北京市密云县2021届新高考第三次模拟数学试题含解析

北京市密云县2021届新高考第三次模拟数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．1-
D ．1 【答案】B
【解析】
【分析】
由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值.
【详解】
由555
(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，
则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+， 二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-.
故选：B.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
2．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y
⎧
==⎨⎩则()U A B =I ð（ ） A ．(1,)+∞
B ．(0,1)
C ．(0,)+∞
D ．[1,)+∞ 【答案】D
【解析】
【分析】 根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果.
【详解】
{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1
,U A ∴=+∞ð， ()[)1
,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D .
【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.
3．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）
A ．1
B ．12 C
．2 D
【答案】A
【解析】
【分析】 设200(,),(,)2y P y M x y p ，因为PM MF =，得到200,442y y p x y p =+=，利用直线的斜率公式，得到020002
244OM y k y p y p y p p ==++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由题意，抛物线24y x =的焦点坐标为(
,0)2
p F ， 设200(,),(,)2y P y M x y p
， 因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以220001(),222442y y y p p x y p p =+=+=， 所以直线OM
的斜率020*******OM y k y p y p y p p ==≤=++， 当且仅当00y p y p
=，即0y p =时等号成立， 所以直线OM 的斜率的最大值为1.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
4．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
解：若{a n }是等比数列，则89891,0S a a S q q -==≠，
若10a >，则898910S a a S q -==>，即98S S >成立，
若98S S >成立，则898910S a a S q -==>，即10a >，
故“10a >”是“98S S >”的充要条件，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.
5．将函数的图象向左平移
6π个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：
①它的图象关于直线x=
59π对称； ②它的最小正周期为23
π； ③它的图象关于点(1118
π，1)对称； ④它在[51939
ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①②④
D ．②③④ 【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.
【详解】
因为3
π)+1，由()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式知， 函数g(x)=2sin[3(x+6π)-3π]+1=2sin(3x+6π)+1，其最小正周期为23
T π=，故②正确； 令3x+6π=kπ+2π，得x=3k π+9π(k ∈Z)，所以x=59
π不是对称轴，故①错误；
令3x+6π=kπ，得x=3k π-18π(k ∈Z)，取k=2，得x=1118π，故函数g(x)的图象关于点(1118
π，1)对称，故③正确；
令2kπ-
2π≤3x+6π≤2kπ+2π，k ∈Z ，得23k π-29π≤x≤23k π+9π，取k=2，得109π≤x≤139π，取k=3，得169
π≤x≤199π
，故④错误； 故选：B
【点睛】 本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型
6．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．
C
D 【答案】D
【解析】
【分析】
作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值
【详解】
解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ，
设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a+x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ，
所以x ＝2a ，则EF 2＝，
由勾股定理可得（4a ）2+（a ）2＝（2c ）2，
所以c 2＝7a 2，
则e c a
== 故选：D ．
【点睛】
本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.
7．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( )
A ．αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥
B ．//αβ，m β⊥
C ．αβ⊥，//m β
D ．n ⊂α，m n ⊥
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A 选项，当αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥时，由于m 不在平面β内，故无法得出m α⊥. 对于B 选项，由于//αβ，m β⊥，所以m α⊥.故B 选项正确.
对于C 选项，当αβ⊥，//m β时，m 可能含于平面α，故无法得出m α⊥.
对于D 选项，当n ⊂α，m n ⊥时，无法得出m α⊥.
综上所述，m α⊥的一个充分条件是“//αβ，m β⊥”
故选：B
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.
8．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱
11B C 上任意一点，则22PM MN +的最小值为（ ）
A ．22
B ．2
C ．3
D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】
取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，可得MFN ∆为等腰直角三角形，由APM AEM ∆≅∆，可得PM EM =，当11MN B C ⊥时， MN 最小，由 22
MF MN =，故()12222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫+=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭
，即可求解. 【详解】
取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：
则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，
而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．
此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，22
MF MN =， 故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭
.
本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
9．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为
( )
A ．3
B ．3.4
C ．3.8
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.
【详解】
由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为,3,1x 和 一个底面半径为12
，高为5.4x -的圆柱组合而成. 该几何体的表面积为
()()233 5.442.2x x x π+++⋅-=，
解得4x =，
故选：D.
【点睛】
本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.
10．设()f x x =()00O ，
，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n n
θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】A
先求得
2
22
sin111
n1
n
n n n n
θ
==-
++
，再求得左边的范围，只需
2221
t t
--≥，利用单调性解得t的范围. 【详解】
由题意知sin
2
n
n n
θ=
+
，∴
2
22
sin111
n1
n
n n n n
θ
==-
++
，
∴
22
22
3
12
2222
sin sin
sin sin11111111
11 12322334n1n1
n
n n
θθ
θθ
+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-
++
，随n的增大而增大，∴
11
11
2n1
≤-<
+
,
∴2221
t t
--≥，即2210
t t
--≥，又f(t)=221
t t
--在t1
≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0，
∴正整数t的最小值为3.
【点睛】
本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题. 11．设x，y满足约束条件
34100
640
280
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪+-≤
⎩
，则2
z x y
=+的最大值是（）
A．4B．6C．8D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值．
【详解】
作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l：20
x y
+=在可行域内平移当过点A时，2
z x y
=+取得最大值.
由34100280
x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩得：()2,4A ，max 10z ∴= 故选：D
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.
12．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ）
A ．若m ⊥α，n//α，则m ⊥n
B ．若m//α，n//α，则m//n
C ．若l ⊥α，l//β，则α⊥β
D ．若α//β，l ⊄β，且l//α，则l//β 【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A 选项的正确性.由线面平行有关知识判断B 选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C 选项的正确性.根据面面平行的性质判断D 选项的正确性.
【详解】
A ．若//n α，则在α中存在一条直线l ，使得//,
,l n m l αα⊥⊂，则m l ⊥，又//l n ，那么m n ⊥，故正确；
B ．若//,//m n αα，则//m n 或相交或异面，故不正确；
C ．若l β//，则存在a β⊂，使//l α，又,l a αα⊥∴⊥，则αβ⊥，故正确．
D ．若//αβ，且//l α，则l β⊂或l β//，又由,//l l ββ⊄∴，故正确．
故选：B
【点睛】
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．三棱锥S ABC -中，点P 是Rt ABC ∆斜边AB 上一点.给出下列四个命题：
①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的四个面都是直角三角形；
②若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球体积为；
③若3AC =，4BC =，SC =
S 在平面ABC 上的射影是ABC ∆内心，则三棱锥S ABC -的体积
为2；
④若3AC =，4BC =，3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为60︒. 其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
对①，由线面平行的性质可判断正确；
对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解；
对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解； 对④，由动点分析可知，当P 点与A 点重合时，直线PS 与平面SBC 所成的角最大，结合几何关系可判断错误；
【详解】
对于①，因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AC ⊥，SA AB ⊥，SA BC ⊥，又BC AC ⊥， 所以BC ⊥平面SAC ，所以BC SC ⊥，故四个面都是直角三角形，∴①正确；
对于②，若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ，
∴三棱锥S ABC -的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球， ∴222244443R =++=，23R =，∴体积为34(23)3233
V ππ==，∴②正确；
对于③，设ABC ∆内心是O ，则SO ⊥平面ABC ，连接OC ，
则有222SO OC SC +=，又内切圆半径()134512r =
+-=， 所以2OC =，222321SO SC OC =-=-=，故1SO =，
∴三棱锥S ABC -的体积为1113412332
ABC V S SO ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，∴③正确；
对于④，∵若3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的角最大时，P 点与A 点重合，
在Rt SCA ∆中，3
tan 15
ASC ∠==，∴45ASC ∠=︒，即直线PS 与平面SBC 所成的最大角为45︒， ∴④不正确，
故答案为：①②③. 【点睛】
本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档题
14．若函数()x f x a =(a ＞0且a≠1)在定义域[m ，n]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n)，则a 的取值范围是_______． 【答案】 (1，2
e e ) 【解析】 【分析】
()x f x a =在定义域[m ，n]上的值域是[m 2，n 2]，等价转化为()x f x a =与2y x =的图像在(1，+∞)上恰有
两个交点，考虑相切状态可求a 的取值范围. 【详解】
由题意知：()x
f x a =与2
y x =的图像在(1，+∞)上恰有两个交点
考查临界情形：0x y a =与2
y x =切于0x ，
00
22200000
(1,)ln 2x e e x a x a e a e a a x ⎧=⎪
⇒=⇒∈⎨=⎪⎩． 故答案为：2
(1,)e
e . 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，把已知条件进行等价转化是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.
15．若1x >，则91211
x x x +++-的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】
根据91211x x x ++=+-9111(1)11
x x x x x +++-+>+-，利用基本不等式可求得函数最值. 【详解】
1x >Q ，91211x x x ∴+
+=+-91
1162811x x x x +++-+≥+=+-，当且仅当911
x x +=+且111
x x -=
-，即2x =时，等号成立.2x ∴=时，91
211x x x +++-取得最小值8. 故答案为：8 【点睛】
本题考查基本不等式，构造基本不等式的形式是解题关键.
16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，728S =，则n a =______，14
n
n a a S ++的最大值是______. 【答案】n 1
7
【解析】 【分析】
利用等差数列前n 项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列{}
n a 的通项公式，可求出14n n a a S ++的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出14
n
n a a S ++的最大值.
【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则317
133672128S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11
1a d =⎧⎨=⎩，
所以，数列{}n a 的通项公式为()11n a a n d n =+-=； （2）()()1122n n n a a n n S ++=
=
，()()()14
2154n n n a a S n n +++∴=++， 令1t n =+，则2t ≥且t ∈N ，()()142212437n n a a t S t t t t
++==
++++，
由双勾函数的单调性可知，函数12
7y t t
=++
在(0,t ∈
时单调递减，在()
t ∈+∞时单调递增， 当3t =或4时，14n n a a S =+取得最大值为1
7
. 故答案为：n ；17
. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前n 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，
是中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数2()x x f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；
（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.
【答案】（1）10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
；（2）1λ≥. 【解析】 【分析】
（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x
x a h x e +==，计算函数单调区间得到值域，得到答案.
（2）1x ，2x 是方程
12x
x a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝
⎭
，设函数，讨论范围，计算最值得到答案. 【详解】
（1）由题可知2()(1)20x x
f x x e ae
'=+-=有两个不相等的实根，
即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x x a h x e
+=
=， ()
2
(1)()x x
x x e x e x
h x e e -+-'=
=
，x ∈R ，
(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，
故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >， ∴2(0,1)a ∈，即10,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （2）由（1）知，1x ，2x 是方程
1
2x
x a e +=的两根， ∴1210x x -<<<，则112200x
x x x λλ
+>⇔>->
因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<-
⎪⎝⎭，又()()21
h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
即1
1
1
11
1x x x x e e
λ
λ
-
-
++<
，两边取对数，并整理得：
()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝⎭
对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛⎫
=+--
-+ ⎪⎝
⎭
，(1,0)x ∈-， 1
(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x x
x x x λ
λλλλλ
++-'=
+
-+=
++--，
当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，
∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥. 【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2
2n S n n =-（*n ∈N ）.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()()22,(21)2,(2)
11n a n n n n k b n k a a +⎧=-⎪
=⎨=⎪--⎩
（*k ∈N ），数列{}n b 的前n 项和n T .若
211422
n
n T a b n ⎛⎫
=-+ ⎪+⎝⎭对*n ∈N 恒成立，求实数a ，b 的值.
【答案】（1）1(1)n a n n =-≥（2）43
a =-，11
6b =. 【解析】 【分析】
（1）根据数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系式，即求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得
()()22211
11(2)2n n a a n n n n +==---++，利用等比数列的前n 项和公式和裂项法，求
得211411
63422
n
n T n ⎛⎫=--
⎪+⎝⎭，结合题意，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当1n =时，由2
1211S =-，解得10a =；
当2n ≥时，可得22
1222(1)(1)22n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，
即1,(2)n a n n =-≥，
显然当1n =时上式也适合，所以数列的通项公式为1n a n =-.
（2）由（1）可得
()()22211
11(2)2n n a a n n n n +==---++，
所以()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++L L
()022211111
12222446222n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L
111111411412226342214
n
n
n n ⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎝⎭=+-=--
⎪++⎝⎭-. 因为211422
n
n T a b n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭对*n ∈N 恒成立，
所以43
a =-，11
6b =. 【点睛】
本题主要考查了数列的通项公式的求解，等差数列的前n 项和公式，以及裂项法求和的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
19．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=. （1）已知_______________，计算ABC V 的面积；
请①a =
2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，
只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. （2）求cos cos B C +的最大值. 【答案】（1）见解析（2）1 【解析】 【分析】
（1） 选②2b =，③sin 2sin C B =．可得24c b ==，结合222b c a bc +=+，求得3
A π
=
．即可；若
选①a =2b =．由222b c a bc +=+可得3c =由222b c a bc +=+，求得3
A π
=．即可；若选
①a =
sin 2sin C B =，可得2c b =，又222b c a bc +=+，可得b =
，c = （2）化简cos cos sin()6B C B π
+=+，根据角的范围求最值即可．
【详解】
（1）若选②2b =，③sin 2sin C B =．
sin 2sin C B =Q ，
24c b ∴==，
222b c a bc +=+Q ，
2221
cos 22
b c a A bc +-∴==，
又(0,)A π∈Q ，
3
A π
∴=
．
ABC ∆∴的面积11sin 24222
S bc A ==⨯⨯⨯=
若选①a =
2b =．由222b c a bc +=+可得3c =，
222b c a bc +=+Q ，
2221
cos 22
b c a A bc +-∴==，
又(0,)A π∈Q ，
3
A π
∴=
．
ABC ∆∴的面积11sin 2322S bc A ==⨯⨯=
若选①a =
sin 2sin C B =
sin 2sin C B =Q ，
2c b ∴=，
又222b c a bc +=+，
222472b b b ∴+=+，可得b =
，c =
ABC ∆∴的面积11sin 2233MBC S bc A ==⨯=
． （2）3
A π
=
Q
13
cos cos cos cos[()]cos cos()cos cos sin 332B C B B B B B B B πππ∴+=+-+=-+=-+
13cos sin sin()26
B B B π
=+=+ Q 2
03
B π<<，
5366
B πππ∴<+< ∴当3
B π
=
时，sin()cos cos 6B B C π
+=+有最大值1．
【点睛】
本题考查了正余弦定理，三角三角恒等变形，考查了计算能力，属于中档题．
20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝60°，AB=PA ＝4，E 是PA 的中点，AC ，BD 交于点O.
（1）求证：OE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥E ﹣PBD 的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）3
3
【解析】 【分析】
（1）连接OE ，利用三角形中位线定理得到OE ∥PC ，即可证出OE ∥平面PBC ； （2）由E 是PA 的中点，11
22
E PBD PBD P ABD A V V V -==﹣﹣，求出S △ABD ，即可求解. 【详解】
（1）证明：如图所示：
∵点O ，E 分别是AC ，PA 的中点， ∴OE 是△PAC 的中位线，∴OE ∥PC ， 又∵OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， ∴OE ∥平面PBC ；
（2）解：∵PA ＝AB ＝4，∴AE ＝2， ∵底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，
∴S △ABD 1
4460432
sin =
⨯⨯⨯︒=， ∴三棱锥E ﹣PBD 的体积
112183
23
2E PBD PBD P B A A D ABD V V V PA S -==⋅==
﹣﹣△.
【点睛】
本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.
21．已知函数()3sin 2f x x x =-，将()f x 的图象向左移()0αα>个单位，得到函数()y g x =的图象. （1）若4
π
α
=
，求()y g x =的单调区间； （2）若0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，()y g x =的一条对称轴是12x π=，求()y g x =在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域. 【答案】（1）增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛
⎫--∈ ⎪⎝
⎭，减区间为(),36k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭
；（2）3⎡-⎣. 【解析】 【分析】
（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得()y g x =的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论； （2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得α，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论． 【详解】
由题意得()2cos 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
（1）()y f x =向左平移
4π个单位得到()22cos 22cos 2463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫
=++=+
⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦， 增区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得()563
k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 减区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ≤+
≤+∈，解得()36
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈.
综上可得，()y g x =的单调增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛⎫
-
-∈ ⎪⎝
⎭
， 减区间为(),3
6k k k Z π
πππ⎛
⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
； （2）由题易知，()2cos 226g x x π
α⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭
， 因为()y g x =的一条对称轴是12
x π
=，
所以
26
6
k π
π
απ+
+=，k ∈Z ，解得26
k ππ
α=-，k ∈Z . 又因为0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以3
π
α=
，即()52cos 26g x x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则53cos 21,6x π⎡
⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
， 所以()y g x =在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域是2,3⎡⎤-⎣⎦. 【点睛】
本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题． 22．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 是边AD 上一点，且2AE ED =，点H 是BE 的中点，将ABE △沿着BE 折起，使点A 运动到点S 处，且满足SC SD =.
（1）证明：SH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角C SB E --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（23
【解析】 【分析】
（1）取CD 的中点M ，连接HM ，SM ，由2SE SB ==，进而SH BE ⊥，由SC SD =，得SM CD ⊥. 进而CD ⊥平面SHM ,进而结论可得证（2）（方法一）过H 点作CD 的平行线GH 交BC 于点G ，以点H
为坐标原点，,,HG HM HS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，求得平面SBC ，平面SBE 的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS 的中点N ，BC 上的点P ，使2BP PC =，连接,,HN PN PH ，得HN BS ⊥，HP BE ⊥，得二面角C SB E --的平面角为PNH ∠，再求解即可 【详解】
（1）证明：取CD 的中点M ，连接HM ，SM ，由已知得2AE AB ==，所以2SE SB ==，又点H 是BE 的中点，所以SH BE ⊥
.
因为SC SD =，点M 是线段CD 的中点， 所以SM CD ⊥.
又因为HM BC ⊥，所以HM CD ⊥，从而CD ⊥平面SHM ， 所以CD SH ⊥，又CD ，BE 不平行， 所以SH ⊥平面BCDE .
（2）（方法一）由（1）知，过H 点作CD 的平行线GH 交BC 于点G ，以点H 为坐标原点，,,HG HM HS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则点()1,1,0B -，()1,2,0C ，
()1,1,0E -，()
0,0,2S ，
所以()0,3,0BC u u u v =，()2,2,0BE =-u u u v
，(2BS =-u u u v .
设平面SBE 的法向量为()111,,m x y z =v
，
由00m BE m BS ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得1111120
x y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令11y =，得()1,1,0m =v .
同理，设平面SBC 的法向量为()222,,n x y z =v
，
由
n BC
n BS
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
u u u v
v
u u u v
v，得2
222
20
y
x
y z
=
⎧⎪
⎨
-++=
⎪⎩
，
令21
z=，得()
2,0,1
n=
v
.
所以二面角C SB E
--的余弦值为
23
cos,
23
m n
m n
m n
⋅
〈〉===
⨯
v v
v v
v v.
（方法二）取BS的中点N，BC上的点P，使2
BP PC
=，连接,,
HN PN PH，易知HN BS
⊥，HP BE
⊥.
由（1）得SH HP
⊥，所以HP⊥平面BSE，所以HP SB
⊥，
又HN BS
⊥，所以BS⊥平面PHN，
所以二面角C SB E
--的平面角为PNH
∠.
又计算得1
NH=，2
PH=，3
PN=
所以
3
cos
3
3
PNH
∠==.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题
23．已知函数()211
f x x a x
=---，a R
∈.
（1）当4
a=时，求函数()
f x的值域；
（2）[]
0,2
x∃∈，()001
f x a x
≥+，求实数a的取值范围.
【答案】（1）[)
9,
-+∞；（2）
3
,
4
⎛⎤
-∞
⎥
⎝⎦
.
【解析】
【分析】
（1）将4
a=代入函数()
y f x
=的解析式，将函数()
y f x
=的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得函数()
y f x
=的值域；
（2）由参变量分离法得出
21
11
x
a
x x
-
≤
-++
在区间[]
0,2内有解，分[]
0,1
x∈和(]
1,2
x∈讨论，求得函
数2111
x y x x -=-++的最大值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】
（1）当4a =时，()22
243,141145,1x x x f x x x x x x ⎧-+≥=---=⎨+-<⎩. 当1x ≥时，()()[)2
211,f x x =--∈-+∞；
当1x <时，()()[)2299,f x x =+-∈-+∞. ∴函数()y f x =的值域为[)9,-+∞；
（2）不等式()1f x a x ≥+等价于2
111x a x a x ---≥+， 即2111
x a x x -≤-++在区间[]0,2内有解 当[]0,1x ∈时，2211112x x a x x --≤=-++，此时，211,022x -⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，则0a ≤； 当(]1,2x ∈时，2211111122x x a x x x x x --⎛⎫≤==- ⎪-++⎝⎭
， 函数112y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(]1,2上单调递增，当(]1,2x ∈时，1130,24x x ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则34
a ≤. 综上，实数a 的取值范围是3,4
⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】
本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题，利用绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。