1996年考研数学二试题及答案
1996数学二考研真题及答案
1996数学二考研真题及答案理工数学二试题详解及评析一、填空题（1）设y=某+e某2'，则y|某=0=.23【答】1.3某223某1【详解】y=某+e1+e2，21'所以y|=.某=03（2）∫(某d某=.【答】2.【详解】∫(某d某=∫11(某+22'1某2d某11)=∫2+∫d某=0+2=2(3)微分方程y+2y+5y=0的通解为.【答】y=e某''(C1co2某+C2in2某).2【详解】特征方程λ+2λ+5=0的解为λ=1±2i，所以通解为y=e 某(C1co2某+C2in2某)31inln1+=.某某（4）lim某inln1+某→∞【答】2.【详解】方法一：令=t,则由洛必达法则知某原式＝liminln(1+3t)inln(1+t)t→0t=lim31t→0coln(1+3t)1+3tcoln(1+t)1+t=lim31t→01+3t1+t=2方法二：直接利用三角函数和差化积公式.原式＝1+3ln1+ln1+113lim某→∞2某in+某2co某2ln+2=lim某1某→∞2某in+12=lim某→∞2某in某+1 =2（5）由曲线y=某+1某,某=2及y=2所围图形的面积S=【答】ln212.【详解】S=∫2某+11某2d某=122某+ln某2某2|11=ln22二、选择题（1）设当某→0时，e某(a某2+b某+1)是比某2高阶的无穷小，则（A）a=2,b=1.（B）a=1,b=1（C）a=12,b=1（D）a=1,b=1【答】应选（A）【详解】方法一：由于某→0时，e某=1+某+1某2+o(某22)】【则由lim某→0e(a某+b某+1)某22某→0某=0=lim(1b)某+a某2+o(某2)22某必有1b=0,解得a=方法二：因lim某→0a=02,b=1.2e某2a某b,=lim某→02某e某(a某2+b某+1)某2某→0某→0又lim2某=0,lime2a某b=1b必有b=1,从而(某)e某2a某be某2a原式＝lim=lim=12a=0,某→0某→02某2所以a=1.22（2）设函数f(某)在区间(δ,δ)内有定义，若当某∈(δ,δ)时，恒有f(某)≤某，则某=0必是f(某)（A）间断点.（B）连续而不可导的点(C)可导的点，且f'(0)=0（D）可导的点，f'(0)≠0【】【答】应选（C）.【详解】由定义lim某→0f(某)f(0)f(某)f(某)=lim=lim2某=0，某→0某→0某某某由题设必有f(0)=0因此f'(0)=0（3）设f(某)处处可导，则（A）当limf(某)=∞,必有limf某→∞'(某)=∞,（B）当limf某→∞'f(某)=∞,(某)=∞,，必有某lim→∞'某→+∞（C）当limf(某)=+∞,必有limf某→+∞(某)=+∞,（D）当limf某→+∞'f(某)=+∞,(某)=+∞,，必有某lim→+∞【】【答】应选（D）.【详解】方法一：利用举反例排除不正确选项.令f(某)=某,则limf'、（C）均不正确.(某)=±∞,但f'(某)=1，可见（A）因而只有（D）是正确选项.方法二：若limf某→+∞'(某)=+∞,则存在M>0及某0>0，当某>某0时，f'(某)>M于是当某>某0时，有f(某)f(某0)=f从而有'(ξ)(某某0)>M(某某0)f(某)>f(某0)+M(某某0)→+∞(某→+∞)（4）在区间(∞,+∞)内，方程某+某co某=0（A）无实根.（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个实根（D）有无穷多个实根【】【答】应选（C）【详解】令f(某)=某+某co某,由于f(某)=f(某)，故f(某)为偶函数，因此只需考虑f(某)=0在(0,+∞)内的实根情况.当某≥0时，f(某)=某+某co某,4121412141213114f(某)=某+某2+in某42'可见，当某∈0,ππ'时，在f某>0,f某()()0,内单调增加，且f(0)=1，f22π>1，2因此f(某)=0在0,当某≥π上有唯一实根；2π2时，f(某)>0，故在(0,+∞)上f(某)仅存在唯一实根根据f(某)关于y轴对称的性质，f(某)=0在(∞,+∞)上有且仅有两个实根.（5）设f(某),g(某)在区间[a,b]上连续，且g(某)<f(某)<m,（m 为常数），由曲线y=g(某),y=f(某),某=a及某=b所围成平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体积为（A）（B）（C）（D）∫∫∫babπ2mf(某)+g(某)f(某)g(某)d某,π2mf(某)g(某)f(某)g(某)d某,πmf(某)+g(某)f(某)g(某)d某,πmf(某)g(某)f(某)g(某)d某,【】abab∫a【答】应选（B）【详解】因为dV=πmg(某)()22π(mf(某))d某V=∫πmg(某)d某∫aπmf(某)d某a=∫π2mf(某)g(某)f(某)g(某)d 某a所以正确选项应为（B）三、计算bb2b2∫ln0.【详解】方法一：原式＝∫ln2e=+∫ln2ln2某0=+lne某+2=+ln22((|ln20方法二：令e某=int,则d某=cotdt,intπππcot1dt=π2dtπ2intdtint6int6π原式＝π62=ln(cct+cott)π6=ln2+22(方法三：原式＝=t,则t21=+=1dt2201t1t=（2）求+ln2+2(d某∫1+in某【详解】方法一：原式＝1in某1某tan=+C∫co2tco某某d某=∫原式＝∫22某某某co+in1+tanec2某d1+tan22=2∫=+C2某某1+tan1tan+22方法二：某=tf(u2)du∫d2y0(3)设，其中f(u)具有二阶导数，且f(u)≠0，求2.22d某y=f(t)【详阶】因为d某=f(t2)dtdy=4tf(t2)f'(t2),dt所以dydy==4tf'(t2),d某dtdyddy1==2d某dtd某dt(4)求函数f(某)=2'22''2+fttft42()()ft21某在某=0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.1+某【详解】f(某)在在某=0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式为：f(某)=f(0)+f'(0)某+1''1n1n+1f(0)某2+"+f()(0)某n+f()(θ某)某n+1n!2!n+1!其中0<θ<1.可见，关键是求出f(某)在在某=0点的k阶导数f(k)(0),k=0,1,2,",n+1由于f(某)=21,1+某(1)2k!k=1,2,",n+1kf()(某)=)k+1((1+某)所以f(某)=12某+2某+"+(1)2某+(1)2nnn+12某n+1(1+θ某)n+2(0<θ<1)（5）求微分方程y+y=某的通解.【详解】对应的齐次方程的特征方程为：λ+λ=0解得λ=0,λ=1故齐次方程的通解为y=C1+C2e设非齐次方程的特解为：某a某+b某+c,代入原方程，得a=某''22(2),b=1,c=2,3因此，原方程得通解为y=某3某2+2某+C1+C2e某3（6）设有一正椭圆柱体，其底面得长、短分别为2a,2b,用过此柱体底面得短轴与底面成α角π<<0α，求此楔形体的体积V.的平面截此柱体，得一楔形体（如图）2【详解】方法一：底面椭圆的方程为：某2y2+=1,以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，其一直角边为a2b2令一直角边长为α,故截面面积为a2y2S(y)=12tanα2b楔形体积为V=2∫方法二：ba2y22a2btanα12tanαdy=2b3某2y2底面椭圆的方程为2+2=1,以垂直于某轴平行平面截此楔形体所得的截面为矩形，ab其一边长为2y=2令一边长为某tanα，故截面面积S(某)=2α楔形体的体积V=∫a2a2b2αd某=tanα3四、计算不定积分【详解】方法一：arctan某∫某21+某2arctan某arctan某arctan某=∫某21+某2∫某2∫1+某2==arctan某112+∫某arctan()某某1+某22arctan某111212 +∫2d某某arctan()某2某1+某22arctan某11某22(arctan某)+ln=+C某221+某2方法二：令某=tant,则原式＝2cctt1)dt=(∫=2arctan某)+C=12某2,某<13五、设函数f(某)=某,1≤某≤212某16,某>2（1）写出f(某)的反函数g(某)的表达式；（2）g(某)是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点.【详解】（1）由题设，f(某)的反函数为某<1g(某)=1≤某≤8某+16,某>812（2）由于函数f(某)在(∞,+∞)内单调增加且连续，故反函数g(某)在在(∞,+∞)内单调增加且连续，没有间断点.由于f'(0)=0，且f(0)=0，故某=0是g(某)的不可导点，f(1)=1和f(2)=8是g(某)的两个可能的不可导点，由于f'(10)=4,f'(1+0)=3,所以某=1是f(某)的不可导点，因此g(某)在f(1)=1处不可导；又f2(1+0)=f'(20)=12,故f(某)在某=2处可导，因此g(某)在某=f(2)=8处可导.六、设函数y=y(某)由方程2y2y+2某y某=1所确定，试求y=y(某)的驻点，并判别322它是否为极值点.【详解】对原方程两边求导，得3y2y'2yy'+某y'+y某=0,令y=0，得y=某，代入原方程，有2某某1=0从而解得唯一的驻点某=1.在（某）式两边对某求导得3y2y+某y+2(3y1)y+2y1=0,2'''2'32()因此y''|(1,1)=>02故驻点某=1是y=y(某)的极小点.七、设f(某)在区间[a,b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0,f存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b)，使f【详解】方法一（用反证法）若不存在ξ∈(a,b)，使f'(a)f'(b)>0，证明：(ξ)=0及f''(η)=0.(ξ)=0，则在区间(a,b)内恒有f(某)>0或f(某)<0，不妨设f(某)>0（对f(某)<0，类似可证），则f(某)f(b)f(b)=lim=lim某→b某→b某bf(某)f(a)f'(a)=lim+=lim+某→a某→a某a'f(某)≤0,某bf(某)≥0某a从而f'(a)f'(b)≤0，这与已知条件矛盾，即在(a,b)内至少存在一点ξ,使f(ξ)=0(ξ)=f(b)及罗尔定理，知存在η1∈(a,ξ)和η2∈(ξ,b)，使再由f(a)=ff'(η1)=f'(η2)=0.'又在区间[η1,η2]上，对f方法二：不妨设f'(某)应用罗尔定理，知存在η∈(η1,η2)(a,b)，使f''(η)=0.，即(a)>0,f'(b)>0（对f'(a)<0,f'(b)<0时类似可证）lim+某→af(某)f(某)>0,lim>0,某→b某b某a由极限的保号性，存在某1∈(a,a+δ1)和某2∈(bδ2,b)使得f(某1)>0及f(某2)<0，其中δ1,δ2为充分小的正数，显然某1<某2在区间[某1,某2]上应用介值定理知，存在ξ∈(某1,某2)(a,b)使f以下证明类似方法一.八、设f(某)为连续函数，'y+ay=f(某)的解f(某)，其中a是正常数；（1）求初值问题=0y|某=0ka某（2）若f(某)≤k（k为常数），证明：当某≥0时，有y(某)≤(1e).a(ξ)=0【详解】（1）原方程的通解为y(某)=ea某f(某)ea某d某+C=ea某F(某)+C,∫其中F(某)是f(某)e的任一原函数a某由y(0)=0,得C=F(0)故y(某)=ea某a某atF某F0=eftedt,()()()∫0at某或者在原方程的两端同乘以e，得y'ea某+ayea某=f(某)ea某从而ye所以ye(a某')=f(某)e某0a某a某=∫f(t)eatdt,a某或y(某)=e（2）∫f(t)e某atdt,f(某)≤ea某∫f(t)eatdt≤kea某∫eatdt 某某ka某a某e(e1)ak=(1ea某)(某≥0)a≤。
考研数学二真题29套：1989年至2018年
六、(本题满分 7 分) 证明方程ln x
x 1 cos 2xdx 在区间(0, ) 内有且仅有两个不同实根. e 0
含 29 套考研数学二历年真题：1985 年至 2018 年 全国考研数学二真题 真题目录（29 套）
1、1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2、1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 3、1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 4、1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 5、1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 6、1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 7、1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 8、1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 9、1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 10、1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 11、1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 12、2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 13、2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 14、2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 15、2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 16、2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 17、2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 18、2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 19、2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 20、2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 21、2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 22、2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 23、2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 24、2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 25、2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 26、2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 27、2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 28、2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 29、2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
历年考研数学二历年真题
sin x x
x→0
(I)求 a 的值;
(II)若 x → 0 时， f ( x) − a 与 xk 是同阶无穷小，求常数 k 的值.
(16)(本题满分 10 分)
( ) − x2+y2
求函数 f x, y = xe 2 的极值.
(17)(本题满分 12 分) 过 (0,1) 点作曲线 L : y = lnx 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 AB 围成,求区域 D 的面
(C)
0
1
0
0 0 2
2 0 0
(D)
0
2
0
0 0 1
二、填空题：9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
(9)
设
y
=
y(x)
是由方程
x2
−
y
+ 1 =ey
所确定的隐函数，则
d2y dx2
x=0 =
.
(10)
lim
n→∞
n
1
1 + n2
+
22
x→0 2
10.微分方程 y′ + y = e−x cos x满足条件y(0) = 0的解y = ____________
∫ 11.曲线 y = x tan tdt(0 ≤ x ≤ π ) 的弧长 s=____________
0
4
{ λ f ( x) = , > 0 12.设函数
λ− , x>0
0,x≤0
2
2
而成。
（1）求容器的容积。
（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为 gm / s2 ；水
1996年全国Ⅱ高考数学试题(文)
1996年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）文科数学参考公式：三角函数的积化和差公式：[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--正棱台、圆台的侧面积公式1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题：本大题共15小题，第1－10题第小题4分，第11－15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7I =，集合{}1,3,5,7A =，{}3,5B =，则A ．I AB =B ．I A B =C ．I A B =D ．I A B =2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与logy x =的图像是3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是A ．322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭B ．522,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭C ．22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭44等于A ．1B ．1-C ．1D ．1-5．6名同学排成一排，其中甲、乙两必须排在一起的不同排法有A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种6．已知α是第三象限角，24sin 25α=-，则tan 2α＝ A ．43B ．34 C ．34- D ．43-7．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：l βγ= ，l ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必有A ．a γ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且m ∥βC ．m ∥β且l m ⊥D ．α∥β且αγ⊥8．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =的A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－18．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2π B ．2π-C ．22πα- D ．22πα--9．中心在原点，准线方程为4x =±，离心率为12的椭圆方程是 A ．22143x y += B ．22134x y += C ．2214x y += D ．2214y x += 10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，该圆锥的体积A B ．881π C D ．1081π11．椭圆222515091890x x y y -+++=的两个焦点坐标是A ．(3,5)-，(3,3)--B ．(3,3)，(3,5)-C ．(1,1)，(7,1)-D ．(7,1)-，(1,1)--12．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．36aB ．312aCD13．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．26014．设双曲线22221(0)x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(,0)a ，(0,)b 两点，已知原点到直线l，则双曲线的离心率为 A ．2BCD15．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-第Ⅱ卷（非选择题共85分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．16．已知点(2,3)-与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p ＝ ．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）．18．tan 20tan 4020tan 40+的值是 ． 19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．ABDCF EA 1AC BB 1C 1E F20．（本小题满分11分）解不等式log (1)1a x a +->．21．（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若3692S S S +=，求数列的公比q ． 22．（本小题满分11分）已知△ABC 的三个内角A、B 、C 满足：2A C B +=，11cos cos cos A C B+=-，求cos 2A C -的值． 23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（1）证明的全过程，并解答（2）．】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB a ==，E ，F 分别是1BB ，1CC 上的点，且BE a =，2CF a =．（1）求证：面AEF ⊥面ACF ； （2）求三棱锥1A AEF -的体积．（1）证明：在截面1A EC 内，过E 作1EG AC ⊥，G 是垂足．①∵BE a =，2CF a =，BE ∥CF ，延长FE 与CB 延长线交于D ，连结AD ．∴△DBE ∽△DCF ∴DB BEDE CF= ② ∴DB AB =．③ ∴DA AC ⊥④ ∴FA AD ⊥⑤ ∴面AEF ⊥面ACF ．24．（本小题满分12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？A 1AC BB 1C 1E FD（粮食单产＝总产量耕地面积，人均粮食占有量＝总产量总人口数25．（本小题满分12分）已知1l 、2l 是过点(P 的两条互相垂直的直线，且1l 、2l 与双曲线221y x -=各有两个交点，分别为1A 、1B 和2A 、2B ． （1）求1l 的斜率1k 的取值范围；（2）若1A 恰 是双曲线的一个顶点，求22||A B 的值．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．答指出了每题要考查主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答较错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加数． 四．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D (4)B (5)C (6)D (7)A (8)D (9)A (10)C (11)B (12)D (13)C (14)A (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)4 (17)32 (18)3 (19)42 三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分． 解：（Ⅰ）当a >1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.1,01a a x a x 解得 x >2a －1． (Ⅱ)当0<a <1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧<-+>-+.101a a x a x 解得 a －1<x <2a －1综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >2a －1};当0<a <1时，不等式的解集为{x |a －1<x <2a －1}．(21)本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．解：若q =1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1．但a 1≠0，即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，q ≠1．又依题意S 3＋S 6=2S 9可得qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131整理得q 3(2q 6－q 3－1)=0． 由q ≠0得方程 2q 6－q 3－1=0．(2q 3＋1)(q 3－1)=0， ∵ q ≠1，q 3－1≠0，∴ 2q 3＋1=0∴ q =－243(22)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分． 解法一：由题设条件知B =60º，A ＋C =120º．∵ －︒60cos 2=－22∴ C A cos 1cos 1+=－22 将上式化为 cos A ＋cos C =－22 cos A cos C利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos2C A +cos 2CA -=－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)] 将cos 2)(C A +=cos60º=21，cos(A +C )= 21代入上式得cos 2)(C A -=22－2cos(A －C)cos(A －C)=2cos 22)(C A -－1代入上式并整理得42cos 22)(C A -＋2cos 2)(C A -－32=0，(2cos2C A -－2)(22cos 2CA -＋3)=0． ∵ 22cos 2C A -＋3≠0，∴ 2cos 2C A -－2=0，∴ cos 2C A -=22．解法二：由题设条件知 B=60º，A ＋C =120º．设α=2C A - 则2C A -=2α，可得A=60º＋α，C=60º－α 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1o o αα-++=+C A =ααsin 23cos 211-＋ααsin 23cos 211+=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-αα依题得B cos 243cos cos 2-=-α，∵ cos B =21，∴ 2243cos cos 2-=-αα． 整理得42cos 2α＋2cos α－32=0， (2cos α－2)(22cos α＋3)=0，∵ 22cos α＋3≠0，∴ 2cos α－2=0从而得cos 222=-C A ． (23)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．满分12分．(Ⅰ)②∵BE :CF =1:2 ∴ DC =2BD ，∴ DB =BC ，③∵△ABD 是等腰三角形，且∠ABD =120º，∴∠BAD =30º，∴∠CAD =90º， ④∵FC ⊥面ACD ， ∴CA 是F A 在面ACD 上射影，且CA ⊥AD ， ⑤∵F A ∩AC =A ，DA ⊥面ACF ，DA ⊂面ADF ⑥∴面ADF ⊥面ACF ． (Ⅱ)解： ∵ F AA E AEF A V V 11--=．在面A 1B 1C 1内作B 1G ⊥A 1C 1，垂足为G ．B 1G=23a 面A 1B 1C 1⊥面A 1 C ∵ B 1G ⊥面A 1 C ，∵ E ∈B B 1，而B B 1∥面A 1 C ，∴ 三棱柱E －AA 1F 的高为23a F AA S 1∆=AA 1·2AC =232a ∴43311a V V F AA E AEF A ==-- (24)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公项，又设该地区现有人口为p 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式()()()()%10110%111010%2214104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯PM P xM化简得x ≤103×[1－22.1)01.01(1.110+⨯]．∵ ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯-⨯22.101.011.1110103=103×[1－22.11.1×(1＋110C ×0.01＋210C ×0.012＋…)] ≈103×[1－22.11.1×1.1045]≈4.1 9分∴ x ≤4(公顷)答：按规则该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．(25)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：依题设：l 1、l 2都存在，因为l 1过点P ()02，-且与双曲线有两个交点，故方程组 y =k 1(x ＋2)(k 1≠0)，y 2－x 2=1 ①有两个不同的解，在方程组①中消去y ，整理得(21k －1)x 2＋2221k x ＋221k －1=0 ② 若(21k －1)=0，则方程①只有一个解，则l 1与以曲线只有一个交点，与题设矛盾． 故(21k －1) ≠0，即|k 1|≠1．方程②的判别式为 △ 1=(2221k )2－4(21k －1)(221k －1)=4(321k －1)设l 2的斜率k 2，因为l 2过点P ()02，-且与双曲线有两个交点，故方程组 y =k 2(x ＋2)(k 2≠0)，y 2－x 2=1 ③有两个不同的解，在方程组③中消去y ，整理得(22k －1)x 2＋2222k x ＋222k －1=0 ④ 同理有(22k －1) ≠0，△2=4(322k －1) 又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1 于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于 321k －1>0， 322k －1>0， k 1·k 2=－1， |k 1|≠1． 解得3||331<<k ， |k 1| ≠1．∴ k 1∈(－3，－1) ∪(－1，－33)∪(33，1)∪(1，3) (Ⅱ)双曲线y 2－x 2=1的顶点(0，1)、(0，－1)．取A 1(0，1)时，有 k 1(0＋2)=1，解得k 1=22．从而k 2=11k -=－2． 将k 2=－2代入方程④得 x 2＋42x ＋3=0 ⑤记l 2与双曲线的两交点为A 2(x 1，y 1)、B 2(x 2，y 2)，则|A2B2|2=(x1－x2)2+(y1－y2)2=3(x1－x2)2=3[(x1＋x2)2－4x1x2]．由⑤知x1＋x2=－42x1x2=3∴| A2 B2|2=60，| A2 B2|=215当取A1(0，－1)时，由双曲线y2－x2=1关于x轴的对称性，知| A2 B2|=215所以l1过双曲线的一个顶点时，|A2 B2|=215。
1996年考研数学试题详解及评分参考
+
2
¶2z ¶u¶v
+
¶2z ¶v2
,
¶2z ¶x¶y
=
-2
¶2z ¶u 2
+
(a
-
2)
¶2z ¶u¶v
+
a
¶2z ¶v2
,
¶2z ¶y 2
=
4
¶2z ¶u 2
-
4a
¶2z ¶u¶v
+
a2
¶2z ¶v2
.
……4 分
将上述结果代入原方程，经整理后得 (10 + 5a)
¶2z ¶u¶v
+
(6 +
a
-
a2)
【答】 应选 (D) .
【解】 根据拉普拉斯展开定理，得
原式=
a2 b3
b2 a3
(-1)2+3+2+3 ×
a1 b4
b1 a4
= (a2a3 - b2b3 )(a1a4 - b1b4 ) ，故选 (D) .
三、（本题共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分）
(1) 求心形线 r = a (1 + cosq ) 的全长,其中 a > 0 .
S
Dyz
Dyz
Dxy
= -4òò òò z - y2 dydz + (x2 + y2)dxdy
Dyz
Dxy
……2 分
1996 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1996 年数学试题详解及评分参考
òò ò ò ò ò 其中 Dyz
z - y2dydz = 1 dy 1 -1 y2
a1 0 0 b1 (5) 四阶行列式 0 a2 b2 0 的值等于
1996考研数学真题+答案
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设2lim()8xx x a x a→∞+=-，则a = ln2 .(2) 设一平面经过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，则此平面方程为2x +2y –3z = 0 ．(3) 微分方程''2'2xy y y e -+=的通解为)1sin cos (21++=x c x c e y x(4) 函数)ln(2２ ＋ｚy x u +=)在A (1，0，1)处沿点A 指向点B (3，-2，2)方向的方向导数为12.(5) 设A 是4 ⨯3矩阵，且A 的秩r(A)=2,而B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-301020201，则r(AB) = 2 .二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 已知2)()(y x ydydx ay x +++ 为某函数的全微分，则a 等于 (D)(A) –1. (B) 0 . (C) 1 . (D) 2.(2) 设()x f 有二阶连续导数, 且(0)0f '=,0()lim 1x f x x→''=,则 (B)(A) )0(f 是()x f 的极大值 (B) )0(f 是()x f 的极小值(C) (0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D) )0(f 不是()x f 的极值, (0,(0))f 也不是曲线y =()x f 的拐点.(3) 设0n a >(1,2,)n = ，且∑∞=1n n a 收敛,常数(0,)2πλ∈,则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑ (A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 （C ） 发散 (D) 敛散性与λ有关.(4) 设()x f 有连续的导数，(0)0f =，)0('f ≠0，F ()x =,)()(202dt t f t x x-⎰且当0→x 时，)('x F 与k x 同阶无穷小，则k 等于 (C)(A) 1. （B ）2. (C) 3. (D) 4.(5) 四阶行列式 4433221100000000a b a b b a b a 的值等于 (D)(A) 4321a a a a -4321b b b b (B) 4321a a a a +4321b b b b (C)（2121b b a a -）（4343b b a a -） (D) （3232b b a a -）（4141b b a a -） 三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分) (1) 求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长,其中0>a .解：()sin r a θθ'=-，……2分22()ds r r d θ'=+22(1cos )(sin )2|cos |2a d a d θθθθθ=++-=……3分 利用对称性，所求心形线的全长0022cos 8sin822s a d a a ππθθθ===⎰. ……5分(2) 设101=x ,n n x x +=+61(n=1,2,…)，试证数列{}n x 极限存在，并求此极限.证：由110x =及216164x x =+==，知12x x >.假设对某正整数k 有1k k x x +>，则有11266k k k k x x x x +++=+>+=，故由归纳法知，对一切正整数n ，都有1n n x x +>.即{}n x 为单调减少数列. ……3分又由16n n x x +=+，显见0(1,2,)n x n >= ，即{}n x 有下界. 根据极限存在准则，知lim n n x →∞存在.……4分令lim n n x a →∞=，对16n n x x +=+两边取极限，得6a a =+从而260a a --=.因此32a a ==-或.因为0(1,2,)n x n >= ,所以0a ≥.舍去2a =-，故极限值3a =. ……5分四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)(1) 计算曲面积分⎰⎰++Szdxdy dydz z x ）（2,其中S 为有向曲面22y x z +=，(10≤≤z )，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.解一： 以1S 表示法向量指向z 轴负向的有向平面221(1)z x y =+≤，D 为1S 在XOY平面上的投影区域，则1(2)()S Dx z dxdy zdxdy dxdy π++=-=-⎰⎰⎰⎰.……2分记Ω表示由S 和1S 所围的空间区域，则由高斯公式知1(2)(21)S S x z dxdy zdxdy dv +Ω++=-+⎰⎰⎰⎰⎰212421113000336()6242r r r d rdr dz r r dr ππθππ⎡⎤=-=--=--=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. ……5分 因此13(2)()22S x z dxdy zdxdy πππ++=---=-⎰⎰. ……6分解二： 以,yz xy D D 表示S 在,YOZ XOY 平面平面上的投影区域，则(2)Sx z dxdy zdxdy ++⎰⎰2222(2)()(2)()yzyzxyD D D z y z dydz z y z dydz x y dxdy =--+--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2224()yzxyD D z y dydz x y dxdy =--++⎰⎰⎰⎰……2分其中3111222214(1)3yzyD z y dydz dy z y dz y dy--=-=-⎰⎰⎰4204431sin cos 334224y t tdt πππ==⋅⋅⋅=⎰；21222()2xyD x y dxdy d r rdr ππθ+=⋅=⎰⎰⎰⎰，……5分所以1(2) 4.222S x z dxdy zdxdy πππ++=-+=-⎰⎰. ……6分(2) 设变换⎩⎨⎧+=-=ay x v y x u 2 可把方程0622222=∂∂-∂∂∂+∂∂y z y x z x x 简化为02=∂∂∂v u z，求常数a .解：,2z z z z z z a x u v y u v∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂.……1分 22222222z z z z x u u v v ∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂,2222222(-2)zz z z a a x yu u v v ∂∂∂∂=-++∂∂∂∂∂∂, 2222222244z z z z a a y u u v v ∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂. ……4分将上述结果代入原方程，经整理后得2222(105)(6)0z z a a a u v v∂∂+++-=∂∂∂. 依题意知a 应满足260,1050a a a +-=+≠且，解之得3a =.……6分五、(本题满分7分) 求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和.解：设22()(||1)1nn x S x x n ∞==<-∑，……1分则2111()()211n n S x x n n ∞==--+∑，其中122111111n n n n n n x x x x x n n n ∞∞∞-=====--∑∑∑. 23111(0)1n nn n x x x n x n ∞∞===≠+∑∑.……3分设11()n n g x x n∞==∑，则11111()(||1)1n n n n g x x x x n x ∞∞-=='⎛⎫'===< ⎪-⎝⎭∑∑. 于是00()()(0)()ln(1)(||1)1x x dtg x g x g g t dt x x t'=-===--<-⎰⎰.从而21()[ln(1)][ln(1)]222x x S x x x x x =-------221ln(1)(||10)42x x x x x x+-=+-<≠且.……5分 因此221153ln 2(1)2284nn s n ∞=⎛⎫==- ⎪-⎝⎭∑. ……7分六、(本题满分7分)设对任意0>x ,曲线)(x f y =上点))(,(x f x 处的切线在y 轴上的截距等于⎰xdt t f x0)(1,求)(x f 的一般表达式. 解：曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线方程为()()()Y f x f x X x '-=-. ……1分 令0X =，得截距()()Y f x xf x '=-.……3分由题意，知01()()()xf t dt f x xf x x '=-⎰. 即0()[()()]x f t dt x f x xf x '=-⎰.上式对x 求导，化简得()()0xf x f x ''+=， ……5分即('())0d xf x dx=，积分得1'()x f x C =. 因此12()ln f x C x C =+（其中12,C C 为任意常数）.……7分七、(本题满分8分)设)(x f 在[]1,0上具有二阶导数，且满足条件a x f ≤)(，b x f ≤)(''，其中b a ,都是非负常数，c 是()0,1内的任意一点.证明22)('b a c f +≤.证：2()()()()()(),(*)2!f x c f x f c f c x c ξ''-'=+-+其中(),01c x c ξθθ=+-<<. ……2分在(＊)式中令0x =，则有211()(0)(0)()()(0),01;2!f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<<在(＊)式中令1x =，则有222()(1)(1)()()(1),01;2!f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<<上述两式相减得22211(1)(0)()()(1)()2!f f f c f c f c ξξ'''''⎡⎤-=+--⎣⎦. ……5分 于是22211|()|(1)(0)()(1)()2!f c f f f c f c ξξ'''''⎡⎤=----⎣⎦ 222111(1)|(0)||()|(1)|()|2!2!f f f c f c ξξ''''≤++-+22[(1)]2ba a c c ≤++-+. ……7分又因22(0,1),(1)1c c c ∈-+≤，故|()|22bf c a '≤+. ……8分八、(本题满分6分)设T A I ξξ=-,其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明： (1) A A =2的充要条件是1=ξξT ；(2) 当1=ξξT 时,A 是不可逆矩阵. 证：(1) 2()()2T T T T T A I I I ξξξξξξξξξξ=--=-+(2)(2)T T T T I I ξξξξξξξξ=--=--.A A =2即(2)T T T I I ξξξξξξ--=-，亦即()T T I ξξξξ-=O ，因为ξ是非零列向量，0T ξξ≠，故A A =2的充要条件是10T ξξ-=，即1T ξξ=.……3分 (2) 用反证法：当1T ξξ=时A A =2.若A 可逆，则有121A A A A --=，从而A I =.这与T A I I ξξ=-≠矛盾，故A 是不可逆矩阵.……6分九、(本题满分8分)已知二次型32312132132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2. (1) 求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程123(,)4f x x x =表示何种二次曲面.解：(1) 此二次型对应矩阵为A =51315333c -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭， ……1分因()2r A =，故513||153033A c-=--=-，解得3c =.容易验证此时A 的秩的确是2. ……3分这时，||(4)(9)I A λλλλ-=--，故所求特征值为0,4,9λλλ===.……6分 (2) 由上述特征值可知，123(,,)1f x x x =表示椭圆柱面. ……8分十、填空题 (本题共2小题，每小题3分，满分6分)(1) 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A 生产的概率是37.(2) 设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2))2N 的随机变量，则随机变量||ξη- 的数学期望(||)E ξη-＝2π.十一、(本题满分6分)设,ξη是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知ξ的分布律为1(),1,2,33P i i ξ===. 又设max{,},min{,}X Y ξηξη==.(1) 写出二维随机变量(,)X Y 发分布律；(2) 求随机变量X 的数学期望.解：(1)Y X1 2 3 11 / 9 0 02 2 / 9 1 / 9 032 / 92 / 91 / 9……4分(2) 13522()1239999E X =⋅+⋅+⋅=……6分 注：写对分布律中的1个数得1分，2～4个得2分，5～7个得3分，8～9个得4分.数 学（试卷二）一、填空题【 同数学一 第一题 】 二、选择题【 同数学一 第二题 】三、(本题共2小题，每小题5分，满分10分) (1) 计算积分dxdy y x D⎰⎰+22，其中D=(){}x y x x y y x 2,0,22≤+≤≤ .解：原式2cos 40d r rdr πθθ=⋅⎰⎰3408cos 3d πθθ=⎰……3分 42340088110(1sin )sin sin sin 23339d ππθθθθ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰……5分(2) 【 同数学一 第三、（1）题 】 (3) 【 同数学一 第三、（2）题 】四 ~ 七、【 同数学一 第四 ~ 七题 】 八、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)(1) 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++000543321521x x x x x x x x x 的基础解系.解：110011100111100001010011100010⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……3分解得基础解系为12(1,0,1,0,1),(1,1,0,0,0)ξξ=--=-. ……6分(2) 【 同数学一 第八题 】九、(本题满分8分)【 同数学一 第九题 】数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设322)(x e x y -+=, 则==|'x y 1/3.(2)=-+⎰-1122)1(dx x x 2 .(3) 052=+'+''y y y 的通解为)2sin 2cos (21x c x c e y x +=-. (4) =+-+∞→)]11ln(sin )31ln([sin lim xx x x 2 .(5) 由曲线1y x x =+,2x =及2y =所围图形的面积S =1ln 22-. 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设当0→x 时，)1(2++-bx ax e x 是比2x 高阶的无穷小，则 （A ）(A) 121==b a ， (B) 11==b a ， (C) 121=-=b a ， (D) 11=-=b a ，. (2) 设函数()f x 在区间),(δδ-内有定义，若当),(δδ-∈x 时，恒有2()f x x ≤，则0x = 必是()f x 的 （C ）(A) 间断点(B) 连续而不可导的点 (C) 可导的点，且(0)0f '=.(D) 可导的点，且(0)0f '≠(3) 设()f x 处处可导，则 （D ）(A) 当lim ()x f x →-∞=-∞时，必有lim ()x f x →-∞'=-∞．(B) 当lim ()x f x →-∞'=-∞时，必有lim ()x f x →-∞=-∞．(C) 当lim ()x f x →+∞=+∞时，必有lim ()x f x →+∞'=+∞．(D) 当lim ()x f x →+∞'=+∞时，必有lim ()x f x →+∞=+∞．(4) 在区间),(∞-∞内，方程 0cos 2141=-+x x x（C ）(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根 (C) 有且仅有二个实根 (D) 有无穷多个实根 (5) 设()()f x g x 、在区间[,]a b 上连续，且()()g x f x m <<（m 为常数），则曲线()y g x =，()y f x =，x a =及x b =所围成图形绕直线y m =旋转而成的旋转体体积为 （B ）(A)⎰-+-badx x g x f x g x f m .)]()()][()(2[π(B)⎰---ba dx x g x f x g x f m .)]()()][()(2[π (C)⎰-+-b adx x g x f x g x f m .)]()()][()([π (D)⎰---badx x g x f x g x f m .)]()()][()([π三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分) (1) 计算⎰--2ln 021dx e x解一：原式2ln 2ln 22220111x x xxee dx ee e --=-=--+-⎰⎰……3分 ln 22033ln(1)ln(23)x x e e --=-=++.……5分解二：令sin xet -=，则cos sin tdx dt t-=， 原式2222666cos 1sin sin sin t dt dt tdt t t ππππππ==-⎰⎰⎰……3分 2633ln(csc cot )ln(23)t t ππ=-+=+-. ……5分(2) 求⎰+x dxsin 1解一：原式21sin cos x dx x-=⎛⎜⎠ ……2分 1tan cos x C x=-+.……5分解二：原式222sec 2(cos sin )(1tan )222x dxdx x x x ==++⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎠⎠ ……3分2(1tan )222(1tan )1tan 22x d C x x+-==+++⎛⎜⎜⎜⎠.……5分(3) 设2022()[()]tx f u duy f t ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰,其中()f u 具有二阶导数，且()0f u ≠，求22d y dx .解：222(),4()(),dx dy f t tf t f t dt dt'==所以22224()()4()()dydy tf t f t dt tf t dx dx f t dt''===. ……2分 22222214[()2()]()d y d dy f t t f t dx dx dt dx f t dt '''+⎛⎫== ⎪⎝⎭. ……5分 (4) 求函数()f x =xx+-11在0x =点处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒展开式.解：2()11f x x=-+，()1(1)2!()(1,2,,1)(1)k k k k f x k n x +-⋅==++ . ……3分 所以12122()122(1)2(1)(1)n n n n n x f x x x x ξ+++=-+++-+-+ (ξ在0与x 之间).……5分 (5) 求微分方程2'''x y y =+的通解.解一：对应的齐次方程的特征方程为20λλ+=，解之得0,1λλ==-，故齐次方程的通解为12xy C C e -=+.……2分设非齐次方程的特解为2()x ax bx C ++，代入原方程得1,1,23a b c ==-=. 因此，原方程的通解为3212123x y x x x C C e -=-+++. ……5分 解二：令p y '=，代入原方程得2p p x '+=，……2分故()()220022xxxxx x p ex e dx C e x exe e C --=+=-++⎰.再积分得到20(22)xy x x c e dx -=-++⎰3212123x x x x C C e -=-+++. ……5分 解三：原方程为2()y y x ''+=，两边积分得3013y y x C '+=+. ……3分30213x x y e x C e dx C -⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎜⎠()320213663x x x x x x e x e x e xe e C e C -⎡⎤=-+-++⎢⎥⎣⎦3212123x x x x C C e -=-+++. ……5分 (6) 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为22a b 、，用过此柱体底面的短轴且与底面成α解（20πα<<）的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积V.解一：底面椭圆的方程为22221x y a +=，以垂直于y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，其一直角边长为221y a b -，另一直角边长为221y a bα-，故截面面积222()1tan 2a y S y b α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，……3分 楔形体的体积为22220221tan tan 23ba y a bV dy b αα⎛⎫=-=⎪⎝⎭⎰. ……5分解二：底面椭圆的方程为22221x y +=，以垂直于x 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为矩形，其一边长为22221x y b a=-tan x α，故截面面积22()21x S x bx aα=-，……3分楔形体的体积为32222222002221tan 1tan 33ab x a x a b V dx b a a ααα⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰. ……5分 四、(本题满分8分) 计算不定积分⎰+.)1(22dx x x arctgx解一：原式22arctan arctan 1x x dx dx x x =-+⎛⎛⎜⎜⎠⎠……2分 22arctan 1(arctan )(1)2x dx x x x x =-+-+⎛⎜⎠ ……4分 2222arctan 1111()(arctan )212x d x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠ ……6分 222arctan 11(arctan )ln 221x x x C x x=--+++. ……8分解二：令tan x t =，则原式2(csc 1)t t dt -⎰=……2分 2cos 1cot sin 2t t t dt t t =-+-⎰……4分21cot ln |sin |2t t t t C =-+-+……6分 22arctan 1(arctan )21x x C x x =-+++.……8分五、(本题满分8分)设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<-=.2,1612,21,,1,21)(32x x x x x x x f(1) 写出()f x 的反函数()g x 的表达式；(2) 问()g x 是否有间断点与不可导点，若有，指出这些点.解：(1) 由题设，()f x 的反函数为3112()1816812x x g x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩. ……4分(2) ()g x 在(,)-∞+∞内处处连续，没有间断点.……5分 ()g x 的不可导点是01x x ==-及.……8分 （注：多写一个不可导点8x =扣1分）六、(本题满分8分)设函数()y y x =由方程1222223=-+-x xy y y 所确定. 试求()y y x =的驻点，并判 别它们是否为极值点.解：对原方程两边求导可得2320()y y yy xy y x '''-++-=*……2分令0y '=，得y x =.将此代入原方程有32210x x --=.从而解得唯一的驻点1x =. ……5分()*式两边求导，得22(32)2(31)210y y x y y y y ''''-++-+-=.因此(1,1)1|02y ''=>，故驻点1x =是()y y x =的极小值点. ……8分七、(本题满分8分)设()f x 在区间[,]a b 上具有二阶导数，且()()0f a f b ==，'()'()0.f a f b >证明存在(,)a b ξ∈和),(b a ∈η，使()0f ξ=及0)(''=ηf .证一：先用反证法证明存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. 若不存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=，则在区间(,)a b 内恒有()0f x >或()0f x <. 不妨设()0f x >（对()0f x <，类似可证），则()()()()lim lim 0x b x b f x f b f x f b x b x b--→→-'==≤--， ……3分 ()()()()lim lim 0x a x a f x f a f x f a x ax a ++→→-'==≥--.从而()()0f a f b ''≤，这与已知条件矛盾. 这即证得存在(,)a b ξ∈,使得()0f ξ=. ……5分再由()()()f a f f b ξ==及罗尔定理，知存在12(,)(,)a b ηξηξ∈∈和，使得12()()0f f ηη''==. 又在区间12[,]ηη上对()f x '应用罗尔定理知，存在12(,)(,)a b ηηη∈⊂，使()0f η''=.……8分证二：不妨设()0,()0f a f b ''>>（对()0,()0f a f b ''<<类似可证），即()lim 0x a f x x b +→>-，()lim 0x b f x x b-→>-. 故存在11(,)x a a δ∈+和22(,)x b b δ∈-，使1()0f x >及2()0f x <，其中12,δδ为充分小的正数. 显然12x x <，在区间12[,]x x 上应用介值定理知，存在一点12(,)(,)x x a b ξ∈⊂，使得()0f ξ=. ……5分 以下同证一. 八、(本题满分8分) 设()f x 为连续函数.(1) 求初值问题0'()0|x y ay f x y -+=⎧⎪⎨=⎪⎩的解()y y x =，其中a 是正常数； (2) 若()f x k ≤(k 为常数)，证明：当0≥x 时，有()(1).ax k y x e a-≤-证一：(1) 原方程的通解为()[()][()]axax ax y x ef x e dx C e F x C --=+=+⎰， ……2分其中()F x 是()axf x e 的任一原函数.由(0)0y =得(0)C F =-，故()[()(0)]()xax ax at y x e F x F e f t e dt --=-=⎰.……4分 (2) 0()()xaxat y x ef t e dt -≤⎰……6分 0xaxat kee dt -≤⎰(1)(1),0ax ax ax k k e e e x a a--≤-=-≥. ……8分证二：在原方程的两端同乘以ax e ，得()ax ax ax y e aye f x e '+=.从而()()ax axye f x e '=，……2分 所以0()xaxat yef t e dt =⎰或0()xaxat y ef t e dt -=⎰.……4分（2）同证一数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设方程yy x =确定y 是x 的函数，则dy =(1ln )dxx y +.(2) 设⎰+=c x dx x xf arcsin )(，则=⎰)(x f dx 231(1)3x C -. (3) 设（00,y x ）是抛物线c bx ax y ++=2上的一点，若在该点的切线过原点，则系数,,a b c应满足的关系是200(),c a ax c b ≥=或任意.(4) 设 123222212311111231111n n n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠= ，则线性方程组B X A T=的解是(1,0,,0)T X =(5) 设由来自正态总体X ～)9.0,(2μN 容量为9的简单随机样本，得样本均值5=X ，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是 ( 4.412 , 5.588 ) 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 累次积分dr r r r f d ⎰⎰20cos 0)sin ,cos (πθθθθ可以写成 (D)(A) dx y x f dy y y ⎰⎰-102),(. (B)dx y x f dy y ⎰⎰-1102),(. (C)dy y x f dx ⎰⎰101),(. (D)dy y x f dx x x ⎰⎰-12),(.(2) 下述各选项正确的是 (A)(A) 若21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛，则21()nn n uv ∞=+∑收敛(B) 若1n nn u v∞=∑收敛，则21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛(C) 若级数1n n u ∞=∑发散，则1n u n≥ (D) 若级数1nn u∞=∑收敛，且n n u v ≥(1,2,)n = ，则级数1nn v∞=∑也收敛(3) 设n 阶矩阵A 非奇异),2(≥n A *是矩阵A 的伴随矩阵，则 (C)(A) (A *)*=A A n 1- (B) (A *)*=A A n 1+(C) (A *)*=A An 2-(D) (A *)*=A An 2+(4) 设有任意两个n 维向量组12,,,m ααα 和12,,,m βββ ，若存在两组不全为零的12,,,mλλλ 和12,,,m k k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-= ,则 (D)(A) 12,,,m ααα 和 12,,,m βββ 都线性相关 (B) 12,,,m ααα 和 12,,,m βββ 都线性无关 (C) 11221122,,,,,,,m m m m αβαβαβαβαβαβ+++--- 线性无关 (D)11221122,,,,,,,m m m m αβαβαβαβαβαβ+++--- 线性相关(5) 已知0<P (B )<1,且P )()(])[(2121B A P B A P B A A +=+,则下列选项成立的是 (B)(A) )()(])[(2121B A P B A P B A A P +=+ (B) )()()(2121B A P B A P B A B A P +=+ (C) 1212()()()P A A P A B P A B +=+ (D) )()()()()(2211A B P A P A B P A P B P += 三、(本题满分6分)设()f x =()00,0xg x e x x x -⎧-≠⎪⎪⎨⎪⎪=⎩若若，其中()g x 有二阶连续导数，且(0)1g =, (0)1g '=-. (1) 求()f x '； (2) 讨论()f x '-∞+∞在（，）上的连续性.解：(1) 当0x ≠时，有22[()]()()()(1)()x x xx g x e g x e xg x g x x e f x x x---''+-+-++'==. ……1分 当0x =时,有20()(0)lim xx g x e f x-→-'= ……2分 00()()(0)1lim lim 222x x x x g x e g x e g x --→→'''''+--===. ……3分所以2()()(1)0()(0)102x xg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩若若.……4分(2) 因为在0x =处，有0lim ()x f x →'00()()()(1)()lim lim22x x xx x g x xg x g x e x e g x e x ---→→''''''+-+-+-== (0)1(0)2g f ''-'==.……5分 从而()f x '在0x ≠处连续，所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.……6分四、(本题满分6分)设函数()z f u =，方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰确定u 是x 、y 的函数，其中()f u 、()u ϕ可微；(),()p t u ϕ' 连续，且()1u ϕ'≠. 求 ()()z zp y p x x y∂∂+∂∂. 解：由()z f u =可得();();z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂ ……1分在方程()()x yu u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数，得()()u uu p x x x ϕ∂∂'=+∂∂, ……2分 ()()u uu p y y yϕ∂∂'=-∂∂. ……3分 所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-； ……5分 于是()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u φφ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦. ……6分五、(本题满分6分) 计算2(1)xx xe dx e -+∞-+⎰. 解一： 2200(1)(1)x x x x xe xe dx dx e e +∞+∞--=++⎛⎛⎜⎜⎠⎠011xxd e +∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠ ……1分00111xxx dx e e ∞+∞=-+++⎛⎜⎠ ……2分 011x dx e+∞=+⎛⎜⎠. ……3分令x e t =，则1dx dt t=.于是2101(1)(1)x x xe dx dt e t t +∞+∞--=++⎛⎛⎜⎜⎠⎠ ……4分 1111ln 11t dt t t t +∞+∞⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭⎛⎜⎠ ……5分 ln 2=.……6分解二：21(1)1x x xxe dx xd e e ---⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎛⎛⎜⎜⎠⎠111x xx dx ee --=-++⎛⎜⎠ 11x x x x e dx e e-=-++⎛⎜⎠ln(1)1x x xxe e C e =-+++. ……3分 所以20lim ln(1)ln 2(1)1x x x x x x xe xe dx e e e +∞--→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎛⎜⎠. ……4分其中lim ln(1)lim ln(1)11x x x x xxx x xe xe e x x e e e →+∞→+∞⎡⎤⎡⎤-+=-+-+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ lim ln 00011x x x x x e e e →+∞⎡⎤=-+=+=⎢⎥++⎣⎦ ……5分 因此20ln 2ln 2(1)x x xe dx e +∞--=+=+⎛⎜⎠. ……6分六、(本题满分5分)设)(x f 在区间[0,1]上可微，且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰，求证：存在ξ)1,0(∈，使0)()(='+ξξξf f .证：设()()F x xf x =. 由积分中值定理，可见存在1(0,)2η∈.使112201()()()2xf x dx F x dx F η==⎰⎰. ……2分由已知条件，有1201(1)2()2()()2f xf x dx F F ηη==⋅=⎰.……3分 由于(1)(1)()F f F η==，……4分并且()F x 在[,1]η上连续，在(,1)η上可导.故由罗尔定理知：存在(,1)(0,1)ξη∈⊂，使得()0F ξ'=，即()()0f f ξξξ'+=.……5分七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时，售出的商品数量Q 可以表示成c bp aQ -+=，其中,,a b c 均为正数，且a bc >.(1) 求p 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；(2) 要使销售额最大，商品单价p 应取何值？最大销售额是多少？ 解：(1) 设售出商品的销售额为R ，则a R PQ P c a b ⎛⎫==-⎪+⎝⎭，令22()0()ab c P b R p b -+'==+. 得00ab bp b a bc c c ==>. ……2分 当0bp a bc c <<时，有0R '>.所以随p 的增加，相应的销售额也增加. ……4分当bp a bc c>时，有0R '<.所以随p 的增加，相应的销售额将减少.……5分 (2) 由(1)知，当bp a bc c=时，销售额R 取得最大值，最大销售额为2max (/)()/R ab c b c a bc ab c==. ……6分八、(本题满分6分)求微分方程x y x y dx dy 22+-=的通解. 解：令y z x =，则dy dzz x dx dx=+. ……1分 当0x >时，原方程化为21dz z x z z dx +=+21dx x z =-+， ……3分 其通解为221ln(1)ln 1C z z x C z z x+=-++或＝,……5分代回原变量，得通解22(0)y x y C x +>＝.……6分当0x <时，原方程的解与0x >时相同.九、(本题满分8分)设矩阵A= 010010000010012y ⎫⎛⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭(1) 已知A 的一个特征值为3，试求y ； (2) 求矩阵P ，使(AP)T(AP)为对角矩阵.解：(1) 因为22||(1)[(2)21]0I A y y λλλλ-=--++-=. 当3λ=时，代入上式解得2y =.……3分于是0100100000210012A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (2) 由T A A =，得2()()T T AP AP P A P =.而矩阵21000010000540045A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ……4分 考虑二次型22222222212343412344495585()55T X A X x x x x x x x x x x x =++++=++++， ……6分 令1122334444,,,5y x y x y x x y x ===+=，即11223344100001000014/50001x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 取10000100400150001P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎭-⎪⎪⎝，则有100001000050()(900)05TAP AP ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.……8分(2) 另解：2A 的特征值为11λ=（三重），29λ=.……5分对应于11λ=的特征向量为123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1),T T T ααα===-经正交标准化后，得向量组123(1,0,0,0),(0,1,0,0),)22T T Tβββ===；……6分 对应于29λ=的特征向量为4(0,0,1,1)T α=,经单位化后,得422Tβ=. ……7分令()123410000100,,,00220022P ββββ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎝，则210000100001000()()09T T P A P AP AP ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.……8分十、(本题满分8分)设向量12,,,t ααα 是齐次线性方程组AX = 0的一个基础解系，向量β不是方程组 AX= 0的解，即A β≠0. 试证明向量组β，β+1α，β+2α，…，β+t α线性无关. 解：设有一组数12,,,,t k k k k ，使得1()0tiii k k ββα=++=∑，……1分 即11()()t tiiii i k k k βα==+=-∑∑ （1）……2分上式两边同时左乘矩阵A ，有11()()0t tiiii i k k A k A βα==+=-=∑∑.因为0A β≠，故10tii k k=+=∑ （2）……4分从而，由（1）式得1()0tiii k α=-=∑.由于向量组1,.......,t αα是基础解系，所以120t k k k ==== .……6分 因而由（2）式得0k =.因此向量组β，β+1α，……，β+t α线性无关.……8分十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获得利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生二次故障多获得利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少？解：以X 表示一周五天内机器发生故障的天数，则X 服从参数为(5,0.2)的二项分布.即55{}0.20.8(0,1,2,3,4,5)kk kP X k C k -==⋅⋅=……2分 于是5{0}0.80.328P X ===, 145{1}0.20.80.410P X C ==⋅⋅=;……3分2235{2}0.20.80.205P X C ==⋅⋅=;{3}1{0}{1}{2}0.057P X P x P x P x ≥=-=-=-==. ……4分以Y 表示所获利润，则()Y f X ==10,05,10,22,3X X X X =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪≥⎩若若若－若，……5分所以100.32850.41000.20520.057 5.216EY =⨯+⨯+⨯-⨯=（万元）.……7分十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程x 2+ Bx + C = 0，其中B,C 分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的 点数.求方程有实根的概率p 和有重根的概率q .解：一枚色子（骰子）掷两次，其基本事件总数为36. 方程组有实根的充分必要条件是224,4B BC C ≥≤. ……2分B1 2 3 4 5 6 使2/4C B ≤的基本事件个数 0 1 2 4 6 6 使2/4C B =的基本事件个数11……4分因此，使方程组有实根的基本事件个数为1246619++++=.于是1936p =. ……5分 同理，使方程组有重根的基本事件个数为112+=，于是213618q ==. ……6分十三 (本题满分6分)设12,,,n X X X 独立且与X 同分布，k k EX α=(1,2,3,4)k =.求证：当n 充分大时，∑==n i i n X n z 121近似服从正态分布，并求出其分布参数. 解：依题意，12,,,n X X X 独立同分布，于是22212,,,n X X X 也独立同分布.由(1,2,3,4)k k EX k α==，有……1分 22i EX α=，2422242()i i i DX EX EX αα=-=-； ……2分 2211nn i i EZ EX n α===∑，……3分 22422111()n n i i DZ DX n nαα===-∑……4分根据中心极限定理2242()/n n U n αα=-即当n 充分大时，n Z 近似服从参数为2422(,)a a a n-的正态分布.……6分数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第一、(2) 题 】 (3) 设)1ln(2x x y ++=，则3x y '''=532(4) 五阶行列式aa a a a a a a a---------11110001100011000123451a a a a a =-+-+-.(5) 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+,以X 表示3个零件中合格品的个数，则P (X=2)=1124. 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 设0)()(00=''='x f x f ,0)(0>'''x f , 则下列选项正确的是 (D)(A) )(0x f '是)(x f '的极大值 (B) )(0x f 是)(x f 的极大值(C) )(0x f 是)(x f 的极小值 (D) ))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点 (2) 【 同数学三 第二、(3) 题 】 (3) 【 同数学四 第二、(3) 题 】 (4) 【 同数学四 第二、(4) 题 】(5) 设A ，B 为任意两个事件，且A ⊂B , P (B )>0，则下列选项必然成立的是 (B)(A) ()()P A P A B < (B) ()()P A P A B ≤ (C) ()()P A P A B > (D) ()()P A P A B ≥ 三、(本题满分6分)【 同数学四 第三题 】 四、(本题满分7分) 设2(,)xyt f x y e dt -=⎰，求222222yfx y y x f x f y x ∂∂+∂∂∂-∂∂解：22x y fye x-∂=∂， ……2分 22x y f xey-∂=∂，222322x y f xy e x -∂=-∂， ……4分 222322x y f x ye y -∂=-∂，22222(12)x y f x y ex y-∂=-∂∂. ……6分 于是222222222x y x f f y f ey x x y x y -∂∂∂-+=-∂∂∂∂. ……7分五、(本题满分6分)【 同数学四 第五题 】六、(本题满分7分)【 同数学四 第七题 分值不同 】 七、(本题满分9分)已知一抛物线通过x 轴上的两点A ( 1, 0 )，B ( 3, 0 ).(1) 求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x 轴与该抛物线所围图形的面积； (2) 计算上述两个平面图形绕x 轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比. 解：(1) 设过,A B 两点的抛物线方程为(1)(3)y a x x =--， 则抛物线与两坐标轴所围图形的面积为110|(1)(3)|S a x x dx =--⎰……1分1204||(43)||3a x x dx a =-+=⎰. ……2分 抛物线与x 轴所围图形的面积为321|(1)(3)|S a x x dx =--⎰……3分 3214||(43)||3a x x dx a =-+=⎰.……4分所以12S S =.(2) 抛物线与两坐标轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为12210[(1)(3)]V a x x dx π=--⎰……5分124320[(1)4(1)4(1)]a x x x dxπ=---+-⎰5324120(1)4(1)38[(1)].5315x x a x a ππ--=--+=……6分抛物线与x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为32221[(1)(3)]V a x x dx π=--⎰353241(1)4(1)(1)53x x a x π⎡⎤--=--+⎢⎥⎣⎦ ……7分216.15a π=……8分 所以12198V V =.……9分八、(本题满分5分)设)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()()ba f x dx fb b a=-⎰ 求证：在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使 )(ξf ' = 0.证：因为()f x 在[,]a b 上连续，由积分中值定理可知，在(,)a b 内存在一点c ，使得()()()baf x dx f c b a =-⎰. ……2分 即()()()baf x dxf c f b b a==-⎰.……3分因为()f x 在[,]c b 上连续，在(,)c b 内可导，故由罗尔定理，在(,)c b 内至少存在一点出ξ，使得()0f ξ'=，其中(,)(,)c b a b ξ∈⊂.……5分九、(本题满分9分)已知线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+t= x - 6x - x - x -1=7x +px + x 2+3x -1= 4x + 6x - x + 2x 0= x 3+2x -x x 4321432143214321，讨论参数p, t 取何值时，方程组有解? 无 解? 当有解时, 试用其导出组的基础解系表示通解.解：方程组系数矩阵A 的增广矩阵为11230104112164101221327100800116100002A p p t t ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭……3分(1) 当2t ≠-时，()()A A ≠秩秩，方程组无解. ……4分 (2) 当2t =-时，()()A A =秩秩，方程组有解.……5分(a) 若8p =-,得通解1212141122(,010001x c c c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为任意常数）.……7分(b) 若8p ≠-得通解1112(0001x c c --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为任意常数）.……9分十、(本题满分7分)设有4阶方阵A 满足条件30I A +=，I A A T2=，0A <，其中I 是4阶单位阵，求方阵A 的伴随阵*A 的一个特征值.解：由3|(3)|0I A A I +=--=，得A 的一个特征值3λ=-. ……1分 又4|||2|2||16T AA I I ===，2||||||16T A A A ==.于是||4A =-.……3分由于||0A <，知A 可逆.设A 的对应于特征值3λ=-的特征向量为α，则3A αα=-，由此得11(3)A A A αα--=-.即113A αα-=-，知13-是1A -的特征值. ……5分 由于*114||(4)()33A A A αααα-==--=，所以*A 有特征值43.……7分十一、(本题满分7分)【 同数学四 第十一题 】 十二、(本题满分6分)某电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为λ> 0的指数分布.当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布.解：以(1,2,3)i X i =表示第i 个电气元件无故障工作的时间，则123,,X X X 相互独立且同分布，其分布函数为1,0()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩若，若，……1分设()G t 是T 的分布函数.当0t ≤时，()0G t =.当0t >时，有(){}1{}G t P T t P T t =≤=->……3分 1231{,,}P X t X t X t =->>>……4分 1231{}{}{}P X t P X t P X t =->⋅>⋅> ……5分 31[1()]F t =-- ……6分 31t e λ-=-.……7分总之，31,0()00t e t G t t λ-⎧->=⎨≤⎩若，若，于是T 服从参数为3λ的指数分布.。
2009-1987年考研数学二真题及答案
历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）（１９８７－２００９）考研数学命题研究组㊀编世纪高教编辑部１９８７年全国硕士研究生招生考试试题ʌ编者注ɔ１９８７年到１９９６年的数学试卷Ⅲ为现在的数学二．（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋ａｘ），其中ａ为非零常数，则ｙᶄ＝，ｙᵡ＝．（２）曲线ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ在横坐标为１的点处的切线方程是；法线方程是．（３）积分中值定理的条件是，结论是．（４）ｌｉｍｎңɕｎ－２ｎ＋１()ｎ＝．（５）ʏｆᶄ（ｘ）ｄｘ＝，ʏｂａｆᶄ（２ｘ）ｄｘ＝．二㊁（本题满分６分）求极限ｌｉｍｘң０１ｘ－１ｅｘ－１()．三㊁（本题满分７分）设ｘ＝５（ｔ－ｓｉｎｔ），ｙ＝５（１－ｃｏｓｔ），{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．四㊁（本题满分８分）计算定积分ʏ１０ｘａｒｃｓｉｎｘｄｘ．五㊁（本题满分８分）设Ｄ是由曲线ｙ＝ｓｉｎｘ＋１与三条直线ｘ＝０，ｘ＝π，ｙ＝０围成的曲边梯形，求Ｄ绕Ｏｘ轴旋转一周所生成的旋转体的体积．六㊁证明题（本题满分１０分）（１）若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，且导数ｆᶄ（ｘ）恒大于零，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调增加．（２）若ｇ（ｘ）在ｘ＝ｃ处二阶导数存在，且ｇᶄ（ｃ）＝０，ｇᵡ（ｃ）＜０，则ｇ（ｃ）为ｇ（ｘ）的一个极大值．七㊁（本题满分１０分）计算不定积分ʏｄｘａ２ｓｉｎ２ｘ＋ｂ２ｃｏｓ２ｘ，其中ａ，ｂ是不全为０的非负常数．１１９８７年真题八㊁（本题满分１０分）（１）求微分方程ｘｄｙｄｘ＝ｘ－ｙ满足条件ｙｘ＝２＝０的特解．（２）求微分方程ｙᵡ＋２ｙᶄ＋ｙ＝ｘｅｘ的通解．九㊁选择题（本题共４小题，每小题４分，满分１６分）（１）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘｅｃｏｓｘ（－ɕ＜ｘ＜＋ɕ）是（㊀㊀）（Ａ）有界函数．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）单调函数．（Ｃ）周期函数．（Ｄ）偶函数．（２）函数ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ（㊀㊀）（Ａ）当ｘңɕ时为无穷大．（Ｂ）在（－ɕ，＋ɕ）内有界．（Ｃ）在（－ɕ，＋ɕ）内无界．（Ｄ）当ｘңɕ时有有限极限．（３）设ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导，则ｌｉｍｘң０ｆ（ａ＋ｘ）－ｆ（ａ－ｘ）ｘ等于（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（ａ）．（Ｂ）２ｆᶄ（ａ）．（Ｃ）０．（Ｄ）ｆᶄ（２ａ）．（４）设Ｉ＝ｔʏｓｔ０ｆ（ｔｘ）ｄｘ，其中ｆ（ｘ）连续，ｓ＞０，ｔ＞０，则Ｉ的值（㊀㊀）（Ａ）依赖于ｓ，ｔ．（Ｂ）依赖于ｓ，ｔ，ｘ．（Ｃ）依赖于ｔ，ｘ，不依赖于ｓ．（Ｄ）依赖于ｓ，不依赖于ｔ．十㊁（本题满分１０分）在第一象限内求曲线ｙ＝－ｘ２＋１上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积．２历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９８８年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）设ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ａ，ｘɤ０，ｅｘ（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），ｘ＞０{在（－ɕ，＋ɕ）内连续，则ａ＝．（２）设ｆ（ｔ）＝ｌｉｍｘңɕｔ１＋１ｘ()２ｔｘ，则ｆᶄ（ｔ）＝．（３）设ｆ（ｘ）连续，且ʏｘ３－１０ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘ，则ｆ（７）＝．（４）ｌｉｍｘң０＋１ｘæèçöø÷ｔａｎｘ＝．（５）ʏ４０ｅｘｄｘ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）ｆ（ｘ）＝１３ｘ３＋１２ｘ２＋６ｘ＋１的图形在点（０，１）处的切线与ｘ轴交点的坐标是（㊀㊀）（Ａ）－１６，０()．（Ｂ）（－１，０）．（Ｃ）１６，０()．（Ｄ）（１，０）．（２）若ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上皆可导，且ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ），则必有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（－ｘ）＞ｇ（－ｘ）．（Ｂ）ｆᶄ（ｘ）＜ｇᶄ（ｘ）．（Ｃ）ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＜ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）．（Ｄ）ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＜ʏｘ０ｇ（ｔ）ｄｔ．（３）若函数ｙ＝ｆ（ｘ），有ｆᶄ（ｘ０）＝１２，则当Δｘң０时，该函数在ｘ＝ｘ０处的微分ｄｙ是（㊀㊀）（Ａ）与Δｘ等价的无穷小．（Ｂ）与Δｘ同阶的无穷小．（Ｃ）比Δｘ低阶的无穷小．（Ｄ）比Δｘ高阶的无穷小．（４）由曲线ｙ＝ｓｉｎ３２ｘ（０ɤｘɤπ）与ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转而成的旋转体的体积为（㊀㊀）（Ａ）４３．（Ｂ）４３π．（Ｃ）２３π２．（Ｄ）２３π．（５）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）是微分方程ｙᵡ－２ｙᶄ＋４ｙ＝０的一个解，且ｆ（ｘ０）＞０，ｆᶄ（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在点ｘ０处（㊀㊀）（Ａ）有极大值．（Ｂ）有极小值．（Ｃ）某邻域内单调增加．（Ｄ）某邻域内单调减少．３１９８８年真题三㊁（本题共３小题，每小题５分，满分１５分）（１）已知ｆ（ｘ）＝ｅｘ２，ｆ［φ（ｘ）］＝１－ｘ且φ（ｘ）ȡ０，求φ（ｘ）并写出它的定义域．（２）已知ｙ＝１＋ｘｅｘｙ，求ｙᶄｘ＝０，ｙᵡｘ＝０．（３）求微分方程ｙᶄ＋１ｘｙ＝１ｘ（ｘ２＋１）的通解（一般解）．四㊁（本题满分１２分）作函数ｙ＝６ｘ２－２ｘ＋４的图形，并填写下表．单调增加区间单调减少区间极值点极值凹（ɣ）区间凸（ɘ）区间拐点渐近线五㊁（本题满分８分）将长为ａ的一段铁丝截成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六㊁（本题满分１０分）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）满足微分方程ｙᵡ－３ｙᶄ＋２ｙ＝２ｅｘ，且其图形在点（０，１）处的切线与曲线ｙ＝ｘ２－ｘ＋１在该点处的切线重合，求函数ｙ＝ｙ（ｘ）．七㊁（本题满分７分）设ｘȡ－１，求ʏｘ－１（１－ｔ）ｄｔ．八㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上有连续导数，且ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ．（１）求ｌｉｍａң０＋１４ａ２ʏａ－ａ［ｆ（ｔ＋ａ）－ｆ（ｔ－ａ）］ｄｔ；（２）证明：１２ａʏａ－ａｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ（ｘ）ɤＭ－ｍ（ａ＞０）．４历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９８９年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共７小题，每小题３分，满分２１分）（１）ｌｉｍｘң０ｘｃｏｔ２ｘ＝．（２）ʏπ０ｔｓｉｎｔｄｔ＝．（３）曲线ｙ＝ʏｘ０（ｔ－１）（ｔ－２）ｄｔ在点（０，０）处的切线方程是．（４）设ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２） （ｘ＋ｎ），则ｆᶄ（０）＝．（５）设ｆ（ｘ）是连续函数，且ｆ（ｘ）＝ｘ＋２ʏ１０ｆ（ｔ）ｄｔ，则ｆ（ｘ）＝．（６）设ｆ（ｘ）＝ａ＋ｂｘ２，ｘɤ０，ｓｉｎｂｘｘ，ｘ＞０{在ｘ＝０处连续，则常数ａ与ｂ应满足的关系是．（７）设ｔａｎｙ＝ｘ＋ｙ，则ｄｙ＝．二㊁（本题共５小题，每小题４分，满分２０分）（１）已知ｙ＝ａｒｃｓｉｎｅ－ｘ，求ｙᶄ．（２）求ʏｄｘｘｌｎ２ｘ．（３）求ｌｉｍｘң０（２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）１ｘ．（４）已知ｘ＝ｌｎ（１＋ｔ２），ｙ＝ａｒｃｔａｎｔ，{求ｄｙｄｘ，ｄ２ｙｄｘ２．（５）已知ｆ（２）＝１２，ｆᶄ（２）＝０及ʏ２０ｆ（ｘ）ｄｘ＝１，求ʏ１０ｘ２ｆᵡ（２ｘ）ｄｘ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀三㊁选择题（本题共６小题，每小题３分，满分１８分）（１）当ｘ＞０时，曲线ｙ＝ｘｓｉｎ１ｘ（㊀㊀）（Ａ）有且仅有水平渐近线．（Ｂ）有且仅有铅直渐近线．（Ｃ）既有水平渐近线，也有铅直渐近线．（Ｄ）既无水平渐近线，也无铅直渐近线．（２）若３ａ２－５ｂ＜０，则方程ｘ５＋２ａｘ３＋３ｂｘ＋４ｃ＝０（㊀㊀）（Ａ）无实根．（Ｂ）有唯一实根．（Ｃ）有三个不同实根．（Ｄ）有五个不同实根．（３）曲线ｙ＝ｃｏｓｘ(－π２ɤｘɤπ２)与ｘ轴所围成的图形，绕ｘ轴旋转一周所成的旋转体的体积为（㊀㊀）（Ａ）π２．（Ｂ）π．（Ｃ）π２２．（Ｄ）π２．５１９８９年真题（４）设两函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都在ｘ＝ａ处取得极大值，则函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）在ｘ＝ａ处（㊀㊀）（Ａ）必取极大值．（Ｂ）必取极小值．（Ｃ）不可能取极值．（Ｄ）是否取极值不能确定．（５）微分方程ｙᵡ－ｙ＝ｅｘ＋１的一个特解应具有形式（式中ａ，ｂ为常数）（㊀㊀）（Ａ）ａｅｘ＋ｂ．（Ｂ）ａｘｅｘ＋ｂ．（Ｃ）ａｅｘ＋ｂｘ．（Ｄ）ａｘｅｘ＋ｂｘ．（６）设ｆ（ｘ）在点ｘ＝ａ的某个邻域内有定义，则ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处可导的一个充分条件是（㊀㊀）（Ａ）ｌｉｍｈң＋ɕｈ［ｆ（ａ＋１ｈ）－ｆ（ａ）］存在．（Ｂ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ＋２ｈ）－ｆ（ａ＋ｈ）ｈ存在．（Ｃ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ＋ｈ）－ｆ（ａ－ｈ）２ｈ存在．（Ｄ）ｌｉｍｈң０ｆ（ａ）－ｆ（ａ－ｈ）ｈ存在．四㊁（本题满分６分）求微分方程ｘｙᶄ＋（１－ｘ）ｙ＝ｅ２ｘ（０＜ｘ＜＋ɕ）满足ｙ（１）＝０的特解．五㊁（本题满分７分）设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－ʏｘ０（ｘ－ｔ）ｆ（ｔ）ｄｔ，其中ｆ为连续函数，求ｆ（ｘ）．六㊁（本题满分７分）证明方程ｌｎｘ＝ｘｅ－ʏπ０１－ｃｏｓ２ｘｄｘ在区间（０，＋ɕ）内有且仅有两个不同实根．七㊁（本题满分１１分）对函数ｙ＝ｘ＋１ｘ２填写下表．单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线八㊁（本题满分１０分）设抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ过原点，当０ɤｘɤ１时，ｙȡ０．又已知该抛物线与ｘ轴及直线ｘ＝１所围图形的面积为１３．试确定ａ，ｂ，ｃ的值，使此图形绕ｘ轴旋转一周而成的旋转体的体积Ｖ最小．６历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９９０年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）曲线ｘ＝ｃｏｓ３ｔ，ｙ＝ｓｉｎ３ｔ{上对应于ｔ＝π６处的法线方程是．（２）设ｙ＝ｅｔａｎ１ｘｓｉｎ１ｘ，则ｙᶄ＝．（３）ʏ１０ｘ１－ｘｄｘ＝．（４）下列两个积分的大小关系是：ʏ－１－２ｅ－ｘ３ｄｘʏ－１－２ｅｘ３ｄｘ．（５）设函数ｆ（ｘ）＝１，ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１，{则函数ｆ［ｆ（ｘ）］＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）已知ｌｉｍｘңɕｘ２ｘ＋１－ａｘ－ｂ()＝０，其中ａ，ｂ是常数，则（）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝１．（Ｂ）ａ＝－１，ｂ＝１．（Ｃ）ａ＝１，ｂ＝－１．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１．（２）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上连续，则ｄʏｆ（ｘ）ｄｘ[]等于（）（Ａ）ｆ（ｘ）．（Ｂ）ｆ（ｘ）ｄｘ．（Ｃ）ｆ（ｘ）＋Ｃ．（Ｄ）ｆᶄ（ｘ）ｄｘ．（３）已知函数ｆ（ｘ）具有任意阶导数，且ｆᶄ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］２，则当ｎ为大于２的正整数时，ｆ（ｘ）的ｎ阶导数ｆ（ｎ）（ｘ）是（㊀）（Ａ）ｎ！［ｆ（ｘ）］ｎ＋１．（Ｂ）ｎ［ｆ（ｘ）］ｎ＋１．（Ｃ）［ｆ（ｘ）］２ｎ．（Ｄ）ｎ！［ｆ（ｘ）］２ｎ．（４）设ｆ（ｘ）是连续函数，且Ｆ（ｘ）＝ʏｅ－ｘｘｆ（ｔ）ｄｔ，则Ｆᶄ（ｘ）等于（㊀㊀）（Ａ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）．（Ｂ）－ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）．（Ｃ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）－ｆ（ｘ）．（Ｄ）ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）＋ｆ（ｘ）．（５）设Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｘ，ｘʂ０，ｆ（０），ｘ＝０，{其中ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，ｆᶄ（０）ʂ０，ｆ（０）＝０，则ｘ＝０是Ｆ（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）连续点．（Ｂ）第一类间断点．（Ｃ）第二类间断点．（Ｄ）连续点或间断点不能由此确定．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）已知ｌｉｍｘңɕｘ＋ａｘ－ａ()ｘ＝９，求常数ａ．（２）求由方程２ｙ－ｘ＝（ｘ－ｙ）ｌｎ（ｘ－ｙ）所确定的函数ｙ＝ｙ（ｘ）的微分ｄｙ．７１９９０年真题（３）求曲线ｙ＝１１＋ｘ２（ｘ＞０）的拐点．（４）计算ʏｌｎｘ（１－ｘ）２ｄｘ．（５）求微分方程ｘｌｎｘｄｙ＋（ｙ－ｌｎｘ）ｄｘ＝０满足条件ｙｘ＝ｅ＝１的特解．四㊁（本题满分９分）在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的第一象限部分上求一点Ｐ，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中ａ＞０，ｂ＞０）．五㊁（本题满分９分）证明：当ｘ＞０时，有不等式ａｒｃｔａｎｘ＋１ｘ＞π２．六㊁（本题满分９分）设ｆ（ｘ）＝ʏｘ１ｌｎｔ１＋ｔｄｔ，其中ｘ＞０，求ｆ（ｘ）＋ｆ１ｘ()．七㊁（本题满分９分）过点Ｐ（１，０）作抛物线ｙ＝ｘ－２的切线，该切线与上述抛物线及ｘ轴围成一平面图形．求此平面图形绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积．八㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋４ｙᶄ＋４ｙ＝ｅａｘ的通解，其中ａ为实数．８历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）１９９１年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｌｎ（１＋３－ｘ），则ｄｙ＝．（２）曲线ｙ＝ｅ－ｘ２的凸区间是．（３）ʏ＋ɕ１ｌｎｘｘ２ｄｘ＝．（４）质点以速度ｔｓｉｎ（ｔ２）米／秒作直线运动，则从时刻ｔ１＝π２秒到ｔ２＝π秒内质点所经过的路程等于米．（５）ｌｉｍｘң０＋１－ｅ１ｘｘ＋ｅ１ｘ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）若曲线ｙ＝ｘ２＋ａｘ＋ｂ和２ｙ＝－１＋ｘｙ３在点（１，－１）处相切，其中ａ，ｂ是常数，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝０，ｂ＝－２．（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝－３．（Ｃ）ａ＝－３，ｂ＝１．（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝－１．（２）设函数ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀０ɤｘɤ１，２－ｘ，１＜ｘɤ２，{记Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ，０ɤｘɤ２，则（㊀㊀）（Ａ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，１３＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï㊀㊀（Ｂ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，－７６＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（Ｃ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀㊀㊀０ɤｘɤ１，ｘ３３＋２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（Ｄ）Ｆ（ｘ）＝ｘ３３，㊀㊀０ɤｘɤ１，２ｘ－ｘ２２，１＜ｘɤ２．ìîíïïïï（３）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）内有定义，ｘ０ʂ０是函数ｆ（ｘ）的极大值点，则（㊀㊀）（Ａ）ｘ０必是ｆ（ｘ）的驻点．（Ｂ）－ｘ０必是－ｆ（－ｘ）的极小值点．（Ｃ）－ｘ０必是－ｆ（ｘ）的极小值点．（Ｄ）对一切ｘ都有ｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ０）．（４）曲线ｙ＝１＋ｅ－ｘ２１－ｅ－ｘ２（㊀㊀）（Ａ）没有渐近线．（Ｂ）仅有水平渐近线．（Ｃ）仅有铅直渐近线．（Ｄ）既有水平渐近线又有铅直渐近线．（５）如图，ｘ轴上有一线密度为常数μ，长度为ｌ的细杆，若质量为ｍ的质点到杆右端的距离为ａ，已知引力系数为ｋ，则质点和细杆之间引力的大小为（㊀㊀）９１９９１年真题（Ａ）ʏ０－ｌｋｍμ（ａ－ｘ）２ｄｘ．０ｋｍμ（ａ－ｘ）２ｘ．（Ｃ）２ʏ０－ｌ２ｋｍμ（ａ＋ｘ）２ｄｘ．（Ｄ）２ʏｌ２０ｋｍμ（ａ＋ｘ）２ｄｘ．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）{求ｄ２ｙｄｘ２．（１）设ｘ＝ｔｃｏｓｔ，ｙ＝ｔｓｉｎｔ，（２）计算ʏ４１ｄｘｘ（１＋ｘ）．（３）求ｌｉｍｘң０ｘ－ｓｉｎｘｘ２（ｅｘ－１）．（４）求ʏｘｓｉｎ２ｘｄｘ．（５）求微分方程ｘｙᶄ＋ｙ＝ｘｅｘ满足ｙ（１）＝１的特解．四㊁（本题满分９分）利用导数证明：当ｘ＞１时，ｌｎ（１＋ｘ）ｌｎｘ＞ｘ１＋ｘ．五㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋ｙ＝ｘ＋ｃｏｓｘ的通解．六㊁（本题满分９分）曲线ｙ＝（ｘ－１）（ｘ－２）和ｘ轴围成一平面图形，求此平面图形绕ｙ轴旋转一周所成的旋转体的体积．七㊁（本题满分９分）如图，Ａ和Ｄ分别是曲线ｙ＝ｅｘ和ｙ＝ｅ－２ｘ上的点，ＡＢ和ＤＣ均垂直ｘ轴，且ＡＢʒＤＣ＝２ʒ１，ＡＢ＜１，求点Ｂ和Ｃ的横坐标，使梯形ＡＢＣＤ的面积最大．八㊁（本题满分９分）设函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上满足ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ－π）＋ｓｉｎｘ，且ｆ（ｘ）＝ｘ，ｘɪ［０，π）．计算ʏ３ππｆ（ｘ）ｄｘ．０１１９９２年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｘ＝ｆ（ｔ）－π，ｙ＝ｆ（ｅ３ｔ－１），{其中ｆ可导，且ｆᶄ（０）ʂ０，则ｄｙｄｘｔ＝０＝．（２）函数ｙ＝ｘ＋２ｃｏｓｘ在[０，π２]上的最大值为．（３）ｌｉｍｘң０１－１－ｘ２ｅｘ－ｃｏｓｘ＝．（４）ʏ＋ɕ１ｄｘｘ（ｘ２＋１）＝．（５）由曲线ｙ＝ｘｅｘ与直线ｙ＝ｅｘ所围成的图形的面积Ｓ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）当ｘң０时，ｘ－ｓｉｎｘ是ｘ２的（㊀㊀）（Ａ）低阶无穷小．（Ｂ）高阶无穷小．（Ｃ）等价无穷小．（Ｄ）同阶但非等价的无穷小．（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀㊀ｘɤ０，ｘ２＋ｘ，㊀ｘ＞０，{则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（－ｘ）＝－ｘ２，㊀㊀㊀ｘɤ０，－（ｘ２＋ｘ），㊀ｘ＞０．{（Ｂ）ｆ（－ｘ）＝－（ｘ２＋ｘ），㊀ｘ＜０，－ｘ２，㊀㊀㊀ｘȡ０．{（Ｃ）ｆ（－ｘ）＝ｘ２，㊀㊀ｘɤ０，ｘ２－ｘ，㊀ｘ＞０．{（Ｄ）ｆ（－ｘ）＝ｘ２－ｘ，㊀ｘ＜０，ｘ２，㊀㊀ｘȡ０．{（３）当ｘң１时，函数ｘ２－１ｘ－１ｅ１ｘ－１的极限（㊀㊀）（Ａ）等于２．（Ｂ）等于０．（Ｃ）为ɕ．（Ｄ）不存在但不为ɕ．（４）设ｆ（ｘ）连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘ２０ｆ（ｔ２）ｄｔ，则Ｆᶄ（ｘ）等于（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｂ）ｘ２ｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｃ）２ｘｆ（ｘ４）．㊀㊀㊀㊀（Ｄ）２ｘｆ（ｘ２）．（５）若ｆ（ｘ）的导函数是ｓｉｎｘ，则ｆ（ｘ）有一个原函数为（㊀㊀）（Ａ）１＋ｓｉｎｘ．（Ｂ）１－ｓｉｎｘ．（Ｃ）１＋ｃｏｓｘ．（Ｄ）１－ｃｏｓｘ．三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）求ｌｉｍｘңɕ３＋ｘ６＋ｘ()ｘ－１２．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｙ－ｘｅｙ＝１所确定，求ｄ２ｙｄｘ２ｘ＝０的值．１１（３）求ʏｘ３１＋ｘ２ｄｘ．（４）求ʏπ０１－ｓｉｎｘｄｘ．（５）求微分方程（ｙ－ｘ３）ｄｘ－２ｘｄｙ＝０的通解．四㊁（本题满分９分）{求ʏ３１ｆ（ｘ－２）ｄｘ．设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ２，㊀ｘɤ０，ｅ－ｘ，㊀㊀ｘ＞０，五㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ－３ｙᶄ＋２ｙ＝ｘｅｘ的通解．六㊁（本题满分９分）计算曲线ｙ＝ｌｎ（１－ｘ２）上相应于０ɤｘɤ１２的一段弧的长度．七㊁（本题满分９分）求曲线ｙ＝ｘ的一条切线ｌ，使该曲线与切线ｌ及直线ｘ＝０，ｘ＝２所围成的平面图形面积最小．八㊁（本题满分９分）已知ｆᵡ（ｘ）＜０，ｆ（０）＝０，证明对任何ｘ１＞０，ｘ２＞０，有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＜ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）．２１１９９３年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０＋ｘｌｎｘ＝．（２）函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）＋ｅｘ－ｘｙ２＝０所确定，则ｄｙｄｘ＝．（３）设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ１２－１ｔæèçöø÷ｄｔ（ｘ＞０），则函数Ｆ（ｘ）的单调减少区间是．（４）ʏｔａｎｘｃｏｓｘｄｘ＝．（５）已知曲线ｙ＝ｆ（ｘ）过点(０，－１２)，且其上任一点（ｘ，ｙ）处的切线斜率为ｘｌｎ（１＋ｘ２），则ｆ（ｘ）＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）当ｘң０时，变量１ｘ２ｓｉｎ１ｘ是（㊀㊀）（Ａ）无穷小．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）无穷大．（Ｃ）有界的，但不是无穷小．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）无界的，但不是无穷大．（２）设ｆ（ｘ）＝ｘ２－１ｘ－１，㊀ｘʂ１，２，㊀㊀㊀㊀ｘ＝１，{则在点ｘ＝１处函数ｆ（ｘ）（㊀㊀）（Ａ）不连续．（Ｂ）连续，但不可导．（Ｃ）可导，但导数不连续．（Ｄ）可导，且导数连续．（３）已知ｆ（ｘ）＝ｘ２，０ɤｘ＜１，１，１ɤｘɤ２，{设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ１ｆ（ｔ）ｄｔ（０ɤｘɤ２），则Ｆ（ｘ）为（㊀㊀）（Ａ）１３ｘ３，㊀０ɤｘ＜１，ｘ，㊀㊀１ɤｘɤ２．{（Ｂ）１３ｘ３－１３，０ɤｘ＜１，ｘ，㊀㊀㊀１ɤｘɤ２．{（Ｃ）１３ｘ３，０ɤｘ＜１，ｘ－１，１ɤｘɤ２．{（Ｄ）１３ｘ３－１３，０ɤｘ＜１，ｘ－１，㊀１ɤｘɤ２．{（４）设常数ｋ＞０，函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘｅ＋ｋ在（０，＋ɕ）内的零点个数为（㊀㊀）（Ａ）３．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）１．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）０．（５）若ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ），在（０，＋ɕ）内ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＞０，则ｆ（ｘ）在（－ɕ，０）内（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＜０．（Ｂ）ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＞０．（Ｃ）ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＜０．（Ｄ）ｆᶄ（ｘ）＞０，ｆᵡ（ｘ）＞０．３１三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）设ｙ＝ｓｉｎ［ｆ（ｘ２）］，其中ｆ具有二阶导数，求ｄ２ｙｄｘ２．（２）求ｌｉｍｘң－ɕｘ（ｘ２＋１００＋ｘ）．（３）求ʏπ４０ｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．（４）求ʏ＋ɕ０ｘ（１＋ｘ）３ｄｘ．（５）求微分方程（ｘ２－１）ｄｙ＋（２ｘｙ－ｃｏｓｘ）ｄｘ＝０满足初值条件ｙ（０）＝１的特解．四㊁（本题满分９分）设二阶常系数线性微分方程ｙᵡ＋αｙᶄ＋βｙ＝γｅｘ的一个特解为ｙ＝ｅ２ｘ＋（１＋ｘ）ｅｘ，试确定常数α，β，γ，并求该方程的通解．五㊁（本题满分９分）设平面图形Ａ由ｘ２＋ｙ２ɤ２ｘ与ｙȡｘ所确定，求图形Ａ绕直线ｘ＝２旋转一周所得旋转体的体积．六㊁（本题满分９分）作半径为ｒ的球的外切正圆锥，问此圆锥的高ｈ为何值时，其体积Ｖ最小，并求出该最小值．七㊁（本题满分９分）设ｘ＞０，常数ａ＞ｅ．证明：（ａ＋ｘ）ａ＜ａａ＋ｘ．八㊁（本题满分９分）设ｆᶄ（ｘ）在［０，ａ］上连续，且ｆ（０）＝０，证明：ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘɤＭａ２２，其中Ｍ＝ｍａｘ０ɤｘɤａｆᶄ（ｘ）．４１１９９４年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）若ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ＋ｅ２ａｘ－１ｘ，ｘʂ０，ａ，㊀㊀㊀㊀㊀㊀ｘ＝０{在（－ɕ，＋ɕ）上连续，则ａ＝．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由参数方程ｘ＝ｔ－ｌｎ（１＋ｔ），ｙ＝ｔ３＋ｔ２{所确定，则ｄ２ｙｄｘ２＝．（３）ｄｄｘʏｃｏｓ３ｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ()＝．（４）ʏｘ３ｅｘ２ｄｘ＝．（５）微分方程ｙｄｘ＋（ｘ２－４ｘ）ｄｙ＝０的通解为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｌｉｍｘң０ｌｎ（１＋ｘ）－（ａｘ＋ｂｘ２）ｘ２＝２，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝１，ｂ＝－５２．（Ｂ）ａ＝０，ｂ＝－２．（Ｃ）ａ＝０，ｂ＝－５２．（Ｄ）ａ＝１，ｂ＝－２．（２）设ｆ（ｘ）＝２３ｘ３，ｘɤ１，ｘ２，㊀ｘ＞１，{则ｆ（ｘ）在点ｘ＝１处的（㊀㊀）（Ａ）左㊁右导数都存在．（Ｂ）左导数存在，但右导数不存在．（Ｃ）左导数不存在，但右导数存在．（Ｄ）左㊁右导数都不存在．（３）设ｙ＝ｆ（ｘ）是满足微分方程ｙᵡ＋ｙᶄ－ｅｓｉｎｘ＝０的解，且ｆᶄ（ｘ０）＝０，则ｆ（ｘ）在（㊀㊀）（Ａ）ｘ０的某个邻域内单调增加．（Ｂ）ｘ０的某个邻域内单调减少．（Ｃ）ｘ０处取得极小值．（Ｄ）ｘ０处取得极大值．（４）曲线ｙ＝ｅ１ｘ２ａｒｃｔａｎｘ２＋ｘ＋１（ｘ－１）（ｘ＋２）的渐近线有（㊀㊀）（Ａ）１条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）３条．㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）４条．（５）设Ｍ＝ʏπ２－π２ｓｉｎｘ１＋ｘ２ｃｏｓ４ｘｄｘ，Ｎ＝ʏπ２－π２（ｓｉｎ３ｘ＋ｃｏｓ４ｘ）ｄｘ，Ｐ＝ʏπ２－π２（ｘ２ｓｉｎ３ｘ－ｃｏｓ４ｘ）ｄｘ，则有（㊀㊀）（Ａ）Ｎ＜Ｐ＜Ｍ．（Ｂ）Ｍ＜Ｐ＜Ｎ．（Ｃ）Ｎ＜Ｍ＜Ｐ．（Ｄ）Ｐ＜Ｍ＜Ｎ．５１三㊁（本题共５小题，每小题５分，满分２５分）（１）设ｙ＝ｆ（ｘ＋ｙ），其中ｆ具有二阶导数，且其一阶导数不等于１，求ｄ２ｙｄｘ２．（２）计算ʏ１０ｘ（１－ｘ４）３２ｄｘ．（３）计算ｌｉｍｎңɕｔａｎｎπ４＋２ｎ()．（４）计算ʏｄｘｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘ．（５）如图，设曲线方程为ｙ＝ｘ２＋１２，梯形ＯＡＢＣ的面积为Ｄ，曲边梯形ＯＡＢＣ的面积为Ｄ１，点Ａ的坐标为（ａ，０），ａ＞０．证明：ＤＤ１＜３２．四㊁（本题满分９分）设当ｘ＞０时，方程ｋｘ＋１ｘ２＝１有且仅有一个解，求ｋ的取值范围．五㊁（本题满分９分）设ｙ＝ｘ３＋４ｘ２，（１）求函数的增减区间及极值；（２）求函数图形的凹凸区间及拐点；（３）求其渐近线；（４）作出其图形．六㊁（本题满分９分）求微分方程ｙᵡ＋ａ２ｙ＝ｓｉｎｘ的通解，其中常数ａ＞０．七㊁（本题满分９分）设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续且递减，证明：当０＜λ＜１时，ʏλ０ｆ（ｘ）ｄｘȡλʏ１０ｆ（ｘ）ｄｘ．八㊁（本题满分９分）求曲线ｙ＝３－ｘ２－１与ｘ轴围成的封闭图形绕直线ｙ＝３旋转所得的旋转体体积．６１１９９５年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝ｃｏｓ（ｘ２）ｓｉｎ２１ｘ，则ｙᶄ＝．（２）微分方程ｙᵡ＋ｙ＝－２ｘ的通解为．（３）曲线ｘ＝１＋ｔ２，ｙ＝ｔ３{在ｔ＝２处的切线方程为．（４）ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎ()＝．（５）曲线ｙ＝ｘ２ｅ－ｘ２的渐近线方程为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）和φ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上有定义，ｆ（ｘ）为连续函数，且ｆ（ｘ）ʂ０，φ（ｘ）有间断点，则（㊀㊀）（Ａ）φ［ｆ（ｘ）］必有间断点．（Ｂ）［φ（ｘ）］２必有间断点．（Ｃ）ｆ［φ（ｘ）］必有间断点．（Ｄ）φ（ｘ）ｆ（ｘ）必有间断点．（２）曲线ｙ＝ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）与ｘ轴所围图形的面积可表示为（㊀㊀）（Ａ）－ʏ２０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｂ）ʏ１０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ－ʏ２１ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｃ）－ʏ１０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ＋ʏ２１ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（Ｄ）ʏ２０ｘ（ｘ－１）（２－ｘ）ｄｘ．（３）设ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）内可导，且对任意ｘ１，ｘ２，当ｘ１＞ｘ２时，都有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），则（㊀㊀）（Ａ）对任意ｘ，ｆᶄ（ｘ）＞０．（Ｂ）对任意ｘ，ｆᶄ（－ｘ）ɤ０．（Ｃ）函数ｆ（－ｘ）单调增加．（Ｄ）函数－ｆ（－ｘ）单调增加．（４）设函数ｆ（ｘ）在［０，１］上ｆᵡ（ｘ）＞０，则ｆᶄ（１），ｆᶄ（０），ｆ（１）－ｆ（０）或ｆ（０）－ｆ（１）的大小顺序是（㊀㊀）（Ａ）ｆᶄ（１）＞ｆᶄ（０）＞ｆ（１）－ｆ（０）．（Ｂ）ｆᶄ（１）＞ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆᶄ（０）．（Ｃ）ｆ（１）－ｆ（０）＞ｆᶄ（１）＞ｆᶄ（０）．（Ｄ）ｆᶄ（１）＞ｆ（０）－ｆ（１）＞ｆᶄ（０）．（５）设ｆ（ｘ）可导，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）（１＋ｓｉｎｘ）．若Ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，则必有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（０）＝０．（Ｂ）ｆᶄ（０）＝０．（Ｃ）ｆ（０）＋ｆᶄ（０）＝０．（Ｄ）ｆ（０）－ｆᶄ（０）＝０．７１三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）求ｌｉｍｘң０＋１－ｃｏｓｘｘ（１－ｃｏｓｘ）．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｘｅｆ（ｙ）＝ｅｙ确定，其中ｆ具有二阶导数，且ｆᶄʂ１，求ｄ２ｙｄｘ２．（３）设ｆ（ｘ２－１）＝ｌｎｘ２ｘ２－２，且ｆ［φ（ｘ）］＝ｌｎｘ，求ʏφ（ｘ）ｄｘ．（４）设ｆ（ｘ）＝ｘａｒｃｔａｎ１ｘ２，ｘʂ０，０，㊀㊀㊀ｘ＝０，{试讨论ｆᶄ（ｘ）在ｘ＝０处的连续性．（５）求摆线ｘ＝１－ｃｏｓｔ，ｙ＝ｔ－ｓｉｎｔ{一拱（０ɤｔɤ２π）的弧长Ｓ．（６）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度ｖｔ＝０＝ｖ０．已知阻力与速度成正比（比例常数为１），问ｔ为多少时此质点的速度为ｖ０３？并求到此时刻该质点所经过的路程．四㊁（本题满分８分）求函数ｆ（ｘ）＝ʏｘ２０（２－ｔ）ｅ－ｔｄｔ的最大值和最小值．五㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｅｘ是微分方程ｘｙᶄ＋ｐ（ｘ）ｙ＝ｘ的一个解，求此微分方程满足条件ｙｘ＝ｌｎ２＝０的特解．六㊁（本题满分８分）如图，设曲线Ｌ的方程为ｙ＝ｆ（ｘ），且ｙᵡ＞０．又ＭＴ，ＭＰ分别为该曲线在点Ｍ（ｘ０，ｙ０）处的切线和法线．已知线段ＭＰ的长度为（１＋ｙᶄ２０）３２ｙᵡ０（其中ｙᶄ０＝ｙᶄ（ｘ０），ｙᵡ０＝ｙᵡ（ｘ０）），试推导出点Ｐ（ξ，η）的坐标表达式．七㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｓｉｎｔπ－ｔｄｔ，计算ʏπ０ｆ（ｘ）ｄｘ．八㊁（本题满分８分）设ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）ｘ＝１，且ｆᵡ（ｘ）＞０，证明ｆ（ｘ）ȡｘ．８１１９９６年全国硕士研究生招生考试试题（试卷Ⅲ）一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｙ＝（ｘ＋ｅ－ｘ２）２３，则ｙᶄｘ＝０＝．（２）ʏ１－１（ｘ＋１－ｘ２）２ｄｘ＝．（３）微分方程ｙᵡ＋２ｙᶄ＋５ｙ＝０的通解为．（４）ｌｉｍｘңɕｘｓｉｎｌｎ１＋３ｘ()－ｓｉｎｌｎ１＋１ｘ()[]＝．（５）由曲线ｙ＝ｘ＋１ｘ，ｘ＝２及ｙ＝２所围图形的面积Ｓ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设当ｘң０时，ｅｘ－（ａｘ２＋ｂｘ＋１）是比ｘ２高阶的无穷小，则（㊀㊀）（Ａ）ａ＝１２，ｂ＝１．㊀㊀（Ｂ）ａ＝１，ｂ＝１．㊀㊀（Ｃ）ａ＝－１２，ｂ＝－１．㊀㊀（Ｄ）ａ＝－１，ｂ＝１．（２）设函数ｆ（ｘ）在区间（－δ，δ）内有定义，若当ｘɪ（－δ，δ）时，恒有ｆ（ｘ）ɤｘ２，则ｘ＝０必是ｆ（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）间断点．（Ｂ）连续而不可导的点．（Ｃ）可导的点，且ｆᶄ（０）＝０．（Ｄ）可导的点，且ｆᶄ（０）ʂ０．（３）设ｆ（ｘ）处处可导，则（㊀㊀）（Ａ）当ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝－ɕ，必有ｌｉｍｘң－ɕｆᶄ（ｘ）＝－ɕ．（Ｂ）当ｌｉｍｘң－ɕｆᶄ（ｘ）＝－ɕ，必有ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝－ɕ．（Ｃ）当ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝＋ɕ，必有ｌｉｍｘң＋ɕｆᶄ（ｘ）＝＋ɕ．（Ｄ）当ｌｉｍｘң＋ɕｆᶄ（ｘ）＝＋ɕ，必有ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝＋ɕ．（４）在区间（－ɕ，＋ɕ）内，方程ｘ１４＋ｘ１２－ｃｏｓｘ＝０（㊀㊀）（Ａ）无实根．（Ｂ）有且仅有一个实根．（Ｃ）有且仅有两个实根．（Ｄ）有无穷多个实根．（５）设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，且ｇ（ｘ）＜ｆ（ｘ）＜ｍ（ｍ为常数），由曲线ｙ＝ｇ（ｘ），ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ及ｘ＝ｂ所围平面图形绕直线ｙ＝ｍ旋转而成的旋转体体积为（㊀㊀）（Ａ）ʏｂａπ［２ｍ－ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｂ）ʏｂａπ［２ｍ－ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｃ）ʏｂａπ［ｍ－ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．（Ｄ）ʏｂａπ［ｍ－ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．９１三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）计算ʏｌｎ２０１－ｅ－２ｘｄｘ．（２）求ʏｄｘ１＋ｓｉｎｘ．（３）设ｘ＝ʏｔ０ｆ（ｕ２）ｄｕ，ｙ＝［ｆ（ｔ２）］２，{其中ｆ（ｕ）具有二阶导数，且ｆ（ｕ）ʂ０，求ｄ２ｙｄｘ２．（４）求函数ｆ（ｘ）＝１－ｘ１＋ｘ在点ｘ＝０处带拉格朗日型余项的ｎ阶泰勒展开式．（５）求微分方程ｙᵡ＋ｙᶄ＝ｘ２的通解．（６）设有一正椭圆柱体，其底面的长㊁短轴分别为２ａ，２ｂ，用过此柱体底面的短轴且与底面成α角０＜α＜π２()的平面截此柱体，得一楔形体（如图），求此楔形体的体积Ｖ．四㊁（本题满分８分）计算不定积分ʏａｒｃｔａｎｘｘ２（１＋ｘ２）ｄｘ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀五㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）＝１－２ｘ２，ｘ＜－１，㊀㊀ｘ３，㊀㊀－１ɤｘɤ２，１２ｘ－１６，ｘ＞２．㊀㊀ìîíïïï（１）写出ｆ（ｘ）的反函数ｇ（ｘ）的表达式；（２）ｇ（ｘ）是否有间断点㊁不可导点，若有，指出这些点．六㊁（本题满分８分）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程２ｙ３－２ｙ２＋２ｘｙ－ｘ２＝１所确定，试求ｙ＝ｙ（ｘ）的驻点，并判别它是否为极值点．七㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上具有二阶导数，且ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝０，ｆᶄ（ａ）ｆᶄ（ｂ）＞０．证明：存在ξɪ（ａ，ｂ）和ηɪ（ａ，ｂ），使ｆ（ξ）＝０及ｆᵡ（η）＝０．八㊁（本题满分８分）设ｆ（ｘ）为连续函数，（１）求初值问题ｙᶄ＋ａｙ＝ｆ（ｘ），ｙｘ＝０＝０{的解ｙ（ｘ），其中ａ是正常数；（２）若ｆ（ｘ）ɤｋ（ｋ为常数），证明：当ｘȡ０时，有ｙ（ｘ）ɤｋａ（１－ｅ－ａｘ）．０２１９９７年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）已知函数ｆ（ｘ）＝（ｃｏｓｘ）ｘ－２，ｘʂ０，ａ，㊀㊀㊀ｘ＝０{在ｘ＝０处连续，则ａ＝．（２）设ｙ＝ｌｎ１－ｘ１＋ｘ２，则ｙᵡｘ＝０＝．（３）ʏｄｘｘ（４－ｘ）＝．（４）ʏ＋ɕ０ｄｘｘ２＋４ｘ＋８＝．（５）已知向量组α１＝（１，２，－１，１），α２＝（２，０，ｔ，０），α３＝（０，－４，５，－２）的秩为２，则ｔ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｘң０时，ｅｔａｎｘ－ｅｘ与ｘｎ是同阶无穷小，则ｎ为（㊀㊀）（Ａ）１．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）３．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）４．（２）设在闭区间［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）＞０，ｆᶄ（ｘ）＜０，ｆᵡ（ｘ）＞０．记Ｓ１＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｓ２＝ｆ（ｂ）（ｂ－ａ），Ｓ３＝１２［ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）］（ｂ－ａ），则（㊀㊀）（Ａ）Ｓ１＜Ｓ２＜Ｓ３．（Ｂ）Ｓ２＜Ｓ１＜Ｓ３．（Ｃ）Ｓ３＜Ｓ１＜Ｓ２．（Ｄ）Ｓ２＜Ｓ３＜Ｓ１．（３）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）对一切ｘ满足ｘｆᵡ（ｘ）＋３ｘ［ｆᶄ（ｘ）］２＝１－ｅ－ｘ，若ｆᶄ（ｘ０）＝０（ｘ０ʂ０），则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极大值．（Ｂ）ｆ（ｘ０）是ｆ（ｘ）的极小值．（Ｃ）（ｘ０，ｆ（ｘ０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（Ｄ）ｆ（ｘ０）不是ｆ（ｘ）的极值，（ｘ０，ｆ（ｘ０））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（４）设Ｆ（ｘ）＝ʏｘ＋２πｘｅｓｉｎｔｓｉｎｔｄｔ，则Ｆ（ｘ）（㊀㊀）（Ａ）为正常数．（Ｂ）为负常数．（Ｃ）恒为零．（Ｄ）不为常数．（５）设函数ｇ（ｘ）＝２－ｘ，㊀ｘɤ０，ｘ＋２，㊀ｘ＞０，{ｆ（ｘ）＝ｘ２，㊀ｘ＜０，－ｘ，㊀ｘȡ０，{则ｇ［ｆ（ｘ）］＝（㊀㊀）（Ａ）２＋ｘ２，㊀ｘ＜０，２－ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｂ）２－ｘ２，㊀ｘ＜０，２＋ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｃ）２－ｘ２，㊀ｘ＜０，２－ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{（Ｄ）２＋ｘ２，㊀ｘ＜０，２＋ｘ，㊀㊀ｘȡ０．{三㊁（本题共６小题，每小题５分，满分３０分）（１）求极限ｌｉｍｘң－ɕ４ｘ２＋ｘ－１＋ｘ＋１ｘ２＋ｓｉｎｘ．１２（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由ｘ＝ａｒｃｔａｎｔ，２ｙ－ｔｙ２＋ｅｔ＝５{所确定，求ｄｙｄｘ．（３）计算ʏｅ２ｘ（ｔａｎｘ＋１）２ｄｘ．（４）求微分方程（３ｘ２＋２ｘｙ－ｙ２）ｄｘ＋（ｘ２－２ｘｙ）ｄｙ＝０的通解．（５）已知ｙ１＝ｘｅｘ＋ｅ２ｘ，ｙ２＝ｘｅｘ＋ｅ－ｘ，ｙ３＝ｘｅｘ＋ｅ２ｘ－ｅ－ｘ是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．（６）已知矩阵Ａ＝１１－１０１１００－１æèççöø÷÷，且Ａ２－ＡＢ＝Ｅ，其中Ｅ是３阶单位矩阵，求矩阵Ｂ．四㊁（本题满分８分）λ取何值时，方程组２ｘ１＋λｘ２－ｘ３＝１，λｘ１－ｘ２＋ｘ３＝２，４ｘ１＋５ｘ２－５ｘ３＝－１ìîíïïï无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解．五㊁（本题满分８分）设曲线Ｌ的极坐标方程为ｒ＝ｒ（θ），Ｍ（ｒ，θ）为Ｌ上任一点，Ｍ０（２，０）为Ｌ上一定点．若极径ＯＭ０，ＯＭ与曲线Ｌ所围成的曲边扇形面积值等于Ｌ上Ｍ０，Ｍ两点间弧长值的一半，求曲线Ｌ的方程．六㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）在闭区间［０，１］上连续，在开区间（０，１）内大于零，并满足ｘｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋３ａ２ｘ２（ａ为常数），又曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ＝１，ｙ＝０所围的图形Ｓ的面积值为２，求函数ｙ＝ｆ（ｘ），并问ａ为何值时，图形Ｓ绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．七㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）连续，φ（ｘ）＝ʏ１０ｆ（ｘｔ）ｄｔ，且ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）ｘ＝Ａ（Ａ为常数），求φᶄ（ｘ）并讨论φᶄ（ｘ）在ｘ＝０处的连续性．八㊁（本题满分８分）就ｋ的不同取值情况，确定方程ｘ－π２ｓｉｎｘ＝ｋ在开区间(０，π２)内根的个数，并证明你的结论．２２１９９８年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０１＋ｘ＋１－ｘ－２ｘ２＝．（２）曲线ｙ＝－ｘ３＋ｘ２＋２ｘ与ｘ轴所围成的图形的面积Ａ＝．（３）ʏｌｎ（ｓｉｎｘ）ｓｉｎ２ｘｄｘ＝．（４）设ｆ（ｘ）连续，则ｄｄｘʏｘ０ｔｆ（ｘ２－ｔ２）ｄｔ＝．（５）曲线ｙ＝ｘｌｎｅ＋１ｘ()（ｘ＞０）的渐近线方程为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设数列｛ｘｎ｝与｛ｙｎ｝满足ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ＝０，则下列断言正确的是（㊀㊀）（Ａ）若｛ｘｎ｝发散，则｛ｙｎ｝必发散．（Ｂ）若｛ｘｎ｝无界，则｛ｙｎ｝必有界．（Ｃ）若｛ｘｎ｝有界，则｛ｙｎ｝必为无穷小．（Ｄ）若１ｘｎ{}为无穷小，则｛ｙｎ｝必为无穷小．（２）函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２－ｘ－２）ｘ３－ｘ的不可导点的个数为（㊀㊀）（Ａ）０．（Ｂ）１．（Ｃ）２．（Ｄ）３．（３）已知函数ｙ＝ｙ（ｘ）在任意点ｘ处的增量Δｙ＝ｙΔｘ１＋ｘ２＋α，其中α是比Δｘ（Δｘң０）高阶的无穷小，且ｙ（０）＝π，则ｙ（１）＝（㊀㊀）（Ａ）πｅπ４．（Ｂ）２π．（Ｃ）π．（Ｄ）ｅπ４．（４）设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ的某个邻域内连续，且ｆ（ａ）为其极大值，则存在δ＞０，当ｘɪ（ａ－δ，ａ＋δ）时，必有（㊀㊀）（Ａ）（ｘ－ａ）［ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）］ȡ０．（Ｂ）（ｘ－ａ）［ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）］ɤ０．（Ｃ）ｌｉｍｔңａｆ（ｔ）－ｆ（ｘ）（ｔ－ｘ）２ȡ０（ｘʂａ）．（Ｄ）ｌｉｍｔңａｆ（ｔ）－ｆ（ｘ）（ｔ－ｘ）２ɤ０（ｘʂａ）．（５）设Ａ是任一ｎ（ｎȡ３）阶方阵，Ａ∗是其伴随矩阵，又ｋ为常数，且ｋʂ０，ʃ１，则必有（ｋＡ）∗＝（㊀㊀）（Ａ）ｋＡ∗．（Ｂ）ｋｎ－１Ａ∗．（Ｃ）ｋｎＡ∗．（Ｄ）ｋ－１Ａ∗．三㊁（本题满分５分）求函数ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）ｘｔａｎ（ｘ－π４）在区间（０，２π）内的间断点，并判断其类型．３２四㊁（本题满分５分）确定常数ａ，ｂ，ｃ的值，使ｌｉｍｘң０ａｘ－ｓｉｎｘʏｘｂｌｎ（１＋ｔ３）ｔｄｔ＝ｃ（ｃʂ０）．五㊁（本题满分５分）利用代换ｙ＝ｕｃｏｓｘ将方程ｙᵡｃｏｓｘ－２ｙᶄｓｉｎｘ＋３ｙｃｏｓｘ＝ｅｘ化简，并求出原方程的通解．六㊁（本题满分６分）计算积分ʏ３２１２ｄｘｘ－ｘ２．七㊁（本题满分６分）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度ｙ（从海平面算起）与下沉速度ｖ之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为ｍ，体积为Ｂ，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为ｋ（ｋ＞０）．试建立ｙ与ｖ所满足的微分方程，并求出函数关系式ｙ＝ｙ（ｖ）．八㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｆ（ｘ）是区间［０，１］上的任一非负连续函数．（１）试证存在ｘ０ɪ（０，１），使得在区间［０，ｘ０］上以ｆ（ｘ０）为高的矩形面积，等于在区间［ｘ０，１］上以ｙ＝ｆ（ｘ）为曲边的曲边梯形面积；（２）又设ｆ（ｘ）在区间（０，１）内可导，且ｆᶄ（ｘ）＞－２ｆ（ｘ）ｘ，证明（１）中的ｘ０是惟一的．九㊁（本题满分８分）设有曲线ｙ＝ｘ－１，过原点作其切线，求由此曲线㊁切线及ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．十㊁（本题满分８分）设ｙ＝ｙ（ｘ）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（ｘ，ｙ）处的曲率为１１＋ｙᶄ２，且此曲线上点（０，１）处的切线方程为ｙ＝ｘ＋１，求该曲线的方程，并求函数ｙ＝ｙ（ｘ）的极值．十一㊁（本题满分８分）设ｘɪ（０，１），证明：（１）（１＋ｘ）ｌｎ２（１＋ｘ）＜ｘ２；４２（２）１ｌｎ２－１＜１ｌｎ（１＋ｘ）－１ｘ＜１２．十二㊁（本题满分５分）设（２Ｅ－Ｃ－１Ｂ）ＡＴ＝Ｃ－１，其中Ｅ是４阶单位矩阵，ＡＴ是４阶矩阵Ａ的转置矩阵，Ｂ＝１２－３－２０１２－３００１２０００１æèççççöø÷÷÷÷，㊀㊀Ｃ＝１㊀２㊀０㊀１０㊀１㊀２㊀００㊀０㊀１㊀２０㊀０㊀０㊀１æèççççöø÷÷÷÷．求Ａ．十三㊁（本题满分６分）已知α１＝（１，４，０，２）Ｔ，α２＝（２，７，１，３）Ｔ，α３＝（０，１，－１，ａ）Ｔ，β＝（３，１０，ｂ，４）Ｔ，问：（１）ａ，ｂ取何值时，β不能由α１，α２，α３线性表示？（２）ａ，ｂ取何值时，β可由α１，α２，α３线性表示？并写出此表示式．５２１９９９年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）曲线ｘ＝ｅｔｓｉｎ２ｔｙ＝ｅｔｃｏｓｔ{在点（０，１）处的法线方程为．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程ｌｎ（ｘ２＋ｙ）＝ｘ３ｙ＋ｓｉｎｘ确定，则ｄｙｄｘｘ＝０＝㊀㊀㊀．（３）ʏｘ＋５ｘ２－６ｘ＋１３ｄｘ＝．（４）函数ｙ＝ｘ２１－ｘ２在区间１２，３２[]上的平均值为．（５）微分方程ｙᵡ－４ｙ＝ｅ２ｘ的通解为．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）＝１－ｃｏｓｘｘ，ｘ＞０，ｘ２ｇ（ｘ），ｘɤ０，{其中ｇ（ｘ）是有界函数，则ｆ（ｘ）在ｘ＝０处（㊀㊀）（Ａ）极限不存在．（Ｂ）极限存在，但不连续．（Ｃ）连续，但不可导．（Ｄ）可导．（２）设α（ｘ）＝ʏ５ｘ０ｓｉｎｔｔｄｔ，β（ｘ）＝ʏｓｉｎｘ０（１＋ｔ）１ｔｄｔ，则当ｘң０时，α（ｘ）是β（ｘ）的（㊀㊀）（Ａ）高阶无穷小．（Ｂ）低阶无穷小．（Ｃ）同阶但不等价的无穷小．（Ｄ）等价无穷小．（３）设ｆ（ｘ）是连续函数，Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的原函数，则（㊀㊀）（Ａ）当ｆ（ｘ）是奇函数时，Ｆ（ｘ）必是偶函数．（Ｂ）当ｆ（ｘ）是偶函数时，Ｆ（ｘ）必是奇函数．（Ｃ）当ｆ（ｘ）是周期函数时，Ｆ（ｘ）必是周期函数．（Ｄ）当ｆ（ｘ）是单调增函数时，Ｆ（ｘ）必是单调增函数．（４） 对任意给定的εɪ（０，１），总存在正整数Ｎ，当ｎȡＮ时，恒有ｘｎ－ａɤ２ε 是数列｛ｘｎ｝收敛于ａ的（㊀㊀）（Ａ）充分条件但非必要条件．（Ｂ）必要条件但非充分条件．（Ｃ）充分必要条件．（Ｄ）既非充分条件又非必要条件．（５）记行列式ｘ－２ｘ－１ｘ－２ｘ－３２ｘ－２２ｘ－１２ｘ－２２ｘ－３３ｘ－３３ｘ－２４ｘ－５３ｘ－５４ｘ４ｘ－３５ｘ－７４ｘ－３为ｆ（ｘ），则方程ｆ（ｘ）＝０的根的个数为（㊀㊀）（Ａ）１．㊀㊀（Ｂ）２．㊀㊀（Ｃ）３．㊀㊀（Ｄ）４．６２三㊁（本题满分５分）求ｌｉｍｘң０１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘｘｌｎ（１＋ｘ）－ｘ２．四㊁（本题满分６分）计算ʏ＋ɕ１ａｒｃｔａｎｘｘ２ｄｘ．五㊁（本题满分７分）求初值问题（ｙ＋ｘ２＋ｙ２）ｄｘ－ｘｄｙ＝０（ｘ＞０），ｙｘ＝１＝０{的解．六㊁（本题满分７分）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深３０ｍ，抓斗自重４００Ｎ，缆绳每米重５０Ｎ，抓斗抓起的污泥重２０００Ｎ，提升速度为３ｍ／ｓ．在提升过程中，污泥以２０Ｎ／ｓ的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①１Ｎˑ１ｍ＝１Ｊ；ｍ，Ｎ，ｓ，Ｊ分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．）七㊁（本题满分８分）已知函数ｙ＝ｘ３（ｘ－１）２，求（１）函数的增减区间及极值；（２）函数图形的凹凸区间及拐点；（３）函数图形的渐近线．八㊁（本题满分８分）设函数ｆ（ｘ）在闭区间［－１，１］上具有三阶连续导数，且ｆ（－１）＝０，ｆ（１）＝１，ｆᶄ（０）＝０，证明：在开区间（－１，１）内至少存在一点ξ，使ｆ‴（ξ）＝３．九㊁（本题满分８分）设函数ｙ（ｘ）（ｘȡ０）二阶可导，且ｙᶄ（ｘ）＞０，ｙ（０）＝１．过曲线ｙ＝ｙ（ｘ）上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）作该曲线的切线及ｘ轴的垂线，上述两直线与ｘ轴所围成的三角形的面积记为Ｓ１，区间［０，ｘ］上以ｙ＝ｙ（ｘ）为曲边的曲边梯形面积记为Ｓ２，并设２Ｓ１－Ｓ２恒为１，求此曲线ｙ＝ｙ（ｘ）的方程．７２十㊁（本题满分７分）设ｆ（ｘ）是区间［０，＋ɕ）上单调减少且非负的连续函数，ａｎ＝ ｎｋ＝１ｆ（ｋ）－ʏｎ１ｆ（ｘ）ｄｘ（ｎ＝１，２， ），证明数列｛ａｎ｝的极限存在．十一㊁（本题满分６分）设矩阵Ａ＝１１－１－１１１１－１１æèççöø÷÷，矩阵Ｘ满足Ａ∗Ｘ＝Ａ－１＋２Ｘ，其中Ａ∗是Ａ的伴随矩阵，求矩阵Ｘ．十二㊁（本题满分８分）设向量组α１＝（１，１，１，３）Ｔ，α２＝（－１，－３，５，１）Ｔ，α３＝（３，２，－１，ｐ＋２）Ｔ，α４＝（－２，－６，１０，ｐ）Ｔ．（１）ｐ为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量α＝（４，１，６，１０）Ｔ用α１，α２，α３，α４线性表示；（２）ｐ为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．８２２０００年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң０ａｒｃｔａｎｘ－ｘｌｎ（１＋２ｘ３）＝．（２）设函数ｙ＝ｙ（ｘ）由方程２ｘｙ＝ｘ＋ｙ所确定，则ｄｙｘ＝０＝．（３）ʏ＋ɕ２ｄｘ（ｘ＋７）ｘ－２＝．（４）曲线ｙ＝（２ｘ－１）ｅ１ｘ的斜渐近线方程为．（５）设Ａ＝１０００－２３０００－４５０００－６７æèççççöø÷÷÷÷，Ｅ为４阶单位矩阵，且Ｂ＝（Ｅ＋Ａ）－１（Ｅ－Ａ），则（Ｅ＋Ｂ）－１＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设函数ｆ（ｘ）＝ｘａ＋ｅｂｘ在（－ɕ，＋ɕ）内连续，且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）＝０，则常数ａ，ｂ满足（㊀㊀）（Ａ）ａ＜０，ｂ＜０．（Ｂ）ａ＞０，ｂ＞０．（Ｃ）ａɤ０，ｂ＞０．（Ｄ）ａȡ０，ｂ＜０．（２）设函数ｆ（ｘ）满足关系式ｆᵡ（ｘ）＋［ｆᶄ（ｘ）］２＝ｘ，且ｆᶄ（０）＝０，则（㊀㊀）（Ａ）ｆ（０）是ｆ（ｘ）的极大值．（Ｂ）ｆ（０）是ｆ（ｘ）的极小值．（Ｃ）点（０，ｆ（０））是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（Ｄ）ｆ（０）不是ｆ（ｘ）的极值，点（０，ｆ（０））也不是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的拐点．（３）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是大于零的可导函数，且ｆᶄ（ｘ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＜０，则当ａ＜ｘ＜ｂ时，有（㊀㊀）（Ａ）ｆ（ｘ）ｇ（ｂ）＞ｆ（ｂ）ｇ（ｘ）．（Ｂ）ｆ（ｘ）ｇ（ａ）＞ｆ（ａ）ｇ（ｘ）．（Ｃ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞ｆ（ｂ）ｇ（ｂ）．（Ｄ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＞ｆ（ａ）ｇ（ａ）．（４）若ｌｉｍｘң０ｓｉｎ６ｘ＋ｘｆ（ｘ）ｘ３＝０，则ｌｉｍｘң０６＋ｆ（ｘ）ｘ２为（㊀㊀）（Ａ）０．㊀㊀（Ｂ）６．㊀㊀（Ｃ）３６．㊀㊀（Ｄ）ɕ．（５）具有特解ｙ１＝ｅ－ｘ，ｙ２＝２ｘｅ－ｘ，ｙ３＝３ｅｘ的３阶常系数齐次线性微分方程是（㊀㊀）（Ａ）ｙ‴－ｙᵡ－ｙᶄ＋ｙ＝０．（Ｂ）ｙ‴＋ｙᵡ－ｙᶄ－ｙ＝０．（Ｃ）ｙ‴－６ｙᵡ＋１１ｙᶄ－６ｙ＝０．（Ｄ）ｙ‴－２ｙᵡ－ｙᶄ＋２ｙ＝０．三㊁（本题满分５分）设ｆ（ｌｎｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）ｘ，计算ʏｆ（ｘ）ｄｘ．９２四㊁（本题满分５分）设ｘＯｙ平面上有正方形Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）０ɤｘɤ１，０ɤｙɤ１｝及直线ｌ：ｘ＋ｙ＝ｔ（ｔȡ０）．若Ｓ（ｔ）表示正方形Ｄ位于直线ｌ左下方部分的面积，试求ʏｘ０Ｓ（ｔ）ｄｔ（ｘȡ０）．五㊁（本题满分５分）求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２ｌｎ（１＋ｘ）在ｘ＝０处的ｎ阶导数ｆ（ｎ）（０）（ｎȡ３）．六㊁（本题满分６分）设函数Ｓ（ｘ）＝ʏｘ０ｃｏｓｔｄｔ，（１）当ｎ为正整数，且ｎπɤｘ＜（ｎ＋１）π时，证明：２ｎɤＳ（ｘ）＜２（ｎ＋１）；（２）求ｌｉｍｘң＋ɕＳ（ｘ）ｘ．七㊁（本题满分７分）某湖泊的水量为Ｖ，每年排入湖泊内含污染物Ａ的污水量为Ｖ６，流入湖泊内不含Ａ的水量为Ｖ６，流出湖泊的水量为Ｖ３．已知１９９９年底湖中Ａ的含量为５ｍ０，超过国家规定指标．为了治理污染，从２０００年初起，限定排入湖泊中含Ａ污水的浓度不超过ｍ０Ｖ．问至多需经过多少年，湖泊中污染物Ａ的含量才可降至ｍ０以内？（注：设湖水中Ａ的浓度是均匀的）．八㊁（本题满分６分）设函数ｆ（ｘ）在［０，π］上连续，且ʏπ０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，ʏπ０ｆ（ｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝０．试证明：在（０，π）内至少存在两个不同的点ξ１，ξ２，使ｆ（ξ１）＝ｆ（ξ２）＝０．九㊁（本题满分７分）已知ｆ（ｘ）是周期为５的连续函数，它在ｘ＝０的某个邻域内满足关系式ｆ（１＋ｓｉｎｘ）－３ｆ（１－ｓｉｎｘ）＝８ｘ＋α（ｘ），其中α（ｘ）是当ｘң０时比ｘ高阶的无穷小，且ｆ（ｘ）在ｘ＝１处可导，求曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（６，ｆ（６））处的切线方程．十㊁（本题满分８分）设曲线ｙ＝ａｘ２（ａ＞０，ｘȡ０）与ｙ＝１－ｘ２交于点Ａ，过坐标原点Ｏ和点Ａ的直线与曲线ｙ＝ａｘ２围成一平面图形．问ａ为何值时，该图形绕ｘ轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？十一㊁（本题满分８分）函数ｆ（ｘ）在［０，＋ɕ）上可导，ｆ（０）＝１，且满足等式０３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）ｆᶄ（ｘ）＋ｆ（ｘ）－１ｘ＋１ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＝０．（１）求导数ｆᶄ（ｘ）；（２）证明：当ｘȡ０时，不等式ｅ－ｘɤｆ（ｘ）ɤ１成立．十二㊁（本题满分６分）设α＝１２１æèççöø÷÷，β＝１１２０æèççççöø÷÷÷÷，γ＝００８æèççöø÷÷，Ａ＝αβＴ，Ｂ＝βＴα，其中βＴ是β的转置，求解方程２Ｂ２Ａ２ｘ＝Ａ４ｘ＋Ｂ４ｘ＋γ．十三㊁（本题满分７分）已知向量组β１＝０１－１æèççöø÷÷，β２＝ａ２１æèççöø÷÷，β３＝ｂ１０æèççöø÷÷与向量组α１＝１２－３æèççöø÷÷，α２＝３０１æèççöø÷÷，α３＝９６－７æèççöø÷÷具有相同的秩，且β３可由α１，α２，α３线性表示，求ａ，ｂ的值．１３２０００年真题２００１年全国硕士研究生招生考试试题一㊁填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）ｌｉｍｘң１３－ｘ－１＋ｘｘ２＋ｘ－２＝．（２）设函数ｙ＝ｆ（ｘ）由方程ｅ２ｘ＋ｙ－ｃｏｓ（ｘｙ）＝ｅ－１所确定，则曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（０，１）处的法线方程为．（３）ʏπ２－π２（ｘ３＋ｓｉｎ２ｘ）ｃｏｓ２ｘｄｘ＝．（４）过点(１２，０)且满足关系式ｙᶄａｒｃｓｉｎｘ＋ｙ１－ｘ２＝１的曲线方程为．（５）设方程组ａ㊀１㊀１１㊀ａ㊀１１㊀１㊀ａæèççöø÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝１１－２æèççöø÷÷有无穷多解，则ａ＝．二㊁选择题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）（１）设ｆ（ｘ）＝１，㊀ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１，{则ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）］｝等于（㊀㊀）（Ａ）０．㊀㊀㊀㊀㊀（Ｂ）１．㊀㊀㊀㊀㊀（Ｃ）１，㊀ｘɤ１，０，㊀ｘ＞１．{㊀㊀㊀㊀㊀（Ｄ）０，㊀ｘɤ１，１，㊀ｘ＞１．{（２）设当ｘң０时，（１－ｃｏｓｘ）ｌｎ（１＋ｘ２）是比ｘｓｉｎｘｎ高阶的无穷小，ｘｓｉｎｘｎ是比ｅｘ２－１高阶的无穷小，则正整数ｎ等于（㊀㊀）（Ａ）１．（Ｂ）２．（Ｃ）３．（Ｄ）４．（３）曲线ｙ＝（ｘ－１）２（ｘ－３）２的拐点个数为（㊀㊀）（Ａ）０．（Ｂ）１．（Ｃ）２．（Ｄ）３．（４）已知函数ｆ（ｘ）在区间（１－δ，１＋δ）内具有二阶导数，ｆᶄ（ｘ）严格单调减少，且ｆ（１）＝ｆᶄ（１）＝１，则（㊀㊀）（Ａ）在（１－δ，１）和（１，１＋δ）内均有ｆ（ｘ）＜ｘ．（Ｂ）在（１－δ，１）和（１，１＋δ）内均有ｆ（ｘ）＞ｘ．（Ｃ）在（１－δ，１）内，ｆ（ｘ）＜ｘ，在（１，１＋δ）内，ｆ（ｘ）＞ｘ．（Ｄ）在（１－δ，１）内，ｆ（ｘ）＞ｘ，在（１，１＋δ）内，ｆ（ｘ）＜ｘ．（５）已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其导函数ｙ＝ｆᶄ（ｘ）的图形为（㊀㊀）２３历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）三㊁（本题满分６分）求ʏｄｘ（２ｘ２＋１）ｘ２＋１．四㊁（本题满分７分）求极限ｌｉｍｔңｘｓｉｎｔｓｉｎｘ()ｘｓｉｎｔ－ｓｉｎｘ，记此极限为ｆ（ｘ），求函数ｆ（ｘ）的间断点并指出其类型．五㊁（本题满分７分）设ρ＝ρ（ｘ）是抛物线ｙ＝ｘ上任一点Ｍ（ｘ，ｙ）（ｘȡ１）处的曲率半径，ｓ＝ｓ（ｘ）是该抛物线上介于点Ａ（１，１）与Ｍ之间的弧长，计算３ρｄ２ρｄｓ２－ｄρｄｓ()２的值．（在直角坐标系下曲率公式为Ｋ＝ｙᵡ（１＋ｙᶄ２）３２．）六㊁（本题满分７分）设函数ｆ（ｘ）在［０，＋ɕ）上可导，ｆ（０）＝０，且其反函数为ｇ（ｘ）．若ʏｆ（ｘ）０ｇ（ｔ）ｄｔ＝ｘ２ｅｘ，求ｆ（ｘ）．七㊁（本题满分７分）设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足ｆᶄ（ｘ）＝ｇ（ｘ），ｇᶄ（ｘ）＝２ｅｘ－ｆ（ｘ），且ｆ（０）＝０，ｇ（０）＝２，求ʏπ０ｇ（ｘ）１＋ｘ－ｆ（ｘ）（１＋ｘ）２[]ｄｘ．八㊁（本题满分９分）设Ｌ是一条平面曲线，其上任意一点Ｐ（ｘ，ｙ）（ｘ＞０）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在ｙ轴上的截距，且Ｌ经过点(１２，０)．（１）试求曲线Ｌ的方程；（２）求Ｌ位于第一象限部分的一条切线，使该切线与Ｌ以及两坐标轴所围图形的面积最小．九㊁（本题满分７分）一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积Ｓ成正比，比例常数Ｋ＞０．假设在融化过程３３２００１年真题。
数学二真题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1siny x x =+(D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x x f '=ξ，则22l i m x x→=ξ （ ）(A)1(B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得(D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000ab a bcd c d= （ ）(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2222a dbc -(D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9)12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y ∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明： (I)0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,1()(()),n n f x f f x -=，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.(21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y yy =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α，故1>α.当0x +→时，211(1cos )~2x x -ααα是比x 的高阶无穷小，所以210->α，即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x =+(D) 21siny x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(C)(D)【答案】C 【解析】1112'21122432212t t t t t dy t dxtd y dy tdx dx t=====+==-===-()()''33'22211,11y k R kq y ==∴==++ 故选C(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x x f '=ξ，则22l i m x x→=ξ （ ）(A)1(B)23(C)12(D)13【答案】D 【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2()()x f x f x -=ξ22222200011()arctan 11limlimlim lim ()arctan 33x x x x x f x x xx x x f x x x x →→→→---+====ξ故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得 【答案】A【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7) 行列式0000000ab a bcd c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a d b c - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列00000000000000a b a b a b a b a c dc b cd dc dc d=-- ()()a d a d b c b c a d b c =--+- 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的 ( )(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π【解析】()111221111arctan 252214132428x dx dx x x x -∞-∞-∞+==++++⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰πππ(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.【答案】1【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数 则()()[]'212,0f x x x =--∈-，又()22f x x x c =--+且为奇函数，故=0c()[]222,0f x x x x ∴=--∈-，又()f x 的周期为4，()()711f f ∴=-=(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.【答案】1()2dx dy -+ 【解析】对2274yzex y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导 22210(22)20yzyz z z e y x x z z e z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当11,22x y ==时,0z =故1111(,)(,)222211,22z z xy∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ，于是(),,,22r ⎛⎫=⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________. 【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ ()()()()31122100042112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ρρ111112=5203x ∴=(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)limlim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim[(e 1)]xx x x →+∞=--12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.【解析】 由221x y y y ''+=-，得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为331133y y x x c +=-+ 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时，1x =±，且有：1,()011,()01,()0x y x x y x x y x '<-<'-<<>'><所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 (1)0,(1)1y y -==即：()y x 的极大值为1，极小值为0. (17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则：D D=12D D I dxdy ∴==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰π 2201211sin 21()cos 4d r rdrrd r =⋅=-⎰⎰⎰πθππππ22111cos |cos 4r r rdr ⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰ππ211121sin |4r ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ππ 34=-(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,x z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， ()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得， ()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,xe y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+设特解*y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =-则原方程通解为()22121=4t ty f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==，得1211,1616c c ==-, 则()22111=16164u u y f u e e u -=--.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,（II ）()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.【解析】（I ）由积分中值定理()()(),[,]xag t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ()()0xag t dt x a ∴≤≤-⎰（II ）直接由()01g x ≤≤，得到()()01=x xaag t dt dt x a ≤≤-⎰⎰（II ）令()()()()()ua u a g t dt aaF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰()()()()()()()()()()'uaua F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()()0uag t dt u a ≤≤-⎰()uaa a g t d t u∴≤+≤⎰又由于()f x 单增，所以()()()0u af u f ag t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞. 【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x xf x f x f x f x x x x nx====++++ 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx+-∴===++⎰⎰⎰ 1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++⎰⎰ 211ln(1)n n n=-+ ln(1)ln(1)1lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)l n ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数. 又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ，从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为()()2221122112ln ln 22V y dx x xdxx xd x =+=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰πππ22211221ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dxx x ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰πππππππ(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ(II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,T Tx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵=0n ⎛⎫⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭. B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B .。
1996数学二考研真题及答案
3 3 = ln 2 + 3 − 2 2
(
)
方法三： 令 1− e 原式＝
−2 x
= t, 则
∫
3 2
0
3 t2 1 ⎞ 3 1 1+ t 2 ⎛ = −1 + + ln dt dt = − ⎜ ⎟ 2 2 ∫ 0 1− t 1− t ⎠ 2 2 1− t ⎝
|
3 2 0
=−
3 + ln 2 + 3 2
x →−∞ x →−∞ '
( x ) = −∞,
（B） 当 lim f
x →−∞
'
f ( x ) = −∞, ( x ) = −∞, ，必有 xlim →−∞
' x →+∞
（C） 当 lim f ( x ) = +∞, 必有 lim f
x →+∞
( x ) = +∞,
（D） 当 lim f
x →+∞
(
)
（2）求
∫ 1 + sin x
方法一：
dx
【详解】 原式＝
∫
1 − sin x 1 dx = tan x − +C 2 cos t cos x
方法二：
x 2 dx =∫ 原式＝ ∫ 2 2 x x⎞ x⎞ ⎛ ⎛ + + cos sin 1 tan ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ dx sec 2 x⎞ ⎛ d ⎜1 + tan ⎟ 2 2⎠ = 2∫ ⎝ =− +C 2 x x⎞ ⎛ 1 tan + ⎜ 1 + tan ⎟ 2 2⎠ ⎝ ⎧ x = t f ( u 2 ) du ∫0 d2y ⎪ ，其中 f u 具有二阶导数，且 f u ≠ 0 ，求 . (3)设 ⎨ ( ) ( ) 2 2 2 dx ⎡ ⎤ ⎪ y = f (t ) ⎣ ⎦ ⎩
考研数学二(综合)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（综合）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1991年)曲线y＝A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线．C．仅有铅直渐近线．D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D解析：因为＝1，则原曲线有水平渐近线y＝1，又＝∞，则原曲线有铅直渐近线χ＝0，所以应选D．2．(1993年)设f(χ)＝∫0sinχsin(t2)dt，g(χ)＝χ3＋χ4，则当χ→0时g(χ)是g(χ)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：则应选B．3．(1998年)设周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，周期为4，又＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为A．B．0C．－1D．－2正确答案：D解析：则f′(1)＝－2，由f′(χ)周期性知，f′(5)＝f′(1)＝－2．故应选D．4．(1997年)设在区间[a，b]上f(χ)＞0，f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0，令S1＝∫ab(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)](b－a)则A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S2＜S3＜S1正确答案：B解析：由题设可知，在[a，b]上，f(χ)＞0单调减，曲线y＝f(χ)上凹，如图1．2，S1表示y＝f(χ)和χ－a，χ－b及χ轴围成曲边梯形面积，S2表示矩形abBC的面积，S3表示梯形AabB的面积，由图1．2可知．S2＜S1＜S3．故应选B．5．(1997年)若f(－χ)＝f(χ)，(－∞＜χ＜∞)，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0，则在(0，＋∞)内A．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0D．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由f(－χ)＝f(χ)知，f(χ)为偶函数，而由在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0知在(－∞，0)内，y＝f(χ)的图形下凹单调增，则f(χ)如图1．3可知，在(0，＋∞)内，f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0，则应选C．6．(2006年)设函数y＝f(χ)具有二阶导数，且f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，△χ为自变量χ在点χ0处的增量，△y与dy分别为f(χ)在点χ0处对应的增量与微分，若△χ＞0，则A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：令f(χ)＝χ2，在(0，＋∞)上，f′(χ)＝2χ＞0，f〞(χ)－2＞0，以χ0＝1，则dy＝2△χ，△y－f(1＋△χ)－f(1)＝(1＋△Aχ)2－12＝2△χ＋(△χ)2 由于Aχ＞0，则0＜dy＜△y，从而B、C、D均不正确，故应选A．7．(2006年)设f(χ)是奇函数，除χ＝0外处处连续，χ＝0是其第一类间断点，则∫0χ(f)dt是A．连续的奇函数．B．连续的偶函数．C．在χ＝0间断的奇函数D．在χ＝0间断的偶函数正确答案：B解析：令f(χ)＝sgn(χ)＝，显然f(χ)满足原题设条件，而显然A、C、D均不正确，故应选B．8．(2005年)设函数u(χ，y)＝φ(χ＋y)＋φ(χ－y)＋(t)dt，其中φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有A．B．C．D．正确答案：B解析：令φ(χ)＝χ2，ψ(χ)≡0 则u(χ，y)＝(χ＋y)2＋(χ－y)2＋2χ2＋2y2．显然，由此可知，选项A、C、D均不正确，故应选B．9．(2005年)设区域D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4，χ≥0，y≥0}，f(χ)为D 上的正值连续函数，a、b为常数，则A．abπ．B．π．C．(a＋b)π．D．正确答案：D解析：令f(χ)≡1，显然f(χ)满足原题设条件，则显然，选项A、B、C均不正确，故应选D．10．(2002年)设函数f(χ)连续，则下列函数中必是偶函数的是A．∫0χf(t2)dt．B．∫0χf2(t)dt．C．∫0χt[f(t)－f(－t)]dt．D．∫0χt[f(t)＋f(－t)]dt．正确答案：D解析：取f(χ)≡1，则∫0χf(t2)dt＝∫0χdt＝χ，∫0χf2(t)dt＝χ，则A、B均不正确．若另取f(χ)＝χ，则∫0χt(t)－f(－t)]dt＝∫0χ2t2dt＝χ3，从而C也不正确，故应选D．11．(1996年)设函数f(χ)在区间(－δ，δ)内有定义，若当χ∈(－δ，δ)时，恒有｜f(χ)｜≤χ2，则χ＝0必是f(χ)A．间断点．B．连续而不可导的点．C．可导的点，且f′(0)＝0．D．可导的点，且f′(0)≠0．正确答案：C解析：令f(χ)＝χ3，显然χ∈(－δ，δ)时，｜f(χ)｜＝｜χ3｜≤χ2，且f′(χ)＝3χ2，f′(0)＝0，则A、B、D均不正确，故应选C．12．(1990年)已知f(χ)在χ＝0某邻域内连续，且f(0)＝0，＝2，则在点χ＝0处f(χ)A．不可导．B．可导且f′(χ)≠0．C．取得极大值．D．取得极小值．正确答案：D解析：由于当χ→0时，1－cosχ～χ2，所以令f(χ)＝χ2，则f(χ)符合原题设条件．而f(χ)在χ＝0处可导，取极小值，f′(0)＝0，则A、B、C均不正确，故应选D．13．(2001年)设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又＝－1，则A．χ＝a是f(χ)的极小值点．B．χ＝a是f(χ)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：B解析：若取f′(χ)＝－(χ－a)，即令f(χ)＝－(χ－a)2，则显然f(χ)符合原题条件，f(χ)＝－(χ－a)2在χ＝a取极大值，且(a，f(a))也不是y＝－(χ－a)2的拐点，则A、C、D均不正确，故应选B．14．(1999年)设f(χ)是连续函数，F(χ)是f(χ)的原函数，则A．当f(χ)是奇函数时，F(χ)必是偶函数．B．当f(χ)是偶函数时，F(χ)必是奇函数．C．当f(χ)是周期函数时，F(χ)必周期函数．D．当f(χ)是单调增函数时，F(χ)必是单调增函数．正确答案：A解析：令f(χ)＝cosχ＋1，F(χ)＝sinχ＋χ＋1．显然f(χ)是偶函数，周期函数，但F(χ)不是奇函数，也不是周期函数，则B、C均不正确．若令f(χ)＝χ，F(χ)＝χ2，则f(χ)单调增，但F(χ)不单调增，因此，D也不正确，故应选A．15．(1996年)设f(χ)处处可导，则A．当f′(χ)＝＋∞时，必有f(χ)＝＋∞．B．当f(χ)＝＋∞时，必有f′(χ)＝＋∞．C．当f′(χ)＝－∞时，必有f(χ)＝－∞．D．当f(χ)＝－∞时，必有f′(χ)＝－∞．正确答案：A解析：令f(χ)＝χ，则f(χ)≡1 f(χ)＝＋∞，但f′(χ)＝1≠＋∞f(χ)＝－∞，但f′(χ)＝1≠－∞则B和D均不正确若令f(χ)＝χ2，则f′(χ)＝2χf′(χ)＝－∞，但f(χ)＝＋∞≠－∞所以C也不正确，故应选A．16．(1996年)设f(χ)有连续导数，f(0)＝0，f′(0)≠0，F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)f(t)dt，且当χ→0时，F′(χ)与χk是同阶无穷小，则k等于A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由f(0)＝0，f′(0)≠0．取f(χ)＝χ则F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)tdt ＝．F′(χ)＝χ3．由χ→0时，F′(χ与χk是同阶无穷小，知k＝3，从而，A、B、D均不正确，故应选C．17．(1987年)设f(χ)在χ＝a处可导，则等于A．f′(a)B．2f′(a)C．0D．f′(2a)正确答案：B解析：令f(χ)＝χ，则但f′(χ)＝1，从而f′(a)＝f′(2a)＝1，则A、C、D均不正确，故应选B．18．(1991年)若连续函数f(χ)满足关系式f(χ)＝∫02χf()dt＋ln2 则f(χ)等于A．eχln2B．e2χln2C．eχ＋ln2D．e2χ＋ln2正确答案：B解析：由f(χ)＝∫02χf()dt＋ln2知f(0)＝ln2 (1) f′(χ)＝2f(χ) (2) 显然C、D选项不符合(1)式，A选项不符合(2)式，故应选B．19．(1995年)设f(χ)和φ(χ)在(－∞，＋∞)内有定义，f(χ)为连续函数，且f(χ)≠0，φ(χ)有间断点，则A．φ[f(χ)]必有间断点．B．[φ(χ)]2必有间断点．C．f[φ(χ)]必有间断点．D．必有间断点．正确答案：D解析：令φ(χ)＝，f(χ)＝χ2＋1 显然f(χ)和φ(χ)符合原题条件，而φ(χ)]＝1，φ2(χ)＝1，f[φ(χ)]＝2均无间断点，则A、B、C均不正确，故应选D．20．(1993年)若f(χ)＝－f(－χ)，在(0，＋∞)内，f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，则f(χ)在(－∞，0)内A．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0D．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由原题设可令f(χ)＝χ3，显然f(χ)符合原题条件．而在(－∞，0)内，f′(χ)＝3χ2＞0，f〞(χ)＝6χ＜0．则A、B、D均不正确，故应选C．21．(1996年)设f′(χ0)＝f〞(χ0)＝0，f〞′(χ0)＞0，则下列选项正确的是A．f′(χ0)是f′(χ)的极大值．B．f(χ0)是f(χ)的极大值．C．f(χ0)是f(χ)的极小值．D．(χ0，f(χ0))是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：D解析：由题设f′(χ0)＝f〞(χ0)＝0，f〞′(χ0)＞0．可令f(χ)＝(χ－χ0)3 显然此f(χ)符合原题条件，而f′(χ)＝3(χ－χ0)2 显然f′(χ0)是f′(χ)极小值而不是极大值，则A不正确，又f(χ0)＝0，而在χ0任何邻域内f(χ)可正也可负，从而f(χ0)不是f(χ)的极值点，因此B和C也不正确，故应选D．22．(1998年)设f(χ)连续，则∫0χtf(χ2－t2)dt＝A．χf(χ2)B．－χf(χ2)C．2χf(χ2)D．－2χf(χ2)正确答案：A解析：令f(χ)≡1，则∫0χtf(χ2－t2)dt＝∫0χtdt＝χ显然B、C、D均不正确，故应选A．23．(1994年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，且f(χ)＞0，则方程∫a χf(t)dt＋∫bχdt＝0在开区间(a，b)内的根有A．0个．B．1个．C．2个．D．无穷多个．正确答案：B解析：由题设条件，可令f(χ)≡1，此时方程∫aχf(t)dt＋∫bχdt＝0。
1996年考研数学二试题及答案
1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分15 分. 把答案填在题中横线上.)x 2(1) 设y(x e 2 ) 3 , 则y＿＿＿＿＿＿.x 0(2) 12 2(x 1 x ) dx ＿＿＿＿＿＿. 1(3) 微分方程y 2y5y 0 的通解为＿＿＿＿＿＿.(4)3 1lim x sin ln(1 ) sin ln(1 )xx x＿＿＿＿＿＿.(5) 由曲线1y x , x 2及y 2 所围图形的面积S ＿＿＿＿＿＿.x二、选择题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分15 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设当x 0时, e x (ax2 bx 1)是比x2 高阶的无穷小, 则( )(A)1a ,b 1 (B) a 1,b 12(C)1a ,b 1 (D) a 1,b 12(2) 设函数 f ( x) 在区间( , ) 内有定义, 若当x ( , )时, 恒有 2| f (x) | x , 则x 0 必是 f (x) 的( )(A) 间断点(B) 连续而不可导的点(C) 可导的点, 且 f (0) 0 (D) 可导的点, 且f (0) 0(3) 设f (x) 处处可导, 则( )(A) 当lim f (x) , 必有lim f ( x)x x(B) 当lim f (x) , 必有lim f (x)x x(C) 当lim f (x) , 必有lim f ( x)x x(D) 当lim f (x) , 必有lim f (x)x x1 1(4) 在区间( , ) 内, 方程| x | | x|cosx 0 ( )4 2(A) 无实根(B) 有且仅有一个实根(C) 有且仅有两个实根(D) 有无穷多个实根(5) 设f ( x), g( x) 在区间[ a, b] 上连续, 且g( x) f (x) m ( m 为常数), 由曲线y g(x),y f (x), x a 及x b 所围平面图形绕直线y m旋转而成的旋转体体积为( )b(A) 2m f (x) g(x) f (x) g(x) dxab(B) 2m f (x) g(x) f (x) g( x) dxab(C) m f (x) g(x) f (x) g( x) dxab(D) m f (x) g( x) f (x) g( x) dxa三、( 本题共 6 小题, 每小题 5 分, 满分30 分.)(1) 计算ln21 2 xe dx .(2) 求dx1 sin x.(3) 设t2x f (u ) du,2 2y [ f (t )] ,其中 f (u) 具有二阶导数, 且 f (u) 0, 求2d y2dx.(4) 求函数 f (x) 11xx在x 0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.(5) 求微分方程 2y y x 的通解.(6) 设有一正椭圆柱体, 其底面的长、短轴分别为2a、2b , 用过此柱体底面的短轴与底面成角( 0 ) 的平面截此柱体, 得一锲形体( 如图), 求此锲形体的体积V .2四、( 本题满分8 分)计算不定积分arctan x2 2x (1 x )dx .五、( 本题满分8 分)21 2x , x 1,设函数 3f (x) x , 1 x 2,12x 16, x 2.(1) 写出 f (x) 的反函数g( x) 的表达式；(2) g(x) 是否有间断点、不可导点, 若有, 指出这些点.六、( 本题满分8 分)设函数y y( x) 由方程2y3 2y2 2xy x2 1所确定, 试求y y( x) 的驻点, 并判别它是否为极值点.七、( 本题满分8 分)设f (x) 在区间[ a,b] 上具有二阶导数, 且 f (a) f (b) 0 , f (a) f (b) 0 , 试证明：存在(a,b) 和(a, b) , 使f ( ) 0及f ( ) 0 .八、( 本题满分8 分)设f (x) 为连续函数,(1) 求初值问题y ay f ( x),y 0x 0的解y( x) , 其中a为正的常数；kax(2) 若| f (x) | k ( k 为常数), 证明：当x 0 时, 有| ( ) | (1 )y x ea.1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分15 分.)(1) 【答案】13【解析】1x x2 13y x e e ,2 1 23 22 1 1y 1 .x 03 2 3(2) 【答案】 2【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质, 有原式1 12 2 2 2x 2x 1 x 1 x dx 2x 1 x 1 dx 0 2 2.1 1【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质：a若f (x) 在[ a, a] 上连续且为奇函数, 则 f ( x) dx 0；a若f (x) 在[ a, a] 上连续且为偶函数, 则a af ( x)dx 2 f ( x)dx.a 0(3) 【答案】xy e c1 cos2x c2 sin 2x【解析】因为y 2y 5y0 是常系数的线性齐次方程, 其特征方程r 2 2r 5 0 有一对共轭复根xr1,r2 1 2i. 故通解为y e c1 cos2 x c2 sin 2x .(4) 【答案】 2k k k【解析】因为x 时, sin ln 1 ln 1x x x( k 为常数), 所以,原式3 1 3 1lim xsin ln 1 lim xsin ln 1 lim x lim x 3 1 2 x x x xx x x x.(5) 【答案】ln 2 1 2【解析】曲线1y x ,xy 2 的交点是1,2 , y x21 x 12x x, 当x 1时y x 1( ) ,单调上升在上方于是y 2x2 1S x 2 dx1xy2y x1x21 12x ln x 2x ln 2 . 221O 1 2 x 二、选择题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分15 分.)超级狩猎者(1) 【答案】(A)【解析】方法1：用带皮亚诺余项泰勒公式. 由x2 1 eax bx2x2 21 x x ax bx 12!112 2 2b x a x x 令x ,2可得1 b 0,1a 0,21a ,b 1.应选(A).2方法2：用洛必达法则. 由x 2 xe (ax bx 1) e 2ax blim lim 0,洛2x 0 x 0x 2x有xlim e 2ax b 1 b 0 b 1.x 0又由x xe 2ax b e 2a 1 2a 1 lim lim 0 ax 0 x 02x 2 2 2.应选(A).(2) 【答案】(C)【解析】方法一：首先, 当x 0 时, | f (0) | 0 f (0) 0 .而按照可导定义我们考察2f (x) f (0) f (x) x0 x 0( x 0)x x x,由夹逼准则, ff (x) f (0)(0) lim 0x 0x, 故应选(C).方法二：显然, f (0) 0, 由| f (x) | x2, x ( , ) , 得f ( x)2x1, x ( ,0) (0, ) , 即f (x)2x有界, 且f (x) f (0) f (x)f (0) lim lim x 02.x x0 x 0 x故应选(C).方法三：排除法.令 3f (x) x , f (0) 0, 故(A) 、(B) 、(D) 均不对, 应选(C).超级狩猎者【相关知识点】定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3) 【答案】(D)x 【解析】方法一：排除法. 例如 f ( x) x, 则(A),(C) 不对；又令 f (x) e , 则(B) 不对.故应选择(D).方法二：由lim f (x) , 对于M 0 , 存在x x , 使得当x x0 时, f (x) M .由此, 当x x 时, 由拉格朗日中值定理,f ( x) f (x ) f ( )(x x ) f (x ) M ( x x ) ( x ) ,0 0 0 0从而有lim f (x) , 故应选择(D).x【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数 f ( x) 满足(1) 在闭区间[a,b] 上连续；(2) 在开区间(a,b) 内可导,那么在(a, b) 内至少有一点( a b), 使等式f (b) f (a) f ( )(b a)成立.(4) 【答案】(C)1 1f (x) | x |4 | x|2 cosx , 则f ( x) f (x) , 故f (x) 是偶函数, 考察 f (x) 【解析】令在(0, )内的实数个数：1 1f ( x) x x cosx( x 0 ).4 2首先注意到 f (0) 1 0,1 1f ( ) ( ) ( ) 1 0, 当04 22 2 2x 时, 由零值定2理, 函数 f ( x) 必有零点, 且由3 11 14 2f (x) x x sin x 0,4 2f (x) 在(0, )2单调递增, 故 f (x) 有唯一零点.当x 时,1 11 1f ( x) x x cos x ( ) ( ) 1 0, 没有零点；2 4 2 4 22 2因此, f (x) 在(0, )有一个零点. 又由于 f (x) 是偶函数, f (x) 在( , ) 有两个零点.超级狩猎者故应选(C).【相关知识点】零点定理：设函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续, 且 f (a) 与 f (b) 异号( 即f (a) f (b) 0 ), 那么在开区间(a,b)内至少有一点, 使f ( ) 0 .(5) 【答案】(B)【解析】ymy f (x)y g(x)O ba x x dx x见上图, 作垂直分割, 相应于x,x dx 的小竖条的体积微元2 2 dV (m g (x))dx (m f ( x)) dx(m g( x)) (m f (x)) (m g( x)) (m f ( x)) dx2m g( x) f (x) f (x) g( x) dx,b于是V 2m g( x) f (x) f ( x) g(x) dx ,a故选择(B).三、( 本题共 6 小题, 每小题 5 分, 满分30 分.)(1) 【解析】方法一：换元法.令 1 2xe u, 则1 u2x ln(1 u ), dx du22 1 u,所以3 2 3 3x u 1 1 1 1ln2 21 2 2 ( 1) 2 ( 2)e dx du du du2 20 0 0 01 u 1 u2 1 u 1 u31 1 u23 3ln ln(2 3)2 1 u 2 2.方法二：换元法.x令sine t , 则cos tx ln sin t, dx dtsin t, x : 0 ln 2 t : ,2 6x cost 1 ln2 2 6 21 e dx cost dt sin t dt 0 sin t sint2 6超级狩猎者3ln(csct cot t) cost ln(2 3) .2 22 6 6方法三：分部积分法和换元法结合.原式ln2 ln 2x 2x 2x xe e 1dx e 1d( e )0 02x ln2 ln2ex 2x xe e 1 e dx0 2x0 e1令xe t , 则x :0ln 2 t :12 ,原式3 dt 3 222ln(t t 1)2 1 21 12t32ln(2 3).【相关知识点】 1.1csc xdx dx ln csc x cot x Csin x,2. a 0时,dx2 2x aln 2 2x x a C .(2) 【解析】方法一：dx (1 sin x)dx 1 sin xdx21 sin x (1 sin x )(1 sin x) cos x1 sin xdx d cos x2dx sec xdx2 2 2cos x cos x cos xtan1x Ccos x.方法二：dx dxx x21 sin (cos sin )2 2xx2d(1 tan )sec 2 2 2xdx Cx x x2 2(1 tan ) (1 tan ) 1 tan2 2 2.方法三：换元法.令tan x2t , 则2 2 tan t 2tx 2arctan t, dx ,sin x2 2 21 t 1 tan t 1 t,原式1 2 dt 2 2dt 2 C C2t 1 t (1 t) 1 t x2 21 1 tan21 t 2.(3) 【解析】这是由参数方程所确定的函数, 其导数为dy2 2dy dt 2 f (t ) f (t ) 2t tf t24 ( )dx2dx f (t )dt,超级狩猎者所以2d yd dy dt ddt1222()(4tf (t ))4 f (t ) 4tf (t ) 2t22dxdt dx dx dtdxf (t )42f (t )2 2 2 f (t ) 2t f (t ).(4) 【解析】函数 f ( x) 在 x 0 处带拉格朗日余项的泰勒展开式为( n)( n 1)f(0)f ( x)nn 1f (x) f (0) f (0) xxx ,(01)n!(n 1)!.对于函数f (x)1 1 x x , 有 21f (x) 1 2(1 x) 1,1 x2f (x) 2 ( 1)(1 x) ,3f (x) 2 ( 1) ( 2)(1 x) , , ,n nn( )( ) 2( 1) !(1) (1)fx nx 所以()(0) 2( 1) !, ( 1,2,3 ),nnfnn故n 11 x2x2nnn 1f (x)1 2x 2x ( 1) 2x ( 1)(01).n 11 x(1x)(5) 【解析】 方法一： 微分方程2y y x 对应的齐次方程 yy 0 的特征方程为2xrr , 两个根为 r 1 0, r 21, 故齐次方程的通解为 y c 1 c 2e .设非齐次方程的特解2Y x (axbx c) , 代入方程可以得到1 a ,b 1,c2 ,3因此方程通解为1x32y c c ex x 2x .123方法二： 方程可以写成2( y y )x , 积分得3xy yc , 这是一阶线性非齐次微分方3程, 可直接利用通解公式求解. 通解为3dx x dxy e ( ( c )e dx C)3超级狩猎者33x x x x 1 x xe ( ( c )e dx C) e ( x de c e C)0 03 3xe 33 x x 2 x ( x e 3 e x dx ) c Ce3 3x xx x 2 x x x 2 x xe e x dx c0 Ce e (e x 2 e xdx ) c0 Ce3 33x 32 x x x x x 2e (e x e ) c Ce3x 32 x x 2x c Ce .1方法三：作为可降阶的二阶方程, 令y P , 则y P , 方程化为 2P P x , 这是一阶线性非齐次微分方程, 可直接利用通解公式求解. 通解为x 2 x x 2 x x xP e (c x e dx) e (c x e 2xe 2e )0 0x 2c e x 2x 2.再积分得3x x2y c c e x2x.3【相关知识点】 1. 二阶线性非齐次方程解的结构：设y x 是二阶线性非齐次方程*( )* ( )y P(x)y Q( x)y f (x) 的一个特解. Y( x) 是与之对应的齐次方程y P(x)y Q( x)y 0 的通解, 则*y Y( x) y (x) 是非齐次方程的通解.3. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x) , 可用特征方程法求解：即y P(x) y Q(x)y 0 中的P(x)、Q( x) 均是常数, 方程变为y py qy 0 . 其特征方程写为r 2 pr q 0 , 在复数域内解出两个特征根r1,r2 ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根r1,r2 , 则通解为rx r xy C1e 1 C2e2 ;(2) 两个相等的实数根r r , 则通解为1 2rxy C1 C2x e 1 ;(3) 一对共轭复根r i , 则通解为1,2xy e C1 cos x C2 sin x .其中C C1, 2为常数.4. 对于求解二阶线性非齐次方程y P( x) y Q( x) y f (x) 的一个特解y* (x) , 可用待定超级狩猎者系数法, 有结论如下：x如果f (x) P ( x)e ,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如m y x x Q x e * ( ) k ( ) xm的特解, 其中Q ( x) 是与P m (x) 相同次数的多项式, 而k 按不是特征方程的根、是特征方m程的单根或是特征方程的重根依次取0、1 或2.x如果f (x) e [ P(x)cos x P ( x)sin x] , 则二阶常系数非齐次线性微分方程l ny p(x) y q( x) y f (x) 的特解可设为* k x[ (1) ( )cos (2) ( )sin ]y x e R x x R x x ,m m其中R x 与(1) ( )m R x 是m次多项式, m max l,n, 而k 按i ( 或i ) 不是特征(2) ( )m方程的根、或是特征方程的单根依次取为0 或1.5. 一阶线性非齐次方程y P(x)y Q( x) 的通解为P(x) dx P( x) dxy e Q x e dx C , 其中C 为任意常数.( )(6) 【解析】建立坐标系, 底面椭圆方程为2 2x y2 2 1.a b方法一：以垂直于y 轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,其中一条直角边长为a2 2 x b yb,另一条直角边长为故截面面积为ab2 2 tanb y,21 a2 2S( y) (b y ) tan22 b.楔形体的体积为2b a b 22 2 2.V 2 S( y)dy tan (b y )dy a b tan20 0 3b方法二：以垂直于x 轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形,其中一条边长为b2 2 2y 2 a xa,另一条边长为x tan ,故截面面积为b2 2S(x) 2 x a x tana, 楔形体的体积为超级狩猎者a 2b a 22 2 2V 2 S(x )dx tan x a x dx a b t an0 0 3a.四、( 本题满分8 分)【解析】方法一：分部积分法.arctan x arctan x arctan xdx dx dx2 2 2 2x (1 x ) x 1 x1arctan xd ( ) arctan xd (arctan x)x分部1dx 12arctan x arctan x2x x(1 x ) 21 1 x 12arctan x ( )dx arctan x2x x 1 x 21 1 12 2 arctan x ln x ln(1 x ) arctan x C x 2 2.方法二：换元法与分部积分法结合.令arctan x t , 则x tant, dx sec2 tdt,2arctanx t sec t t2dx dt dt t cot tdt 2 22 2 2x (1 x ) tan t(1 tan t) tan t2t (csc t 1)dt td ( cot t) tdt分部1 t cot t cot dt t22cos x 1t cot t dt tsin x 221 1t cot t d sin t tsin t 2212t cot t ln sin t t C .2五、( 本题满分8 分)【分析】为了正确写出函数 f (x) 的反函数g( x) , 并快捷地判断出函数g( x) 的连续性、可导性, 须知道如下关于反函数的有关性质.【相关知识点】反函数的性质：①若函数 f (x) 是单调且连续的, 则反函数g(x) 有相同的单调性且也是连续的；②函数 f ( x) 的值域即为反函数g(x) 的定义域；③g (x)1f ( x),故函数 f (x) 的不可导点和使 f (x) 0 的点x 对应的值f ( x) 均为g(x) 的不可导点.超级狩猎者【解析】(1) 由题设, 函数 f (x) 的反函数为1 x, x 1,23g(x) x, 1 x 8,x 16, x 8.12(2) 方法一：考察 f (x) 的连续性与导函数. 注意21 2x , x 1,3f ( x) x , 1 x 2,12x 16, x 2在( , 1),( 1,2),(2, ) 区间上 f (x) 分别与初等函数相同, 故连续. 在x 1,x 2处分别左、右连续, 故连续. 易求得4x, x 1,2f (x) 3x , 1 x 2, f ( 1) 4, f ( 1) 3,12, x 2f (2) 12, f (2) 12 f (2) 12.由于函数 f (x) 在( , ) 内单调上升且连续, 故函数g( x) 在( , ) 上单调且连续, 没有间断点.由于仅有x 0 时 f (x) 0 且f (0) 0, 故x 0 是g( x) 的不可导点；仅有x 1 是f (x) 的不可导点( 左、右导数, 但不相等), 因此g(x) 在f ( 1) 1 处不可导.方法二：直接考察g (x) 的连续性与可导性. 注意1 x, x 1,23g(x) x, 1 x 8,x 16, x 8,12在( , 1),( 1,8),(8, ) 区间上g(x) 分别与初等函数相同, 故连续. 在x 1,x 8处分别左、右连续, 故连续, 即g (x) 在( , ) 连续, 没有间断点.g(x) 在( , 1),( 1,8),(8, ) 内分别与初等函数相同, 这些初等函数只有3x在超级狩猎者x 0不可导, 其余均可导. 在x 1处,1 x 1 13g ( 1) , g ( 1) x ,2 4 3x 1 x 1g ( 1) 不. 在x 8处 ,1 x 16 1 3g (8) x , g (8) ,12 12 12 x 8x 8g (8) .因此, g (x) 在( , ) 内仅有x 0 与x 1两个不可导点.六、( 本题满分8 分)【解析】方程两边对x求导, 得2 23y y 2yy xy y x 0,(3 y 2y x)y y x 0. ①令y 0,得y x ,代入原方程得 3 22x x 1 0 , 解之得唯一驻点x 1；对①两边再求导又得2 2(3y 2y x) y (3y 2y x)x y y 1 0. ②以x y 1,y 0代入②得12y 1 0, y 0,x 12x 1是极小点.【相关知识点】 1. 驻点：通常称导数等于零的点为函数的驻点( 或稳定点, 临界点).6. 函数在驻点处取得极大值或极小值的判定定理.当函数 f ( x) 在驻点处的二阶导数存在且不为零时, 可以利用下述定理来判定 f (x) 在驻点处取得极大值还是极小值.定理：设函数 f (x) 在x处具有二阶导数且0 f (x ) 0, f (x ) 0, 那么0 0(1) 当f(x ) 0时, 函数 f (x)在0 x 处取得极大值；0(2) 当f(x ) 0时, 函数 f (x) 在x0 处取得极小值.七、( 本题满分8 分)【解析】首先证明( a,b) , 使 f ( ) 0 ：方法一：用零点定理. 主要是要证明 f (x) 在(a,b)有正值点与负值点. 不妨设 f (a) 0, f (b) 0 .由f (x) f (a)lim f (a) f (a) 0x ax a与极限局部保号性,知在x a的某右邻域,f ( x) f (a)x a0,从而 f (x) 0 ,因而x1,b x1 a, f (x1) 0 ；类似地,由f (b) 0 可证x2,x1 x2 b, f (x2) 0.由零点定理, (x1, x2 ) ( a,b) , 使f ( ) 0 .方法二：反证法. 假设在(a, b) 内f (x) 0 , 则由 f (x) 的连续性可得 f (x) 0 , 或 f (x) 0 , 不妨设 f (x) 0 . 由导数定义与极限局部保号性,f (x) f (a) f ( x)f (a) f (a) lim lim 0x a x ax a x a,f (x) f (b) f (x)f (b) f (b) lim lim 0x b x b x b x b,从而 f (a) f (b) 0 , 与 f (a) f (b) 0 矛盾.其次, 证明(a,b) , f ( ) 0 ：由于 f (a) f ( ) f (b) 0, 根据罗尔定理,1 (a, ),2 ( ,b) , 使f ( 1) f ( 2 ) 0；又由罗尔定理,( , ) ( a,b), f ( ) 0 .1 2注：由f(x ) 0可得：在(x0 ,x0), f (x) f ( x0 ) ；在(x0, x0 ), f (x) f(x0) . 注意由f(x ) 0得不到f (x) 在0 (x ,x) 单调增的结果！0 0【相关知识点】 1. 零点定理：设函数 f (x) 在闭区间[a, b] 上连续,且f (a) 与 f (b) 异号(即f (a) f (b) 0 ),那么在开区间(a, b) 内至少有一点,使f ( ) 0 .2．函数极限的局部保号性定理：如果l im f (x) A ,且A 0 (或A 0),那么存在常数0 ,x x使得当0x x 时,有 f ( x) 0 (或 f (x) 0).7. 函数极限局部保号性定理的推论：如果在x0 的某去心邻域内 f ( x) 0( 或 f (x) 0), 而且l im f (x) A,那么 A 0(或A 0).x x8.罗尔定理：如果函数 f (x) 满足(1) 在闭区间[a,b] 上连续；(2) 在开区间(a,b) 内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等, 即f (a) f (b) ,那么在(a, b) 内至少有一点( a b), 使得 f ( ) 0 .八、( 本题满分8 分)【解析】(1) y ay f (x) 为一阶线性非齐次微分方程, 可直接利用通解公式求解. 通解为ax ax axy( x) e f (x)e dx C e F (x) C ,ax其中F (x) 是f (x)e 的任一原函数,由y(0) 0 得 C F (0) ,故xax ax aty( x) e F (x) F (0) e e f (t) dt .(2) 当x 0 时,x xax at ax aty( x) e e f (t) d t e e f (t) dt0 0ax at ax 1 at k axx xke e dt ke e (1 e )0 a a.【相关知识点】一阶线性非齐次方程y P(x) y Q(x) 的通解为P(x) dx P( x) dxy e Q x e dx C , 其中C 为任意常数.( )。
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
必是 f (x) 的
(A) 间断点
(C) 可导的点,且 f (0) 0
(3) 设 f (x) 处处可导,则
(A) 当 lim f (x) ,必有 lim f (x)
x
(B) 当 lim f (x) ,必有 lim f (x)
x
(C) 当 lim f (x) ,必有 lim f (x)
g ( x)dx
g ( x)dx
g ( x)dx
f (u) 具有二阶导数,且
(4) 求函数 f (x) 1 x 在 x 0 点处带拉格朗日型余项的 n 阶泰勒展开式. 1 x
(5) 求微分方程 y y x2 的通解.
(6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为 2a、2b ,用过此柱体底面的短轴与底面成 角( 0 )的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V . 2
(1) 计算 ln 2 1 e2x dx .
0
(2) 求
dx
1 sin x
x t f (u2 )du,
设 0
(3)
y [ f (t2 )]2 ,
.
g(x) f
g(x) f
g(x)
g(x) f
其中
f
(x)
(x)
(x)
(x)
g ( x)dx
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 已知全集I =N ，集合A ={x │x =2n ，n ∈N }，B ={x │x =4n ，n ∈N }，则 ( )(A) B A I =(B)B A I =(C) B A I =(D) B A I =(2) 当a >1时，在同一坐标系中，函数y =a －x 与y =log a x 的图像( )(3) 若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是 ( )(A) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ (B) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ (C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ (D) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ(4) 复数54)31()22(i i -+等于( )(A) i 31+(B) i 31+-(C) i 31-(D) i 31--(5) 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l l ,γβ =∥m m 和αα⊂,,⊥γ，那么必有( )(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C)m ∥β且l ⊥m(D)α∥β且α⊥γ(6) 当x x x f x cos 3sin )(,22+=≤≤-函数时ππ的( ) (A) 最大值是1，最小值是－1 (B) 最大值是1，最小值是－21 (C) 最大值是2，最小值是－2 (D) 最大值是2，最小值是－1(7) 椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是( )(A) (－3，5)，(－3，－3) (B) (3，3)，(3，－5) (C) (1，1)，(－7，1)(D) (7，－1)，(－1，－1))](arccos[sin )]2(arcsin[cos ,20)8(απαππα+++<<则若等于( )(A)2π (B) －2π (C)2π－2α (D) －2π－2α (9) 将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD =a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )(A) 63a(B) 123a(C)3123a (D)3122a (10) 等比数列{}n a 的首项a 1=－1，前n 项和为S n ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于( )(A)32(B) －32 (C) 2 (D) －2(11) 椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是( )(A) (3，0)，(1，π)(B) (3，2π)，(3，23π)(C) (2，3π)，(2，35π)(D) (7，23arctg)，(7，23arctg -2π) (12) 等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )(A) 130(B) 170(C) 210(D) 260(13) 设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ,直线l 过),0)(0,(b a 两点，已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 ( )(A) 2(B)3(C)2 (D)332 (14) 母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于 ( )(A)π322 (B)π332 (C)π2(D)π362 (15) 设f (x )是(－∞，+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )=x ，则f (7.5) 等于( )(A) 0.5 (B) －0.5(C) 1.5(D) －1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(16)已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则P=(17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）(18)40tg 20tg 340tg 20tg ++的值是(19)如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)解不等式1)11(log >-xa ．(21)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求2cosCA -的值． 22．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1．(Ⅰ)求证：BE =EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)(Ⅰ)证明：在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足． ① ∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB =BC 得BF ⊥AC ，② ∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ． ③ ∵∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE =FG ， ④ ∵ ∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ， ⑤ ∵ ∴112121BB AA FG ==，即11,21EB BE BB BE ==故 23．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）24．已知l 1、l 2是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2．(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围；(Ⅱ)若12211,5l B A B A 求 、l 2的方程25．已知a 、b 、c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1．(Ⅰ)证明：│c │≤1；(Ⅱ)证明：当－1≤x ≤1时，│g (x )│≤2；(Ⅲ)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D (4)B(5)A(6)D(7)B(8)A(9)D(10)B (11)C (12)C (13)A (14)D (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（16）2 （17）32 （18）3（19）42三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．解：(Ⅰ)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a xx——2分由此得xa 11>-． 因为1－a <0，所以x <0， ∴.011<<-x a——5分(Ⅱ)当0<a <1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.11,011a xx由①得，x >1或x <0， 由②得，,110ax -<< ∴ax -<<111 ——10分综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111 ——11分(21)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°． ——2分∵,2260cos 2-=-∴22cos 1cos 1-=+CA 将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+ 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+ ——6分将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A 代入上式得)cos(222)2cos(C A C A --=- 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分,0)32cos 22)(22cos2(=+---C A C A ∵,032cos 22≠+-CA ∴.022cos2=--CA 从而得.222cos=-C A ——12分解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°． 设αα2,2=--=C A CA 则，可得α+= 60A ，α-= 60C ——3分所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα——7分依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ∴2243cos cos 2-=-αα整理得,023cos 2cos 242=-+αα——9分,0)3cos 22)(2cos 2(=+-αα∵03cos 22≠+α， ∴02cos 2=-α． 从而得222cos =-C A ． ——12分(22)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．(Ⅰ) ①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1，——2分 ②∵面ABC ⊥侧面AC 1， ——3分 ③∵BE ∥侧面AC 1， ——4分 ④∵BE ∥AA 1， ——5分 ⑤∵AF =FC ，——6分(Ⅱ)解：分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ． ∵1EB ∥11112121,CC BB EB CC ==， ∴,21111111B A C B DC DB ===∵∠B 1A 1C 1=∠B 1 C 1A 1=60°， ∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21（180°－∠D B 1A 1）=30°， ∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即1DA ⊥11C A——9分∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C ， 所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角． ——11分∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1，∠A 1C 1C =90°， ∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°——12分 (23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ——5分化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ——7分 ∵]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯ )]01.001.01(22.11.11[1022101103 +⨯+⨯+⨯-⨯=C C ]1045.122.11.11[103⨯-⨯≈ 1.4≈—— 9分∴x ≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．——10分(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：（I ）依题设，l 1、l 2的斜率都存在，因为l 1过点P )0,2(-且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即l 1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为).13(4)12)(1(4)22(2121212211-=---=∆k k k k设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k 又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1．——4分于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ——7分(Ⅱ)设),(),,(221111y x B y x A 由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x ∴│A 1B 1│2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)222121))(1(x x k -+=2212121)1()13)(1(4--+=k k k ⑤ ——9分同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+=⑥ 由22115B A B A =，得2222115B A B A =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+ 解得21±=k 取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ； 取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．(Ⅰ)证明：由条件当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1，取x =0得 │c │=│f (0)│≤1， 即│c │≤1．——2分(Ⅱ)证法一：当a >0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是增函数， ∴g (－1)≤g (x )≤g (1)，∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1， ∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤│f (1)│+│c │≤2，g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(│f (－1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2;——5分当a <0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是减函数， ∴g (－1)≥g (x )≥g (1)，∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1，∴g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≤│f (－1)│+│c │≤2， g (1)=a +b =f (1)－c ≥－(│f (1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2;——7分 当a =0时，g (x )=b ，f (x )=bx +c ． ∵－1≤x ≤1，∴│g (x )│=│f (1)－c │≤│f (1)│+│c │≤2． 综上得│g (x )│≤2． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得b ax x g +=)()2121(])21()21[(22--++--+=x x b x x a ])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++= ),21()21(--+=x f x f ——6分当－1≤x ≤1时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x 根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f 即│g (x )│≤2．——8分(Ⅲ)因为a >0，g (x )在[－1，1]上是增函数，当x =1时取得最大值2， 即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2． ①∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1， ∴c =f (0)=－1．——10分因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，根据二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图像的对称轴，由此得0,02==-b ab即 由① 得a =2． 所以 f (x )=2x 2－1． ——12分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设232()x y x e -=+,则0x y ='=＿＿＿＿＿＿.(2)121(x dx -=⎰＿＿＿＿＿＿.(3) 微分方程250y y y '''++=的通解为＿＿＿＿＿＿.(4) 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦＿＿＿＿＿＿.(5) 由曲线1,2y x x x=+=及2y =所围图形的面积S =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设当0x →时,2(1)x e ax bx -++是比2x 高阶的无穷小,则 ( )(A) 1,12a b == (B) 1,1a b == (C) 1,12a b =-=- (D) 1,1a b =-=(2) 设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义,若当(,)x δδ∈-时,恒有2|()|f x x ≤,则0x =必是()f x 的 ( ) (A) 间断点 (B) 连续而不可导的点 (C) 可导的点,且(0)0f '= (D) 可导的点,且(0)0f '≠(3) 设()f x 处处可导,则 ( )(A) 当lim ()x f x →-∞=-∞,必有lim ()x f x →-∞'=-∞(B) 当lim ()x f x →-∞'=-∞,必有lim ()x f x →-∞=-∞(C) 当lim ()x f x →+∞=+∞,必有lim ()x f x →+∞'=+∞(D) 当lim ()x f x →+∞'=+∞,必有lim ()x f x →+∞=+∞(4) 在区间(,)-∞+∞内,方程1142||||cos 0x x x +-= ( )(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根(C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根(5) 设(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续,且()()g x f x m <<(m 为常数),由曲线(),y g x =(),y f x x a ==及x b =所围平面图形绕直线y m =旋转而成的旋转体体积为 ( )(A) [][]2()()()()bam f x g x f x g x dx π-+-⎰(B) [][]2()()()()bam f x g x f x g x dx π---⎰(C) [][]()()()()bam f x g x f x g x dx π-+-⎰(D)[][]()()()()bam f x g x f x g x dx π---⎰三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)计算0⎰.(2) 求1sin dxx +⎰.(3) 设2022(),[()],t x f u du y f t ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰其中()f u 具有二阶导数,且()0f u ≠,求22d y dx .(4) 求函数1()1xf x x-=+在0x =点处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒展开式. (5) 求微分方程2y y x '''+=的通解.(6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为22a b 、,用过此柱体底面的短轴与底面成α角(02πα<<)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V .四、(本题满分8分)计算不定积分22arctan (1)xdx x x +⎰.α五、(本题满分8分)设函数2312,1,(),12,1216, 2.x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩(1) 写出()f x 的反函数()g x 的表达式；(2) ()g x 是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.六、(本题满分8分)设函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定,试求()y y x =的驻点,并判别它是否为极值点.七、(本题满分8分)设()f x 在区间[,]a b 上具有二阶导数,且()()0f a f b ==,()()0f a f b ''>,试证明：存在(,)a b ξ∈和(,)a b η∈,使()0f ξ=及()0f η''=.八、(本题满分8分)设()f x 为连续函数,(1) 求初值问题0(),0x y ay f x y ='+=⎧⎪⎨=⎪⎩的解()y x ,其中a 为正的常数；(2) 若|()|f x k ≤(k 为常数),证明：当0x ≥时,有|()|(1)ax ky x e a-≤-.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】13【解析】132221132x xy x e e ,---⎛⎫⎛⎫'=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭02111323x y =⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.(2)【答案】2【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有原式()1122112121022x x dx dx --⎡⎤⎡⎤=+-==+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. 【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质：若()f x 在[,]a a -上连续且为奇函数,则()0aa f x dx -=⎰； 若()f x 在[,]a a -上连续且为偶函数,则0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰.(3)【答案】()12cos2sin 2x y e c x c x -=+【解析】因为250y y y '''++=是常系数的线性齐次方程,其特征方程2250r r ++=有一对共轭复根1212r ,r i.=-±故通解为()12cos2sin 2xy e c x c x -=+.(4)【答案】2【解析】因为x →∞时,sin ln 1ln 1k k kx x x⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k 为常数),所以, 原式3131lim sin ln 1lim sin ln 1lim lim 312x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (5)【答案】1ln 22-【解析】曲线1y x ,x =+2y =的交点是()12,,2211,x y x x x '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭当1x >时 1y x x=+(单调上升)在2y =上方,于是 212211211ln 2ln 2.22S x dx x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭⎰二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(A)【解析】方法1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由()21x e ax bx -++()()222112!x x x ax bx ο⎛⎫=+++-++ ⎪⎝⎭()()()222112b x a x x x οο⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭令,可得 10111202b ,a ,b .a ,-=⎧⎪⇒==⎨-=⎪⎩应选(A). 方法2：用洛必达法则.由2200(1)2lim lim 0,2x x x x e ax bx e ax bx x→→-++--=洛 有 ()lim 210 1.xx e ax b b b →--=-=⇒=又由 0022121limlim 02222x x x x e ax b e a a a x →→----===⇒=. 应选(A).(2)【答案】(C)【解析】方法一：首先,当0x =时,|(0)|0(0)0f f ≤⇒=. 而按照可导定义我们考察2()(0)()00(0)f x f f x x x x x x x-≤=≤=→→,由夹逼准则, 0()(0)(0)lim0x f x f f x→-'==,故应选(C).方法二：显然,(0)0f =,由2|()|f x x ≤,(,)x δδ∈-,得2()1(,0)(0,)f x x x δδ≤∈-,,即2()f x x 有界,且 200()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x x →→-⎛⎫'==⋅= ⎪⎝⎭. 故应选(C).方法三：排除法.令3(),(0)0,f x x f '==故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C).【相关知识点】定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小. (3)【答案】(D)【解析】方法一：排除法.例如()f x x =,则(A),(C)不对；又令()x f x e -=,则(B)不对.故应选择(D).方法二：由lim ()x f x →+∞'=+∞,对于0M >,存在0x ,使得当0x x >时,()f x M '>.由此,当0x x >时,由拉格朗日中值定理,0000()()()()()()()f x f x f x x f x M x x x ξ'=+->+-→+∞→+∞,从而有lim ()x f x →+∞=+∞,故应选择(D).【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足(1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导,那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.(4)【答案】(C)【解析】令1142()||||cos f x x x x =+-,则()()f x f x -=,故()f x 是偶函数,考察()f x 在(0,)+∞内的实数个数：1142()cos f x x x x =+-(0x >).首先注意到(0)10f =-<,1142()()()10,222f πππ=+>>当02x π<<时,由零值定理,函数()f x 必有零点,且由314211()sin 042f x x x x --'=++>,()f x 在(0,)2π单调递增,故()f x 有唯一零点.当2x π≥时,11114242()cos ()()10,22f x x x x ππ=+-≥+->没有零点； 因此,()f x 在(0,)+∞有一个零点.又由于()f x 是偶函数,()f x 在(,)-∞+∞有两个零点.故应选(C).【相关知识点】零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()f a 与()f b 异号(即()()0f a f b ⋅<),那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ,使()0f ξ=.(5)【答案】(B) 【解析】见上图,作垂直分割,相应于[],x x dx +的小竖条的体积微元22(())(())dV m g x dx m f x dx ππ=---[][](())(())(())(())m g x m f x m g x m f x dx π=-+-⋅--- [][]2()()()()m g x f x f x g x dx π=--⋅-,于是 [][]2()()()()baV m g x f x f x g x dx π=--⋅-⎰,故选择(B).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)【解析】方法一：换元法.u =,则221ln(1),21u x u dx du u =--=-, 所以2ln 220001111(1)(2)11211u du du du u u u u==-=+----+⎰1ln(2222=-=+-. 方法二：换元法.令sin xe t -=,则cos ln sin ,sin t x t dx dt t =-=-,:0ln 2:26x t ππ→⇒→,ln 62026cos 1cos sin sin sin t t dt t dt t t ππππ⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰2266ln(csc cot)cos ln(2t t tππππ=--=.方法三：分部积分法和换元法结合.原式ln2ln00()xe e--==-⎰⎰22ln2xxe e--=-+⎰令x e t=,则:0ln2:12x t→⇒→,原式2211ln(1)22t=+=-++⎰ln(2=. 【相关知识点】1.1csc ln csc cotsinxdx dx x x Cx==-+⎰⎰,2. 0a>时,ln x C=+.(2)【解析】方法一：2(1sin)1sin1sin(1sin)(1sin)cosdx x dx xdxx x x x--==++-⎰⎰⎰22221sin cosseccos cos cosxdx d xdx xdxx x x=-=+⎰⎰⎰⎰1tancosx Cx=-+.方法二：21sin(cos sin)22dx dxx xx=++⎰⎰222(1tan)sec222(1tan)(1tan)1tan222xdxdx Cx x x+===-++++⎰⎰.方法三：换元法.令tan2xt=,则22222tan22arctan,,sin11tan1t tx t dx xt t t====+++,原式2221222221(1)111tan12dtdt C Ct xt t tt=⋅==-+=-+++++++⎰⎰.(3)【解析】这是由参数方程所确定的函数,其导数为22222()()24()()dydy f t f t tdt tf tdxdx f tdt'⋅⋅'===,所以 2222221()(4())4()4()2()d y d dy dt d dt tf t f t tf t t dx dt dx dx dt dx f t ''''⎡⎤=⋅=⋅=+⋅⋅⎣⎦ 22224()2()()f t t f t f t '''⎡⎤=+⎣⎦. (4)【解析】函数()f x 在0x =处带拉格朗日余项的泰勒展开式为()(1)1(0)()()(0)(0),(01)!(1)!n n n n f f x f x f f x x x n n θθ++'=++++<<+.对于函数1()1xf x x -=+,有 12()12(1)1,1f x x x-=-=+-+2()2(1)(1),f x x -'=⋅-+ 3()2(1)(2)(1),f x x -''=⋅-⋅-+,,()(1)()2(1)!(1)n n n f x n x -+=-⋅+所以 ()(0)2(1)!,(1,2,3),n n f n n =-⋅ =故 121112()122(1)2(1)(01)1(1)n nnn n xx f x x x x xx θθ+++-==-+++-+- <<++. (5)【解析】方法一：微分方程2y y x ''+=对应的齐次方程0y y '''+=的特征方程为20r r +=,两个根为120,1r r ==-,故齐次方程的通解为12x y c c e -=+.设非齐次方程的特解2()Y x ax bx c =⋅++,代入方程可以得到1,1,23a b c ==-=, 因此方程通解为3212123xy c c ex x x -=++-+. 方法二：方程可以写成2()y y x ''+=,积分得303x y y c '+=+,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为30(())3dxdx xy e c e dx C -⎰⎰=++⎰33001(())()33xx x x xx e c e dx C e x de c e C --=++=++⎰⎰320(3)3x xx x e x e e x dx c Ce --=-++⎰ 332200(2)33x x xx x x x x x e e x dx c Ce e e x e xdx c Ce ----=-++=--++⎰⎰ 3202()3x x x x x x e e x e c Ce --=-+-++ 32123x x x x c Ce -=-+++. 方法三：作为可降阶的二阶方程,令y P '=,则y P '''=,方程化为2P P x '+=,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为220020()(22)2 2.x x x x x x x P e c x e dx e c x e xe e c e x x ---=+=+-+=+-+⎰再积分得 321223xx y c c e x x -=++-+. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. 4. 一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数. (6)【解析】建立坐标系,底面椭圆方程为22221x y a b+=.方法一：以垂直于y 轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,其中一条直角边长为x=tan α, 故截面面积为22221()()tan 2a S y b y bα=-⋅. 楔形体的体积为222220022()tan ()tan 3bb a V S y dy b y dy a b b αα==-=⎰⎰.方法二：以垂直于x 轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形,其中一条边长为2y =另一条边长为tan x α⋅, 故截面面积为()2tan bS x aα=,楔形体的体积为200222()tan tan 3aa b V S x dx a b a αα===⎰⎰.四、(本题满分8分)【解析】方法一：分部积分法.2222arctan arctan arctan (1)1x x xdx dx dx x x x x =-++⎰⎰⎰1arctan ()arctan (arctan )xd xd x x=--⎰⎰2211arctan arctan (1)2dx x x x x x -+-+⎰分部 22111arctan ()arctan 12x x dx x x x x =-+--+⎰ 22111arctan ln ln(1)arctan 22x x x x C x =-+-+-+.方法二：换元法与分部积分法结合.令arctan x t =,则2tan ,sec x t dx tdt ==,2222222arctan sec cot (1)tan (1tan )tan x t t t dx dt dt t tdt x x t t t ===++⎰⎰⎰⎰2(csc 1)(cot )t t dt td t tdt =-=--⎰⎰⎰21cot cot 2t t dt t -+-⎰分部 2cos 1cot sin 2x t t dt t x =-+-⎰ 211cot sin sin 2t t d t t t =-+-⎰21cot ln sin 2t t t t C =-+-+.五、(本题满分8分)【分析】为了正确写出函数()f x 的反函数()g x ,并快捷地判断出函数()g x 的连续性、可导性,须知道如下关于反函数的有关性质.【相关知识点】反函数的性质：① 若函数()f x 是单调且连续的,则反函数()g x 有相同的单调性且也是连续的；② 函数()f x 的值域即为反函数()g x 的定义域；③ 1()()g x f x '=',故函数()f x 的不可导点和使()0f x '=的点x 对应的值()f x 均为()g x 的不可导点.【解析】(1) 由题设,函数()f x的反函数为1,()18,16,8.12xg x xxx⎧<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩(2) 方法一：考察()f x的连续性与导函数.注意2312,1,(),12,1216,2x xf x x xx x⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩在(,1),(1,2),(2,)-∞--+∞区间上()f x分别与初等函数相同,故连续.在1,2x x=-=处分别左、右连续,故连续.易求得24,1,()3,12,(1)4,(1)3,12,2(2)12,(2)12(2)12.x xf x x x f fxf f f-+-+-<-⎧⎪'''=-<<-=-=⎨⎪>⎩'''==⇒=由于函数()f x在(,)-∞+∞内单调上升且连续,故函数()g x在(,)-∞+∞上单调且连续,没有间断点.由于仅有0x=时()0f x'=且(0)0f=,故0x=是()g x的不可导点；仅有1x=-是()f x的不可导点(左、右导数∃,但不相等),因此()g x在(1)1f-=-处不可导.方法二：直接考察()g x的连续性与可导性.注意1,()18,16,8,12xg x xxx⎧<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩在(,1),(1,8),(8,)-∞--+∞区间上()g x分别与初等函数相同,故连续.在1,8x x=-=处分别左、右连续,故连续,即()g x在(,)-∞+∞连续,没有间断点.()g x在(,1),(1,8),(8,)-∞--+∞内分别与初等函数相同,0x =不可导,其余均可导.在1x =-处,1111(1),(1),43x x g g -++=--=-'⎛'''-==-== ⎝ (1)g '⇒-不∃.在8x =处,881161(8),(8),121212x x x g g -+-+=='+'⎛⎫''====⎪⎝⎭ (8)g '⇒∃.因此,()g x 在(,)-∞+∞内仅有0x =与1x =-两个不可导点.六、(本题满分8分)【解析】方程两边对x 求导,得22320,(32)0.y y yy xy y x y y x y y x ''''-++-=-++-= ①令0,y '=得y x =,代入原方程得32210x x --=,解之得唯一驻点1x =；对①两边再求导又得22(32)(32)10x y y x y y y x y y '''''-++-++-=. ②以1,0x y y '===代入②得11210,0,2x y y =''''-==> 1x =是极小点.【相关知识点】1.驻点：通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点). 2.函数在驻点处取得极大值或极小值的判定定理.当函数()f x 在驻点处的二阶导数存在且不为零时,可以利用下述定理来判定()f x 在驻点处取得极大值还是极小值.定理：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且00()0,()0f x f x '''=≠,那么 (1) 当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极大值； (2) 当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极小值.七、(本题满分8分)【解析】首先证明(,)a b ξ∃∈,使()0f ξ=：方法一：用零点定理.主要是要证明()f x 在(,)a b 有正值点与负值点.不妨设()0,f a '>()0f b '>.由()()lim ()()0x a f x f a f a f a x a ++→-''==>-与极限局部保号性,知在x a =的某右邻域,()()0f x f a x a->-,从而()0f x >,因而111,,()0x b x a f x ∃>>>；类似地,由()0f b '>可证2122,,()0x x x b f x ∃<<<.由零点定理,12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂,使()0f ξ=.方法二：反证法.假设在(,)a b 内()0f x ≠,则由()f x 的连续性可得()0f x >,或()0f x <,不妨设()0f x >.由导数定义与极限局部保号性,()()()()()lim lim 0x a x a f x f a f x f a f a x ax a +++→→-''===≥--,()()()()()lim lim 0x b x b f x f b f x f b f b x bx b ---→→-''===≤--,从而()()0f a f b ''≤,与()()0f a f b ''>矛盾.其次,证明(,)a b η∃∈,()0f η''=：由于()()()0f a f f b ξ===,根据罗尔定理,12(,),(,)a b ηξηξ∃∈∈,使12()()0f f ηη''==；又由罗尔定理, 12(,)(,),()0a b f ηηηη''∃∈⊂=.注：由0()0f x '>可得：在000(,),()()x x f x f x δ-<；在000(,),()()x x f x f x δ+>.注意由0()0f x '>得不到()f x 在00(,)x x δδ-+单调增的结果！【相关知识点】1.零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()f a 与()f b 异号(即()()0f a f b ⋅<),那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ,使()0f ξ=.2．函数极限的局部保号性定理：如果0lim ()x x f x A →=,且0A >(或0A <),那么存在常数0δ>,使得当00x x δ<-<时,有()0f x >(或()0f x <).3. 函数极限局部保号性定理的推论：如果在0x 的某去心邻域内()0f x ≥(或()0f x ≤),而且0lim ()x x f x A →=,那么0A ≥(或0A ≤).4.罗尔定理：如果函数()f x 满足(1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.八、(本题满分8分)【解析】(1) ()y ay f x '+=为一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为[]()()()ax axax y x e f x e dx C e F x C --⎡⎤=+=+⎣⎦⎰, 其中()F x 是()ax f x e 的任一原函数,由(0)0y =得(0)C F =-,故[]0()()(0)()xaxaxat y x eF x F e e f t dt --=-=⎰.(2) 当0x ≥时,0()()()xxaxat axat y x ee f t dt ee f t dt --=⋅≤⎰⎰001(1)x x ax at ax at ax kke e dt ke e e a a---⎛⎫≤⋅=⋅=- ⎪⎝⎭⎰.【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.。