四川省成都七中2018-2019学年高一(上)期中数学试卷

四川省成都七中2018-2019学年高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合M={x|x≤6}，a=2，则下面结论中正确的是（）A. B. C. D.2.已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A. 的定义域为RB. 在上单调递增C. 的图象一定经过点D. 的图象有可能经过点3.已知函数g（x）=，＞，，＜，函数f（x）=|x|•g（x），则f（-2）=（）A. 1B.C. 2D.4.函数f（x）=-ln x的定义域为（）A. B.C. 或D.5.若函数y=f（x）的定义域为{x|-3≤x≤8，x≠5，值域为{y|-1≤y≤2，y≠0}，则y=f（x）的图象可能是（）A. B.C. D.6.设a=2，b=，c=（）0.3，则（）A. B. C. D.7.若f（x）=4x2-kx-8在[5，8]上为单调递减函数，则k的取值范围是（）A. B.C. D.8.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A. B. C. D.9.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x），f（1）=2，则f（-1）+f（3）=（）A. 4B. 0C.D.10.若函数f（x）=（k-1）a x-a-x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log a（x+k）的图象是（）A. B.C. D.11.已知函数f（x）=，对任意的x1，x2≠±1且x1≠x2，给出下列说法：①若x1+x2=0，则f（x1）-f（x2）=0；②若x1•x2=1，则f（x1）+f（x2）=0；③若1＜x2＜x1，则f（x2）＜f（x1）＜0；④若（）g（x）=f（），且0＜x2＜x1＜1．则g（x1）+g（x2）=g（），其中说法正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4＞12.设函数f（x）=，若对任意给定的m（1，+∞），都存在唯一的＜x0R满足f（f（x0））=2a2m2+am，则正实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设集合A={0，1，2}，B={2，3}，则A B=______．14.函数y=1+log a（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A，则点A的坐标为______．15.由此可判断：当精确度为时，方程（）的一个近似解为______（精确到0.01）16.函数f（x）为定义在（0，+∞）上的单调递增函数，且f（x）•f（f（x）+）=1，则f（-1）=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算：（Ⅰ）（2）-（-2）0-（）+（1.5）-2；（Ⅱ）+lg2-log48．18.已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x R}，B={x|x2-2mx+（m-2）（m+2）≤0，x R，m R}．（Ⅰ）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；（Ⅱ）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．19.设函数f（x）=x k（k R，且为常数）．（Ⅰ）当k=3时，判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅱ）当k=1时，设函数g（x）=f（x）-，利用函数的单调性的定义证明函数y=g （x）在x（0，+∞）为单调递增函数．20.著名英国数学和物理学家IssacNewton（1643年-1727年）曾提出了物质在常温环境下温度变化的冷却模型．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，t min后物体温度θ℃，可由公式θ=θ+（θ-θ）e-kt（e为自然对数的底数）得到，这里k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数．现将一个原来温度为62℃的物体放在15℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是52℃．（Ⅰ）求k的值（精确到0.01）；（Ⅱ）该物体从原来的62℃开始冷却多少min后温度是32℃？（参考数据：ln≈-0.24，ln≈-0.55，ln≈-1.02）21.已知函数g（x）对一切实数x，y R都有g（x+y）-g（y）=x（x+2y-2）成立，且g（1）=0，h（x）=g（x+1）+bx+c（b，c R），f（x）=．（Ⅰ）求g（0）的值和g（x）的解析式；（Ⅱ）记函数h（x）在[-1，1上的最大值为M，最小值为m．若M-m≤4，当b＞0时，求b的最大值；（Ⅲ）若关于x的方程f（|2x-1|）+-3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．22.对数函数g（x）=1og a x（a＞0，a≠1）和指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）互为反函数．已知函数f（x）=3x，其反函数为y=g（x）．（Ⅰ）若函数g（kx2+2x+1）的定义域为R，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；（Ⅲ）定义在I上的函数F（x），如果满足：对任总x I，存在常数M＞0，都有-M≤F （x）≤M成立，则称函数F（x）是I上的有界函数，其中M为函数F（x）的上界．若函数h（x）=，当m≠0时，探求函数h（x）在x[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范围，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由集合M={x|x≤6}，a=2，知：在A中，{a}M，故A正确；在B中，a M，故B错误；在C中，{a}⊆M，故C错误；在D中，a M，故D错误．故选：A．利用元素与集合的关系、集合与集合的关系直接求解．本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，∴B错误；对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．根据幂函数的图象与性质，对选项中的命题分析、判断正误即可．本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵函数g（x）=，函数f（x）=|x|•g（x），∴f（-2）=|-2|•g（-2）=2×（-1）=-2．故选：D．推导出f（-2）=|-2|•g（-2），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】B【解析】解：要使f（x）有意义，则：；解得x≥1；∴f（x）的定义域为：{x|x≥1}．故选：B．可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域．5.【答案】B【解析】解：A．当x=8时，y=0，∴A错误．B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B正确．C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2个函数值y和x对应的图象，∴C错误．D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D错误．故选：B．根据函数的定义域和值域以及与函数图象之间的关系分别进行判断即可．本题主要考查函数的定义以及函数三要素之间的判断，利用函数的定义是解决本题的关键，比较基础．6.【答案】A【解析】解：a=2＜1=0，b=＞=1，0＜c=（）0.3＜（）0=1，∴a＜c＜b．故选：A．利用对数的性质和运算法则求解．本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.【答案】B【解析】解：由题意，可知：二次函数f（x）=4x2-kx-8开口向上，对称轴x=∵函数f（x）=在[5，8]上为单调递减函数．∴对称轴x=，∴k≥64．故选：B．本题可先判断出二次函数f（x）开口向上，要使函数f（x）=在[5，8]上为单调递减函数，必须让对称轴在此区间的右边，由此可得结果．本题主要考查二次函数开口方向、对称轴以及单调性等问题，本题属基础题．8.【答案】B【解析】解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[]也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．9.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，且f（1）=2，则f（-1）=-f（1）=-2，又由f（x）满足f（1-x）=f（1+x），则函数f（x）的对称轴为x=1，则f（3）=f（-1）=-f（1）=-2，则（-1）+f（3）=-4；故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得f（-1）的值，结合f（1-x）=f（1+x）分析可得f（x）的对称轴为x=1，则f（3）=f（-1），将其相加即可得答案．本题考查函数的奇偶性与对称性的应用，关键是分析函数的对称轴，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=（k-1）a x-a-x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）=0∴k=2，又∵f（x）=a x-a-x为减函数，所以1＞a＞0，所以g（x）=log a（x+2）定义域为x＞-2，且递减，故选：A．根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．11.【答案】D【解析】解：函数f（x）=，①若x1+x2=0，则f（x1）-f（x2）=-=0，故①正确；②若x1•x2=1，则x2=，f（x1）+f（x2）=+=0，故②正确；③f（x）==-1-在x＞1递增，可得若1＜x2＜x1，则f（x2）＜f（x1）＜0，故③正确；④若（）g（x）=f（）=，即g（x）=log，且0＜x 2＜x1＜1．则g（x1）+g（x2）=log+log=log g（）=log，即有g（x1）+g（x2）=g（），故④正确．故选：D．由函数值的化简计算可判断①②；由函数的单调性可判断③；由对数的运算性质可判断④．本题考查函数的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：作出函数f（x）的图象如图：由图象知当x＞0时，f（x）=log2x的值域为R，当-1≤x≤0，f（x）的取值范围为[0，1]，当x＜-1时，f（x）的取值范围是（-∞，1），即由图象知当f（x）≤1时，x的值不唯一，设t=f（x0），当x＞0时，由f（x）=log2x≥1得x≥2，则方程f（f（x0））=2a2m2+am，等价为f（t）=2a2m2+am，∵2a2m2+am＞0∴若存在唯一的x0R满足f（f（x0））=2a2m2+am，则t＞1，即由f（x）=log2x＞1得x＞2，即当x＞2时，f（f（x））与x存在一一对应的关系，则此时必有f（f（x））＞1，即2a2m2+am＞1，得（ma+1）（2ma-1）＞0，∵ma+1＞0，∴不等式等价为2ma-1＞0，设h（a）=2ma-1，∵a＞1，m＞0，∴只要h（1）≥0即可，得2m-1≥0，得m≥，即实数m的取值范围是[，+∞）．故选：A．作出函数f （x）的图象，结合f （x）的值域范围或者图象，易知只有在f （x）的自变量与因变量存在一一-对应的关系时，即只有当f （x）＞1时，才会存在一一对应．然后利用一元二次不等式的性质即可得到结论．本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的图象，利用数形结合得到当当x＞2时，即f（f（x））＞1时与x存在一一对应的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．13.【答案】{0，1，2，3}【解析】解：设集合A={0，1，2}，B={2，3}，则A B={0，1，2，3}故答案为：{0，1，2，3}．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．14.【答案】（-1，1）【解析】解：由对数函数的性质，令x+2=1可知，y=1∴y=1+log a（x+2）（a＞0且a≠1）图象恒过定点A（-1，1），故答案为：（-1，1）结合对数函数恒过（1，0）及函数图象的变换即可求解本题主要考查了对数函数的性质的简单应用，属于基础试题15.【答案】1.41【解析】解：由所给的函数值的表格可以看出，在x=1.406与x=1.431这两个数字对应的函数值的符号不同，即f（1.406）f（1.431）＜0，∴函数的零点在（1.406，1.431）上，故当精确度为0.1时，方程f（x）=0的一个近似解为1.41故答案为：1.41．由表格可得，在x=1.406与x=1.431处对应的函数值的符号不同，即f（1.406）f （1.431）＜0，根据零点判定定理可得零点的位置．本题考查函数的零点的判定定理，解题的关键是看清那两个函数值之间符号不同，属基础题．16.【答案】【解析】解：设f（x）=t，则t≤1，若t＞1，则f（x）+=t+＞t，∵f（x）在（0，+∞）上的单调递增函数，∴1=tf（t+）＞t•t=t2，即与t2＞1矛盾，则t≤1，则方程等价为tf（t+）=1，即f（t+）=，令t+替换x代入方程f（x）•f（f（x）+）=1，得f（t+）•f（f（t+）+）=1，即•f（+）=1，即f（+）=t=f（x），即+=x，整理得x2t2-xt-1=0以t为变量，∵x＞0，∴t===，当x=-1时，若t===满足条件．若t====＞1，不满足条件t≤1，舍去，故答案为：-设f（x）=t，根据函数的单调性以及方程关系得到t≤1，然后反复替换变量得到f（+）=t=f（x），结合好的单调性，得到+=x，整理得x2t2-xt-1=0，利用一元二次方程求根公式求出t与x的关系，令x=-1，即可求出t的值，本题考查抽象函数的应用，利用赋值法结合好的方程与函数单调性的关系建立方程，涉及函数解析式的计算，关键是求出函数的解析式，综合性较强，有一定的难度．17.【答案】解：（Ⅰ）（2）-（-2）0-（）+（1.5）-2；=；（Ⅱ）+lg2-log48．=lg5+lg2-+2=1-=．【解析】（I）直接根据指数的运算性质进行求解即可；（II）根据对数的换底公式及对数的运算想性质进行求解即可．本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．18.【答案】解：（Ⅰ）A={x|x2-2x-3≤0，x R}={x|-1≤x≤3}，B={x|x2-2mx+（m-2）（m+2）≤0，x R，m R}={x|m-2≤x≤m+2}，∵A∩B=[0，3]，∴ ，∴ ，∴m=2（Ⅱ）∵B={x|m-2≤x≤m+2}．∴∁R B={x|x＞m+2或x＜m-2}，要使A⊆∁R B，则3＜m-2或-1＞m+2，解得m＞5或m＜-3，即实数m的取值范围是m＞5或m＜-3．【解析】（Ⅰ）先求出集合A，B，利用A∩B=[0，3]，确定实数m的值．（Ⅱ）求出∁R B，利用条件A⊆∁R B，确定条件关系，即可求实数m的取值范围．本题主要考查集合的基本运算，以及利用集合关系求参数问题，考查学生分析问题的能力．19.【答案】解：（1）∵k=3时，f（x）=x3定义域为R，∴f（-x）=（-x）3=-x3=-f（x），则f（x）为奇函数．（2）当k=1时，f（x）=x，g（x）=x-，设0＜x2＜x1，则f（x1）-f（x2）=x1--x2+=x1-x2+（-）=，∵0＜x2＜x1，∴x1x2＞0，x1-x2＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，则f（x1）＞f（x2），即g（x）在（0，+∞）上是增函数．【解析】（1）结合函数奇偶性的定义进行证明即可；（2）结合函数单调性的定义进行证明．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，结合奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，θ1=62，θ0=15，当t=1时，θ=52，于是52=15+（62-15）e-k，化简得：k=-ln，∵ln≈-0.24，∴k=0.24；（Ⅱ）由（I）可知θ=15+47e-0.24t，∴当θ=32时，32=15+47e-0.24t，解得：t=4.2．【解析】（Ⅰ）通过将θ1=62，θ0=15，t=1，θ=52代入公式θ=θ+（θ-θ）e-kt计算可知k的值；（Ⅱ）通过（I）可知公式θ=15+47e-0.24t，令θ=32计算即得结论．本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．21.【答案】解：（Ⅰ）令x=1，y=0得g（1）-g（0）=-1，∵g（1）=0，∴g（0）=1，令y=0得g（x）-g（0）=x（x-2），即g（x）=x2-2x+1．（Ⅱ）h（x）=g（x+1）+bx+c=x2+bx+c．①当-＜-1，即b＞2时，M-m=h（1）-h（-1）=2b＞4，与题设矛盾②当-1≤-＜0时，即0＜b≤2时，M-m=h（1）-h（-）=（+1）2≤4恒成立，综上可知当0＜b≤2时，b的最大值为2．（3）当x=0时，2x-1=0则x=0不是方程的根，方程f（|2x-1|）+-3k=0可化为：|2x-1|2-（2+3k）|2x-1|+（1+2k）=0，|2x-1|≠0，令|2x-1|=t，则方程化为t2-（2+3k）t+（1+2k）=0，（t＞0），∵方程f（|2x-1|）+-3k-1=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x-1|的图象知，t2-（2+3k）t+（1+2k）=0，（t＞0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．记h（t）=t2-（2+3k）t+（1+2k），则，此时k＞0，＞或，此时k无解，＜＜综上实数k的取值范围是（0，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用赋值法结合抽象函数关系进行求解即可．（Ⅱ）求出h（x）的解析式，讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数的最值性质进行求解．（Ⅲ）将方程进行等价转化，利用换元法转化为一元二次方程，结合一元二次方程根的分别进行求解即可．本题考查函数与方程的综合应用，以及二次函数根的分布，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22.【答案】解：（Ⅰ）由题意得g（x）=log3x，∵g（kx2+2x+1）=log3（kx2+2x+1）的定义域为R，∴kx2+2x+1＞0恒成立，当k=0时不满足条件．，当k≠0时，若不等式恒成立，则，即，解得k＞1；（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，∵0＜x1＜x2，∴0＜x1＜1＜x2，即-log3x1=log3x2，得log3x1+log3x2=log3x1x2=0，则x1x2=1，则4x1+x2=4x1+，0＜x1＜1，易知函数y=4x+在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，即当x1=时，4x1+x2取得最小值为4．（Ⅲ）h（x）==-1+，（m≠0），（i）当m＞0，1+m3x＞1则h（x）在[0，1]上单调递减，∴≤h（x）≤，①若||≥||，即m（0，]时，存在上界M，M[||，+∞），②若||＜||，即m（，+∞）时，存在上界M，M[||，+∞），（ii）当m＜0时，①若-＜m＜0时，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）[，]，存在上界M，M[，+∞），②若m=-时，h（x）=-1+在[0，1]上单调递增，h（x）[2，+∞），故不存在上界．③若-1＜m＜-时，h（x）在[0，log3（-））上单调递增，h（x）在（log3（-），1]上单调递增，h（x）（-∞，][，+∞）故不存在上界，④若m=-1，h（x）=-1+在（0，1]上单调递增，h（x）（-∞，-2]，故不存在上界⑤若m＜-1，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）[，]，而＜0，存在上界M，M[||，+∞）；综上所述，当m＜-1时，存在上界M，M[||，+∞），当-1≤m≤-时，不存在上界，当-＜m＜0时，存在上界M，M[，+∞），当m（0，]时，存在上界M，M[||，+∞），当m（，+∞）时，存在上界M，M[||，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据对数函数的定义域为R，转化为kx2+2x+1＞0恒成立，进行求解（Ⅱ）根据对数函数的性质，得到x1x2=1，结合对勾函数的性质进行求解即可（Ⅲ）利用分子常数化，结合上界的定义分别进行判断求解即可．本题主要考查对数函数的性质的综合应用，以及上界的判断，结合对数函数的性质是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．综合较强，运算量较大，难度较大．。