商人过河实验报告

数学模型实验—实验报告6

学院：工商学院专业：电气二类（计算机）姓名：辛文辉尚磊张亨

学号：___ 2012484019 2012484091 2012484055 ____ 实验时间：__ 3.18 ____ 实验地点：b3

一、实验项目：

Matlab程序设计

安全渡河问题可以看成一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人随从各几人)作出决策，在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比随从数少)，在有限步内使人员全部过河。用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到渡河的目的。

此类智力问题经过思考，可以拼凑出一个可行方案。但是，我们现在希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。

二、实验目的和要求

a.了解Matlab程序设计有关基本操作

b.掌握有关程序结构

三、实验内容

允许的状态向量

0 0

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

0 6

0 7

0 8

0 9

0 10

0 11

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10

11 0

11 1

11 2

11 3

11 4

11 5

11 6

11 7

11 8

11 9

11 10

允许的决策向量:

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

0 6

1 0

1 1

2 0

2 1

2 2

3 0

3 1

3 2

3 3

4 0

4 1

4 2

5 0

5 1

6 0

过河步骤：

第1步：0商5仆过河，0商1仆返回

第2步：5商1仆过河，1商1仆返回

第3步：3商3仆过河，1商1仆返回

第4步：3商3仆过河，1商1仆返回

第5步：3商3仆过河，完成

过河过程中状态变化：

步骤此岸商此岸仆方向彼岸商彼岸仆

1 11 6 ==> -8 -3

11 7 <== -8 -4

2 6 6 ==> -

3 -3

7 7 <== -4 -4

3 4 4 ==> -1 -1

5 5 <== -2 -2

4 2 2 ==> 1 1

3 3 <== 0 0

5 0 0 ==> 3 3

对于经典的3对商仆、小船容量为2人时的问题，运行程序求得结果如下

11对商仆，小船容量为6人时，运行程序求得结果如下：

图 3 11对商仆、小船容量为6时的求解结果

事实上，11对商仆时的状态空间如图：

图 4 12对商仆时的状态空间

显然的船容量必须至少保证状态转移能够沿对角线方向向下移动，问题才会有解。船容量为2时可以使状态转移沿对角线移动，但不能持续向下移动，船容量至少为4才可使状态能够沿对角线向下移动。

下面说明何时需要状态空间沿对角线移动。当商仆对数为6时，状态空间为：

图 5 6对商仆时的状态空间

此时状态中心（3,3）距离边界状态（6,3）的距离为3，船容量至少为4才可避免状态转移沿对角线下行，而船容量为4已经是状态转移沿对角线移动的条件，即当商仆对数大于等于6时，船容量至少为4，问题有解。不难说明，当商仆对数为4或5时，所需的

最小船容量为3。综上，使问题有解的商仆对数与船容量之间的关系如下：

表 1 商仆对数与船容量的关系

商仆对数小船容量

1、2、3 ≥2

4、5 ≥3

≥6 ≥4

从图中可以看出，商仆对数为3，容量为2,3,4,5,6的时候，均可以安全过河。当容量为2时并且有4种方式。

通过计算机运行此c++程序，当题目中给定出任意数量的商人，随从，以及规定出任意船的容量，都可以判断出“商人们能否安全渡河？”以及解决“如果能，那么安全渡河的方案是什么？”的问题。从而使这个模型更具有一定的推广价值。

．附件

n=input('输入商人数目: ');

m=input('输入仆人数目: ');

h=input('输入船的最大容量: ');

m0=0;n0=0;

LS=0; % 允许的状态集合S与个数LS

LD=0; % 允许的决策集合D与个数LD

for i=0:n

for j=0:m

if i>=j&n-i>=m-j|i==n|i==0

LS=LS+1;S(LS,:)=[i j];

end

if i+j>0&i+j<=h&(i>=j|i==0)

LD=LD+1;D(LD,:)=[i j];

end

end

end% 用搜寻法找出符合条件的渡河方案

N=15;

Q1=inf*ones(2*N,2*N);

Q2=inf*ones(2*N,2*N);

t=1;le=1;

q=[m n];f0=0; % 判断循环终止标记

while f0~=1&t

k=1; sa=[]; sb=[]; for i0=1:le % 第n次允许的策略集逐次搜索

s0=q(i0,:);

if f0==1

break

end

for i=1:LD % 由s0搜索D后得到允许的状态

s1=s0+(-1)^t*D(i,:);

if s1==[m0,n0]

sa=[m0,n0];

sb=D(i,:);

f0=1;

break

end

for j=2:LS-1 % 搜索对比S后允许状态

if s1==S(j,:)

if k==1

sa(k,:)=s1;

sb(k,:)=D(i,:);

k=k+1;

break

end

if k>1 % 对重复状态删除处理

f1=0;

for ii=1:k-1

if s1==sa(ii,:)

f1=1;

break