营山县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

营山县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ）
A ．=
B ．0S =
C ．0122S S S =+
D ．20122S S S =
2． 已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A ）∩（∁U B ）=（ ） A ．{5，8}
B ．{7，9}
C ．{0，1，3}
D ．{2，4，6}
3． 在二项式
的展开式中，含x 4
的项的系数是（ ）
A ．﹣10
B ．10
C ．﹣5
D ．5
4． 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）
A ．
B 2=AC
B ．A+C=2B
C ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）
D ．B （B ﹣A ）=C （C ﹣A ）
5． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3 D ．x ＜3
6． 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g （x ）=sin2x 的图象，则
只要将f （x ）的图象（ ）
A ．向右平移个单位长度
B ．向右平移个单位长度
C ．向左平移
个单位长度 D ．向左平移
个单位长度
7． 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．
D ．
8． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）
A ．2sin 2cos 2αα-+
B ．sin 33αα+ C. 3sin 31αα+ D ．2sin cos 1αα-+
9． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位
10．若函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3）的递减区间为（，
），则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞0
B ．﹣1＜a ＜0
C ．a ＞1
D ．0＜a ＜1
11．已知x ＞1，则函数的最小值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．将n 2个正整数1、2、3、…、n 2（n ≥2）任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中
的任意两个数a 、b （a ＞b ）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
二、填空题
13．log 3
+lg25+lg4﹣7
﹣（﹣9.8）0
= ．
14．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为．
15．设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．
16．已知tanβ=，tan（α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α=．
17．已知圆O：x2+y2=1和双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）．若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O
外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，则﹣=．
18．在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=．
三、解答题
19．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与
椭圆C交于不同的两点M，N，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．
21．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为
23
π
，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧
AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且//CD AO ，设AOC θ∠=．
（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，观光道路最长？
22．已知椭圆
：
的长轴长为，
为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率； （Ⅱ） 设动直线与y 轴相交于点，点
关于直线的对称点
在椭圆
上，求
的最小值．
23．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若∃x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．
24．设函数f（x）=|x﹣a|﹣2|x﹣1|．
（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（x）﹣|2x﹣5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．
营山县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：
220()2()a S a h
S a S a h
S '⎧=⎪+⎪⎨'⎪=+⎪⎩
，解得=A ． 考点：棱台的结构特征．
2． 【答案】B
【解析】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}， 所以（C U A ）∩（C U B ）={7，9} 故选B
3． 【答案】B 【解析】
解：对于，
对于10﹣3r=4， ∴r=2， 则x 4的项的系数是C 52（﹣1）2
=10
故选项为B
【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
4． 【答案】C 【解析】解：若公比q=1，则B ，C 成立；
故排除A ，D ； 若公比q ≠1，
则A=S n
=
，B=S 2n
=
，C=S 3n
=
，
B（B﹣A）=（﹣）=（1﹣q n）（1﹣q n）（1+q n）
A（C﹣A）=（﹣）=（1﹣q n）（1﹣q n）（1+q n）；
故B（B﹣A）=A（C﹣A）；
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．
5．【答案】A
【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，
x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，
x＞3是x＞2的充分条件，
x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
6．【答案】A
【解析】解：根据函数的图象：A=1
又
解得：T=π
则：ω=2
当x=，f（）=sin（+φ）=0
解得：
所以：f（x）=sin（2x+）
要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．
故选：A
【点评】本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，函数解析式的求法．属于基础题型
7．【答案】D
【解析】
试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,AD AB AG 相互垂直，面AEFG ⊥面
,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,根据几何体的性质得：AC GC ==
GE ===4,BG AD EF CE ====所以最长为GC =
考点：几何体的三视图及几何体的结构特征． 8． 【答案】A 【解析】
试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()
ααcos 22cos 2-112
2
1-=+=S ；利用三角形知识得出四个等
腰三角形面积ααsin 2sin 112
1
42=⨯⨯⨯⨯=S ；故八边形面积2cos 2sin 221+-=+=ααS S S .故本题正确答案为A.
考点：余弦定理和三角形面积的求解.
【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角
形面积公式ααsin 2
1
sin 1121=⨯⨯⨯=
S 求出个三角形的面积αsin 24=S ；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()
αcos 2-1122+，进而得到正方形的面积()
ααcos 22cos 2-11221-=+=S ，最后得到
答案.
9． 【答案】C 【解析】
试题分析：()2222log 2log 2log 1log g x x x x ==+=+，故向上平移个单位. 考点：图象平移．
10．【答案】A
【解析】解：∵函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3
）的递减区间为（，
）
∴f ′（x ）≤0，x ∈（
，
）恒成立
即：﹣a （1﹣3x 2
）≤0，，x ∈（
，
）恒成立
∵1﹣3x2≥0成立
∴a＞0
故选A
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．11．【答案】B
【解析】解：∵x＞1∴x﹣1＞0
由基本不等式可得，
当且仅当即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”
故选B
12．【答案】B
【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，
当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；
当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；
当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，
故这些可能的“特征值”的最大值为．
故选：B．
【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=，
故选：
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
14．【答案】．
【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球
故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，
方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，
设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2
再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，
根据条件概率公式，得：P2==，
故答案为：
【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．
15．【答案】．
【解析】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），
∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．
当n=1时，上式也成立，
∴a n=．
∴=2．
∴数列{}的前n项的和S n=
=
=．
∴数列{}的前10项的和为．
故答案为：．
16．【答案】．
【解析】解：∵tanβ=，α，β均为锐角，
∴tan（α﹣β）===，解得：tanα=1，
∴α=．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．
17．【答案】1．
【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外），
均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，
可通过特殊点，取A（﹣1，t），
则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t），
由直线和圆相切的条件可得，t=1．
将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．18．【答案】4．
【解析】解：如图所示，
在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，
∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），
∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，
解得k=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．
（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，
因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），
即x+y﹣2=0
（2）由，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．
又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，
∴
∴b=
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，
∴|MN|==
∵A （2，0）到直线y=k （x ﹣1
）的距离为
∴△AMN 的面积
S=
∵△AMN
的面积为，
∴ ∴k=±1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．
21．【答案】（1
）cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
;（2）设∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=
时，观光道路最长.
【解析】试题分析：（1）在OCD ∆中，由正弦定理得：sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO ==∠∠∠
2cos 3CD πθθθ⎛⎫
∴=-= ⎪⎝⎭
，OD θ=
1sin 03OD OB π
θθθ<<∴<<<
cos ,0,33CD πθθθ⎛⎫
∴=+∈ ⎪⎝⎭
（2）设观光道路长度为()L θ， 则()L BD CD AC θ=++弧的长
= 1cos θθθθ+++
= cos 1θθθ++，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
∴(
)sin 1L θθθ=-+' 由()0L θ'=
得：sin 6πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
6πθ∴=
∴当6
π
θ=
时，()L θ取得最大值，即当6
π
θ=
时，观光道路最长.
考点：本题考查了三角函数的实际运用
点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。

多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。

如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。

除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题 22．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】（Ⅰ）因为椭圆C ：，
所以，
，
故，解得
， 所以椭圆的方程为
．
因为， 所以离心率
．
（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设点，
则线段的中点的坐标为
，
且直线的斜率
，
由点
关于直线的对称点为
，得直线
，
故直线的斜率为，且过点
，
所以直线的方程为：
，
令，得，则，
由，得，
化简，得．
所以
．
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵|x﹣a|≤2，∴a﹣2≤x≤a+2，
∵f（x）≤2的解集为[0，4]，∴，∴a=2．
（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，
∵∃x0∈R，使得，
即成立，
∴4m+m2＞[f（x）+f（x+5）]min，即4m+m2＞5，解得m＜﹣5，或m＞1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x﹣3|﹣|2x﹣2|≥1
x时，3﹣x+2x﹣2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；
1＜x＜3时，3﹣x﹣2x+2≥1，∴x≤，∴1＜x≤；
x≥3时，x﹣3﹣2x+2≥1，∴x≤﹣2∴1＜x≤，无解，…
所以f（x）≥1解集为[0，]．…
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）﹣|2x﹣5|≤0可化为|x﹣a|≤3，∴a﹣3≤x≤a+3，…
∴，…
∴﹣1≤a≤4．…。