一次函数专题复习

A.x>
3 C.x< 2
3 2
B.x>3
D.x<3
解析 ∵一次函数y=-2x+b的图象交y轴于点A(0,3), ∴A(0,3)在一次函数y=-2x+b的图象上,将点A(0,3)代入y=-2x+b得b
3 =3,令y=0,则-2x+3=0,解得x= , 2 3 ∴B ,0 , 2 3 观察函数图象知,当x< 时,一次函数的图象在x轴上方, 2 3 ∴不等式-2x+b>0的解集为x< ,故选C. 2
3 将点A(3,m)代入,得 +1=m, 2 5 即m= ,故选C. 2
变式3-1 一次函数y=kx+|k-1|的图象过点(0,2),且y随x的增大而 增大,则k的值为 3 .
解析 ∵一次函数y=kx+|k-1|的图象过点(0,2),∴|k-1|=2,∴k -1 =2或k-1=-2,解得k=3或k=-1,又∵y随x的增大而增大,∴k>0,∴k=3.
知识点四
+b=m.
一次函数与方程(组)、不等式
1.一次函数与一元一次方程:一次函数y=kx+b的值为m⇔解方程kx
2.一次函数与一元一次不等式:(1)求使一次函数y =kx +b的值大
于0的自变量x的取值范围⇔解不等式kx +b >0;(2)求使一次函数y
=kx+b的值小于0的自变量x的取值范围⇔解不等式kx +b<0.
考点四
一次函数的应用
中考解题指导 用一次函数解决实际问题常见的三种题型:(1)建
立函数模型,然后借助方程、不等式或函数图象来解决方案选择 问题;(2)利用一次函数的性质,如增减性等来解决生活中的优化
问题,它常与方程(组)或不等式(组)一起考查;(3)利用一次函数图
象描述事物的变化规律,此问题要仔细分析图中各点以及每条直 线(或线段)表示的意义,并善于从图象中获取有效信息.
例6
(2017临沂)某市为节约水资源,制定了新的居民用水收费
3
标准.按照新标准,用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x(m )之 间的关系如图所示. (1)求y关于x的函数解析式; (2)若某用户二、三月份共用水40 m (二月份用水量不超过 25 m ),缴纳水费79.8元,则该用户二、三月份的用水量各是多少?
B.x<2 D.x<-1
解析 ∵函数y1=-2x的图象过点A(m,2),∴-2m=2,解得m=-1, ∴A(-1,2),观察两个函数图象可知,当函数y1=-2x的图象在函数y2=
ax+3的图象上方时,x<-1,即不等式-2x>ax+3的解集为x<-1.
变式5-1 如图,若一次函数y=-2x+b的图象交y轴于点A(0,3),交x 轴于点B,则不等式-2x+b>0的解集为 ( C )
(2)代:把已知两点的坐标代入一般式,得到关于k、b的二元一次 方程组;
(3)解:解方程组,求出k、b的值;
(4)写:把求得的k、b的值代入y=kx+b,写出函数解析式.
2.求一次函数解析式的常见类型 (1)利用点的坐标求函数解析式; (2)利用函数图象求函数解析式; (3)利用表格信息求函数解析式; (4)根据一次函数图象的平移求函数解析式.
和点(1,k)的直线. 2.一次函数y=kx +b(k、b是常数,k≠0)的图象是一条过④
b ,0 k ,(0,b)
的直线.
3.一次函数图象与k、b关系及增减性分析
k的符号 b的符号 k>0 b>0 b=0 b<0 k<0 b>0 b=0 b<0
图象
图象位置
考点三
一次函数与方程(组)、不等式的关系
y 2 x 2, 的解为坐标的点,在第 y x 1
考向1 一次函数与方程组
例4 以方程组 二 象限.
1 1 解析 根据题意得2x+2=-x+1,解得x=- ,将x=- 代入y=-x+1得y= 3 3 4 1 4 1 4 ,故该点的坐标为 , 所以 , , 在第二象限. 3 3 3 3 3
2.一次函数的结构特征:(1)k≠0;(2)自变量x的次数是1;(3)常数b可
以取任意实数. 温馨提示 正比例函数是一次函数,但一次函数y =kx +b (k、b是
常数,k≠0)不一定是正比例函数,只有当b=0时,它才是正比例函数.
知识点二
一次函数的图象和性质
(0,0)
1.正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条过点③
考点二
例3
求参问题
(2018枣庄)如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,若点A
C )
(3,m)在直线l上,则m的值是 (
A.-5
3 B. 2
5 C. 2
D.7
解析 将(-2,0)、(0,1)代入y=kx+b,得
1 2 k b 0, k , 1 2 解得 ∴y= x+1, b 1, 2 b 1,
一次函数专题复习
基础知识过关
知识点一 一次函数的定义
知识点二
知识点三 知识点四 知识点五
一次函数的图象和性质
待定系数法求一次函数的解析式 一次函数与方程(组)、不等式 一次函数的应用
知识点一
一次函数的定义
y=kx+b(k、b是常数,k≠0)
正比例函数 .
1.一次函数的定义:一般地,形如①
的函数叫做一次函数.特别地,当b=0时,一次函数y=kx+b变为y=kx (k为常数,k≠0),这时y叫做x的②
3.一次函数与二元一次方程组:一般地,每个二元一次方程都对应 一个一次函数,也对应一条直线.求两条直线的交点坐标,可转化 为求解两条直线的解析式组成的方程组. 温馨提示 函数值y >0时,对应的函数图象在x轴的上方;y<0时,
对应的函数图象在x轴的下方.
知识点五
一次函数的应用
1.用一次函数解决实际问题的一般步骤
1 m< 2
.
解析 因为一次函数的图象经过第二、四象限,所以2m-1<0;又 一次函数的图象经过第一象限,所以一次函数的图象与y轴的正
2m 1 0, 1 半轴相交,所以3-2m>0,综上所述, 解得m< . 3 2 m 0, 2
名师点睛
一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象由k和b
(2)左右平移:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象向左或向右平移a(a> 0)个单位,则解析式变为y=k(x±a)+b,简称为⑧ “左加右减” .
知识点三
待定系数法求一次函数的解析式
1.用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
(1)设:设一次函数解析式的一般式为y=kx+b(k、b为常数,k≠0);
量的取值范围是否会受到实际条件的限制.
考点聚焦
考点一 考点二 考点三 考点四 一次函数的图象和性质 求参问题 一次函数与方程(组)、不等式的关系 一次函数的应用
考点一
例1
一次函数的图象和性质
(2017泰安)已知一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴
考向1 一次函数的图象和性质
相交,且函数值y随自变量x的增大而减小,则下列结论正确的是
决定,k决定直线的方向,即k>0时,直线必经过第一、三象限,k<0
时,直线必经过第二、四象限;b决定直线与y轴交点的位置,即b>0 时,直线与y轴的正半轴相交,b=0时,直线与原点相交,b<0时,直线 与y轴的负半轴相交.
考向2
经过第
一次函数图象的平移
四 象限.

例2 将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位,所得的直线不
解析 将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位后得到的图象 所对应的函数解析式为y=2x+3.∵k=2>0,b=3>0,∴该一次函数的 图象经过第一、二、三象限,即该一次函数的图象不经过第四象 限.
变式2-1
1 将一次函数y= x的图象向上平移2个单位后,若y>0,则x 2
的取值范围是 ( A.x>4 C.x>2 变式2-2 B.x>-4 D.x>-2
即当x≥15时,y与x的函数关系式为y=2.4x-9, 则y与x的函数关系式为
1.8 x(0 x 15), y= 2.4 x 9( x 15).
3
(2)设二月份的用水量是x m ,
当15<x≤25时,2.4x-9+2.4(40-x)-9=79.8,无解; 当0<x≤15时,1.8x+2.4(40-x)-9=79.8,解得x=12,∴40-x=28, 答:该用户二、三月份的用水量分别是12 m 、28 m .
( A )
A.k<2,m>0 C.k>2,m>0 B.k<2,m<0 D.k>2,m<0
解析 原式可变形为y=(k-2)x+(-m), ∵一次函数的图象与y轴的负半轴相交, ∴-m <0,∴m >0. ∵函数值y随自变量x的增大而减小, ∴k-2<0,∴k<2,故选A.
变式1-1 若一次函数y=(2m-1)x+3-2m的图象经过第一、二、四 象限,则m的取值范围是
经过第一 、二、 三象限
经过第一 、三象 限
经过第一 、三、 四象限
经过第一 、二、 四象限
经过第二 、四象 限
经过第二 、三、 四象限
函数的 增减性
每一个象限内,y随x的增大而 ⑤ 增大
每一个象限内,y随x的增大而 ⑥ 减小
4.一次函数的平移 (1)上下平移:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象向上或向下平移a(a> 0)个单位,则解析式变为y=kx+b±a,简称为⑦ “上加下减” ;
(1)设实际问题中的变量; (2)建立一次函数关系式;
(3)确定自变量的取值范围;
(4)利用函数的性质解决问题.
2.一次函数的应用的常见题型 (1)根据实际问题中给出的数据列相应的函数解析式,解决实际问 题; (2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较分析; (3)结合实际问题的函数图象解决问题. 温馨提示 应用一次函数相关知识解决实际问题时,要注意自变
y x, x 1, (2)方程组 的解为 y x m y 1.
考向2
一次函数与不等式
例5
(2017菏泽)如图,函数y1=-2x和y2=ax+3的图象相交于点A(m D )
,2),则关于x的不等式-2x>ax+3的解集是 (
A.x>2 C.x>-1
变式4-1 若正比例函数y=-x的图象与一次函数y=x+m的图象交 于点A,且点A的横坐标为-1. (1)求该一次函数的解析式;
y x, (2)直接写出方程组 的解. y x m
解析 (1)将x=-1代入y=-x,得y=1,则点A的坐标为(-1,1). 将A(-1,1)代入y=x+m,得-1+m=1, 解得m=2, 所以一次函数的解析式为y=x+2.
解析 (1)60. (2)解法一:当1≤x≤5时,设y乙关于x的函数解析式为y乙=kx+b(k≠ 0). ∵点(1,0),(5,360)在其图象上,
k 90, 0 k b, ∴ 解得 b 90. 360 5k b,
∴y乙关于x的函数解析式为y乙=90x-90(1≤x≤5). 解法二:由图象得v乙=90 km/h. ∴y乙=90(x-1)=90x-90(1≤x≤5). (3)220.
B )
(2018济南)已知点P(1,2)关于x轴的对称点为P',且P
'在直线y=kx+3上,把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位后,所得 直线的解析式为
y=-5x+5
.
解析 由题意得P'(1,-2),将P'(1,-2)代入y=kx+3得k=-5.∴y=-5x+ 3,将y=-5x+3的图象向上平移2个单位后得y=-5x+3+2,即y=-5x+5.
3 3
变式6-1 甲、乙两人利用不同的交通工具,沿同一路线从A地出 发前往B地.甲出发1 h后,乙出发.设甲与A地相距y甲(km),乙与A地 相距y乙(km),甲离开A地的时间为x(h),y甲,y乙与x之间的函数图象 如 图所示. (1)甲的速度是 60 km/h;
(2)当1≤x≤5时,求y乙关于x的函数解析式; (3)当乙与A地相距240 km时,甲与A地相距 220 km.
3 3
解析 (1)当0≤x≤15时,设y与x的函数关系式为y=kx(k≠0),则15
k=27,得k=1.8,
即当0≤x≤15时,y与x的函数关系式为y=1.8x,
15a b 27, a 2.4, 得 20 a b 39, b 9,
当x≥15时,设y与x的函数关系式为y=ax+b(a≠0),