函数单调性

当x1 < x2时， 都有f (x1) < f (x2)
x
O
x1
那么就说f(x)在这个区间上 是增函数,给定的区间D称为 函数的单调增区间.
类比增函数定义给出减函数定义：
y
f ( x1 )
如果对于属于定义域I内的 某个区间D上的任意两个自 变量值x1 , x2
f ( x2 )
当x1 < x2时， 都有 f (x1) > f (x2) 那么就说f(x)在这个区间上 是减函数,给定的区间D称为 函数的单调减区间.
注意：
(1)单调区间为定义域的子集。
(2) 对于单独的一点，没有增减变化，所 以不存在单调性问题；对于闭区间上的连 续函数来说，只要在开区间上单调，它在 闭区间上也就单调，因此在考虑它的单调 区间时，包括不包括端点都可以； (3)两个单调区间之间用“，”连接，不 能用并集符号连接。
32页练习3
例 2 判 断 并 证 明 函 数 f ( x)
函数 f ( x ) 解： 1 x
1 x
在 （0， ） 的 单 调 性 。
在（ 0， ）上是减函数。
y
y
1 x
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)
1 x1 1 x2
x 2 x1 x1 x 2
x
由x1、x2∈（0，+∞） ，得 x2 x1 ＞0
例1：如下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x) ， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调 区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。
[ 解：函数 y f ( x ) 的单调区间有[ 5 2)， 2,1),[1, 3),[3, 5] [1, 其中 y f ( x ) 在区间 [ 5 2)， 3) 上是减函数， 在区间 [ 2,1),[3, 5] 上是增函数．
又由x1<x2 ，得 x2- x1 ＞0 则f(x1)-f(x2) ＞ 0， 即 f(x1) ＞ f(x2)
所以，函数 f ( x ) 1 x 在（ 0， ）上是减函数。
练习：证明函数f(x)=2x+1在R上是增函数。
证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1<x2,则 取值 f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1) 作差 变形
O
x1
x2
x
定义理解：
（1）所取的 x1 , x 2 必须为D内任意两个自变量。 （2）若自变量的大小与所对应的函数值大小关系 一致，则函数为增函数，若大小关系相反， 则 为减函数。 （3）单调性定义的等价形式： f(x) 在区间D上为增函数 ,则 f (x )< f (x ) 任 取 x D ,x D ,若 x < x
=2( x1- x2)
由x1<x2 ，得 x1- x2 <0 于是 f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1) < f(x2)
定号 所以，函数f(x)=2x+1在R上是增函数。 下结论
判断或证明函数单调性方法及步骤：
(1)取值：设任意x1,x2 给定区间且x1<x2 (2)作差：作差f(x1)-f(x2) (3)变形：因式分解、配方、有理化等 (4)定号：（ (5)下结论。
f(x1)<f (x2)还是f(x1) ＞f (x2) ）
课堂小结及作业
1、函数单调性的的定义
2、判断或证明函数单调性方法及步骤
取值、作差、变形、定号、下结论。
作业：习题1.3A组
第2题
1 2 1 2 1 2
任 取 x1 D ,x 2 D ,若 x1 > x 2 ,则 f (x1 )> f (x 2 )
任 取 x1 D , x 2 D , 都 有 f ( x1 )-f ( x 2 ) x1 -x 2 任 取 x1 D ,x 2 D ,都 有 ( x1 -x 2 )( f ( x1 )-f ( x 2 ))>0 >0
1.3.1 函数的单调性
一、观察分析
y y=2x 3 2 1 -2 -1 0 1 -1 -2 2 x
y
yx
2
o
x
-3
二、发现探索
y
yx
2
f ( 1 x 2
x
三、归纳总结
y
f ( x2 )
f ( x1 )
x2
如果对于属于定义域I内的 某个区间D上的任意两个自 变量值x1 , x2