微分几何与广义相对论参考概念

微分几何简介
Def: 设M 是一个Hausdorff 空间，如果,()p M U p ∀∈∃同胚于n
R ，则M 被称为一个n 维
流形。

Def: 如果同胚是
:U U U ϕϕ→，那么U ϕ是n R 中的一个开集，我们称(,)U U ϕ是M 的一个
图。

因为U ϕ∈n R ，我们可以定义(())U x p μμ
ϕ=为M 的局部坐标。

Def: 称光滑映射
:;
()M t t γγ→→R
为M 上的光滑曲线。

当给出M 的图
:U U U ϕϕ→后，定义映射：
ˆ:ˆγγϕγ→= n R R
ˆγ给出了M 上曲线的坐标表示：
01{(),...,()}n x t x t -
Def: 光滑映射:f M →R 称为M 上的光滑函数。

定义映射
1ˆ:ˆf
f
f ϕ-→= n R R
给出了函数的坐标表示：ˆ
()f f x =。

M 上p 点处C ∞
类记为()
p M F ，M 上的全体C ∞
类记为()M F 。

Def: 映射
ˆ:()ˆ()(())
v
M d
v f f d τγττ=→=R F .
称为M 在p 处的切向量，p 处切向量的几何称为p 处的切空间，记为ˆp
TM 。

Def: 称R 上的无穷维代数：
:()()V M M →F F
是M 上的光滑向量场，如果他满足：
,();()()()()(())(())f g M V f g V f V g V fg g V f f V g λλλ∀∈∀∈+=+=+R F
M 上向量场的集合记为(M)X 或
()10M T 。

显然我们可以定义向量场的坐标表示为：
()()V x V x μμ
=∂
另外由于
(),,(M);(),();()()(())
f M V W f V W fV fW f
g M f g V fV gV fg V f g V λλλλλλ∀∈∈∀∈+=+∀∈∀∈+=+=R R
F F X
因此向量场可以定义为()M F 上的左模。

Def: 我们称映射
:()()10M M α→T F 为M 上的余切向量场，记为()01M T ，如果他满足：
(),,(M),,(),,,,,,01f M V W M V fW V f W f V V f V αβααααβαβ∀∈∈∀∈<+>=<>+<><+>=<>+<>
F T X
显然我们如果定义
(),(M),()f M V f V V f ∀∈∈<>=d F X
其中
f
f x x νν∂=
∂d d 。

那么f d 满足余切向量场的定义。

同理可知，余切向量场也是()M F 上的左模。

Def: M 上的张量场被定义为一个()M F 线性的映射：
:()()()()()p
11000011q
T M M M M M ⨯⨯⨯⨯⨯→
T T T T F
显然M 上的张量场也是
()M F 上的左模。

Def: M 上的张量代数定义为
,0
()()
()()()()()()()()
p q p q 01021000101200M M M M M M M M M M ∞
==⊕=⊕⊕⊕⊕⊕⊕= 其中T T T T T T T T T F
Def: 张量积：
:()()()
(,...,,,...,;,...,,...,)(,...,;,...)(,...,;,...,)p r p+r
q s q+s M M M A B s t u v A s t B u v αβγσαβγσ⊗⨯→⊗=T T T
定义张量场的分量为：
......()(,...,;,...,)
T x T x x μνμναβαβ=∂∂d d
显然
......()
()p q T M T T x x x μναβαβμν
∀∈=⊗⊗⊗∂⊗⊗∂d d T
Def: 缩并
:()()
()(...,,...;...,,...)
p p -1
q q -1
C M M T C T T x α
α→→=∂d T T
Def: 反衬化算子
......[...]
()
():1
(,...,)sgn()((,...,))!()0q A 0q A A T M T M T U V T U V p T T T σ
αβαβαβππσσπ∀∈∈=
→=∑T T
类似的可以定义对称化算子，容易证明：
0A A A
A S S A S S S
ππππππππππ====
注意：
[]()0a b ab c d cd
b a a b
ab c d dc cd ab c d b a a b b a ab
ab c d c d ab c d ab cd
T T T T T T T T T δδδδδδδδδδδδδ====-===
千万别认为b a a b
c d c d δδδδ-为0了！注意：
0b a a b c d c d δδδδ-≠ Def: 微分形式
(),,()
(...,,...,,...)=(...,,...,,...)01q 0M V W M V W W V ααα∀∈∈-T T
满足条件的张量的集合记为
p ()M Ω。

显然
p n-p
dim ()dim ()p n M C M Ω==Ω。

Def: Wedge Product
p q p+q :()()()()!!!
A
M M M p q p q πΛΩ⨯Ω→Ω+Λ=
⊗
显然可以看出：
()()()()
(1)pq A B T A B A T B T A B A T A A B C A B C A B B A
λλλλ∧+=∧+∧+∧=∧+∧∧∧=∧∧∧=-∧
由此可以给出微分形式的等价定义：
[]
......[...]x x x x x x μνμνμνμνμν
μναααα=⊗⊗=⊗⊗=⊗⊗d d d d d d
容易证明：
[]!x x p x x μνμν∧∧=⊗⊗d d d d
因此给出微分形式的第三种等价定义：
(1)
x x x x x x p μνμνμνμνμνμνμν
αααα<=⊗⊗=
∧∧=∧∧∑d d d d d d !
因此有：
......[......]
......[......]......()!
()!!
1
!!
1
!!1()()!
p q p q x x x x p q x x x x p q x x p q μνγσμνγσμνγσ
μνγσμνγσ
μνγσμσμνγσαβαβαβαβαβαβ+∧=
∧=
∧∧∧∧∧=
∧∧∧∧∧=∧∧∧+d d d d d d d d d d
Def: Cartan 代数
p 01n 0()()
()()()
d i m ,()()p M M M M M M n M M ∞
=-∞
Ω=⊕Ω=Ω⊕Ω⊕⊕Ω=Ω= 其中F Def:
p p+1d :()()M M Ω→Ω是外微分算子，如果他满足： d()d d d dd 0
d()=d (1)d p B T B T f f λλαβαββ+=+==∧∧+-∧d
可以看出：
.........[...,]11
d d(
)=d 1(1)p x x x x p p x x x x x x p x p μνμνμνμνμναμν
μνα
μναα
ααααα=∧∧∧∧∂-=∧∧∧=∧∧∧∂d d d d d d d d d d !!
!!
等价的表示为：...[...,]
(d )(1)(1)p p μναμνααα=-+
Def: 微分映射
1、 拉回映射：
:f M N N N f f
ϕϕϕ*→→= 为一个微分同胚，是上的函数：R 定义拉回：
2、 推前映射：
:()(){}
(())()()(())()()()(())()(())
(())()()f M N H N V M V x V x N y f V x V
y y y f V H y V x f H V x H y x V x H y x x x y
y f V x V y V x y x y μμμμμμ
μμ
μ
μμμμ
μ
μ
μμμμμ
****
→=∂∂∂=∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂ 为一个微分同胚，是上的函数，是上的切向量场：的局部坐标是定义推前：即
3、 广义拉回映射
11::()()(,...,;,...,)
(,...,;(),...,())()()()
()()()
p p q q f M N f M M f T U V T f U f V f f f T P f T f P f T P f T f P h M f T hP f T f h f P αβαβλλ**-*-*************→→=+=+⊗=⊗∀∈+=+为一个微分同胚，定义拉回：满足：因此T T F
Def: 我们可以定义同一个流形上的微分映射，这只需定义流形上的流：
:(0)()(),:(;0)(;)():(;0)(;)
(;)s s s s s M M p t V t V M x x s x x x x x s V x
x s μμμμγγγΦ→=→=ΦΦ⨯→→=ΦΦ→=∂ 是一个微分同胚:则称为由产生的流。

显然流具有群性。

可以给出一个等价定义：R 可以得到一个流的坐标表示：对应的向量场为：
Theorem:
1:s s s s s
f M N M f f N V f V -*→Φψ=ΦΦψ 设是一个微分同胚,是上的流，那么显然是上的流。

如果产生流，那么产生
♣ 通过流形上的流，我们可以给出一个流形上的坐标变换。

Def: 体积元
1n
g x x ω=∧∧d
显然这样的定义是与坐标无关的。

Def: 流形上的积分
01()()n
g g M
M
f M C f f f f x x dx dx ωω==⎰⎰⎰ 设是上的函数，则的积分定义为：
这个定义不依赖于坐标：
()
:()(),()p p g f C C
f C M C N f x f αωαα
*→==⎰⎰若则
Stokes Theorem:
d C
C
αα
∂=⎰⎰
♫ Lie 导数
Def: Lie Derivative
V s s d
A=
A ds *=ΦL
性质：
()()()()[,]0
((,...;,...))()(,...;,...)(,...;,...)...(,...;,...)...,,<,W>
V V V V V V V V V V V V V V A B A B
A B A B A B C A W A W A W A W W W λλααααααα+=+⊗=⊗+⊗==++++<>=<>+特别的，L L L L L L L L L L L L L L 推论：
,,(d )d()d()()()[,]
V V V V X V V x x V V x Y X Y μ
μμμννμνμψψ
ψψψααααα=====+=d d L L L L L
特别的有：
,,,........................,,...,...,...,...()
()()()
()a b V b a a b a b a b V b a b V a b V a c a b b a c c a
b b
c a c b a a b c
i j m i j m i j m i j i m j j i m V k m k l m k m l l k m m k l m k l
A x A x A x A x V A x V A x V A x A V A V A V A V A V A ⊗∂=⊗∂+⊗∂+⊗∂=⊗∂+⊗∂-⊗∂⇒=+++---d d d d d d d L L L L L
另外，
[,][,]
X Y X Y X Y X Y λλ+=+⇒=L L L L L L
而[X,Y]生成Lie 代数，记为Der T (M)
因此Lie 导数可以被定义为一个X (M)→Der T (M) 的Lie 代数同态（Lie Algebra Homomorphism ） Def: Killing Field
.,,0
0k k k i j k i k j j i k
g g g g ξξξξ=⇔++=L
Def: 活动标架 (好像体积元也可以推广到标架上，体积元不变)
()()()()()()()()I I
J J I I I I
J J e x e x x e x e x e x e x e x e x μ
μνν
ννμμμμδδ==∂==d
由二次型定理，任何实二次型，都有非退化线性变换，使得二次型化为规范性，号差是唯一的。

因此当我们选取正交标架，可以化简度规场：
((),())I J IJ g e x e x η=
♫ 联络 Def: 协变导数
:()()()()()()[,]0p p W q q W W W W W W V V V V fW V W
M M A B A B A B A B A B V C f λλψψψ+∇→∇+=∇+∇∇⊗=∇⊗+⊗∇∇==∇=∇=∇+∇满足性质：
T T L
令联络系数满足：
b 0a a
c a b ab c
a W
b a a
c bc e e e e
δ∂∇=∇∇=Γ=∇∇=-Γ由，可得：
他们有性质：
'1122'()
'()()()
'''''''''''''''''a c c d e b a e b d c d c e f c f d ab ef d a b d b f a i s m i r i r jk
sm r j k
r
j k
i j i k
j k
l i s m r s i
i r jk
sm r j k
j k e A A e A A A A A e A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x δ--∇=∇⇒Γ=Γ+∂∂∂∂∂⇒Γ=Γ+∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂Γ=Γ-∂∂∂∂∂∂ 上式两边对求导可得：
r s x ∂
一般情况下有：
........................,............()i j m i j n m i j n m i j i m n j j m i n
W k l k l m mk n l ml k n mn k l mn
k l A W A W A W A W A W A ∇=-Γ--Γ+Γ++Γ 以上这种形式的写法有不好的地方，当W 是某坐标线的切向量场时，比如a
W e =，则表达
式的指标不平衡。

☻平移方程：
..................,................................0(;)W m
m
m i j n m i j n m i j i m n j j m i n
k l m mk n l ml k n mn k l mn k l
m m m i j n i j n i j i k l mk n l ml k n mn k A A W dx W dt
W A W A W A W A W A dx dx dx A x t A A A dt dt dt ∇==
-Γ--Γ+Γ++Γ=-Γ--Γ+Γ 当时，是沿的积分曲线平行的。

由于有：........................................(;)0m
n j j i n l mn k l
m m m m
i j n i j n i j i n j j i n
k l
mk
n l ml k n mn k l mn k l dx A dt
A dx dx dx dx A
x t A A A A dt dt dt dt
++Γ-Γ
--Γ+Γ++Γ= 因此满足方程：
特别的，向量场的平行移动方程为：
0i k
i j jk dV dx V dt dt +Γ=
Def: 当0g ∇=时，我们称联络是与度规场相容的。

Def: 测地线方程：
i i j k jk x x x γγ∇=⇔+Γ=
Def: 协变微分
:()()
()(,...,;,...)()(,...;,...)
p p
q q+1W M M A V W A V αα∇→∇=∇T T
Def: Torsion
T : X (M )×X (M )→X (M ) 的一个F (M)线性的映射，满足
(,)[,]U V T U V V U U V =∇-∇-
则T 被称为流形M 的绕率。

♯☺在广义相对论中我们假设时空是无绕的，即T=0。

此时联络若与度规场相容，定义系数：
l
i j k i l
j k
g Γ=Γ 则联络系数满足方程：
,,,1()2i il
jk lj k lk j jk l g g g g Γ=
+-
♫: Curvature
Def: Riemann Curvature
R : X (M )×X (M )×X (M )→X (M )
[,][,](,)[,]U V V U U V U V U V R U V W W W W W W
=∇∇-∇∇-∇=∇∇-∇
显然R(U,V)f =0，f 是一个光滑函数。

Riemann 曲率的性质：
(,)(,)R fU gV hW fghR U V =
(,)(,)R X Y Z X Y Z R e e e λμνλμν
=
各种内曲率张量的定义与性质：
,(,)(,),(,)(,)(,)R dx R Ric X Y dx R Y X Ric Ric R R R g Ric R R g R R R R R R R R R κκκκηκηκλμνμνλμνλνμλνλμημλνη
μμλμνμνμνμλνμνμ
μνμξ
κλμνκξλμν
κλμνκλνμκλμνλκμνκλμνμνκλμννμ
=<∂∂∂>=∂Γ-∂Γ+ΓΓ-ΓΓ=<∂>
=∂∂===∂∂===-=-==
First Bianchi Identity:
(,)(,)(,)0R X Y Z R Z X Y R Y Z X ++=
Second Bianchi Identity:
()(,)()(,)()(,)0X Z Y R Y Z V R X Y V R Z X V ∇+∇+∇=
等价的可以表述为：
;;;0
R R R R R R κκκλμννλμμνλξξξλμνκλνκμλκμν++=++=
Def: 平直空间：对于流形上任何一点，如果在该点的任何邻域内的任何点处，Riemann 曲
率张量为零，那么这样的流行是平坦的。

Theorem: 任何Riemann 流形都有性质：对流形上任何一点，存在一个邻域和一个局部坐标，使得度规场在该点处简化为平坦度规。

即：
,{();}
(,)p M U p x p g μ
μνμνη
∀∈∃∂∂=在处， 注意，对于非平直的流形，一定不存在局部坐标，使得在某个邻域内度规场处处是平
坦度规！！！
Theorem: 当存在某个邻域，以及一个co-tetrad ，且这个co-tetrad 是个恰当微分，则该流形一定是平坦的！ ☼♥ 超曲面
Def: 流行嵌入与超曲面：
Im()(),dim 1,dim ,,dim 1,dim 1
p p p
p p S M M S S n M n S M p M p V W N W n N φφφ→==-=∀∈=⊕=-=嵌入：称为的一个嵌入子流行：若则称为的超曲面
此时，的切空间可以表示为两个子空间的直和：其中
当M 装备了度规后，我们可以给出超曲面上切向量的法向量。

此时p 点的且空间可以正交分解。

如果M 没有装配度规，我们可以通过对偶空间定义余法向量。

Theorem:
,1,1a ab ab a b
a a a a M g n S g S h g n n n n n n =±=-+=+-
若装备有度规为超曲面的法向量，则在上的诱导度规为：其中当时取时取
Theorem: 如果我们用方程给出超曲面：()f x C =
那么该超曲面的法向量为：
()a a n f x =∂ (3)Einstein Equation
1
82a b a b a b a b
R g R g T λπ-
+=
(4)广义相对论基本假设
a 、时空是4维Semi-Riemannian Manifold
b 、当引力可以忽略时，时空回到Lorentzian 空间，物理规律回到狭义相对论
c 、时空的弯曲受物质的影响，满足Einstein Equation
1.2 球对称时空和轴对称时空
Def: 一个时空被称为是稳态的，如果他存在Killing Field 。

此时他的度规场被称为稳态度规。

注意：如果给出的度规不是稳态的，我们不能认为该时空是非稳态的，稳态性是当我们给定
时空的度规后，时空表现出的内在性质，应当不与坐标有关。

而相反的，度规场的分量值是依赖于坐标的。

例如，我们的地球引力场是个2S 对称时空，在球坐标下，度规场沿着时间方向移动具有不
变形，但是当观测者沿半径方向移动，他会发现引力随时间变化。

而当他高度固定时，不会
感觉到引力随时间的变化。

Def: 时空被称为是静态的，如果时空存在与超曲面正交的类时Killing Field 。

静态时空有一个重要性质：
012312300()()0
(,,)(,,)a b i ab t i i j
ij g g g x x x t t g x x x x x =∂∂=∴=⊗+⊗g d d d d
这样的坐标系称为时轴正交坐标系。

静态时空具有时间反演不变性，这是稳态时空所没有的。

显然，静态时空一定是稳态的。

对于稳态时空，以他的Killing 场的积分曲线为世界线的观测者所感知到的参考系被称为稳态参考系。

Def: 时空是球对称的，如果时空具有一个微分映射，这个映射构成一个等度规群，且含有
一个子群G ，同构于SO(3)。

即：
Diff ()(3)G M G SO <≅
球面线元的表达式为：2222(sin )ds r d d θθφ=+，这是三位Euclidean 空间在2S 上的诱导
度规的线元。

这里需要指出：线元中‘半径’r 是不可以被定义为Euclidean 空间的半径的，这是因为空
间2S 以外什么都没有，半径是无意义的。

这个坐标可以定义为流形的面积：
20
sin 4S K d d K r π
π
θθφπ===
⎰
⎰
定义：
Def: 我们称时空是稳态轴对称的如果它存在Killing Field ，满足：
[,]0a ξψ=
Theorem ：设a ξ为Killing Field ，a T 为测地线切线，那么()0a b a b T T ξ∇=，即在测地线上
b
b T ξ为常数。

1.3 Schwarzschild 黑洞与Kerr 黑洞简介
Theorem:
静态球对称时空只存在一个与超曲面正交的Killing Field 。

我们可以由此给出此时空线元的一般表达式：
22()22()2222(sin )A r B r ds e dt e dr r d d θθφ=-+++
Theorem:没有宇宙学常数的真空Einstein Equation 等价于：
ab R =
由此，带入球对称静态时空的度规分量，可以定出系数A(r)，B(r)。

我们可以给出Schwarzschild 黑洞：
2212
22222(1)(1)(sin )M M ds dt dr r d d r r θθφ-=--
+-++
这个黑洞的测地线方程是：
22
2
2sin cos ()0d dr d d d r d d d θθφθθττττ+-=
显然满足初始条件θ=2/π，初始速度为零的唯一解是θ=0。

根据前面的定理，粒子运动有守恒量：
()()()()a b ab t a b
ab E g L g τφτ=-∂∂=-∂∂
另外由于()()a b
ab g ττκ=∂∂显然是守恒量。

需要注意的是：能量E 是守恒量，但是能量的观测值却不是守恒的：
1/241()(),4()a a a a a a a a a a a
a t a a a a Killing G Z Z Z Killing Z U E U Z P m
m
τξξχχξξξχχ
ξε
ε=-===∂=∂=-=-=设是静态场，静态观测者的速度为，。

由于观测者是静态的，即沿静态场的积分曲线运动，那么
，其中，粒子的速度为因此其中为能量观测值
设有稳态观测者：G 和G ’。

G 在p 时空点发出光子，到p ’时空点到达G ’。

'
1/2
20044()'()1()()()21a a a a p a a p a a a a a a a a a a a a p a p
Z K K Z K Z Killing Z Z Z K Killing K K M g r
ωωξξχχξξξξξωχωχχ=-=-==-===
=-=-
‘代表观测者的速度，代表光子的波矢。

则观测到的频率为：
因为稳态观测者的世界线重合于场的积分曲线固因为所以因为切于光子的测地线，是场，所以’推得：’
因此r=2M 是黑洞的无限红移面上，此处满足000
g =。

我们完全可以就此将无限红移面定义为
000
g =的2维曲面。

Def: 黑洞的无限红移面是度规分量满足方程000
g =的点的集合
Schwarzschild 黑洞的世界面：
212
20
2(1)202(1)2dt d d M ds dr
r
r M ds dr M dt r
r M θφ-====--===±-=此时可见把宇宙分为类时和类空两个部分，如果光子运动，可见是个单向膜。

很明显，世界面与无限红移面重合。

我们可以看出，如果加上时间一维，将世界面延拓为一个超曲面，那么该超曲面上的法向量一定是类光的！这也就是世界面的定义！ Def: 黑洞的世界面是法向量类光的超曲面。

我们为了看出时间的相对性，可以考虑自由下落的粒子：
2
3
000000121/2
1221/20022(1)(1)22(1)(1)M
R dx u u u ds du dx dx ds ds ds g u k
dt u M M k k dr u r r
kdr
t M M k r r μ
μ
μν
μν--===
+Γ=⇒===---+⇒==+∞
--+⎰，
即无穷远处静态观测者永远看不到粒子落入黑洞。

选取自由下落参考系：
22121/20
2(1)
M
M
R
R dr dr ds M u k r τ
τ==
=--+⎰⎰
⎰是个有限值
即粒子会在有限时间内落入黑洞。

Kerr 黑洞的线元为：
2222
2
22222
22222
2422222
2222222cos (1)(cos )cos 22sin 4sin [()sin ]cos cos Mr r a ds dt dr r a d r a r a Mr
Mra Mra r a d dtd r a r a θθθθθθθφφ
θθ+=---+++--+++++
无限红移面就是
000
g =
，r M =
它的世界面出现在法向量类光处：
我们假设给出的超曲面的方程表示为：f (x)=C
2222()(;,)0
(2)()()(;,)(;)(;)a ab a a b r h f x f t r n n g f f r a Mr f f f t r A t r B t r M θθθθ±==∂∂=⇒+-∂+∂=⇒=±由轴对称性：令
可见Kerr 黑洞的世界面与无限红移面并不是重合的，经过计算，他们满足关系：
s h h s r r r r ++-->>>
其中s r +和h r +包裹的三维空间区域称为能层。

如下图所示，为一个Kerr 黑洞在三维空间中的
投影图：
☺☺☺黑洞的奇点
Def: （这个定义非常深奥，远远超出了作者的学习和理解能力范围，因此）我简单的把奇点理解为：曲率张量R 发散的点。

（1）Schwarzschild 黑洞： 我们利用新的坐标：
1/21/2(
1)exp()()244(1)exp()()
244r r t v sh M M M r r t
u ch M M M =±-=±- 这样，我们得到新的线元表达式：
32
2222
32ˆexp()()2M r ds dv du r d r M =---Ω
显然，除了r=0处，再无奇点。

（2）Kerr 黑洞：
在r=0，且θ=2/π处，标量曲率Tr(Ric)=∞。

这是一个奇异环，该环包围在所有世界面里面。

2.1 Kerr 黑洞的Frame-Dragging Effect
在广义相对论中, Kerr 度规刻画了一个围绕旋转质量的轴对称时空的几何。

根据这个度规场，这种时空具有拖曳效应，这种效应是一种广义相对论给出的不寻常的预言。

简单地讲,这个效应是说当粒子靠近旋转物体时，该粒子将会随着旋转物体一同旋转, 这种旋转并不是Newtonian 效应！即这不是因为粒子在引力场中会感受到某种牵引力，而是因为时空自身的弯曲性质！在Kerr 时空中靠近旋转质量的任何自由落体都会随质量一同旋转。

在足够小的距离内，一切物体---甚至是光子都会随质量旋转；发生这种效应的空间区域是能层。

根据通常形式的Kerr 度规：
22222222222
2422222
222222222
2cos (1)(cos )cos 22sin 2sin 2sin [()sin ]cos cos cos Mr r a t t r r r a r a r a Mr
Mra Mra Mra r a t t r a r a r a θ
θθθθθθθθφφφφθθθ+=-⊗-⊗-+⊗++--++⊗+⊗+⊗+++g d d d d d d d d d d d d
现在假设粒子可以静止于能层内部： 0dr d d θφ===
222
002222((),0,0,0)(1)cos t Mr
dl dt dt g dt r a θ=∂=-
=+g ，在能层内部有00
0g < 因此2
0dl <，粒子的世界线是类空的，这是不可能的！因此在能层内部粒子是不可能静止的！
在能层内部，度规场可以简单的表述为：
0011223303300011223303300,0,0,0,0
g t t g r r g g g t g t g g g g g g θθφφφφ=⊗+⊗+⊗+⊗+⊗+⊗<<<<=>g d d d d d d d d d d d d 其中
上述度规存在交叉项，因此有必要利用co-tetrad 写成紧凑形式：
2
03030300112233333333
()()()
g g g
g t t g r r g g t t g g g θθφφ=-⊗+⊗+⊗++⊗+g d d d d d d d d d d
在能层内部：
222
03
002
2233
2
222()02sin cos g r Mr a g Mra g r a r a θ
θ-+-=
>+++
当r=const, θ=const 时，只要令
03
33
0g d dt g φ+
=
就可以得到2
0ds >的世界线。

这时：
03
33g g ωφ
==- ，这就是说对于无穷远观测者来说能层内部坐标系必须随着黑洞一起
以角速度ω转动。

另外我们可以看出，这个co-tetrad 是可积的，即03
33g t
g φ+
d d 是一个恰当微分。

这是因为度
规
g μν
不含坐标,t φ，因此ω是r 和θ的函数。

这就是说，我们可以得到一组新的坐标：
',',','t t r r t θθφφω====-
根据上一章的结论，Kerr 时空中在标准度规中()a a
t ξ=∂与()b b φψ=∂分别是类时和类空的killing field ，此外没有其他killing 场。

这说明Kerr 时空是稳态的，但是由于
0a b
ab g ξψ≠，Kerr 时空不是静态的。

在新坐标下度规为：
00112233''''''''''(')(')g t t g r r g g θθφφ=⊗+⊗+⊗+⊗h d d d d d d d d
这使得时空不存在交叉项，但是新的度规分量与时间有关，这使得度规时空的稳态性质被隐藏，度规场不再是稳态的了。

其原因在于，新的坐标中没有选取类时的Killing Field 的积分
曲线作为时间轴。

注意：'()()a a
t t ∂≠∂！他们的关系为：'()()()a a a t t φω∂=∂-∂
新坐标下度规没有交叉项是因为'()a
t ∂与等t ’面正交，而且该曲面与等t 面是重合的。

可以
证明，该曲面族并不是超曲面。

2.2 Kerr 黑洞附近粒子的轨道方程
设赤道面上粒子的4-速度为：
(,0,0,)(
,0,0,)t dt d U U d d φφ
ττ=，对于Kerr 黑洞，()a a
t ξ=∂与
()b b
φψ=∂分别是类时和类空的killing field ，根据前面的定理，若粒子沿测地线运动，得到
两个守恒量：
222
22(1)22()M dt aM d E r d r d Ma d aM dt l r a r d r d φ
ττ
φττ=-
+=++-
另外由于()()a b
ab g ττκ=∂∂显然是守恒量，可以得到Kerr 黑洞的有效势函数R(E,l,r)。

对于圆轨道，
R
R=0,
0r ∂=∂，可以解得E 和l,:
311222331114
2
2
22
1112
22
2
2
331114
2
2
22
2(32)
(2)(32)E
r Mr aM
r r Mr aM l
M r aM r a r r Mr aM μ
μ
-±=
-±+=
-±
在以上二式中,上符号代表顺行轨道(即粒子的轨道角动量与黑洞的自转角动量同向);下符号代表逆行轨道(即粒子的轨道角动量与黑洞的自转角动量反向)。

其中μ代表粒子的静止质量，光子的μ=0。

由此可得粒子在赤道平面上的共转角速度(Keplerian)为：
32
1(,)k d r a dt
r a φ
Ω=Ω=
=+
圆轨道存在范围从r =∞到光子的极限圆轨道. 光子的极限圆轨道可通过令式
311222331114
2
2
22
2(32)E
r Mr aM
r r Mr aM μ
-+=
-+
的分母为零来确定,由此得到一个关于r 12的三次方程.可解得光子的圆轨道为:
()()[
]{
}
r M a M ph =+-21231cos cos
对于r r ph >的情况,并非所有的圆轨道都是束缚的.可以证明，对于非束缚圆轨道,
1
E
μ
>。

若存在一定的扰动,处于该轨道的粒子将会沿着一条渐进双曲线逃逸到无穷远.束缚轨道存在
于r r mb >的区域,其中r mb 是临界束缚圆轨道半径, 满足1
E
μ
=：
()r M a M M a mb =+22112
任何进入r r mb <区域的粒子必然直接落入黑洞。

束缚轨道的稳定性要求：∂∂22
0R
r ≤ 上式可以推出临界稳定圆轨道半径：
()()
[]
{
}
r M Z Z Z Z ms =+-++333221121 ,
(
)()()[]3
13
13
12
211111M a M a M a Z -++-+≡
()
Z a M Z 22212
12
3≡+
以上讨论的轨道半径大小关系如下图所示：
2.3 Penrose 过程
()()()()()()()()(),()0
a a
a b ab t a b
ab a a t a t a a C Kerr P m E g L g Killing C E L Z P ττφτφτττε=∂=-∂∂=-∂∂∂∂∂->设是黑洞指向未来的类时世界线，为故有时，则它的四动量为：而和都是向量场，当是测地线时在世界线上为常数。

可以证明，当粒子在能层内部时，类空，能量可以为负值。

应当注意的是，观测者在当时当地观测到的能量恒为正：
=
Penrose 于1969年根据能层内存在负能轨道的特点提出从Kerr 黑洞提取能量的有趣想法，后人称之为Penrose 过程。

设能量为E>0的粒子从无限远的渐进平直区域向Kerr 黑洞自由下落，那么按照前面的定理，他的能量是守恒的。

假设粒子可以具有定式装置使得到一定时间后他可以分裂为二。

分裂过程的动量是守恒的，可以证明，存在这样的分裂情况，使得一块粒子进入黑洞内部的负能轨道，另一块沿外部区域跑向无限远处的平直宇宙。

可而落入黑洞的粒子一定会带给黑洞负能量，因此黑洞能量减少，而由于动量守恒的要求，远处粒子能量会增加。

我们可以从有效势来解得：
()2
3,,dr r R E l r d λ⎛⎫= ⎪⎝⎭
()()232222242R E r a r Ma aMEl r M l m r ≡++----∆
()12
22232
2aMl l r D m r r r E D
⎡⎤+∆+∆+⎣⎦
=
其中2232Ma r a r D ++=。

为了得到E <0,我们要求一个逆行轨道()l <0,且满足:
()222322224l r D m r r r
a M l ∆+∆+< 可以证明，静限r 0是包含所有θ值的负能轨道区域的边界。

Penrose 过程揭示了从旋转黑洞中提取能量的可能性，具有重大的理论意义。

但是此过程不大可能有重要的天体物理意义。

Bardeen(1972)证明了在能层中粒子破裂成两部分的条件是，两个粒子的相对速度至少要达到c/2。

2.4 Aschenbach Effect 和Frame-Dragging Effect 的关系
（我们这里使用无单位的规定:c=G=M=1）
对于Keplerian 轨道的粒子，在赤道面上有：
32
1(,)k r a r a Ω=Ω=
+
我们利用co-tetrad ：
12
()
()t a a
e dt A ∆∑⎛⎫= ⎪⎝⎭
1
2
()
()r a a
e dr ∑⎛⎫= ⎪∆⎝⎭
1()2
()a
a e
d θθ=∑
12
()
sin (()()a a a
A e d dt φθφω⎛⎫=- ⎪∑⎝⎭
对于无穷远观测者来说以上标架给出了一个随坐标一起运动的参考系，称为静止参考系(ZAMO)。

对于无穷远观测者来说静止坐标系的角速度：
2t g ar g A
φφφ
ω=-
=
其中
222r r a ∆=-+ 222cos r a θ∑=+
22222()sin A r a a θ=+-∆
在静止坐标系中三速度分量
:
()())a a LNRF a t a U e V U e φω==Ω-
根据前面的结论最后可得：
322222322()2()
(;)(k r a a ar r a V r a r r a +-∆-+=+
对于带有电荷的Kerr 黑洞(Kerr-Newman 黑洞)
22222222222224222222222222222cos (1)(cos )cos 22()sin 2()sin 2()sin [()sin ]cos cos cos Mr b r a t t r r r a r a r a b Mr
Mr a ba Mra ab Mra ab r a t t r a r a r a θθθθθθθθθφφφφθθθ-+=-⊗-⊗-+⊗+++-----++⊗+⊗+⊗+++g d d d d d d d d d d d d
其中a 代表黑洞的自转，b 代表黑洞的电荷。

按照同样的方法可以得到：
(;,)k V r a b =
下面讨论对于具有固定单位能量角动量在Kerr 黑洞附近做测地运动的粒子：
设粒子的4速度为：
(,0,0,)
(,)
(,)
a t t t U U U U U r U U r φφφθθ===
根据前面的定理，粒子的动量和能量分别为： ()()()()a b
ab a b
ab t l g E g φττ=∂∂=-∂∂
经过计算得到粒子的单位能量角动量： t U L U φ
=-
因此环绕的物质的角速度,
t U U φ
Ω=,与L 的关系是: tt t t Lg g Lg g φ
φφφ+Ω=-+
这里的粒子具有固定的角动量,L=const.
经过就算可以得到：
2222(sin )2sin (,;,)(2)sin a L ar r a L A Lar θθθθ∆-+Ω=Ω=-
代入公式：
()())a a LNRF
a t a U e V U e φω==Ω- 得到在赤道平面上有：
(,2/;,)V r a L L θπ==
对于绕不同自转参数黑洞且具有不同角动量的粒子的来说，环绕速度改变符号的空间点是不一定相同的，就是说符号有可能是有自转和半径两个值决定的。

我们首先需要找到粒子的角动量与改变符号方位的半径值的关系：
2222V L r ∂=∂
符号改变的地点应当使得上式等于0，因此得到关系是：
222[()(1)2](;)2[(1)]ex r r a r r L L r a a a r r +--∆==+∆+-
这个式子可以被称为角动量的临界条件。

即当给定角动量和自转后，根据上式可得到环绕速度取稳定点处的半径值。

由于我们研究黑洞附近粒子轨道需要是束缚轨道，而且是稳定的，这要求半径的范围取在r ms 和r mb 之间。

通过计算，可以给出角动量的取值范围。

首先我们需要了解L ex (r;a )函数图像的大致形状：
我们限定角动量的范围后可以给出合理范围内L ex (r;a ) 的局部极值，由下式确定：
22()ex a a r r ±
== (29) 其中
234
1234()9108150122323()()()()
D r r r r r r r r r r r r r =-+--=----- (30)
其中
r 1≈3.11363; r 2≈0.09602;
r 3≈0.74939; r 4≈1.74648;
由上式给出不同的自转参数a ，舍弃a >1(裸奇点)和a <0这些非物理的情况，进过计算我们发现，L ex (r;a )在允许范围内出现两次极值是在a >0.99964的时候。

当a =0.99964时，r=1.19466，此时L ex (r;a )出现一个拐点。

由于粒子速度
22(,2/;,)()2()V r a L L r r a a L a θπ==+--
的稳定点对应：
222[()(1)2](;)2[(1)]ex r r a r r L L r a a a r r +--∆==+∆+-
现在我们取定角动量为一个数值：
ˆ(;)ex L r a L =
注意这个角动量使得环绕速度的梯度为0，即这是环绕速度梯度符号改变的临界值！ 带入环绕速度公式中：
22ˆ(,2/;,)()2()V r a L L r r a a L a θπ==+--
在给出自转参数a 的情况下，利用前面的关系：
222[()(1)2]ˆ(;)2[(1)]ex r r a r r L L r a a a r r +--∆==+∆+-
我们就可以得到环绕速度单调性改变的临界位置对应的半径r 的值。

由于前面的结论，当我们给定了角动量L ex (r;a )和自转，如果a >0.99964，同一个角动量会对应多个不同的半径值，很显然，环绕速度梯度符号就会有多次改变！
22(,2/;,)()2()V r a L L r r a a L a θπ==+--。