山西省太原市2021-2022学年中考数学押题试卷含解析

山西省太原市2021-2022学年中考数学押题试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．1903年、英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质在放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期，如图是表示镭的放射规律的函数图象，根据图象可以判断，镭的半衰期为（ ）
A ．810 年
B ．1620 年
C ．3240 年
D ．4860 年
2．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示．对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ）
A ．众数是90
B ．中位数是90
C ．平均数是90
D ．极差是15
3．如图，△ABC 的面积为8cm 2 ， AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（ ）
A ．2cm 2
B ．3cm 2
C ．4cm 2
D ．5cm 2 4．已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，则下列结论：①ac>0；②a-b+c<0； ③当x 0<时，y 0<；
2a b 0+=④，其中错误的结论有( )
A．②③B．②④C．①③D．①④
5．如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10m,则A,B间的距离为（）
A．15m B．25m C．30m D．20m
6．（2016四川省甘孜州）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径'
AA的长为（）
A．πB．2πC．4πD．8π
7．估算9153
+÷的运算结果应在（）
A．2到3之间B．3到4之间
C．4到5之间D．5到6之间
8．如图由四个相同的小立方体组成的立体图像，它的主视图是（）．
A．B．C．D．
9．下列计算结果为a6的是（）
A．a2•a3B．a12÷a2C．（a2）3D．（﹣a2）3
10．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米
其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．若a 2+3＝2b ，则a 3﹣2ab+3a ＝_____．
12．已知一个圆锥体的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面展开图面积是___．（结果保留π）
13．分解因式：32816a a a -+=__________.
14．计算tan 260°﹣2sin30°﹣2cos45°的结果为_____．
15．直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____．
16．分解因式：3x 2-6x+3=__．
17．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，连接AC 、BD ，若S 四边形ABCD ＝18，则BD 的最小值为_________．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，在建筑物M 的顶端A 处测得大楼N 顶端B 点的仰角α=45°，同时测得大楼底端A 点的俯角为β=30°．已知建筑物M 的高CD=20米，求楼高AB 为多少米？（3≈1.732，结果精确到0.1米）
19．（5分）解方程： +=1．
20．（8分）把0，1，2三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下数字．放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字．请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率．
21．（10分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，AD ＝CD ＝2，点E 在边AD 上（不与点A 、D 重合），∠CEB ＝45°，EB 与对角线AC 相交于点F ，设DE ＝x ．
（1）用含x 的代数式表示线段CF 的长；
（2）如果把△CAE 的周长记作C △CAE ，△BAF 的周长记作C △BAF ，设CAE BAF C C ∆∆＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE 的正切值是35
时，求AB 的长．
22．（10分）未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注，辽阳青少年研究所随机调查了本市一中学100名学生寒假中花零花钱的数量(钱数取整数元)，以便引导学生树立正确的消费观．根据调查数据制成了频 分组
频数 频率 0.5～50.5
0.1 50.5～
20 0.2 100.5～150.5
200.5
30 0.3 200.5～250.5 10 0.1
率分布表和频率分布直方图(如图)．
(1)补全频率分布表；
(2)在频率分布直方图中，长方形ABCD的面积是；这次调查的样本容量是；
(3)研究所认为，应对消费150元以上的学生提出勤俭节约的建议．试估计应对该校1000名学生中约多少名学生提出这项建议．
23．（12分）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:
通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．
24．（14分）如图，已知平行四边形OBDC的对角线相交于点E，其中O（0，0），B（3，4），C（m，0），反比例
函数y=k
x
（k≠0）的图象经过点B．求反比例函数的解析式；若点E恰好落在反比例函数y=
k
x
上，求平行四边形
OBDC的面积．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解析】
根据半衰期的定义，函数图象的横坐标，可得答案．
【详解】
由横坐标看出1620年时，镭质量减为原来的一半，
故镭的半衰期为1620年，
故选B．
【点睛】
本题考查了函数图象，利用函数图象的意义及放射性物质的半衰期是解题关键．
2、C
【解析】
由统计图中提供的数据，根据众数、中位数、平均数、极差的定义分别列出算式，求出答案：
【详解】
解：∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；
∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2=90；
∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10=89；
极差是：95﹣80=1．
∴错误的是C．故选C．
3、C
【解析】
延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可求得△PBC的面积．
【详解】
延长AP交BC于E．
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°．
在△APB和△EPB中，∵，∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，∴△APC和△CPE 等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE S△ABC＝4cm1．
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S △PBC ＝S △PBE +S △PCE S △ABC ．
4、C
【解析】
①根据图象的开口方向，可得a 的范围，根据图象与y 轴的交点，可得c 的范围，根据有理数的乘法，可得答案； ②根据自变量为-1时函数值，可得答案；
③根据观察函数图象的纵坐标，可得答案；
④根据对称轴，整理可得答案．
【详解】
图象开口向下，得a ＜0，
图象与y 轴的交点在x 轴的上方，得c ＞0，ac ＜，故①错误；
②由图象，得x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0，故②正确；
③由图象，得
图象与y 轴的交点在x 轴的上方，即当x ＜0时，y 有大于零的部分，故③错误；
④由对称轴，得x=-
2b a
=1，解得b=-2a ， 2a+b=0
故④正确；
故选D ．
【点睛】
考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a
＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；
当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点
个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；
△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
5、D
【解析】
根据三角形的中位线定理即可得到结果.
【详解】
解:由题意得AB=2DE=20cm，
故选D.
【点睛】
本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6、B
【解析】
试题分析：∵每个小正方形的边长都为1，∴OA=4，∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，∴∠AOA′=90°，
∴A点运动的路径'
AA的长为：904
180
π⨯
=2π．故选B．
考点：弧长的计算；旋转的性质．
7、D
【解析】
3，∵2＜3，∴35到6之间．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行计算是解题关键．
8、D
【解析】
从正面看，共2列，左边是1个正方形，
右边是2个正方形，且下齐．
故选D.
9、C
【解析】
分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则逐一计算可得．【详解】
A、a2•a3=a5，此选项不符合题意；
B、a12÷a2=a10，此选项不符合题意；
C、（a2）3=a6，此选项符合题意；
D、（-a2）3=-a6，此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则．10、A
【解析】
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，
乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，
故选A．
【点睛】本题考查了函数图象，弄清题意，读懂图象，从中找到必要的信息是解题的关键.
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、1
【解析】
利用提公因式法将多项式分解为a(a2+3)-2ab，将a2+3=2b代入可求出其值．
【详解】
解：∵a2+3=2b，
∴a3-2ab+3a=a(a2+3)-2ab=2ab-2ab=1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法将多项式分解是本题的关键．
12、8π
【解析】
根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2公式即可求出．
【详解】
∵圆锥体的底面半径为2，
∴底面周长为2πr=4π，
∴圆锥的侧面积=4π×4÷2=8π．
故答案为：8π．
【点睛】
灵活运用圆的周长公式和扇形面积公式．
13、a (a －4)2
【解析】
首先提取公因式a ，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【详解】
32816a a a -+22816()4.)(a a a a a =-+=-
故答案为：2()4.a a -
【点睛】
本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底. 14、1
【解析】
分别算三角函数，再化简即可.
【详解】
解：原式=2-2×1
2=1.
【点睛】
本题考查掌握简单三角函数值，较基础.
15、1．
【解析】
试题分析：∵直角三角形的两条直角边长为6，8，∴由勾股定理得，斜边=10. ∴斜边上的中线长=12
×10=1． 考点：1.勾股定理；2. 直角三角形斜边上的中线性质．
16、3(x-1)2
【解析】
先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
()()2
22
36332131
x x x x x
-+=-+=-.
故答案是：3(x-1)2.
【点睛】
考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17、6
【解析】
过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，先根据“AAS”证明△DAM≌△BAN,再证明四边形AMCN为正方形,
可求得AC=6,从而当BD⊥AC时BD最小，且最小值为6.
【详解】
如下图，过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，则∠MAN＝90°,
∠DAM＋∠BAM＝90°，∠BAM＋∠BAN＝90°,
∴∠DAM＝∠BAN.
∵∠DMA＝∠N＝90°，AB＝AD,
∴△DAM≌△BAN,
∴AM＝AN,
∴四边形AMCN为正方形,
∴S四边形ABCD＝S四边形AMCN＝1
2
AC2,
∴AC=6,
∴BD⊥AC时BD最小，且最小值为6.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、楼高AB为54.6米．
【解析】
过点C作CE⊥AB于E，解直角三角形求出CE和CE的长，进而求出AB的长．【详解】
解：
如图，过点C作CE⊥AB于E，
则AE=CD=20，
∵CE=AE
tanβ
=
20
tan30
=33
3tan45°33
∴3（米），
答：楼高AB为54.6米．
【点睛】
此题主要考查了仰角与俯角的应用，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数关系得出是解题关键．19、-3
【解析】
试题分析：解得x=－3
经检验: x=－3是原方程的根.
∴原方程的根是x=－3
考点：解一元一次方程
点评：在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，要熟练掌握.
20、见解析，4 9 .
【解析】
画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】
解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上的数字都是偶数的结果数为4， 所以两次抽取的卡片上的数字都是偶数的概率＝
49． 【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
21、（1）CF=
)2244x +；（2）y=222x +（0＜x ＜2）；（3）AB=2.5. 【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求得∠DAC=∠ACD=45°，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得△CEF ∽△CAE ，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；
（3）由（2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB 的关系，然后可由∠ABE 的正切值求解.
试题解析：（1）∵AD=CD ．
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∵∠CEB=45°，
∴∠DAC=∠CEB ，
∵∠ECA=∠ECA ，
∴△CEF ∽△CAE ， ∴CE CF CA CE
=， 在Rt △CDE 中，根据勾股定理得，24x +，
∵CA=2， 224224x x +=+，
∴CF=22(4)4
x +； （2）∵∠CFE=∠BFA ，∠CEB=∠CAB ，
∴∠ECA=180°﹣∠CEB ﹣∠CFE=180°﹣∠CAB ﹣∠BFA ，
∵∠ABF=180°﹣∠CAB ﹣∠AFB ，
∴∠ECA=∠ABF，
∵∠CAE=∠ABF=45°，∴△CEA∽△BFA，
∴2
CAE
BFA
C AE
y
C AF x
====
+（0＜x＜2），
（3）由（2）知，△CEA∽△
BFA，
∴
AE AF
AC AB
=
，
24)
x
AB
+
=，
∴AB=x+2，
∵∠ABE的正切值是
3
5
，
∴tan∠ABE=
23
25
AE x
AB x
-
==
+
，
∴x=
1
2
，
∴AB=x+2=
5
2
．
22、⑴表格中依次填10，100.5，25，0.25，150.5，1；
⑵0.25，100；
⑶1000×（0.3+0.1+0.05）=450（名）．
【解析】
（1）由频数直方图知组距是50，分组数列中依次填写100.5，150.5；0.5-50.5的频数=100×0.1=10，由各组的频率之和等于1可知：100.5-150.5的频率=1-0.1-0.2-0.3-0.1-0.05=0.25，则频数=100×0.25=25，由此填表即可；（2）在频率分布直方图中，长方形ABCD的面积为50×0.25=12.5，这次调查的样本容量是100；（3）先求得消费在150元以上的学生的频率，继而可求得应对该校1000学生中约多少名学生提出该项建议．．
【详解】
解：()1填表如下：
（2）长方形ABCD 的面积为0.25，样本容量是100；
() 3提出这项建议的人数()10000.30.10.05450=⨯++=人．
【点睛】
本题考查了频数分布表，样本估计总体、样本容量等知识．注意频数分布表中总的频率之和是1．
23、300米
【解析】
解：设原来每天加固x 米，根据题意，得
．
去分母，得 1200+4200=18x （或18x=5400）
解得300x =．
检验：当300x =时，20x ≠（或分母不等于0）．
∴300x =是原方程的解．
答：该地驻军原来每天加固300米．
24、（1）y=12x ；（2）1； 【解析】
（1）把点B 的坐标代入反比例解析式求得k 值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据点B （3，4）、C （m ，0）的坐标求得边BC 的中点E 坐标为（
32
m +，2），将点E 的坐标代入反比例函数的解析式求得m 的值，根据平行四边形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）把B 坐标代入反比例解析式得：k=12，
则反比例函数解析式为y=； （2）∵B （3，4），C （m ，0），
∴边BC 的中点E 坐标为（，2），
将点E的坐标代入反比例函数得2=，
解得：m=9，
则平行四边形OBCD的面积=9×4=1．
【点睛】
本题为反比例函数的综合应用，考查的知识点有待定系数法、平行四边形的性质、中点的求法．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m表示出E点的坐标是解题的关键．。