立体几何平行_垂直证明的中点策略

ＰＤＡ 与 已 知 条 件 中 的 Ｅ ， Ｆ 分 别 为Ｃ Ｄ， Ｐ Ｂ 的中点的这两 个 条 件 上 ， 总之还是由中点问 题进行求证的突破 ， 从而使求证得以证明 ． 由
此可见中点问题在立体几何证明问题应用中 的重要性 ． 由于知识的 不 断 深 化 ， 立体几何的证明 但不论其如 问题将会有越 来 越 多 的 变 式 题 ， 何变化 ， 我们 都 可 以 通 过 对 已 知 条 件 进 行 整 理， 最后回归到我们所常见的 、 基本的题型进 行寻求解答 ．
Ｏ Ｄ⊥Ａ Ｂ． 又Ａ Ｂ∩Ｐ Ａ＝Ａ， Ａ Ｂ， Ｐ Ａ 平 面 Ｐ Ａ Ｂ，
所以 Ｏ Ｄ⊥ 平面 Ｐ Ａ Ｂ． 又 Ｅ， 所以 Ｆ 分别为Ｃ Ｄ， Ｐ Ｂ 的 中 点， １ １ 即Ｅ Ｅ Ｄ瓛 Ａ Ｂ， Ｆ Ｏ瓛 Ａ Ｂ， Ｄ瓛Ｆ Ｏ． ２ ２ 所以四边形 Ｅ 所以 Ｆ Ｏ Ｄ 为平行 四 边 形 ， 所以 Ｅ Ｅ Ｆ∥Ｏ Ｄ， Ｆ⊥ 平面 Ｐ Ａ Ｂ． 本题是 一 道 比 较 抽 象 的 线 面 垂 直 证 明 从题中 已 知 条 件 是 无 法 直 接 证 明 Ｅ 题， Ｆ⊥ 平面 Ｐ 证明的突破口出现在等腰三角形 Ａ Ｂ，
个平面内的两 条 直 线 ， 结合题中所给出的条 想通过证明线面垂直来证明 ， 这显然是走 件， 但它有 条 件 Ｐ 即它的 不通的 ， Ａ ＝Ｐ Ｂ＝Ｐ Ｃ， 突破点依旧是 中 点 问 题 ， 这缘于有等腰三角 形的出现 ． 证明 如图 ６， 取Ａ 连结 Ｐ Ｃ 中点 Ｏ ， Ｏ， 因为 Ｐ 所以 Ｐ Ｂ Ｏ． Ａ＝Ｐ Ｃ， Ｏ⊥Ａ Ｃ． ， 又侧 面 Ｐ 底 面 Ａ Ｃ⊥ Ａ Ｂ Ｃ Ｐ Ｏ⊥ 底 面 所以 Ｏ Ａ Ｂ Ｃ， Ｂ 为Ｐ Ｂ 在底面 Ａ Ｂ Ｃ 的射影 ． 又Ｐ 所以 Ｏ Ａ＝Ｐ Ｂ＝Ｐ Ｃ， Ａ＝Ｏ Ｂ＝Ｏ Ｃ， １ 即Ｏ 所以 Ａ Ｂ＝ Ａ Ｃ． Ｃ 为直角三角形 Ａ Ｂ Ｃ ２ 的斜边 ， 所以 Ａ Ｂ⊥Ｂ Ｃ． 要证明线线垂直 ， 当两直线为共面直线 ， 又无法用线面 垂 直 进 行 证 明 时 ， 应积极寻求 其他的垂直证 明 依 据 ， 而出现有等腰三角形 时， 关注这个 三 角 形 底 边 上 的 中 点 常 会 使 求 证问题得到突破 ． 例 ７ 如 图 ７， 四 棱 锥 Ｐ－ 底 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， 面Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 为 矩 形， ＰＤ
的平面 或 证 明 Ｂ Ｆ 垂直 Ｐ Ａ 所在的平 面来实现 ． 证明 连结 Ａ Ｏ． ， 因为 Ａ Ｆ ＝Ａ ＢＯ为 所以 Ａ Ｂ Ｆ 的 中 点， Ｏ Ｂ Ｆ 即Ｂ Ｆ⊥Ａ Ｏ． ⊥
图３
Ａ Ｃ． ∥ 平面 Ｅ 分析 要 证 明 线
很自然就会 面 平 行， 想着证明线线 平 行 ， 而题中已知条件有点 Ｅ 是 ＰＤ 中点 ， 若能出现第二个中点 ， 即可以转 所证问题 化为前例中三 角 形 中 位 线 的 问 题 ， 即可迎刃而解 ． 证明 如图 ３， 连结 Ｂ Ｄ 交Ａ Ｃ 于 点 Ｏ， 连结 Ｅ 因为四边形 Ａ 所以 Ｏ Ｏ． Ｂ Ｃ Ｄ 为菱形 ， 为 ＰＤ 中点 ． 又 Ｅ 是 ＰＤ 的 中 点 ， 在 △ＤＰ Ｂ 中， 所以 Ｅ Ｅ Ｏ 是 △ＤＰ Ｂ 的中位线 ， Ｏ∥Ｐ Ｂ． 又Ｅ 所 Ｏ 平 面 Ｅ Ａ Ｃ， Ｐ Ｂ 平 面 Ｅ Ａ Ｃ， 以Ｐ Ｂ∥ 平面 Ｅ Ａ Ｃ． 本例通过 连 结 Ｂ 巧妙 Ｄ 交Ａ Ｃ 于 点 Ｏ， 地构造 出 第 二 个 中 点 ， 结合条件中的 Ｅ 是 这就出现了三角形中两边中点 ＰＤ 的 中 点 ， 问题 ， 利用三 角 形 中 位 线 定 理 就 可 轻 松 地 把 问题解决 ． ２ 中点用于垂直问题的证明 在立体几何 的 有 关 垂 直 问 题 的 证 明 中 ， 常见的是以证 明 线 线 垂 直 ， 线面垂直和面面 垂直的题型为主 ， 究其规律 ， 该类垂直问题常 由线面垂直进而 由线线垂直证 得 线 面 垂 直 ， 证得面面垂直 ， 这证明思路源于证明垂直问 题的判定定理 和 垂 直 的 定 义 ． 当题目中给出 中点或在一个 三 角 形 中 有 两 边 相 等 时 ， 利用 好中点往往是解题的关键 ． 例 ４ 如图 ４， Ｐ 是边长为 １ 的正六边形 所 在 平 面 外 的 一 点， Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｐ 在平面 求 证： Ａ Ｂ Ｃ 内的 射 影 为 Ｂ Ｆ 的 中 点 Ｏ， Ｐ Ａ⊥
又Ｏ 为 Ｐ 在平
图４
பைடு நூலகம்
面Ａ 所以 Ｐ 即Ｂ Ｂ Ｃ 内的射影， Ｏ⊥ Ｂ Ｆ， Ｆ⊥ Ｐ Ｏ． 又Ａ 所以 Ｏ∩Ｐ Ｏ＝Ｏ， Ａ Ｏ， Ｐ Ｏ 平面 Ｐ Ａ Ｏ，
Ｂ Ｆ⊥平面 Ｐ Ａ Ｏ． 又Ｐ 所以 Ｂ 即Ｐ Ａ平面 Ｐ Ａ Ｏ， Ｆ⊥ Ｐ Ａ， Ａ⊥ Ｂ Ｆ． 上例通过证 明 Ｂ 进而证 Ｆ⊥ 平 面 Ｐ Ａ Ｏ， ， 明了 Ｐ 而这一证 明 过 程 中 用 了 Ａ⊥Ｂ Ｆ Ｏ为
且Ａ Ｂ Ｆ 的 中 点， Ｆ 与Ａ Ｂ 相等这一重要条 件， 而当连结 Ａ 由等腰三角形底边上的 Ｏ 时， 中线也为底边上 的 高 这 一 结 论 可 知 有 Ｂ Ｆ⊥ 即得到了 线 线 垂 直 ． 从而得到了证明本 Ａ Ｏ， 题的关键 ． 例 ５ 如 图 ５， 在 三 棱 锥 Ｐ－ Ａ Ｂ Ｃ 中， Ａ Ｂ ＝Ａ Ｃ， Ｐ Ｂ ＝Ｐ Ｃ， 求证 ： Ｐ Ａ⊥Ｂ Ｃ． 分析 要证明 即证 明 线 线 Ｐ Ａ⊥Ｂ Ｃ， 垂 直， 可证明 Ｐ Ａ 垂
Ｂ Ｆ． 分析 Ｐ 要证 Ａ， Ｂ Ｆ 为 两 条 异 面 直 线，
明线线垂直 ， 不能直接证得 ， 唯有通过线面垂 直证得线线 垂 直 ． 即证明 Ｐ Ａ 垂直Ｂ Ｆ 所在
３ ２ 线面垂直 ． 例 ６ 如 图 ６， 三 棱 锥 Ｐ－ 侧面 Ａ Ｂ Ｃ 中， Ｐ Ａ Ｃ 与底面Ａ Ｂ Ｃ 垂 直， 求 Ｐ Ａ ＝Ｐ Ｂ ＝Ｐ Ｃ， 证： Ａ Ｂ⊥Ｂ Ｃ． 分析 本题要证 明的 Ａ Ｂ ⊥Ｂ Ｃ 是同一
图６
数学教学研究 第 ３ ２ 卷第 ４ 期 ２ ０ １ ３年４月
又 ＰＤ⊥ 底面 Ａ 所以 ＰＤ⊥Ａ 即 Ｂ Ｃ Ｄ， Ｂ，
Ａ Ｂ⊥ＰＤ． 又 ＰＤ∩ＡＤ＝Ｄ， ＰＤ， ＡＤ 平面 Ｐ ＡＤ，
所以 Ａ Ｂ⊥ 平面 Ｐ ＡＤ． 又Ｏ 所以 Ａ 即 Ｄ 平 面 Ｐ ＡＤ， Ｂ ⊥Ｏ Ｄ，
图５
直Ｂ Ｃ 所在的平面或 证 明 Ｂ Ｃ 垂直Ｐ Ａ 所在 的平面 ， 本题有 Ａ Ｂ ＝Ａ Ｃ， Ｐ Ｂ ＝Ｐ Ｃ 两个等 腰三角形 ， 若能用好等腰三角形三线合一的 性质便可使求证的问题得到解决 ． 证明 取 Ｂ 连结 Ａ Ｃ 中点 Ｏ ， Ｏ， Ｐ Ｏ． 因为 Ａ Ｂ ＝Ａ Ｃ， Ｐ Ｂ ＝Ｐ Ｃ， Ｏ 为Ｂ Ｃ 中 点， 所以 Ｂ Ｃ⊥Ａ Ｏ， Ｂ Ｃ⊥Ｐ Ｏ． 又Ａ Ｏ∩Ｐ Ｏ＝Ｏ， Ａ Ｏ， Ｐ Ｏ 平 面 Ｐ Ａ Ｏ， 所以 Ｂ 而Ｐ 所 Ｃ⊥ 平面 Ｐ Ａ Ｏ． Ａ 平面 Ｐ Ａ Ｏ， 以Ｂ 即Ｐ Ｃ⊥Ｐ Ａ， Ａ⊥Ｂ Ｃ． 本例 关 键 是 取 Ｂ 由等腰三角 Ｃ 的 中 点， 形底边上的中 点 引 出 线 线 垂 直 ， 进而证得了
参考文献 ［ ］ ［ 高中数学 必 修 ２（ 北 京： 人 １ Ａ 版） Ｍ］ ． 王 申怀 ． 民教育出版社 ， ２ ０ ０ ８． ［ ］ 中学数学思 想 方法 概 论 ［ 广州： 暨 ２ Ｍ］ ． 王 林全 ． 南大 学出版社 ， ２ ０ ０ ３． ［ ］ 中学数学教学论 ［ 广州： 广东高等 ３ Ｍ］ ． 陈 德崇 ． 教育出版社 ， １ ９ ９ ５．
Ｏ Ｐ． ∥ 平面 Ｂ 分析 要证 Ｓ Ｃ
根据线 Ｏ Ｐ， ∥平 面 Ｂ 面平行的 判 定 定 理 ， 应 证 线 线 平 行， 即要证
图１
会使所求证的问题出现了例 １ 中的应用三角 形中位线的情况 ． 在 △Ｐ Ｃ Ｄ 中即可应用中位 １ 线定理得到 ＫＦ ∥Ｃ Ｄ 且 ＫＦ ＝ Ｃ Ｄ 这一重 ２ 要桥梁信息 ， 进而可证得四边形 Ａ ＥＫＦ 为平 行四边形 ， 由平行四边形的性质可得到线线
Ｓ Ｃ 平行平面 Ｂ Ｏ Ｐ 内的一条直线 ． 证明 因 为 Ｐ 为 Ａ Ｓ 中 点， Ｏ 为Ａ Ｓ中 ， 点， 所以 Ｐ 为 的 中 位 线 所 以 Ｏ △Ａ Ｓ Ｃ Ｐ Ｏ∥
第３ ２ 卷第 ４ 期 ２ ０ １ ３ 年 ４ 月 数学教学研究
３ １
平行的结论 ． 例 ３ 如 图 ３， 在 底面 是 菱 形 的 四 棱 锥 点Ｅ 是 Ｐ－ Ａ Ｂ Ｃ Ｅ 中， ， 的中 点 求 证： ＰＤ Ｐ Ｂ
２ 根 Ａ Ｆ∥ 平 面 Ｐ Ｃ Ｅ， 据线面平行的判定定理 ， 应证线线平行 ， 即在 图
平面 Ｐ Ｃ Ｅ 内找一条直线与 Ａ Ｆ 平行 ． 证明 取 Ｐ 连结 Ｅ 因为 Ｆ Ｃ 中点 Ｋ， Ｋ， Ｆ Ｋ． 为Ｐ 在△ Ｄ 中点， Ｐ Ｃ Ｄ 中， Ｋ Ｆ 是△ Ｐ Ｃ Ｄ 的中位 １ 所以 Ｋ 线， Ｆ∥ Ｃ Ｄ， Ｋ Ｆ＝ Ｃ Ｄ． ２ 又Ｅ 为Ａ 四边形 Ａ Ｂ 中 点， Ｂ Ｃ Ｄ 是矩 １ 形， 所以 Ａ 所 以 ＫＦ 瓛 Ｅ ∥Ｃ Ｄ， Ａ Ｅ＝ Ｃ Ｄ， ２ 四边形 Ａ Ａ Ｅ， ＥＫＦ 为 平 行 四 边 形 ， Ａ Ｆ∥
ＥＫ ． 又Ａ 所 Ｆ 平面 Ｐ Ｃ Ｅ， ＥＫ 平 面 Ｐ Ｃ Ｅ，
以Ａ Ｆ∥ 平面 Ｐ Ｃ Ｅ． 本例条件中已 经 告 知 Ｅ， Ｆ 分别为Ａ Ｂ， 这一重要信息如何 ＰＤ 中 点 这 一 重 要 信 息 ， 不 用上呢？由于 Ａ Ｂ， ＰＤ 为 两 条 异 面 直 线 ， 能直接将现 有 中 点 连 接 构 成 三 角 形 中 位 线 ， 所以需另觅中点 ， 当再添加 Ｐ 就 Ｃ 的中点 Ｋ ，
在立体几何中若能利用好中点平行问题的证明将会变得更具特征性其遵循的原理即为若知一中点即想办法找出另一个中点那常常应注意能否应用三角形中位线梯形中线等来证明线线平行使之能利用中位线性质从而得到两直线平行或平行四边形进而可以证明线面平行的问题从而达到证明线面的平行关系
３ ０
数学教学研究 第 ３ ２ 卷第 ４ 期 ２ ０ １ ３年４月
即Ｓ 又Ｓ Ｓ Ｃ， Ｃ∥Ｐ Ｏ． Ｃ 平面 Ｂ Ｏ Ｐ， Ｐ Ｏ 平 ， 面Ｂ 所以 平面 Ｏ Ｐ Ｓ Ｃ∥ Ｂ Ｏ Ｐ． 例 ２ 如 图 ２， 四边 Ｐ Ａ⊥ 平面 Ａ Ｃ， 形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 是 矩 形， Ｅ， Ｆ 分别是 Ａ Ｂ， 求 证： ＰＤ 的 中 点 ， Ａ Ｆ∥ 平面 Ｐ Ｃ Ｅ． 分析 要 证 明
Ｂ Ｃ Ｄ， ＡＤ ＝ ⊥底 面 Ａ ， ， ＰＤ Ｅ Ｆ 分 别 为 Ｃ Ｄ，
求 证： Ｐ Ｂ 的 中 点， Ｅ Ｆ 平面 Ｐ Ａ Ｂ ． ⊥ 分析 欲 证 线 面 垂直 ， 应证 线 线 垂 直 ， 即证 Ｅ Ｆ⊥ 平 面 Ｐ Ａ Ｂ 内的两条相交线 ． 证明 如图 ７， 取Ｐ 连结 Ｄ Ａ 中点 Ｏ ， Ｏ， 因为 ＡＤ＝ＰＤ， 所以 Ｏ Ｆ Ｏ． Ｄ⊥Ｐ Ａ． 又底面 Ａ 所以 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 为矩形 ， Ｂ⊥ＡＤ．
立体几何平行 、 垂直证明的中点策略
周雄 军
（ ） 广东省湛江一中培才学校 ５ ２ ４ ０ ４ ８
可以发现 ， 立体几 纵观多年的高考试题 ， 何中平行 、 垂直两类问题尽管难度不大 ， 但几 学生若能理解掌握 乎是每年必考 的 知 识 点 ． 立体几何的有关公理 、 判定和性质定理 ， 当有 中点条件出现或适当地引入中点作出辅助中 立体几何平行 、 垂直的证明问题将会变得 线， 异常轻松 ． 下 面 的 例 子 便 可 具 体 说 明＂ 中 点＂ 策略的采用在 解 决 立 体 几 何 中 平 行 、 垂直证 明中的重要作用 ． １ 中点用于平行问题的证明 在立体几何的平行证明问题中若出现了 中点的已知条 件 ， 这时我们应特别留意这一 因为它往往是解决本题的关键 ． 在立体 条件 ， 几何中若能利 用 好 中 点 ， 平行问题的证明将 其遵循的原理即为若知 会变得更具特 征 性 ， 即想办法找出另一个中点 ， 那常常应 一中点 ， 梯形中线等来 注意能否应用 三 角 形 中 位 线 、 证明线线平行 ， 使之能利用中位线性质 ， 从而 进而可以证 得到两直线平 行 或 平 行 四 边 形 ， 明线面平行的 问 题 ， 从而达到证明线面的平 行关系 ． 例 １ 如 图 １， 已 知 Ｓ 是 △Ａ Ｂ Ｃ 所在 平 面 外 一 点， Ｏ 是边 点Ｐ 是 Ａ Ｃ 的 中 点， 求 证： Ｓ Ａ 的 中 点， Ｓ Ｃ