北京市密云县2019-2020学年中考数学仿真第四次备考试题含解析

北京市密云县2019-2020学年中考数学仿真第四次备考试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．2017年，全国参加汉语考试的人数约为6500000，将6500000用科学记数法表示为（）
A．6.5×105B．6.5×106C．6.5×107D．65×105
2．已知3a﹣2b=1，则代数式5﹣6a+4b的值是（）
A．4 B．3 C．﹣1 D．﹣3
3．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（）
A．B．C．D．
4．一个数和它的倒数相等，则这个数是（）
A．1 B．0 C．±1 D．±1和0
5．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（）
A．4 B．﹣4 C．﹣6 D．6
6．如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（）
A．16 B．14 C．12 D．6
7．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（）
A．
3
10
B．
9
25
C．
9
20
D．
3
5
8．某校九年级一班全体学生2017年中招理化生实验操作考试的成绩统计如下表，根据表中的信息判断，下列结论中错误的是（）
成绩（分）30 29 28 26 18
人数（人）32 4 2 1 1
A．该班共有40名学生
B．该班学生这次考试成绩的平均数为29.4分
C．该班学生这次考试成绩的众数为30分
D．该班学生这次考试成绩的中位数为28分
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是()
A．55°B．60°C．65°D．70°
10．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（）A．26×105B．2.6×102C．2.6×106D．260×104
11．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CB
BD CD
=D．
AD AB
AB AC
=
12．下列运算正确的是（）
A．（a2）3 =a5B．23
a a a
=
g C．（3ab）2=6a2b2D．a6÷a3 =a2
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．观察下列图形，若第1个图形中阴影部分的面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为3
4
，第3个图
形中阴影部分的面积为
9
16
，第4个图形中阴影部分的面积为
27
64
，…则第n个图形中阴影部分的面积为
_____.（用字母n表示）
14．81的算术平方根是_______.
15．一个斜面的坡度i=1：0.75，如果一个物体从斜面的底部沿着斜面方向前进了20米，那么这个物体在水平方向上前进了_____米．
16．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积
是 ．
17．计算2×32结果等于_____．
18． 如图，已知AB BC =,要使ABD CBD ∆≅∆,还需添加一个条件，则可以添加的条件是 ．（只写一个即可，不需要添加辅助线）
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线y x m =-+与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，与函数(0)k
y x x
=>的图象的一个交点为(3,)C n ．
（1）求m ，n ，k 的值；
（2）将线段AB 向右平移得到对应线段A B ''，当点B '落在函数(0)k
y x x
=>的图象上时，求线段AB 扫
过的面积．
20．（6分）如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一老人坐在MN这层台阶上晒太阳．（3取1.73）
（1）求楼房的高度约为多少米？
（2）过了一会儿，当α＝45°时，问老人能否还晒到太阳？请说明理由．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE 上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图②中，若点P 在对称轴上从点A 开始向点B 以1个单位/秒的速度运动，过点P 做PF ⊥AB ，交AC 于点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，交抛物线于点Q ，连接AQ ，CQ ．当t 为何值时，△ACQ 的面积最大？最大值是多少？
22．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+2ax+c （其中a 、c 为常数，且a ＜0）与x 轴交于点A （﹣3，0），与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为1． （1）求抛物线的表达式； （2）求∠CAB 的正切值；
（3）如果点P 是x 轴上的一点，且∠ABP ＝∠CAO ，直接写出点P 的坐标．
23．（8分）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点C （0，2） (1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，点D 与点C 关于点M 对称，试问在该抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△BMP 与△ABD 相似？若存在，请求出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）观察下列等式： 第1个等式：a 1212
=+，
第2个等式：a 23223
=+
第3个等式：a 332
+3，
第4个等式：a 4=1
525
=+-2，
…
按上述规律,回答以下问题：请写出第n 个等式：a n =__________.a 1+a 2+a 3+…+a n =_________.
25．（10分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）证明：AF 平分∠BAC ；（2）证明：BF=FD ；（3）若EF=4，DE=3，求AD 的长．
26．（12分）解不等式()()4
1223
x x ---＞
，并把它的解集表示在数轴上.
27．（12分）（2016山东省烟台市）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC 为4米，落在斜坡上的影长CD 为3米，AB ⊥BC ，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ 在斜坡上的影长QR 为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】
将6500000用科学记数法表示为：6.5×106.
故答案选B.
【点睛】
本题考查了科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法的表示形式.
2．B
【解析】
【分析】
先变形，再整体代入，即可求出答案．
【详解】
∵3a﹣2b=1，
∴5﹣6a+4b=5﹣2（3a﹣2b）=5﹣2×1=3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．
3．D
【解析】
【详解】
∵ab＞0，∴a、b同号．当a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；
当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求．
故选B．
4．C
【解析】
【分析】
根据倒数的定义即可求解.
【详解】
的倒数等于它本身，故C符合题意.
故选：C.
【点睛】
主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.
5．C
【解析】
分析：根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值，由
2017÷5=403…2，可知点P（2018，m）在此“波浪线”上C404段上，求出C404的解析式，然后把P（2018，m）代入即可．
详解：当y=0时，﹣x（x﹣5）=0，解得x1=0，x2=5，则A1（5，0），
∴OA1=5，
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，得到一“波浪线”，
∴A1A2=A2A3=…=OA1=5，
∴抛物线C404的解析式为y=（x﹣5×403）（x﹣5×404），即y=（x﹣2015）（x﹣2020），
当x=2018时，y=（2018﹣2015）（2018﹣2020）=﹣1，
即m=﹣1．
故选C．
点睛：此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．
6．C
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形三线合一知D为BC中点，由点E为AC的中点知DE为△ABC中位线，故△ABC的周长是△CDE的周长的两倍，由此可求出BC的值.
【详解】
∵AB=AC=15，AD平分∠BAC，
∴D为BC中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∴DE=1
2 AB，
∴△ABC的周长是△CDE的周长的两倍，由此可求出BC的值. ∴AB+AC+BC=42，
∴BC=42-15-15=12，
故选C.
【点睛】
此题主要考查三角形的中位线定理，解题的关键是熟知等腰三角形的三线合一定理.
7．A
【解析】
【分析】
列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率：【详解】
列表如下：
∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种，
∴
63
P
2010
==
两次红
，
故选A.
8．D
【解析】
A.∵32+4+2+1+1=40（人），故A正确；
B. ∵（30×32+29×4+28×2+26+18）÷40=29.4（分），故B正确；
C. ∵成绩是30分的人有32人，最多，故C 正确；
D. 该班学生这次考试成绩的中位数为30分，故D错误；
9．C 【解析】 【分析】
根据旋转的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】
∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE ， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵点A ，D ，E 在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC 中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选C ． 【点睛】
此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答． 10．C 【解析】 【分析】
科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【详解】
260万=2600000=62.610⨯． 故选C ． 【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
【分析】
由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A 与B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
∵∠A 是公共角，
∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB ∽△ABC （有两角对应相等的三角形相似），故A 与B 正确，不符合题意要求；
当AB ：AD=AC ：AB 时，△ADB ∽△ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；
AB ：BD=CB ：AC 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误，符合题意要求， 故选C ．
12．B
【解析】
分析：本题考察幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方和同底数幂的除法.
解析： ()326a a = ，故A 选项错误； a 3·
a = a 4故B 选项正确；(3ab)2 = 9a 2
b 2故C 选项错误; a 6÷a 3 = a 3故D 选项错误.
故选B.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．3()4n ﹣1（n 为整数）
【解析】
试题分析：观察图形可得，第1个图形中阴影部分的面积=（34）0=1；第2个图形中阴影部分的面积=（34）1=34；第3个图形中阴影部分的面积=（34）2=916；第4个图形中阴影部分的面积=（34
）3=2764；…根据此规律可得第n 个图形中阴影部分的面积=（
34）n-1（n 为整数）• 考点：图形规律探究题．
14．3
【解析】
【分析】
.
所以81的算术平方根是3
故答案为3
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的定义，解题需熟练掌握平方根和算术平方根的概念且区分清楚，才不容易出错．要熟悉特殊数字0，1，-1的特殊性质．
15．1．
【解析】
【分析】
直接根据题意得出直角边的比值，即可表示出各边长进而得出答案．
【详解】
如图所示：
∵坡度i=1：0.75，
∴AC ：BC=1：0.75=4：3，
∴设AC=4x ，则BC=3x ，
∴AB=()()2234x x +=5x ，
∵AB=20m ，
∴5x=20，
解得：x=4，
故3x=1，
故这个物体在水平方向上前进了1m ．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查坡度的运用，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度h 和水平宽l 的比，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示坡角，可知坡度与坡角的关系是tan h i l
α=
=． 16．1
【解析】
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，
∴△AEB≌△AFD，
∴S△AEB=S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=1．17．1
【解析】
【分析】
根据二次根式的乘法法则进行计算即可.
【详解】
2
3236
=⨯=⨯=．
故答案为：1．
【点睛】
考查二次根式的乘法，掌握二次根式乘法的运算法则是解题的关键.
18．可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．
【解析】
【分析】
由AB=BC结合图形可知这两个三角形有两组边对应相等，添加一组边利用SSS证明全等，也可以添加一对夹角相等，利用SAS证明全等，据此即可得答案.
【详解】
.可添∠ABD=∠CBD或AD=CD，
①∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∵
AB BC
ABD CBD
BD BD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△CBD（SAS）；
②AD=CD，
在△ABD 和△CBD 中，
∵AB BC AD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△CBD （SSS ），
故答案为∠ABD=∠CBD 或AD=CD ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，结合图形与已知条件灵活应用全等三角形的判定方法是解题的关键. 熟记全等三角形的判定方法有：SSS ，SAS ，ASA ，AAS ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）m=4, n=1,k=3.（2）3.
【解析】
【分析】
（1） 把点(4,0)A ，分别代入直线y x m =-+中即可求出m=4，再把(3,)C n 代入直线y x m =-+即
可求出n=1.把(3,1)C 代入函数(0)k y x x
=>求出k 即可； （2）由（1）可求出点B 的坐标为（0，4），点B‘是由点B 向右平移得到，故点B’的纵坐标为4，把它代入反比例函数解析式即可求出它的横坐标，根据平移的知识可知四边形AA’B’B 是平行四边形，再根据平行四边形的面积计算公式计算即可.
【详解】
解：（1）把点(4,0)A ，分别代入直线
y x m =-+中得：
-4+m=0,
m=4,
∴直线解析式为4y x =-+.
把(3,)C n 代入4y x =-+得：
n=-3+4=1.
∴点C 的坐标为（3，1）
把（3，1）代入函数(0)k y x x =>得： 13
k = 解得：k=3.
∴m=4, n=1,k=3.
(2)如图，设点B 的坐标为（0，y ）则y=-0+4=4
∴点B 的坐标是（0，4）
当y=4时，3
4 x
=
解得，
3
4 x=
∴点B’（3
4
，4）
∵A’,B’是由A,B向右平移得到，∴四边形AA’B’B是平行四边形，
故四边形AA’B’B的面积=3
4
⨯4=3.
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题及函数的平移，利用数形结合思想作出图形是解题的关键. 20．（1）楼房的高度约为17.3米；（2）当α＝45°时，老人仍可以晒到太阳．理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）在Rt△ABE中，根据的正切值即可求得楼高；（2）当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与MC的交点为点H.可求得AF=AB=17.3米，又因CF=CH=17.3-17.2=0.1米，CM=0.2，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上.即小猫仍可晒到太阳.
试题解析：解：（1）当当时，在Rt△ABE中，
∵,
∴BA=10tan60°=米.
即楼房的高度约为17.3米.
当时，小猫仍可晒到太阳.理由如下：
假设没有台阶，当时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F,与MC的交点为点H. ∵∠BFA=45°，
∴,此时的影长AF=BA=17.3米，
所以CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1.
∴CH=CF=0.1米，
∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上.
∴小猫仍可晒到太阳.
考点：解直角三角形.
21．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当t＝15
11
或t＝
9
13
时，△PCQ为直角三角形；（3）当t＝2时，△ACQ的
面积最大，最大值是1．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A的坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC＝90°时；当∠PQC＝90°时；讨论可得△PCQ 为直角三角形时t的值；
（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ＝S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ＝1
FQ AD
2
⋅＝﹣
1
4
（t﹣2）2+1，依此即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，
∴点A坐标为（1，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．
故抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；
（2）依题意有：OC＝3，OE＝4，
∴CE22
OC OE
+22
34
+5，
当∠QPC＝90°时，
∵cos ∠QPC ＝=PC OC CQ CE
， ∴3325-=t t ，解得t ＝1511
； 当∠PQC ＝90°时，
∵cos ∠QCP ＝
=CQ OC CP CE
， ∴2335=-t t ，解得t ＝913
． ∴当t ＝1511或 t ＝913时，△PCQ 为直角三角形； （3）∵A （1，4），C （3，0），
设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ，则有：
k b 43k b 0+=⎧⎨+=⎩
，解得26k b =-⎧⎨=⎩．故直线AC 的解析式为y ＝﹣2x+2． ∵P （1，4﹣t ），将y ＝4﹣t 代入y ＝﹣2x+2中，得x ＝1+2
t ， ∴Q 点的横坐标为1+2t ，将x ＝1+2
t 代入y ＝﹣（x ﹣1）2+4 中，得y ＝4﹣2
4t ． ∴Q 点的纵坐标为4﹣2
4
t ， ∴QF ＝（4﹣24t ）﹣（4﹣t ）＝t ﹣2
4
t ， ∴S △ACQ ＝S △AFQ +S △CFQ ＝12FQ•AG+12
FQ•DG ， ＝12
FQ （AG+DG ）， ＝
12FQ•AD ， ＝12
×2（t ﹣2
4t ）， ＝﹣14
（t ﹣2）2+1， ∴当t ＝2时，△ACQ 的面积最大，最大值是1．
【点睛】
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，矩形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积，二次函数的最值，方程思想以及分类思想的运用．
22．（4）y＝﹣x4﹣4x+3；（4）1
3
；（3）点P的坐标是（4，0）
【解析】
【分析】
(4) 先求得抛物线的对称轴方程, 然后再求得点C的坐标,设抛物线的解析式为y＝a（x+4）4+4,将点(-3, 0) 代入求得a的值即可;
(4) 先求得A、B、C的坐标, 然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB,AC的长,然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°,最后,依据锐角三角函数的定义求解即可;
(3) 连接BC,可证得△AOB是等腰直角三角形，△ACB∽△BPO，可得AB OB
BC OP
=代入个数据可得OP的
值，可得P点坐标. 【详解】
解：（4）由题意得，抛物线y＝ax4+4ax+c的对称轴是直线
2a
x=-=-1
2a
，
∵a＜0，抛物线开口向下，又与x轴有交点，
∴抛物线的顶点C在x轴的上方，
由于抛物线顶点C到x轴的距离为4，因此顶点C的坐标是（﹣4，4）．可设此抛物线的表达式是y＝a（x+4）4+4，
由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是（﹣3，0），可得a＝﹣4．
因此，抛物线的表达式是y＝﹣x4﹣4x+3．
（4）如图4，
点B的坐标是（0，3）．连接BC．
∵AB4＝34+34＝48，BC4＝44+44＝4，AC4＝44+44＝40，
得AB4+BC4＝AC4．
∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，
所以tan∠CAB=
1
3 BC
AB
=．
即∠CAB的正切值等于1
3
．
（3）如图4，连接BC，
∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAP＝∠ABO＝45°，
∵∠CAO＝∠ABP，
∴∠CAB＝∠OBP，
∵∠ABC＝∠BOP＝90°，
∴△ACB∽△BPO，
∴AB OB
BC OP
=，
323
2OP
=，OP＝4，
∴点P的坐标是（4，0）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，综合性大.
23．(1)y=﹣1
2
x2+
3
2
x+2；(2)满足条件的点P的坐标为（
3
2
，
5
4
）或（
3
2
，﹣
5
4
）或（
3
2
，5）或（
3
2
，
﹣5）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求抛物线的表达式；
（2）使△BMP与△ABD相似的有三种情况，分别求出这三个点的坐标. 【详解】
(1)∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），
∵抛物线与y轴交于点C（0，2），
∴a×1×（﹣4）=2，
∴a=﹣1
2
，
∴抛物线的解析式为y=﹣1
2
（x+1）（x﹣4）=﹣
1
2
x2+
3
2
x+2；
(2)如图1，连接CD，∵抛物线的解析式为y=﹣1
2
x2+
3
2
x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=3
2
，
∴M（3
2
，0），∵点D与点C关于点M对称，且C（0，2），
∴D（3，﹣2），
∵MA=MB，MC=MD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（3，﹣22），
∴AB2=25，BD2=（4﹣1）2+22=5，AD2=（3+1）2+22=20，∴AD2+BD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB=90°，
设点P（3
2
，m），
∴MP=|m|，
∵M（3
2
，0），B（4，0），
∴BM=5
2
，
∵△BMP与△ABD相似，∴①当△BMP∽ADB时，
∴BM MP AD BD
=，5
2
255
m
=
∴m=±5
4
，
∴P（3
2
，
5
4
）或（
3
2
，﹣
5
4
），
②当△BMP∽△BDA时，BM MP
BD AD
=，
52525m =， ∴m=±5，
∴P （32，5）或（32
，﹣5）， 即：满足条件的点P 的坐标为P （
32，54）或（32，﹣54）或（32，5）或（32，﹣5）． 【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.
24．（1）1n a n n =
++1n n + （211n +．
【解析】
【分析】 （1）根据题意可知，1 2112a ==+，23223a ==+32332
a ==+ 45225a ==+，…由此得出第n 个等式：a n 11
n n n n =+++ （2）将每一个等式化简即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵第1个等式：12112
a ==+， 第2个等式：23223
a ==+ 第3个等式：3 2332
a ==-+ 第4个等式：4 5225
a ==+， ∴第n 个等式：a n 11n n n n =+++ （2）a 1+a 2+a 3+…+a n
=（()()()()()
2-1+3-2+2-3+5-2++n+1n -L =11n +-．
故答案为
11n n n n =+-++；11n +-．
【点睛】 此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 25．【小题1】 见解析
【小题2】 见解析
【小题3】
【解析】
证明：（1）连接OF
∴FH 切·O 于点F
∴OF ⊥FH ………………………… 1分
∵BC | | FH
∴OF ⊥BC ………………………… 2分
∴BF="CF" ………………………… 3分
∴∠BAF=∠CAF
即AF 平分∠BAC…………………4分
（2） ∵∠CAF=∠CBF
又∠CAF=∠BAF
∴∠CBF=∠BAF ………………………… 6分
∵BD 平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
∴∠BAF+∠ABD=∠CBF+∠CBD
即∠FBD=∠FDB………………………… 7分
∴BF="DF" ………………………… 8分
（3） ∵∠BFE=∠AFB ∠FBE=∠FAB
∴ΔBEF ∽ΔABF………………………… 9分
∴即BF 2=EF·AF …………………… 10分 ∵EF=4 DE=3 ∴BF="DF" =4+3=7
AF=AD+7
即4（AD+7）=49 解得AD=
26．x ＜5；数轴见解析
【解析】 【分析】将（x-2）当做一个整体，先移项，然后再按解一元一次不等式的一般步骤进行求解，求得解集后在数轴上表示即可.
【详解】移项，得 ()1x 213
-＜， 去分母，得 x 23-＜，
移项，得x 5＜，
∴不等式的解集为x 5＜，
在数轴上表示如图所示：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的特点选择恰当的方法进行求解是关键.
27．13.1．
【解析】
试题分析：如图，作CM ∥AB 交AD 于M ，MN ⊥AB 于N ，根据=，可求得CM 的长，在RT △AMN
中利用三角函数求得AN 的长，再由MN ∥BC ，AB ∥CM ，判定四边形MNBC 是平行四边形，即可得BN 的长，最后根据AB=AN+BN 即可求得AB 的长．
试题解析：如图作CM ∥AB 交AD 于M ，MN ⊥AB 于N ．
由题意=，即=，CM=，
在RT △AMN 中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，
∴tan72°=，
∴AN≈12.3，
∵MN ∥BC ，AB ∥CM ，
∴四边形MNBC 是平行四边形，
∴BN=CM=，
∴AB=AN+BN=13.1米．
考点：解直角三角形的应用.。