整式、分式、二次根式

第二讲整式、分式

一、课标下复习指南

(一)代数式

1．代数式

用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独一个数或表示数的字母也叫做代数式．

2．求代数式的值

用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出结果，叫做求代数式的值．3．代数式的分类

(二)整式

1．整式的有关概念

(1)单项式及有关概念

由数字和字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数和单独的一个字母也叫单项式．

单项式的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数．

(2)多项式及有关概念

几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数叫多项式的次数．

(3)同类项的概念

多项式中，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．两个常数项也是同类项．

2．整式的运算

(1)整式的加减

①合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．

②添(去)括号法则

如果括号前面是正号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．

③整式的加减

几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项．

(2)整数指数幂及其运算性质

①整数指数幂

正整数指数幂：

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≥

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=)

,2

(

),1

(

为正整数

个

n

n

a

a

a

a

n

a

a

n

n

43

42

1Λ

零指数幂：10

=a (a ≠0)．

负整数指数幂：n n a

a 1

=

-(a ≠0，n 为正整数)． ②整数指数幂的运算性质(以下四式中m ，n 都是整数)

a m ·a n ＝a m ＋

n ： (a m )n ＝a mn ； (ab )m ＝a m ·b m ．

a m ÷a n ＝a m －

n (a ≠0)． (3)整式的乘法

①单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含的字母，连同它的指数作为积的一个因式．

②单项式乘以多项式，根据分配律用这个单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

③多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

④乘法公式：

(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；

常用的几个乘法公式的变形：

a 2＋

b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ； (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ．

(4)整式的除法(结果为整式的)

①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式．

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 3．因式分解的概念

(1)因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：

①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解．

②因式分解后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时，每个因式的首项不含负号．

③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形． (2)因式分解的方法 ①提公因式法：

ma ＋mb ＋mc ＝m (a ＋b ＋c )． ②运用公式法：

a 2－

b 2＝(a ＋b )(a －b )； a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2： *③十字相乘法：

x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．

④用一元二次方程求根公式分解二次三项式的方法：

ax 2＋bx ＋c ＝a (x －x 1)(x －x 2)．

(当b 2

－4ac ≥0时，,2421a ac

b b x -+-=)2422a

ac b b x ---=

(3)因式分解的步骤

①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用乘法公式分解；

③对于二次三项式，可先尝试用十字相乘法分解；

④检查每一个因式是否都已分解彻底，是否符合要求．必要时，可用多项式的乘法运算从结果逆推回去，以检验因式分解所得结果是否正确． 4．分式

(1)分式的有关概念

①分式：若A 和B 均为整式(其中B 中含有字母)，则形如B

A

的式子叫做分式． 注意 对于一个分式

B

A

，字母的取值必须使分母B 的值不为零． ②最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注意 关于分式概念的应用，一般有以下几种： 分式有意义⇔分母≠0； 分式无意义⇔分母＝0；

分式值为0⇔⎩⎨⎧≠=.0,

0分母分子

分式值为1⇔⎩⎨⎧==.

0,

分母分母分子

分式值为正⇔分子、分母同号． 分式值为负⇔分子、分母异号． (2)分式的基本性质

分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．

M B M

A M

B M A B A ÷÷=

⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)． (3)分式的运算

①加减法：bd bc ad d c b a ±=±．特别地，当b ＝d 时，b c a b c b a ±=±． ②乘法：⋅=

bd

ac

d c b a . ③除法：

bc

ad

c d b a d c b a =

=÷.(此法则将分式的除法转化为乘法)． ④乘方：n n

n b a b

a =)((n 为正整数)．

二、例题分析

例1 下列运算中，计算结果正确的个数是( )．

(1)a 4·a 3＝a 12；(2)a 6÷a 3＝a 2；(3)a 5＋a 5＝a 10；(4)(a 3)2＝a 9；(5)(－ab 2)2＝ab 4；