浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程2

浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章一元二次方程（解析版）
2.3一元二次方程的应用（2）
【知识重点】
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤.
(1)审：审清题意，弄清已知量与未知量；
(2)找：找出等量关系；
(3)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
(4)列：列出一元二次方程；
(5)解：求出所列方程的解；
(6)验：①检验方程的解是否正确，②是否符合题意；
(7)答：作答.
二、列方程解决实际生活中有关面积计算问题：
1.不规则图形面积的求法一般转化为规则图形来计算，常用的方法是割补法；平移、旋转等几何变换在平面图形面积计算问题中也常常用到，主要起到转化作用.
2.平面内距离计算问题主要是构造直角三角形，利用勾股定理进行计算.
【经典例题】
【例1】如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？
【答案】解：设围成的矩形花圃的宽为x米，则长为(20−2x)米．
根据题意列方程：x(20−2x)=50
解得：x1=x2=5
则20−2x=10．
答：矩形花圃的长10米、宽5米．
【解析】设围成的矩形花圃的宽为x米，则长为(20−2x)米，根据题意列出方程x(20−2x)=50求解即可。

【例2】在一块长16m、宽12m的矩形草坪上，要修建如图所示的两条宽均为xm的甬路，并使甬路所占面积为原来矩形草坪面积的一半，求甬路的宽．
【答案】解：由题意得
(16−x)·(12−x)=1
2×16×12
∴x1=4，x2=24（舍）．∴甬路的宽为4m．
【解析】根据图象列出方程(16−x)·(12−x)=1
2×16×12
，再求解即可。

【例3】某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播后，就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有多少人被感染？
【答案】解：设每轮传播中平均一个人会传染给x个人，则第一轮会传染给2x人，第二轮会传染给x(2+2x)人，
依题意得：2+2x+x(2+2x)=50，
整理得：x 2+2x −24=0，
解得：x 1=4，x 2=−6（不合题意，舍去）， ∴50(1+4)=50×5=250（人）.
答：每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有250人被感染 【解析】设每轮传播中平均一个人会传染给x 个人，则第一轮会传染给2x 人，第二轮会传染给x(2+2x)人，根据题意列出方程2+2x +x(2+2x)=50，再求解即可。

【例4】如图1，在一张长40cm ，宽25cm 的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒，若纸盒的底面积是450cm 2，则纸盒的高是多少？
【答案】解：设纸盒的高是xcm ，
根据题意，得(40−2x)(25−2x)=450， 解得x 1=5，x 2=27.5（不符合题意，舍去） 答：纸盒的高是5cm ．
【解析】设纸盒的高是xcm ，根据题意列出方程(40−2x)(25−2x)=450，再求解即可。

【例5】参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？ 【答案】解：设共有x 个队参加比赛，则每队要参加（x ﹣1）场比赛， 根据题意得： x(x−1)2
＝21，
整理得：x 2
﹣x ﹣42＝0，
解得：x 1＝7，x 2＝﹣6（不合题意，舍去）. 答：共有7个队参加足球联赛.
【解析】设共有x 个队参加比赛， 则每队要参加（x ﹣1）场比赛，则需进行比赛的总场数为x(x−1)
2
，
进而根据比赛的总场数是21列出方程，求解即可. 【例6】如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6 cm ，BC=8 cm ，点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以1 cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以2 cm/s 的速度运动.当点Q 到达点B 时，点P 同时停止运动.
（1）运动几秒时，△PCQ 的面积为8 cm 2
（2）△PCQ 的面积能否等于△ABC 面积的一半?若能，求出运动时间；若不能，请说明理由. 【答案】（1）解：设 xs 后，可使 △PCQ 的面积为 8cm 2 ． 由题意得， AP =xcm ， PC =(6−x)cm ， CQ =2xcm ， ∴1
2⋅(6−x)⋅2x =8 ，
整理得： x 2−6x +8=0 ， 解得： x 1=2 ， x 2=4 ，
所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使 △PCQ 的面积为 8cm 2 ． （2）解：由题意得： S △ABC =12×AC ⋅BC =12
×6×8=24 ，
∴12⋅2x ⋅(6−x)=1
2×24 ， x 2−6x +12=0 ，
△=(−6)2−4×12=−12<0 ，该方程无实数解，
所以，不存在使得 △PCQ 的面积等于 △ABC 的面积的一半的时刻 【解析】（1）设x 秒后，△PCQ 的面积为8cm 2，利用点的运动方向和速度，可表示出AP ，PC ，CQ 的长，利用三角形的面积公式建立关于x 的方程，解方程求出x 的值.
（2）利用三角形的面积公式可得到关于x 的方程，根据方程解的情况，可作出判断.
【基础训练】
1．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x 支队伍参加比赛，则所列方程为( ) A ．x(x+1)=45 B ．x(x+1)2=45 C ．x(x-1)=45 D ．x(x−1)2
=45
【答案】D
【解析】 设共有x 支队伍参加比赛， 根据题意可得：x(x−1)2
=45，
故答案为：D.
2．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ） A ．n(n+1)2
=30 B ．n （n ﹣1）＝30
C ．n(n−1)2
=30 D ．n （n ＋1）＝30
【答案】B
【解析】每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，若设有n 人参加聚会，每人送出(n −1)件礼物，根据题意可列出方程为n(n −1)=30 故答案为：B
3．某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草，若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m ，种植花草的区域的面积为100m ，设水池半径为xm ，可列出方程（ ）
A ．（2x+3）2﹣πx 2＝100
B ．（x+6）2﹣πx 2＝100
C ．（2x+3）2﹣2x 2＝100
D ．（2x+6）2﹣2πx 2＝100 【答案】D
【解析】设水池半径为xm ，正方形的边长为(2x+6)m ， 根据题意列出方程（2x+6）2﹣2πx 2＝100． 故答案为：D ．
4．在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某小组成员之间共互赠了30本图书，若设该组共有x 名同学，那么依题意可列出的方程是（ ） A ．x(x −1)=30 B ．x(x +1)=30 C ．2x(x −1)=30 D ．12
x(x −1)=30
【答案】A
【解析】∵该组共有x 名同学，
∴每个同学都需要捐赠（x-1）本书，共捐x （x-1）本， 根据题意，得x(x −1)=30， 故答案为：A ．
5．如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77m 2，设道路的宽为xm ，则根据题意，可列方程为（ ）
A．12×8−12x−8x+2x2=77B．12×8−12x−2×8x=77
C．(12−x)(8−x)=77D．(8−x)(12−2x)=77
【答案】C
【解析】设道路的宽为xm，根据题意得：
(12−x)(8−x)=77，
故C符合题意．
故答案为：C．
6．某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑
一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（）
A．(30−2x)(20−2x)=214B．(30−x)(20−x)=30×20−214
C．(30−2x)(20−2x)=30×20−214D．(30+2x)(20+2x)=30×20−214
【答案】C
【解析】设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽（20-2x）米，面积
为（30×20−214）米，根据题意得，
(30−2x)(20−2x)=30×20−214
故答案为：C．
7．如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽
的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程
为.
【答案】x(33+2-2x)=150
【解析】∵垂直于墙的长方形的宽为x米，
∴垂直于墙的长方形的长为（33+2-2x）米，
∵围成的养鸡场的面积为150平方米，
∴可列方程为：x(33+2-2x)=150 .
故答案为：x(33+2-2x)=150 .
8．如图，在一块长17m、宽12m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为176m2，则修建的路宽应为m．
【答案】1
【解析】设修建的路宽应为xm ，
由题意得：(17−x)(12−x)=176，
解得x =1或x =28>17（不符题意，舍去）， 则修建的路宽应为1m ， 故答案为：1．
9．某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去72张贺卡，则该学习小组 有名成员； 【答案】9
【解析】设这个小组有x 名成员，则小组内每名成员需送出（x−1）张贺卡， 根据题意得：x （x−1）＝72，
解得：x 1＝9，x 2＝−8（不合题意，舍去）． 故答案为：9．
10．如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，BC ＝7cm ．动点P 在线段AC 上从点C 出发，沿CA 方向运动；动点Q 在线段BC 上同时从点B 出发，沿BC 方向运动．如果点P ，Q 的运动速度均为lcm /s ，那么运动几秒时，它们相距5cm ．
【答案】解：设运动x 秒时，它们相距5cm ，则CQ ＝（7﹣x ）cm ，CP ＝xcm ， 根据题意得：x 2+（7﹣x ）2＝52， 解得：x 1＝3，x 2＝4． 答：运动3秒或4秒时，它们相距5cm
【解析】设运动x 秒时，它们相距5cm ，则CQ ＝（7﹣x ）cm ，CP ＝xcm ，根据勾股定理及PQ ＝5cm ，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【培优训练】
11．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ．动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm 2的是（ ）
A ．2秒钟
B ．3秒钟
C ．3秒钟或5秒钟
D ．5秒钟 【答案】B
【解析】设运动时间为t 秒，则PB=（8-t ）cm ，BQ=2tcm ， 依题意，得：12
×2t•（8-t ）=15，
解得：t 1=3，t 2=5， ∵2t≤6， ∴t≤3，
∴t=3．
故答案为：B ．
12．将一个容积为600cm 3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于x 的方程为（ ）
A ．15(1−x)=136.7
B ．30(30−2x)·x =600
C ．151(5−x)·x =600
D ．x(15−x)·x =600 【答案】C
【解析】由题意可得：长方体的长为：15，宽为：(30−2x)÷2=15−x ， 则根据题意，列出关于x 的方程为：15(15−x)×x =600． 故答案为：C ．
13．若n 边形恰好有n 条对角线，则n= ． 【答案】5
【解析】依题意有1
2
n （n−3）＝n ，
∴n （n−3）＝2n ， 整理，得n 2−5n ＝0， 即n （n−5）＝0，
解得n ＝0（不合题意，舍去）或n ＝5． 故答案为：5．
14．如图是一张长8cm ，宽7cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分)，剩余部分可制成底面积是15cm 2的有盖的长方体铁盒．设剪去的正方形的边长为xcm ． 则列出的方程是
【答案】(4-x)(7-2x)=15
【解析】设长方体铁盒底面长为acm ，宽为bcm ∵正方形边长为xcm
由题意得：{2(x +b)=8①
a +2x =7②a
b =15③
由②得a =7−2x ，由①得b =4−x ，代入③中得：(4−x)(7−2x)=15 故答案为：(4−x)(7−2x)=15
15．如图，要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭．为方便行人，分别从东，南，西，北四个方向修四条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长
的1
5，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的
3
25，求小路的宽．
【答案】解：设小路的宽为x米，
由题意得，（5x）2+（40+50）x﹣2×x×5x= 3
25×40×50
解得，x=2或x=﹣8（不合题意，舍去）
答：小路的宽为2米．
【解析】根据“小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的3
25”，建立方程求解即可得出结论．
16．如图，每个正方形由边长为1的小正方形组成，正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为n(n≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，当偶数n ＝时，P2＝5P1.
【答案】12
【解析】由图可得：当n为偶数时
P1=2n，P2=n2-2n，
∵P2＝5P1，
∴n2-2n=5×2n，
n2-12n=0,
∴n（n-12）=0,
∴n=0（舍）或n=12.
故答案为：12.
17．综合与探究：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=−1，则方程：x2+x=0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①x2+x−6=0；②2x2−2√5x+2=0．
（2）已知关于x的一元二次方程x2−(m−2)x−2m=0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．【答案】（1）解：①解方程得：(x+3)(x−2)=0，∴x1=−3，x2=2，∵2≠−3+1，∴x2+x−6=0
不是“邻根方程”；②x=2√5±√20−16
4=2√5±2
4=
√5±1
2
，∴x1=√5+1
2
，x2=√5−1
2
，∵√5+1
2−
√5−1
2=
1，∴2x2−2√5x+2=0是“邻根方程”；
（2）解：x2−(m−2)x−2m=0(x−m)(x+2)=0，∴x1=m，x2=−2，∵方程x2−(m−2)x−2m= 0(m是常数）是“邻根方程”，∴m=−2+1或m=−2−1，∴m=−1或−3.
【解析】（1）根据邻根方程的定义计算求解即可；
（2）根据题意先求出x1=m，x2=−2，再求解即可。

18．如图，点O为矩形ABCD内部一点，过点O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，过点O作GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，设CH=x，BH=8−2x，CF=x+2，DF=3x−3．
（1）矩形BCFE 的周长等于 ；
（2）x 的取值范围是： ▲ <x < ▲ ，若矩形ABCD 的面积为42，求x 的值； （3）求矩形OFCH 的面积S 的取值范围． 【答案】（1）20
（2）解：1；4；x =2
（3）解：由题意得：S =CH ⋅CF =x ⋅(x +2)=x 2+2x +1−1=(x +1)2−1， ∵1>0，
∴当1<x <4时，S 随x 的增大而增大 ∴(1+1)2−1<S <(4+1)2−1， ∴3<S <24． 【解析】（1）由题意得矩形BCFE 的周长=2(BC +CF)=2(8−2x +x +x +2)=20， 故答案为：20；
（2）∵DF =3x −3，BH =8−2x ， ∴{3x −3>08−2x >0， 解得1<x <4，
∵S 矩形ABCD =BC ⋅DC =(8−2x +x)(x +2+3x −3)=(8−x)(4x −1)=42， ∴4x 2−33x +50=0，
解得x =2或x =25
4
（舍去），
故答案为：1，4，x=2；
19．如图， △ABC 是边长为 4cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s ，当点 P 到达点 B 时，P ，Q 两点停止运动，设点 P 的运动时间为 ts ，解答下列问题：
（1）求△ABC的面积.
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的5
8？如果存在，求出t的
值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
则∠BAD=30°.
∵AC=4，CD=2.
∴在Rt △ACD中，AD=√AC2−CD2=2√3，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×2√3=4√3
（2）解：设经过t秒，△PBQ是直角三角形，
则AP=tcm，BQ=tcm.
在△ABC中，AB=BC=4cm，∠B=60°，
∴BP=(4−t)cm.
若△PBQ是直角三角形，则分两种情况：
①当∠BQP=90°时，BQ=1
2BP
，
即t=1
2(4−t)
，解得t=4
3
②当∠BPQ=90°时，BP=1
2BQ
，
即4−t=1
2t
，解得t=8
3.
综上所述，当t=4
3s
或83s时，△PBQ是直角三角形.
（3）解：不存在这样的t.
理由：如图2，作QE⊥AB于E，则∠BQE=30°，
∴QE=√3BE=√3×1
2t=√3
2t
，
∴S△BQP=12BP⋅QE
=1
2×(4−t)×
√3
2t
=√3t−√34t2，
当四边形APQC 的面积是 △ABC 面积的 58
时， △BQP 的面积是 △ABC 面积的 38 ，
即 √3t −√
34t 2=38
×4√3 ，化简得 t 2−4t +6=0 . ∵b 2−4ac =16−4×1×6=−8<0 ，
∴不存在这样的 t ，使四边形APQC 的面积是 △ABC 面积的 58
.
【解析】(1) 过点 A 作 AD ⊥BC 于点 D ， 根据等边三角形的性质和勾股定理求出AD ，然后计算△ABC 的面积即可；
(2) 设经过 t 秒， △PBQ 是直角三角形， 则BP =(4−t)cm ，然后分两种情况讨论，即①当
∠BQP =90° 时，根据 BQ =12BP 建立方程； ②当 ∠BPQ =90° 时，根据BP =1
2
BQ 建立方程 ，
然后分别求解即可；
(3)作 QE ⊥AB 于 E ， 根据含30°角的直角三角形的性质表示QE ，则可把△BQP 的面积用含t 的代数式表示，结合 △BQP 的面积是 △ABC 面积的 38
建立关于t 的一元二次方程，然后利用一元二
次方程的判别式判断即可. 20．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON （∠MON=135°）的两边为边，用总长为120m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形OBDG 为直角梯形．
（1）若①②③这块区域的面积相等，则OB 的长为 m ； （2）设OB=xm ，四边形OBDG 的面积为ym 2，
①求y 与x 之的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；②x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）24
（2）解：由题意可知，∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°， ∴∠EGO=∠EOG=45°，
∴CF=DE=OB=x ，则GE=OE=BD= 13 (120-2x)=40- 2
3
x
①y= x+x+40−2
3x 2×(40−23x)
= −49x 2+40
3x +800 （0﹤x ﹤60）
②y =−49x 2+40
3
x +800
= −49
(x −15)2+900
∴当x=15时，y 有最大值，最大值为900. 【解析】（1）由题意可知，∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°， ∴∠EGO=∠EOG=45°，
∴EG=EO=DB ，DE=FC=OB ，设OB=CF=DE=x ，则 GE =OE =BD =13(120−2x)=40−2
3
x ，
∵①②③这块区域的面积相等， ∴12(40−23x)2=12⋅x(40−2
3x) ， ∴x=24或60（舍弃）， ∴BC=24m ． 故答案为24．
【直击中考】
21．将一个容积为360cm 3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x （cm ）满足的一元二次方程： （不必化简）．
【答案】20−2x 2·x ·15=360
【解析】根据题意得长方体的长为20−2x 2cm ，宽为xcm ，高为1.5cm ，列方程为： 20−2x 2
·x ·15=360. 故答案为：20−2x 2·x ·15=360. 22．如图，小明同学用一张长11cm ，宽7cm 的矩形纸板制作一个底面积为21cm 2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm ，则可列出关于x 的方程为 ．
【答案】(11−2x)(7−2x)=21
【解析】设剪去的正方形边长为xcm ，根据题意得：
(11−2x)(7−2x)=21．
故答案为：(11−2x)(7−2x)=21
23．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m ，设较小矩形的宽为xm （如图）.
（1）若矩形养殖场的总面积为36 m 2 ，求此时x 的值；
（2）当x 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：∵BC=x ，矩形CDEF 的面积是矩形BCFA 面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE= 1
3(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3<0，
∴当x=4m时，S有最大值，最大值为48 m2，
【解析】（1）由题意可得CD=2x，则BD=BC+CD=3x，AB=CF=DE=8-x，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，求解即可；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.
24．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍.物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费.
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动.为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一.经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加
活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少3
10a%；6月份参加活动的80平方米
的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少1
4a%.这样，参
加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少5
18a%，求a
的值.
【答案】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，由题意得：2（50×2x+80x）＝90000，
解得x＝250
答：该小区共有250套80平方米的住宅.
（2）解：参与活动一：
50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500×40%＝200户参与活动一，
80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250×20%＝50户参与活动一；
参与活动二：
50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣310a%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣14a%）元，有50（1+6a%）户参与活动二.
由题意得100（1﹣3
10a
%）•200（1+2a%）+160（1﹣1
4a
%）•50（1+6a%）＝[200（1+2a%）×100+50
（1+6a%）×160]（1﹣5
18a%）
令t＝a%，化简得t（2t﹣1）＝0
∴t1＝0（舍），t2＝1 2，
∴a＝50.
答：a的值为50.
【解析】（1）设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，则所有住房的面积为（50×2x+80x）平方米，根据单价乘以单位面积等于收取的总费用列出方程，求解即可；
（2）首先算出参与活动一的50平方米与80平方米的住户的数量及每户每月需要交的物管费，进而算出参与活动一的50平方米与80平方米的住户的数量及每户每月需要交的物管费，从而根据参
加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少5
18a% 列出方
程，求解并检验即可。