吉林省长春外国语学校2021-2022学年高三上学期期初考试数学(文)试题
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解：由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），
∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），
∴外接圆的直径为|OP|= =2 ，半径为 ，
外接圆的圆心为线段OP的中点是（ ， ），即（2，1），
则△ABP的外接圆方程是（x-2）2+（y-1）2=5．
故选D
12．C
【详解】
试题分析：由函数 可知，在 部分.当 时 .当 时 .当 时 恒成立.因为关于x的方程 有且仅有一个实数解，所以只能是 只有一个解.当 时有一个解 .所以要使在 上没解，有前面可得 成立.当 时要使 才能成立.故选C.
【详解】
作出如图所示的可行域为三角形 （包括边界），把 改写成 ，当且仅当动直线 过点 时， 取得最大值为
故选C.
【点睛】
本题考查线性规划的简单应用，属基础题.
9．A
【详解】
试题分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体，
半圆柱的底面半径为2，故半圆柱的底面积 半圆柱的高 ．
故半圆柱的体积为 ，长方体的长宽高分别为 故长方体的体积为
故选：A
3．B
【分析】
首先根据题意得到命题 为真命题，命题 为假命题.再依次判断选项即可.
【详解】
设 ，定义域为 ， ，
所以 为偶函数，命题 为真命题.
设 ，
因为 ， ，
所以 不是周期为 的周期函数，命题 为假命题.
对选项A， 为假命题；
对选项B， 为真命题；
对选项C， 为假命题， 为假命题；
对选项D， 为假命题， 为假命题.
14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本.若样本数据 ， ，…， 的方差为16，则数据 ， ，…， 的方差为______.
15．已知直线 恒过定点 ，点 也在直线 上，其中 均为正数，则 的最小值为__________.
16．已知菱形 的边长为 ， ，若沿对角线 将△ 折起，使得 ，则 四点所在球的表面积为____________．
吉林省长春外国语学校2021-2022学年高三上学期期初考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则下列结论中正确的是（）
A． B． C． D．
2．“ ”是“ 与 共线”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
15．8
【分析】
结合均值不等式即可直接求出结果.
【详解】
因为直线 ，即 ，故 ，
由于点 也在直线 上，所以 ，
因为
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故则 的最小值为8，
故答案为：8.
16．
【分析】
由条件确定球心的位置及球的半径，再由球的表面积公式求球的表面积.
【详解】
如图，设外接球的球心为O，
∵四边形 为菱形， ，
即答案为 .
【点睛】
本题考查概率的求法，涉及到直线、组合、概率等知识，属于中档题．
14．64
【分析】
根据样本数据 ， ，…， 的方差为 ，得出对应数据 ， ，…， 的方差为
【详解】
样本数据 ， ，…， 的方差为16，
所以数据 ， ，…， 的方差为 .
故答案为：64
【点睛】
本题考查了方差的性质，需熟记性质，属于基础题.
∴ 在 上恒成立，
故 在 上恒成立，令 ，则
在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
所以 .
∴AE⊥平面BCD，
过点O作OG⊥AE于点G，
则四边形 是矩形，
∵ ， ， ，. ， ，
设外接球的半径为R， ，
∵ ， ，
.∴ ， ，
解得 ， ，
故其外接球的表面积 .
故答案为： .
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
故选：D
6．D
【分析】
根据题意可设 ，再根据复数的乘除法运算及复数的类型求得b，即可得出答案.
【详解】
解：根据题意可设 ，
则 ，
因为 是实数，所有 ，则 ，
所以 .
故选：D.
7．B
【分析】
根据极值性质 求解即可.
【详解】
设 ， ，
因为在 处取极值，
所以 ，解得 .
故选：B
8．C
【分析】
作出如图所示的可行域，平移直线 即可得到 的最大值.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
所以 .
又因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去）.
所以 .
19．（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；
（2）设 与 交于点 ，易得 平面MNG，即 就是 到平面 的距离，由解三角形的知识求距离.
11．D
【详解】
考点：直线与圆的位置关系．
分析：根据已知圆的方程找出圆心坐标，发现圆心为坐标原点，根据题意可知，△ABP的外接圆即为四边形OAPB的外接圆，从而得到线段OP为外接圆的直径，其中点为外接圆的圆心，根据P和O两点的坐标利用两点间的距离公式求出|OP|的长即为外接圆的直径，除以2求出半径，利用中点坐标公式求出线段OP的中点即为外接圆的圆心，根据求出的圆心坐标和半径写出外接圆的方程即可．
20．（1）0.62；（2）列联表见解析，有99%的把握认为支付人数与支付方式有关．
【分析】
（1）由频率分布直方图可得微信支付人数低于50千人的频率；
（2）根据频率分布直方图得出 50千人和 50千人的人数，得列联表，计算出 ，比较后可得结论．
【详解】
（1）根据题意，由微信支付人数的频率分布直方图可得：
故选：B
4．C
【分析】
根据 求解即可.
【详解】
由题知： .
故选：C
5．D
【分析】
根据函数的奇偶性判断函数是不是奇函数即可．
【详解】
∵由 可得， ， ，∴函数为奇函数；
∵由 可得， ， ，∴函数为奇函数；
∵由 可得， ， ，∴函数为奇函数；
由 知，则由sinx>0得2kπ<x<2kπ+π，k∈Z，定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数，其余都为奇函数.
【详解】
证明：（1）由题意平面 平面 ，因为 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .
（2）设 与 交于点 ，
在直角 中， ，
在直角 中， ，
所以 ，则 ，
因为 平面 ，所以 就是 到平面 的距离，
可知 到平面 的距离为 .
【点睛】
本题考查线线垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线，线面，面面等位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．命题 ： 是偶函数，命题 ： 是周期为 的周期函数，则下列命题中为真命题的是（）
A． B．
C． D．
4．已知数列 的前 项和为 ，当 时， （）
A．20B．12C．8D．4
5．下列函数中，图象不关于原点对称的是（）
A． B．
C． D．
6．设z是纯虚数，若 是实数，则 =（）
17．（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用 可求出通项公式，
（2）由（1）得 ，然后利用裂项相消求和法可求得答案
【详解】
（1）当 时， ，
当 时， ，
符合上式，
所以
（2）由（1）可得
，
所以 ，
18．（1） ；（2） .
【分析】
（1）首先根据 得到 ，再利用余弦定理求解即可.
（2）首先根据余弦定理得到 ，再利用正弦定理面积公式求出函数的最小值，根据条件可得最小值大于等于0即证；
（2）利用参变分离，然后求函数的值域即可.
【详解】
（1）由题意可知函数的定义域为 ，
又 ，令 得， ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
当 时， ，∴ ，
即当 时， ；
（2）∵对任意的 ，都有 ，
参考答案
1．C
【分析】
化简集合B，根据集合的真子集概念即可判断.
【详解】
因为 或 ，
所以
故选：C
2．A
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义，结合向量的数量积运算进行判断即可
【详解】
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 与 共线，
当 与 共线时， 或 ，所以 或 ，
所以“ ”是“ 与 共线”的充分不必要条件，
∴三角形BCD为等边三角形，设其中心为 ，
取BD的中点F，连接AF，CF， ，OB， ，
由AB=AD=BC=BD=DC，得AF⊥BD，CF⊥BD，
所以BD⊥平面AFC，又AF=CF=3，AC= ，
∴ ∠AFC=120°.
过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点E，
由BD⊥平面AFC， 平面AFC，
∴BD⊥AE，AE⊥CF,
三、解答题
17．已知 是数列 的前 项和，满足 .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18．已知△ 的三个内角 所对的边分别为 ，向量 ，且 .
（1）求∠B的大小.
（2）若 ， ，求△ 的面积.
19．如图，直三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形， ， ， ， 分别为 ， 的中点， 为棱 上一点，且 .
考点：1.分段函数的性质.2.方程的解的问题.
13．
【分析】
先求出所有的基本事件，，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．
【详解】
从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个，所以取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为 .
（1）求证 ；
（2）求点 到平面 的距离.
20．支付宝和微信支付是目前市场占有率较高的支付方式，某第三方调研机构对使用这两种支付方式的人数作了对比，从全国随机抽取了100个地区作为研究样本，计算了各个地区样本的使用人数，其频率分布直方图如下，
（1）记 表示事件“微信支付人数低于50千人”，估计 的概率；
A．-2iB．-iC．iD．2i
7．若曲线 在 处取极值，则实数 的值为（）
A．1B．2C．3D．4
8．已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为
A． B．-2C． D．4
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为
A．16+8 B．8+8
C．16+16 D．8+16
10．已知函数 为定义域 上的奇函数，且在 上是单调函数，函数 ；数列 为等差数列，且公差不为0，若 ，则 （）
（2）填写下面2╳2列联表，并根据2╳2列联表判断是否有 的把握认为支付人数与支付方式有关；
支付人数＜50千人
支付人数≥50千人
总计
微信支付
支付宝支付
总计
附：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
．
21．设函数 ．
（1）证明：当 时， ；
（2）若对任意的 ，都有 ，求 的取值范围．
（2）根据题意，补全列联表可得：
支付人数＜50千人
支付人数≥50千人
总计
微信支付
62
38
100
支付宝支付
34
66
100
总计
96
104
200
则有 ，
故有99%的把握认为支付人数与支付方式有关．
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查列联表，独立性检验，计算出 即得，本题属于基础题．
21．（1）证明见解析；（2） .
故该几何体的体积为 ，选A
考点：三视图，几何体的体积
10．A
【分析】
根据函数奇偶性的关系将条件进行转化，再根据函数是单调函数，结合等差数列的性质及前n项和的公式进行转化求解即可．
【详解】
解： 函数 为定义域 上的奇函数，
关于原点对称，
，
若 ，
即 ，
即 ，
在 上是单调函数，
，
即 ，
在等差数列中， ，
故选：A．
A．45B．15C．10D．0
11．过圆 外一点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则 的外接圆的方程为（）
A． B．
C． D．
12．已知函数 若关于x的方程 有且仅有一个实数解，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为________.
∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），
∴外接圆的直径为|OP|= =2 ，半径为 ，
外接圆的圆心为线段OP的中点是（ ， ），即（2，1），
则△ABP的外接圆方程是（x-2）2+（y-1）2=5．
故选D
12．C
【详解】
试题分析：由函数 可知，在 部分.当 时 .当 时 .当 时 恒成立.因为关于x的方程 有且仅有一个实数解，所以只能是 只有一个解.当 时有一个解 .所以要使在 上没解，有前面可得 成立.当 时要使 才能成立.故选C.
【详解】
作出如图所示的可行域为三角形 （包括边界），把 改写成 ，当且仅当动直线 过点 时， 取得最大值为
故选C.
【点睛】
本题考查线性规划的简单应用，属基础题.
9．A
【详解】
试题分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体，
半圆柱的底面半径为2，故半圆柱的底面积 半圆柱的高 ．
故半圆柱的体积为 ，长方体的长宽高分别为 故长方体的体积为
故选：A
3．B
【分析】
首先根据题意得到命题 为真命题，命题 为假命题.再依次判断选项即可.
【详解】
设 ，定义域为 ， ，
所以 为偶函数，命题 为真命题.
设 ，
因为 ， ，
所以 不是周期为 的周期函数，命题 为假命题.
对选项A， 为假命题；
对选项B， 为真命题；
对选项C， 为假命题， 为假命题；
对选项D， 为假命题， 为假命题.
14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本.若样本数据 ， ，…， 的方差为16，则数据 ， ，…， 的方差为______.
15．已知直线 恒过定点 ，点 也在直线 上，其中 均为正数，则 的最小值为__________.
16．已知菱形 的边长为 ， ，若沿对角线 将△ 折起，使得 ，则 四点所在球的表面积为____________．
吉林省长春外国语学校2021-2022学年高三上学期期初考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则下列结论中正确的是（）
A． B． C． D．
2．“ ”是“ 与 共线”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
15．8
【分析】
结合均值不等式即可直接求出结果.
【详解】
因为直线 ，即 ，故 ，
由于点 也在直线 上，所以 ，
因为
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故则 的最小值为8，
故答案为：8.
16．
【分析】
由条件确定球心的位置及球的半径，再由球的表面积公式求球的表面积.
【详解】
如图，设外接球的球心为O，
∵四边形 为菱形， ，
即答案为 .
【点睛】
本题考查概率的求法，涉及到直线、组合、概率等知识，属于中档题．
14．64
【分析】
根据样本数据 ， ，…， 的方差为 ，得出对应数据 ， ，…， 的方差为
【详解】
样本数据 ， ，…， 的方差为16，
所以数据 ， ，…， 的方差为 .
故答案为：64
【点睛】
本题考查了方差的性质，需熟记性质，属于基础题.
∴ 在 上恒成立，
故 在 上恒成立，令 ，则
在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
所以 .
∴AE⊥平面BCD，
过点O作OG⊥AE于点G，
则四边形 是矩形，
∵ ， ， ，. ， ，
设外接球的半径为R， ，
∵ ， ，
.∴ ， ，
解得 ， ，
故其外接球的表面积 .
故答案为： .
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
故选：D
6．D
【分析】
根据题意可设 ，再根据复数的乘除法运算及复数的类型求得b，即可得出答案.
【详解】
解：根据题意可设 ，
则 ，
因为 是实数，所有 ，则 ，
所以 .
故选：D.
7．B
【分析】
根据极值性质 求解即可.
【详解】
设 ， ，
因为在 处取极值，
所以 ，解得 .
故选：B
8．C
【分析】
作出如图所示的可行域，平移直线 即可得到 的最大值.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
所以 .
又因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去）.
所以 .
19．（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；
（2）设 与 交于点 ，易得 平面MNG，即 就是 到平面 的距离，由解三角形的知识求距离.
11．D
【详解】
考点：直线与圆的位置关系．
分析：根据已知圆的方程找出圆心坐标，发现圆心为坐标原点，根据题意可知，△ABP的外接圆即为四边形OAPB的外接圆，从而得到线段OP为外接圆的直径，其中点为外接圆的圆心，根据P和O两点的坐标利用两点间的距离公式求出|OP|的长即为外接圆的直径，除以2求出半径，利用中点坐标公式求出线段OP的中点即为外接圆的圆心，根据求出的圆心坐标和半径写出外接圆的方程即可．
20．（1）0.62；（2）列联表见解析，有99%的把握认为支付人数与支付方式有关．
【分析】
（1）由频率分布直方图可得微信支付人数低于50千人的频率；
（2）根据频率分布直方图得出 50千人和 50千人的人数，得列联表，计算出 ，比较后可得结论．
【详解】
（1）根据题意，由微信支付人数的频率分布直方图可得：
故选：B
4．C
【分析】
根据 求解即可.
【详解】
由题知： .
故选：C
5．D
【分析】
根据函数的奇偶性判断函数是不是奇函数即可．
【详解】
∵由 可得， ， ，∴函数为奇函数；
∵由 可得， ， ，∴函数为奇函数；
∵由 可得， ， ，∴函数为奇函数；
由 知，则由sinx>0得2kπ<x<2kπ+π，k∈Z，定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数，其余都为奇函数.
【详解】
证明：（1）由题意平面 平面 ，因为 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .
（2）设 与 交于点 ，
在直角 中， ，
在直角 中， ，
所以 ，则 ，
因为 平面 ，所以 就是 到平面 的距离，
可知 到平面 的距离为 .
【点睛】
本题考查线线垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线，线面，面面等位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．命题 ： 是偶函数，命题 ： 是周期为 的周期函数，则下列命题中为真命题的是（）
A． B．
C． D．
4．已知数列 的前 项和为 ，当 时， （）
A．20B．12C．8D．4
5．下列函数中，图象不关于原点对称的是（）
A． B．
C． D．
6．设z是纯虚数，若 是实数，则 =（）
17．（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用 可求出通项公式，
（2）由（1）得 ，然后利用裂项相消求和法可求得答案
【详解】
（1）当 时， ，
当 时， ，
符合上式，
所以
（2）由（1）可得
，
所以 ，
18．（1） ；（2） .
【分析】
（1）首先根据 得到 ，再利用余弦定理求解即可.
（2）首先根据余弦定理得到 ，再利用正弦定理面积公式求出函数的最小值，根据条件可得最小值大于等于0即证；
（2）利用参变分离，然后求函数的值域即可.
【详解】
（1）由题意可知函数的定义域为 ，
又 ，令 得， ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
当 时， ，∴ ，
即当 时， ；
（2）∵对任意的 ，都有 ，
参考答案
1．C
【分析】
化简集合B，根据集合的真子集概念即可判断.
【详解】
因为 或 ，
所以
故选：C
2．A
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义，结合向量的数量积运算进行判断即可
【详解】
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 与 共线，
当 与 共线时， 或 ，所以 或 ，
所以“ ”是“ 与 共线”的充分不必要条件，
∴三角形BCD为等边三角形，设其中心为 ，
取BD的中点F，连接AF，CF， ，OB， ，
由AB=AD=BC=BD=DC，得AF⊥BD，CF⊥BD，
所以BD⊥平面AFC，又AF=CF=3，AC= ，
∴ ∠AFC=120°.
过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点E，
由BD⊥平面AFC， 平面AFC，
∴BD⊥AE，AE⊥CF,
三、解答题
17．已知 是数列 的前 项和，满足 .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18．已知△ 的三个内角 所对的边分别为 ，向量 ，且 .
（1）求∠B的大小.
（2）若 ， ，求△ 的面积.
19．如图，直三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形， ， ， ， 分别为 ， 的中点， 为棱 上一点，且 .
考点：1.分段函数的性质.2.方程的解的问题.
13．
【分析】
先求出所有的基本事件，，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．
【详解】
从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个，所以取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为 .
（1）求证 ；
（2）求点 到平面 的距离.
20．支付宝和微信支付是目前市场占有率较高的支付方式，某第三方调研机构对使用这两种支付方式的人数作了对比，从全国随机抽取了100个地区作为研究样本，计算了各个地区样本的使用人数，其频率分布直方图如下，
（1）记 表示事件“微信支付人数低于50千人”，估计 的概率；
A．-2iB．-iC．iD．2i
7．若曲线 在 处取极值，则实数 的值为（）
A．1B．2C．3D．4
8．已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为
A． B．-2C． D．4
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为
A．16+8 B．8+8
C．16+16 D．8+16
10．已知函数 为定义域 上的奇函数，且在 上是单调函数，函数 ；数列 为等差数列，且公差不为0，若 ，则 （）
（2）填写下面2╳2列联表，并根据2╳2列联表判断是否有 的把握认为支付人数与支付方式有关；
支付人数＜50千人
支付人数≥50千人
总计
微信支付
支付宝支付
总计
附：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
．
21．设函数 ．
（1）证明：当 时， ；
（2）若对任意的 ，都有 ，求 的取值范围．
（2）根据题意，补全列联表可得：
支付人数＜50千人
支付人数≥50千人
总计
微信支付
62
38
100
支付宝支付
34
66
100
总计
96
104
200
则有 ，
故有99%的把握认为支付人数与支付方式有关．
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查列联表，独立性检验，计算出 即得，本题属于基础题．
21．（1）证明见解析；（2） .
故该几何体的体积为 ，选A
考点：三视图，几何体的体积
10．A
【分析】
根据函数奇偶性的关系将条件进行转化，再根据函数是单调函数，结合等差数列的性质及前n项和的公式进行转化求解即可．
【详解】
解： 函数 为定义域 上的奇函数，
关于原点对称，
，
若 ，
即 ，
即 ，
在 上是单调函数，
，
即 ，
在等差数列中， ，
故选：A．
A．45B．15C．10D．0
11．过圆 外一点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则 的外接圆的方程为（）
A． B．
C． D．
12．已知函数 若关于x的方程 有且仅有一个实数解，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为________.