湖口县实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

湖口县实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 如果双曲线经过点P （2，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（ ）
A ．x 2﹣
=1
B ．
﹣
=1
C ．
﹣
=1
D ．
﹣
=1
2． 已知直线：过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆
l 2y kx =+)0(122
22>>=+b a
b
y a x B F 截得的弦长为，若的取值范围是（ ）224x y +=L L ≥
e （A ） （ B ） （C ）
（D ） ⎦⎤
⎝⎛550，0⎛ ⎝⎥⎦⎤ ⎝⎛5530，⎥⎦⎤ ⎝
⎛5540，3． 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（ ）
A ．程序流程图
B ．工序流程图
C ．知识结构图
D ．组织结构图
4． 若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（
）
A ．﹣2
B ．±2
C ．0
D ．2
5． 已知在平面直角坐标系中，点，（）.命题：若存在点在圆
xOy ),0(n A -),0(n B 0>n p P 上，使得，则；命题：函数在区间1)1()3(22=-++y x 2
π
=
∠APB 31≤≤n x x
x f 3log 4
)(-=
内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）
)4,3(A ． B ． C ．
D ．)(q p ⌝∧q p ∧q p ∧⌝)(q
p ∨⌝)(6． 已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是
（ ）A ．6
B ．0
C ．2
D ．2
7． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量（单位：毫克/升）与时间（单位：P t 小时）间的关系为（，均为正常数）．如果前5个小时消除了的污染物，为了消除0e kt
P P -=0P k 10%27.1%
的污染物，则需要（ ）小时.
A. B. C. D. 81015
18
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新
课标的这一重要思想. 8． 已知a 为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（
）
A ．a ＞0
B ．a ＜0
C ．a ＞e
D ．a ＜e
9． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．
B ．4
C ．
D ．2
10．抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ）
A ．y=
B ．y=2
C ．x=
D ．y=﹣2
11．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c ．若sinC+sin （B ﹣A ）=sin2A ，则△ABC 的形状为（
）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
12．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）
A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．a ，b ，c 都是奇数
D ．a ，b ，c 都是偶数
二、填空题
13．已知sin α+cos α=，且＜α＜
，则sin α﹣cos α的值为 ．
14．已知随机变量ξ﹣N （2，σ2），若P （ξ＞4）=0.4，则P （ξ＞0）= ．
15．S n =
+
+…+
= ．
16．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数，其中为自然对数()1
e e x x
f x =-e 的底数，则不等式的解集为________．()()
2240f x f x -+-<17．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是
．
18．如果椭圆+
=1弦被点A （1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．
三、解答题
19．已知斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，|AB|=4．
（I）求p的值；
（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．
20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
21．十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）的市民进行问卷调查，随机抽查了50人，并将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）
频数610121255
赞成人数3610643
（1）请估计红星路小区年龄在[15，75）的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
22．已知圆C的圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，与直线x=4相切，且被直线3x+4y+10=0截得的弦长为．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）点A（1，1），B（﹣2，0），点P在圆C上运动，求|PA|2+|PB|2的最大值．
23．若数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在y=x的图象上（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有，求证：对任意正整数n≥2，总有
．
24．已知y=f（x）的定义域为[1，4]，f（1）=2，f（2）=3．当x∈[1，2]时，f（x）的图象为线段；当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为（3，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域．
湖口县实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x ，可设双曲线的方程为x 2﹣y 2=λ（λ≠0），代入点P （2，），可得
λ=4﹣2=2，
可得双曲线的方程为x 2﹣y 2=2，即为
﹣
=1．
故选：B ．　
2． 【答案】 B
【解析】依题意，2, 2.
b k
c ==
设圆心到直线的距离为，则解得。

l d L =≥
216
5
d ≤又因为，所以解得。

d =2116,15k ≤+2
14k ≥
于是，所以
解得故选B ．222
222211c c e a b c k ===++2
40,5e <≤0e <≤3． 【答案】D
【解析】解：用来描述系统结构的图示是结构图，
某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示．故选D ．
【点评】本题考查结构图和流程图的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．　
4． 【答案】C
【解析】解：∵复数（2+ai ）2=4﹣a 2+4ai 是实数，∴4a=0，解得a=0．故选：C ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．　
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：命题：,则以为直径的圆必与圆有公共点,所以
p 2
π
=
∠APB AB ()()
113
2
2
=-++y x ,解得,因此,命题是真命题.命题：函数，,121+≤≤-n n 31≤≤n p ()x
x
x f 3
log 4-=
()0log 1443<-=f ,且在上是连续不断的曲线,所以函数在区间内有零点，因此,命题是()0log 3
4
333>-=
f ()x f []4,3()x f ()4,3假命题.因此只有为真命题．故选A ．)(q p ⌝∧考点：复合命题的真假．
【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点满足,因此在以为直径的圆上,又点在圆
P 2
π
=
∠APB AB P 上，因此为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数
1)1()3(22=-++y x P 是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.
x x
x f 3log 4
)(-=6． 【答案】A 解析：解：由
作出可行域如图，
由图可得A （a ，﹣a ），B （a ，a ），由
，得a=2．
∴A （2，﹣2），
化目标函数z=2x ﹣y 为y=2x ﹣z ，
∴当y=2x ﹣z 过A 点时，z 最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A ．7． 【答案】15 【
解
析
】
8． 【答案】C
【解析】解：由积分运算法则，得
=lnx=lne﹣ln1=1
因此，不等式即即a＞1，对应的集合是（1，+∞）
将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集
∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e
故选：C
【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．
9．【答案】C
【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得
这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h==3
故V==2
故选C
10．【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=，
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
11．【答案】D
【解析】解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，
∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A，
∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，
∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA，
∴2cosA（sinA﹣sinB）=0，
∴cosA=0，或sinA=sinB，
∴A=，或a=b，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
故选：D．
【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和易错题．
12．【答案】B
【解析】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”
可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数
∴反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．
故选B．
【点评】此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵sinα+cosα=，＜α＜，
∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=，
∴2sinαcosα=﹣1=，
且sinα＞cosα，
∴sinα﹣cosα=
==．
故答案为：．
14．【答案】　0.6　．
【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），
∴曲线关于x=2对称，
∴P（ξ＞0）=P（ξ＜4）=1﹣P（ξ＞4）=0.6，
故答案为：0.6．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．
15．【答案】
【解析】解：∵==（﹣），
∴S n=++…+
=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）
=，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．　
16．【答案】()32-，【解析】∵，∴，即函数为奇函数，
()1e ,e x x f x x R =-∈()()11x
x x x f x e e f x e e --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝
⎭()f x 又∵恒成立，故函数在上单调递增，不等式可转化为
()0x
x
f x e e
-=+>'()f x R ()()2240f x f x -+-<，即，解得：，即不等式的解集为
()(
)
224f x f x -<-224x x -<-32x -<<()()
2240f x f x -+-<，故答案为.()32-，
()32-，17．【答案】　（0，）∪（64，+∞）　．
【解析】解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数，∴f （log 8x ）＞0，等价为：f （|log 8x|）＞f （2），又f （x ）在[0，+∞）上为增函数，∴|log 8x|＞2，∴log 8x ＞2或log 8x ＜﹣2，∴x ＞64或0＜x ＜
．
即不等式的解集为{x|x ＞64或0＜x ＜}
故答案为：（0，
）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．　
18．【答案】　x+4y ﹣5=0　．
【解析】解：设这条弦与椭圆
+
=1交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
由中点坐标公式知x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，把P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）代入x 2+4y 2=36，得
，
①﹣②，得2（x 1﹣x 2）+8（y 1﹣y 2）=0，∴k=
=﹣，
∴这条弦所在的直线的方程y ﹣1=﹣（x ﹣1），
即为x+4y﹣5=0，
由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0．
故答案为：x+4y﹣5=0．
【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．
所以，直线l的方程为…
由消y并整理，得…
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，
所以，3p+p=4，所以p=1…
（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．
由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．…
由方程组（1）
可得ky2﹣2y+4k﹣2=0（2）…
当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．
把y=﹣1代入y2=2x，得．
这时．直线m与抛物线只有一个公共点．…
当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）．
由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k2﹣2k﹣1＜0．
解得．
于是，当且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，…
因此，所求m的取值范围是．…
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，
联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）
所以|AB|==1；
（II）曲线C2：（θ为参数）．
设所求的点为P（cosθ，sinθ），
则P到直线l的距离d==[sin（）+2]
当sin（）=﹣1时，d取得最小值．
21．【答案】
【解析】（1）解：赞成率为，
被调查者的平均年龄为20×0.12+30×0.2+40×0.24+50×0.24+60×0.1+70×0.1=43
（2）解：由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
∴ξ的分布列为：
ξ0123
P
∴．
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）…
圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，所以3a﹣b=0…①．…
圆与直线x=4相切，所以|a﹣4|=r…②…
圆被直线3x+4y+10=0截得的弦长为，所以…③…
将①②代入③，可得（3a+2）2+12=（a﹣4）2，化简得2a2+5a=0，解得a=0或（舍去）…
所以b=0，r=4，于是，圆C的方程为x2+y2=16．…
（Ⅱ）假设点P的坐标为（x0，y0），则有．…
=38+2（x0﹣y0）．下求x0﹣y0的最大值．…
解法1：设t=x0﹣y0，即x0﹣y0﹣t=0．该直线与圆必有交点，所以，解得，等号当且仅当直线
x0﹣y0﹣t=0与圆x2+y2=16相切时成立．
于是t的最大值为，所以|PA|2+|PB|2的最大值为．…
解法2：由可设x0=4sinα，y0=4cosα，于是，所以当时，x0﹣y0取到最大值，
所以|PA|2+|PB|2的最大值为．…
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及正弦函数的定义域与值域，是一道综合性较强的题．
23．【答案】
【解析】（I）解：∵点（a n，S n）在y=x的图象上（n∈N*），
∴，
当n≥2时，，
∴，化为，
当n=1时，，解得a1=．
∴==．
（2）证明：对任意正整数n都有=2n+1，
∴c n=（c n﹣c n﹣1）+（c n﹣1﹣c n﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1
=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3
==（n+1）（n﹣1）．
∴当n≥2时，==．
∴=+…+=＜=，
又=．
∴．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段，
设f（x）=ax+b，又有f（1）=2，f（2）=3
∵a+b=2，2a+b=3，
解得a=1，b=1，f（x）=x+1，
当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数的一部分，
且顶点为（3，1），
设f（x）=a（x﹣3）2+1，又f（2）=3，
所以代入得a+1=3，a=2，f（x）=2（x﹣3）2+1．
（2）当x∈[1，2]，2≤f（x）≤3，
当x∈[2，4]，1≤f（x）≤3，
所以1≤f（x）≤3．
故f（x）的值域为[1，3]．。