分)
1. 数量场22
u xy yz =+在点M （2，-1,1）处沿矢量22l i j k =+-v v v v 方向的方向导数为（2-3）
（A (B) -2 (C) 42i j k --v v v (D)
3
2. u,v 为任意不相同的两个标量场，则grad grad u v ⨯是（ D ）
（A ）有势场 (B) 调和场 (C) 管型场 (D)不确定
3. r xi yj zk =++v v v v ，r r =v ，则rot()r v
=（ B ）
（A ）3 (B) 0 (C) r r
v (D)r 4. A u u =∇v 是：A
（A ）无旋场 (B)有旋场 (C) 有源场 (D)无源场
5. .设z =x +iy ，则33i z e +=（A ）
（A ）. 33x e + （B ）. 3x e （C ）. 33i z e +
（D ）. 33i z e + 6. arg(2-2i)=( B )
（A ）.34π- （B ）.4π- （C ）.4π （D ）.34
π 7. 下列复数中，使等式
1z z =-成立的是( C ) （A ）. 2i z e π= （B ）. i z e π= （C ）. 2i z e π= （D ）. 2i z e π-=
8．设0<t≤2π,则下列方程中表示圆周的是( B )。

（A ）．z=(1+i)t （B ）．z=e it +2i
（C ）．z=t+t
i （D ）．z=2cost+i3sint 9. arg(-2+2i)=( )。

（A ）.34π- （B ）.4π- （C ）.4π （D.）34
π 10．下列区域为有界单连通区域的是( A )。

（A ）．0<|z-i|<1
（B ）．0<Imz<π （C ）．|z-3|+|z+3|<12
(D)．0<argz<43π 三、计算题(每题6分，共60分)
1.求p ，m ，n 的值使得函数3232()()f z my nx y i x pxy =+++为解析函数，并求这时的导数()f z ' 解：22u v nxy nyp n p x y
∂∂===⇒=-∂∂
2222333,3u v my nx x py n m p y x
∂∂=+=-=--⇒=-=∂∂ 3,1,3p m n =-==- 222()6(33)3u v f z i xy i x y z x x
∂∂'=
+=-+-=∂∂ 2. 求矢量场23242cos y A xy z i z yj x e k =++v v v 在点M(1, 1, 2)处的散度。

解：232(sin )|84sin1M P Q r divA y z z y x y z
∂∂∂=++=-=-∂∂∂v 3. 验证矢量场22222(cos )2v v v v A xyz i x z y j x yzk =+++是有势场，并求其势函数 解：222202cos 2i
j k A x
y z xyz x z x yz
∂∂∂==∂∂∂+v v v v rot 则v A 是有势场 2220000cos 2sin x
y z u dx ydy x yzdz y x yz =++=+⎰⎰⎰ 势函数
22sin v u y x yz C =-=--+
4. 计算2
2cos (3)z z dz z π=-⎰
Ñ
解：22cos 2sin()3()3
z z dz i i z πππ==-⋅=-⎰Ñ
5. 求sin (2)
C z dz z z -⎰，其中C 为3z = 解： 11324402
sin sin sin 2(2)2
sin sin 22sin 22z z z z z z z
z z z dz dz dz z z z z z z i i i z z πππ==-===-=+--=+=-⎰⎰⎰蜒?
6. 已知32(,)u x y y mx y =-为调和函数，求m 及其使()f z u iv =+解析的函数(,)v x y 。

若定义(,)u x y 、(,)v x y 为平面调和场A v 的势函数和力函数，求矢量场A v 。

解：
22
22222,322,6u u mxy y mx x y u u my y x y
∂∂==-∂∂∂∂==∂∂ 222203u u m x y ∂∂+=⇒=-∂∂ 2263,v u v u x y xy x y y x
∂∂∂∂=-=--=∂∂∂∂=6 232006623x y
v x dx xydy x xy =-+=-+⎰⎰ 226(33)A gradu xyi y x j -=--+v v v =
7. 设222u v x y xy -=--。

求u v 和，使得()f z u iv =+为解析函数，且满足(0)0f =的
()f z u iv =+的表达式。

见课件
8. 求复数11
z w z -=
+的实部与虚部. 解：设z x iy =+ 2222
1112=11(1)z x yi x y yi w z x yi x y --++-+==+++++ 2222
22
1(1)2(1)x y x y y x y +-++++实部：虚部：
9. 讨论函数2
w xy x iy =-+的可导性，并在可导点处求其导数 解：2,u xy x v y =-= 1,,0,2u u v v y x y x
y x y ∂∂∂∂=-===∂∂∂∂ 12,1,0u v y y y x y
u v x y x
∂∂=-==-∂∂∂∂=-=∂∂，则则
w 在-i 处可导 2u v w i x x
∂∂'=
+=-∂∂ 10. 讨论函数()z f z e =在复平面上的解析性。

解：
.设z x iy =+ 有 ()(cos sin )z x f z e e y i y ==-
(,)cos ,(,)sin x x u x y e y v x y e y ==-
cos ,sin ,sin ,cos x x x x u u v v e y e y e y e y x y x y
∂∂∂∂==-=-=-∂∂∂∂ 易知(,)u x y ，(,)v x y 在任意点都不满足C R -条件，故f 在复平面上处处不解析。