2019年高考数学一轮复习(北师大版文科)： 课时分层训练14 导数与函数的单调性 文 北师大版

课时分层训练(十四) 导数与函数的单调性
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．函数y ＝12
x 2
－ln x 的单调递减区间为( )
A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(1，＋∞)
D ．(0，＋∞)
B [y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2
－1
x
＝
x －
x ＋
x
(x ＞0)．
令y ′＜0，得0＜x ＜1，∴单调递减区间为(0,1)．]
2．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图像如图2­11­3所示，则下列叙述正确的是( )
图2­11­3
A ．f (b )＞f (c )＞f (d )
B ．f (b )＞f (a )＞f (e )
C ．f (c )＞f (b )＞f (a )
D ．f (c )＞f (e )＞f (d )
C [依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0，因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增加的，由a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )．因此C 正确．]
3．若函数f (x )＝2x 3
－3mx 2
＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( )
A ．(－∞，2)
B ．(－∞，2] C.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，52 D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，52 D [∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，
当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2
－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x
恒成立．
令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1
x
2，
∴当x ＞2时，g ′(x )＞0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴m ≤2＋12＝5
2
，故选D.]
4．(2017·山东高考)若函数e x
f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( ) A ．f (x )＝2－x
B ．f (x )＝x 2
C ．f (x )＝3－x
D ．f (x )＝cos x
A [若f (x )具有性质M ，则[e x
f (x )]′＝e x
[f (x )＋f ′(x )]>0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )>0在f (x )的定义域上恒成立．
对于选项A ，f (x )＋f ′(x )＝2－x
－2－x
ln 2＝2－x
(1－ln 2)>0，符合题意． 经验证，选项B ，C ，D 均不符合题意． 故选A ．]
5．(2016·湖北枣阳第一中学3月模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，
f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( ) 【导学号：00090066】
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
B [由f (x )＞2x ＋4，得f (x )－2x －4＞0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2，因为f ′(x )＞2，所以F ′(x )＞0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上是增加的，而
F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4＞0等价于F (x )
＞F (－1)，所以x ＞－1，故选B.] 二、填空题
6．函数f (x )＝ln x x
的单调递增区间是________．
(0，e) [由f ′(x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫ln x x ′＝1－ln x x 2＞0(x ＞0)，
可得⎩⎪⎨
⎪⎧
1－ln x ＞0，
x ＞0，
解得x ∈(0，e)．]
7．若函数y ＝ax ＋sin x 在R 上是增加的，则a 的最小值为________．
1 [函数y ＝ax ＋sin x 在R 上单调递增等价于y ′＝a ＋cos x ≥0在R 上恒成立，即a ≥－cos x 在R 上恒成立，因为－1≤－cos x ≤1，所以a ≥1，即a 的最小值为1.] 8．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x
－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －
1)＋f (2a 2
)≤0，则实数a 的取值范围是________．
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x
＝－x 3＋2x －e x
＋1e x ＝－f (x )，
所以f (x )＝x 3－2x ＋e x
－1e x 是奇函数．
因为f (a －1)＋f (2a 2
)≤0，
所以f (2a 2
)≤－f (a －1)，即f (2a 2
)≤f (1－a )．
因为f ′(x )＝3x 2
－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2
≥0， 所以f (x )在R 上是增加的， 所以2a 2
≤1－a ，即2a 2
＋a －1≤0， 所以－1≤a ≤1
2.]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝ln x ＋k
e x
(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值；
(2)求f (x )的单调区间.
【导学号：00090067】
[解] (1)由题意得f ′(x )＝1
x
－ln x －k e x
， 又f ′(1)＝1－k
e ＝0，故k ＝1.
5分
(2)由(1)知，f ′(x )＝1
x
－ln x －1
e
x
. 设h (x )＝1
x
－ln x －1(x ＞0)，
则h ′(x )＝－1x 2－1
x
＜0，
即h (x )在(0，＋∞)上是减少的. 8分
由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞).
12分
10．(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2
(a ∈R )在x ＝－43
处取得极值．
(1)确定a 的值；
(2)若g (x )＝f (x )e x
，讨论g (x )的单调性． [解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2
＋2x ， 2分
因为f (x )在x ＝－4
3
处取得极值，
所以f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－8
3＝0，
解得a ＝1
2
.
5分
(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x
，
故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 3＋x 2e x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x
＝12
x (x ＋1)(x ＋4)e x
.
8分
令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．
综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.
12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2018·江淮十校联考)设函数f (x )＝12x 2
－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实
数a 的取值范围是( ) A ．1＜a ≤2 B ．a ≥4 C ．a ≤2
D ．0＜a ≤3
A [易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x ，由f ′(x )＝x －9
x
＜0，解得0
＜x ＜3.因为函数f (x )＝12x 2
－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上是减少的，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a －1＞0，a ＋1≤3，
解得1＜a ≤2，选A]
2．(2017·石家庄质检(二))设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．
【导学号：00090068】
(－2,0)∪(2，＋∞) [令g (x )＝
f x x ，则
g ′(x )＝xf
x －f x
x 2
＞0，x ∈(0，
＋∞)，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又g (－x )＝
f －x －x ＝－f x －x ＝f x
x
＝g (x )，则g (x )是偶函数，g (－2)＝0＝g (2)，则f (x )＝xg (x )＞0⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＞0，
g x ＞0或
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＜0，
g x ＜0，解得x ＞2或－2＜x ＜0，故不等式f (x )＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋
∞)．]
3．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝1
2
ax ＋b .
(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝
m x －x ＋1
－f (x )在[1，＋∞)上是减少的，求实数m 的取值范围．
[解] (1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝1
2a ，a ＝2.
又∵g (1)＝0＝1
2a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.
5分
(2)∵φ(x )＝
m x －x ＋1
－f (x )＝
m x －x ＋1
－ln x 在[1，＋∞)上是减少的，
∴φ′(x )＝
－x 2
＋
m －
x －1
x x ＋
2
≤0在[1，＋∞)上恒成立，
即x 2
－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1
x
，x ∈[1，＋∞).
9分
∵x ＋1
x
∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.
故实数m 的取值范围是(－∞，2]. 12分。