权重系数的确定方法 PPT
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物流系统评价课件(PPT65页).pptx
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31
1.000
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
古林法
➢ 按同样方法对各替代方案的评价项目逐项进行评价。
序号（j） 评价项目
1
期望利润
产品
2
成品率
市场
3
占有率
替代方案 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
Rij
0.890 1.404
－ 0.979 1.054
－ 0.857 1.400
－
K ij
1.250 1.404
评价指标的标准化处理
评价指标
在多指标评价中，由于各个评价指标的单位不同， 量纲不同和数量级不同，因此会影响到评价的结果， 甚至会造成决策的失误。
为了统一标准，必须进行预处理，即对所有的评价 指标进行标准化处理，把所有指标值转化为无量纲、 无数量级差别的标准分，然后再进行评价和决策。 ➢ 所有的评价指标从经济上说可以分为两类：
rij
f
j
xij
f
j
f
j
定性模糊指标的量化处理
➢ 定性的模糊指标也可以分为效益指标和成本指 标两类，其模糊指标的量化可以如下表所示：
指标状况
很低 低 一般 高 很高
模糊指 效益指标 0
1
3
5
7
9 10
标量化
得分 成本指标 10 9
7
5
3
1
0
评价指标标准化处理举例
现有四家供应商，决策者根据自身需要，考虑了 六项评价指标，如下表示。
5
4
3
2
800以上 97以上 40以上 20以下 非常美观
701～800 96～97 35～39 21～80 美观
权重系数的确定方法
反之，若某个评价指标是不太重要的（但不 能舍去），但在 个被评价对象中，它取 值的变化程度却非常大，那么，对这 n 个 被评价对象来说，该指标在评价过程中， 对评价结果的影响是非常大的。
n
一、权数的概念
权数：用来衡量总体中各单位标志值在总体 中作用大小的数值叫权数。 权数一般有两种表现形式：一是绝对数 （频数）表示，另一个是用相对数（频率） 表示。相对数是用绝对数计算出来的百分 数（％）或千分数（‟）表示的，又称比 重。
同时,我们必须进一步指出,统计预测中的权 数并不象综合指数中的同度量因素那样具 有一定的经济含义,权数与被加权因素之积 也不形成一个新的统计指标,权数本身仅仅 是一组带有主观假定性的抽象数字,它代表 各期数据的可靠性大小及其对预测结果影 响的重要性程度。可见,权数概念在统计预 测中得到扩展,为权数的应用范围开辟了一 个新的天地。
1.权数在指数领域中的发展 权数不但从指数计算开始,而且在近代统计 史上,权数主要是伴随着指数编制的发展而 发展。在综合指数编制的发展过程中,矛盾 的焦点就是权数问题。根据综合指数计算 中确定权数的方法特点,将权数的发展过程 分为如下四个阶段:
第一阶段从1812年至十九世纪50年代,可视 为初创阶段。 本阶段的主要特点是:权数的确定由凭经验 主观赋权发展到凭历史数据进行客观赋权。 这种客观赋权法对后来指数计算中的权数 确定具有不可抗拒的影响力。这一阶段的 代表人物是英国的杨格、罗威、斯克罗普。
此外，为了使判断更加准确，让评价者了 解已确定的权数把握性的大小，还可以运 用“带有信任度的德尔菲法”，该方法需 在上述第五步每位专家给出最后权数值的 同时，标出各自所给权数值的信任度，并 求出平均信任度。这样，如果某一指标权 数的信任度较高，就可以有较大的把握使 用它；反之，只能暂时使用或设法改进。
第五讲-指标体系及权重确定
，说明在固定m，p的情况下，单纯由q的变动引起的X的变动， 即由于平均开放床位数的增加，使得1988年1季度较1987年 同期的住院收入增加了0.35%。
.
3．平均床位周 q q1 1m m 转 1 0p p0 0次 5 41 8数 7 5 ..4 82 3 4 6指 9 4 1.8 3 3 0% 数 2
，说明在固定q，p的情形下，单纯由m的变动而引起的X的 变动，即由于病床周转次数的下降，使得住院收入减少了 6.18%。
4．出院者人 q q 1 均 1 m m 1 1p p 1 0 费 4 68 1用 ..5 0 8 0 3 4 6 8 1 指 1 8.2 9 0 5 % 数 5 6
，说明在固定q，m的情形下，单纯由p的变动而引起的X的 变动，即由于人均费用的增加，使住院收入增加了25.79%。
.
综合指数是编制总指数的基本计算形式。它一方面，我 们可利用综合指数的方法来进行因素分析；当我们可以把某个 总量指标分解为两个或多个因素指标时，如果固定其中的一个 或几个指标，便可观察出其中某个指标的变动程度；另一方面， 也可以综合观察多个指标同时变动时，对某一现象或结果影响 的程度和方向，进而评价其优劣。
得：W1=0.6370，W2=0.2583，W3=0.1047。
.
用同样方法可获得其他分层中各项目的权重系数，见表5-9 表5-9 第二层、第三层子目标权重系数
.
（4）求组合权重 病床使用率的组合权重系数
C1=0.6370*0.2970=0.1892； 治疗有效率的组合权重系数
C2=0.6370*0.5396*0.6670=0.2292 重患收治率的组合权重系数
1.30，那么加权后的权数分配为A：B：C：D=114：83：51： 27，经归一化处理后，A：B：C：D=0.41：0.30：0.19：0.10。
meanshif算法简介PPT课件
Meanshift算法的概述及其应用
Meanshift的背景
Mean Shift 这个概念最早是由 Fukunaga等人于1975年在一篇关于概率密度梯度函 数的估计中提出来的,其最初含义正如其名,就是偏 移的均值向量。
直到20年以后,也就是1995年,,Yizong Cheng 发表了一篇对均值漂移算法里程碑意义的文章。对 基本的Mean Shift算法在以下两个方面做了改进, 首先Yizong Cheng定义了一族核函数,使得随着样 本与被偏移点的距离不同,其偏移量对均值偏移向 量的贡献也不同,其次Yizong Cheng还设定了一个 权重系数,使得不同的样本点重要性不一样,这大大 扩大了Mean Shift的适用范围.另外Yizong Cheng 指出了Mean Shift可能应用的领域,并给出了具体 的例子。
Mean shift向量的物理意义的什么呢？
为了更好地理解这个式子的物理意义，假设上式中g(x)=1 平均的偏移量会指向样本点最密的方向，也 就是概率密度函数梯度方向
下面我们看一下mean shift算法的步骤
mh x
给定一个初始点x,核函数G(x), 容许误差 ,Mean
Shift算法循环的执行下面三步,直至结束条件满足,
若再考虑到
这个表达式就是基于核函数
的概率密度函数的估计
怎样找到数据集合中数据最密集的地方呢？
数据最密集的地方，对应于概率密度最大的地方。我们可 以对概率密度求梯度，梯度的方向就是概率密度增加最大 的方向，从而也就是数据最密集的方向。
令 的梯度对所有 廓函数，核函数
,假设除了有限个点，轮廓函数
均存在 。将
Meanshift的应用
• Mean Shift可以应用在很多领域，比如聚类，图像平 滑，，图像分割。尤其是应用在目标跟踪领域，其跟踪
Meanshift的背景
Mean Shift 这个概念最早是由 Fukunaga等人于1975年在一篇关于概率密度梯度函 数的估计中提出来的,其最初含义正如其名,就是偏 移的均值向量。
直到20年以后,也就是1995年,,Yizong Cheng 发表了一篇对均值漂移算法里程碑意义的文章。对 基本的Mean Shift算法在以下两个方面做了改进, 首先Yizong Cheng定义了一族核函数,使得随着样 本与被偏移点的距离不同,其偏移量对均值偏移向 量的贡献也不同,其次Yizong Cheng还设定了一个 权重系数,使得不同的样本点重要性不一样,这大大 扩大了Mean Shift的适用范围.另外Yizong Cheng 指出了Mean Shift可能应用的领域,并给出了具体 的例子。
Mean shift向量的物理意义的什么呢？
为了更好地理解这个式子的物理意义，假设上式中g(x)=1 平均的偏移量会指向样本点最密的方向，也 就是概率密度函数梯度方向
下面我们看一下mean shift算法的步骤
mh x
给定一个初始点x,核函数G(x), 容许误差 ,Mean
Shift算法循环的执行下面三步,直至结束条件满足,
若再考虑到
这个表达式就是基于核函数
的概率密度函数的估计
怎样找到数据集合中数据最密集的地方呢？
数据最密集的地方，对应于概率密度最大的地方。我们可 以对概率密度求梯度，梯度的方向就是概率密度增加最大 的方向，从而也就是数据最密集的方向。
令 的梯度对所有 廓函数，核函数
,假设除了有限个点，轮廓函数
均存在 。将
Meanshift的应用
• Mean Shift可以应用在很多领域，比如聚类，图像平 滑，，图像分割。尤其是应用在目标跟踪领域，其跟踪
熵权法-指标权重确定
对指标相关性敏感
熵权法对指标间的相关性较为敏 感，如果指标间存在高度相关性， 会导致权重分配不合理。
对指标量纲敏感
熵权法对指标的量纲比较敏感， 不同量纲的指标需要进行标准化 处理，以消除量纲对权重确定的 影响。
05
熵权法在实践中的应用 案例
案例一：城市环境质量评价
总结词
熵权法在城市环境质量评价中，能够客观地确定各评价 指标的权重，为城市环境质量的综合评价提供依据。
应用。
进一步研究熵权法的理论依据和数学推导，完 善熵权法的计算方法和步骤，提高其准确性和 可靠性。
将熵权法应用于更多的领域和实际问题中，不断 拓展其应用范围和场景，为决策者提供更准确、 可靠的决策依据。
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计算权重
根据信息熵值计算每个指标的权重，权重越大表示该指标越重要。
计算公式为：$w_i = frac{1 - e_i}{1 - e_1 + e_2 + ... + e_n}$。
权重排序
根据计算出的权重对所有指标进行排 序，得到各指标的优先级顺序。
VS
可根据权重大小判断各指标在综合评 价中的重要性，为决策提供依据。
要点二
复相关系数法
通过计算各指标与总体的复相关系数，确定各指标的客观 权重。
主客观组合权重确定方法
乘法权重组合法
线性规划法
将主观权重和客观权重相乘，得到组 合权重。
通过线性规划方法，将主观权重和客 观权重相结合，得到最优组合权重。
加法权重组合法
将主观权重和客观权重相加，得到组 合权重。
04
熵权法的优缺点分析
无量纲化
03
消除不同指标的量纲影响，使不同单位或量级的指标能够进行
第三讲多属性决策分析
确定权重是非常困难的，因为主观的因素，权重很难准确。
确定权的方法有两大类： 主观赋权法：根据主观经验和判断，用某种方法测定属性指标 的权重； 客观赋权法：根据决策矩阵提供的评价指标的客观信息，用某 种方法测定属性指标的权重。 两类方法各有利弊，实际应用时可以结合使用。
下面介绍几种常用的确定权的方法
得到的新权应该更有效。
例：设某决策矩阵(假设都是正向指标)如下：
X1
A1 2.0
D A2 2.5
A3 A4
1.8 2.2
X2 X3 X4 X5 X6
1500 2000 5.5 5 9 2700 1800 6.5 3 5 2000 2100 4.5 7 7 1800 2000 5.0 5 5
使用pij
xij
4
, 进行变换得：
xij
i 1
X1
X2
X3
X4
X5
X6
A1 0.2353 0.1875 0.2530 0.2558 0.25 0.3462
P A2 0.2941 0.3375 0.2278 0.3023 0.15 0.1923
A3 A4
0.2118 0.2588
0.2500 0.2250
0.2658 0.2530
指标的标准化可以部分解决目标属性的不可公度性。
下面介绍几个常用的预处理方法。在决策中可以根据情况 选择一种或几种对指标值进行处理。
1、向量归一化
2、线性比例变化法
3、极差变换法
（3）最优值为给定区间时的变换
4、标准样本变换法
5、定性指标的量化处理 如一些可靠性、满意度等指标往往具有模糊性，可以将指标 依问题性质划分为若干级别，赋以适当的分值。一般可以分 为5级、7级、9级等。
确定权的方法有两大类： 主观赋权法：根据主观经验和判断，用某种方法测定属性指标 的权重； 客观赋权法：根据决策矩阵提供的评价指标的客观信息，用某 种方法测定属性指标的权重。 两类方法各有利弊，实际应用时可以结合使用。
下面介绍几种常用的确定权的方法
得到的新权应该更有效。
例：设某决策矩阵(假设都是正向指标)如下：
X1
A1 2.0
D A2 2.5
A3 A4
1.8 2.2
X2 X3 X4 X5 X6
1500 2000 5.5 5 9 2700 1800 6.5 3 5 2000 2100 4.5 7 7 1800 2000 5.0 5 5
使用pij
xij
4
, 进行变换得：
xij
i 1
X1
X2
X3
X4
X5
X6
A1 0.2353 0.1875 0.2530 0.2558 0.25 0.3462
P A2 0.2941 0.3375 0.2278 0.3023 0.15 0.1923
A3 A4
0.2118 0.2588
0.2500 0.2250
0.2658 0.2530
指标的标准化可以部分解决目标属性的不可公度性。
下面介绍几个常用的预处理方法。在决策中可以根据情况 选择一种或几种对指标值进行处理。
1、向量归一化
2、线性比例变化法
3、极差变换法
（3）最优值为给定区间时的变换
4、标准样本变换法
5、定性指标的量化处理 如一些可靠性、满意度等指标往往具有模糊性，可以将指标 依问题性质划分为若干级别，赋以适当的分值。一般可以分 为5级、7级、9级等。
权重系数的确定方法
统计权数论 曾宪报 东北财大 关于多指标综合评价方法及其权数问题的 讨论 金贞珍 延边大学
二、权数的确定方法
一、德尔菲法 德尔菲法（ 又称为专家咨询法，其特点在 于集中专家的经验与意见，确定各指标的 权数，并在不断的反馈和修改中得到比较 满意的结果。基本步骤如下：
第一步，选择专家。这是很重要的一步， 选得好不好将直接影响到结果的准确性。 一般情况下，可以选本专业领域中既有实 际工作经验又有较深理论修养的专家10— 30人左右，并须征得专家本人的同意。
1.权数在指数领域中的发展 权数不但从指数计算开始,而且在近代统计 史上,权数主要是伴随着指数编制的发展而 发展。在综合指数编制的发展过程中,矛盾 的焦点就是权数问题。根据综合指数计算 中确定权数的方法特点,将权数的发展过程 分为如下四个阶段:
第一阶段从1812年至十九世纪50年代,可视 为初创阶段。 本阶段的主要特点是:权数的确定由凭经验 主观赋权发展到凭历史数据进行客观赋权。 这种客观赋权法对后来指数计算中的权数 确定具有不可抗拒的影响力。这一阶段的 代表人物是英国的杨格、罗威、斯克罗普。
“权数”一词最早出现于《管子轻重· 山权数 篇》。
桓公问管子曰:“请问权数”。 管子对曰:“天以时为权,地以财为权,人以力 为权,君以令为权。” 要想理解这段话中“权数”一词含义,请先 看“权”之涵义。
《孟子· 梁惠王篇》:“权,然后知轻重。” 意思是说“秤一秤,才晓得轻重”。 《墨子· 大取篇》:“于所体之中而权轻重之谓 权”。 《淮南· 时则篇》:“权者所以权万物也”。
二、序关系分析法 1、方法及步骤 1）确定序关系
定义1 相对于某评价准则 （或目标）的重要性程度大于（或不小于） x j 时，则记为 xi x j 。
二、权数的确定方法
一、德尔菲法 德尔菲法（ 又称为专家咨询法，其特点在 于集中专家的经验与意见，确定各指标的 权数，并在不断的反馈和修改中得到比较 满意的结果。基本步骤如下：
第一步，选择专家。这是很重要的一步， 选得好不好将直接影响到结果的准确性。 一般情况下，可以选本专业领域中既有实 际工作经验又有较深理论修养的专家10— 30人左右，并须征得专家本人的同意。
1.权数在指数领域中的发展 权数不但从指数计算开始,而且在近代统计 史上,权数主要是伴随着指数编制的发展而 发展。在综合指数编制的发展过程中,矛盾 的焦点就是权数问题。根据综合指数计算 中确定权数的方法特点,将权数的发展过程 分为如下四个阶段:
第一阶段从1812年至十九世纪50年代,可视 为初创阶段。 本阶段的主要特点是:权数的确定由凭经验 主观赋权发展到凭历史数据进行客观赋权。 这种客观赋权法对后来指数计算中的权数 确定具有不可抗拒的影响力。这一阶段的 代表人物是英国的杨格、罗威、斯克罗普。
“权数”一词最早出现于《管子轻重· 山权数 篇》。
桓公问管子曰:“请问权数”。 管子对曰:“天以时为权,地以财为权,人以力 为权,君以令为权。” 要想理解这段话中“权数”一词含义,请先 看“权”之涵义。
《孟子· 梁惠王篇》:“权,然后知轻重。” 意思是说“秤一秤,才晓得轻重”。 《墨子· 大取篇》:“于所体之中而权轻重之谓 权”。 《淮南· 时则篇》:“权者所以权万物也”。
二、序关系分析法 1、方法及步骤 1）确定序关系
定义1 相对于某评价准则 （或目标）的重要性程度大于（或不小于） x j 时，则记为 xi x j 。
权重系数的确定方法
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然而,在多指标综合评价中,往往找不到诸如 同度量因素之类的实质性权数。因此,为了满足多指
标综合评价的要求,需要对权数概念作进一步扩展。 本文作者之一邱东教授在其所著《多指标综合评 价方法的系统分析》一书中对权数的定义、分类、 产生方式以及权数概念为什么要扩展等问题都作 了比较详尽的论述。
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第一步，选择专家。这是很重要的一步， 选得好不好将直接影响到结果的准确性。 一般情况下，可以选本专业领域中既有实 际工作经验又有较深理论修养的专家10— 30人左右，并须征得专家本人的同意。
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第二步，将待定权数的个指标和有关资料 以及统一确定权数的规则发给选定的各位 专家，请他们独立地给出各指标的权数值。
第4页/共52页
二、权数的起源与发展阶段 1.权数的思想渊源。 权数思想最早源于我国春秋初期著名政治 家管仲(?—前645年)的治国思想。管仲曾被 齐桓公任为宰相,历时40年。他在治国理财 时非常注重应用轻重之权,《史记·管晏列 传》:“管仲既任政相齐……贵轻重,慎权衡。”
第5页/共52页
《史记·平淮书》:“齐桓公用管仲之谋,通轻重 之权。”终于使齐国成为春秋时期的第一 强国。因而管仲的治国思想得到广泛流传 并被后人汇记成《管子轻重》一书,这是一 部专门讨论财政经济问题的论著。
为了方便用于是对选的指标41这种加权的方法是为了突出各指标的相对变化幅度从评价的目的来看就是区别被评价的对象的值大表示在不同的对象身上变化大区别对象能力强所以应给予重这种加权的方法是为了突出各指标的相对变化幅度从评价的目的来看就是区别被评价的对象这种加权的方法是为了突出各指标的相对变化幅度从评价的目的来看就是区别被评价的对象另一种是考虑复相关系数每一个被选的指标用其余的指标对它的相关程度复相关系数来考虑时复相关系数简记为它反映了非的那些指标能替代的能力
然而,在多指标综合评价中,往往找不到诸如 同度量因素之类的实质性权数。因此,为了满足多指
标综合评价的要求,需要对权数概念作进一步扩展。 本文作者之一邱东教授在其所著《多指标综合评 价方法的系统分析》一书中对权数的定义、分类、 产生方式以及权数概念为什么要扩展等问题都作 了比较详尽的论述。
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第一步，选择专家。这是很重要的一步， 选得好不好将直接影响到结果的准确性。 一般情况下，可以选本专业领域中既有实 际工作经验又有较深理论修养的专家10— 30人左右，并须征得专家本人的同意。
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第二步，将待定权数的个指标和有关资料 以及统一确定权数的规则发给选定的各位 专家，请他们独立地给出各指标的权数值。
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二、权数的起源与发展阶段 1.权数的思想渊源。 权数思想最早源于我国春秋初期著名政治 家管仲(?—前645年)的治国思想。管仲曾被 齐桓公任为宰相,历时40年。他在治国理财 时非常注重应用轻重之权,《史记·管晏列 传》:“管仲既任政相齐……贵轻重,慎权衡。”
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《史记·平淮书》:“齐桓公用管仲之谋,通轻重 之权。”终于使齐国成为春秋时期的第一 强国。因而管仲的治国思想得到广泛流传 并被后人汇记成《管子轻重》一书,这是一 部专门讨论财政经济问题的论著。
为了方便用于是对选的指标41这种加权的方法是为了突出各指标的相对变化幅度从评价的目的来看就是区别被评价的对象的值大表示在不同的对象身上变化大区别对象能力强所以应给予重这种加权的方法是为了突出各指标的相对变化幅度从评价的目的来看就是区别被评价的对象这种加权的方法是为了突出各指标的相对变化幅度从评价的目的来看就是区别被评价的对象另一种是考虑复相关系数每一个被选的指标用其余的指标对它的相关程度复相关系数来考虑时复相关系数简记为它反映了非的那些指标能替代的能力
权重的确定方法
h.熵权法
• 熵最先由申农引入信息论，现已在工程技术、社会经济等 领域得到比较广泛的应用。其基本思路是根据指标变异性 的大小来确定客观权重。一般来说，某个指标的信息熵Ej 越小，表明指标值的变异程度越大，提供的信息量越多， 在综合评价中所起的作用越大，其权重也越大。相反，某 个指标的信息熵Ej越大，表明指标值的变异程度越小，提 供的信息量越少，在综合评价中所起的作用越小，其权重 也越小。把实际数据进行标准化后转变为标准化数据dij后， 依据以下公式计算第j项指标的信息熵： Ej＝(lnm)-1∑mi=1pijlnpij 其中m为被评价对象的数 目，n为评价指标数目，并且pij=dij∑mi=1dij，如果pij=0， 则定义limpij→0pijlnpij=0。利用熵计算各指标客观权重公 式为： • wj=1-Ejn-∑nj=1Ej j=1，2，3……n
i =1 p
( j = 1, 2,⋯ , n)
得到权重集： A = (a1 , a2 ,⋯ , an )
§2
层次分析法
(The Analytic Hierarchy process,简称 简称AHP) 简称 层次分析是一种决策分析的方法。它结合了 层次分析是一种决策分析的方法。 定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。 定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。
人们在日常生活和工作中， 人们在日常生活和工作中，常常会遇到在多种方案 中进行选择问题。 中进行选择问题。例如假日旅游可以有多个旅游点供选 择；毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才；政府 毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才； 机构要作出未来发展规划； 机构要作出未来发展规划；厂长要选择未来产品发展方 向；科研人员要选择科研课题…… 科研人员要选择科研课题 人们在选择时， 人们在选择时，最困难的就是在众多方案中都不 是十全十美的,往往这方面很好， 是十全十美的 往往这方面很好，其它方面就不十分满 往往这方面很好 意，这时，比较各方案哪一个更好些，就成为首要问 这时，比较各方案哪一个更好些， 题了。 题了。
熵权法指标权重
熵权法--确定指标权重
目录
熵权法概述 熵权法基本原理
熵权法计算权重过程 熵权法适用范围 熵权法的优缺点
Page 2
1.熵权法概述
熵原本是一热力学概念，它最先由申农 C. E.Shannon 引入信息论 ，称之为信息熵。现已在工 程技术，社会经济等领域得到十分广泛的应用。 申农定义的信息熵是一个独立于热力学熵的概念， 但具有热力学熵的基本性质(单值性、可加性和极 值性)，并且具有更为广泛和普遍的意义，所以称 为广义熵。它是熵概念和熵理论在非热力学领域泛 化应用的一个基本概念。
i 1
i 1
emax ln m
m
m
Page 5
2.熵权法的基本原理
从信息熵的公式可以看出：
如果某个指标的熵值 e j 越小，说明其指标值的变异程度 越大，提供的信息量越多，在综合评价中该指标起的作用 越大，其权重应该越大 如果某个指标的熵值 e j 越大，说明其指标值的变异程度 越小，提供的信息量越少，在综合评价中起的作用越小， 其权重也应越小
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5.熵权法的优缺点
缺点：目前为止，熵权法只在确定权重的过
程中使用，所以使用范围有限，解决的问题 有限
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(4)确定指标的综合权数 j ： 假设评估者根据自己的目的和要求将指标重要性的权重
确定为 j ,j=1,2,…,n，结合指标的熵权 w j 就可以得到指
标j的综合权数：
j i wi
w
i 1 i
m
i
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3.利用熵权法计算权重
当各备选项目在指标j上的值完全相同时,该指标 的熵达到最大值1,其熵权为零。这说明该指标未能 向决策者供有用的信息,即在该指标下,所有的备选 项目对决策者说是无差异的,可考虑去掉该指标。 因此,熵权本身并不是表示指标的重要性系数,而是 表示在该指标下对评价对象的区分度。
目录
熵权法概述 熵权法基本原理
熵权法计算权重过程 熵权法适用范围 熵权法的优缺点
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1.熵权法概述
熵原本是一热力学概念，它最先由申农 C. E.Shannon 引入信息论 ，称之为信息熵。现已在工 程技术，社会经济等领域得到十分广泛的应用。 申农定义的信息熵是一个独立于热力学熵的概念， 但具有热力学熵的基本性质(单值性、可加性和极 值性)，并且具有更为广泛和普遍的意义，所以称 为广义熵。它是熵概念和熵理论在非热力学领域泛 化应用的一个基本概念。
i 1
i 1
emax ln m
m
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2.熵权法的基本原理
从信息熵的公式可以看出：
如果某个指标的熵值 e j 越小，说明其指标值的变异程度 越大，提供的信息量越多，在综合评价中该指标起的作用 越大，其权重应该越大 如果某个指标的熵值 e j 越大，说明其指标值的变异程度 越小，提供的信息量越少，在综合评价中起的作用越小， 其权重也应越小
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5.熵权法的优缺点
缺点：目前为止，熵权法只在确定权重的过
程中使用，所以使用范围有限，解决的问题 有限
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(4)确定指标的综合权数 j ： 假设评估者根据自己的目的和要求将指标重要性的权重
确定为 j ,j=1,2,…,n，结合指标的熵权 w j 就可以得到指
标j的综合权数：
j i wi
w
i 1 i
m
i
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3.利用熵权法计算权重
当各备选项目在指标j上的值完全相同时,该指标 的熵达到最大值1,其熵权为零。这说明该指标未能 向决策者供有用的信息,即在该指标下,所有的备选 项目对决策者说是无差异的,可考虑去掉该指标。 因此,熵权本身并不是表示指标的重要性系数,而是 表示在该指标下对评价对象的区分度。
第5章克里格法PPT课件
2、指示克里金法
实际研究中常常会需要获取研究区内研究对象大于某一给定阈值的概率分布，即要获知研究区内任一点x处随机变量Z(x)的概率分布。 还会碰到采样数据中存在特异值的问题。（特异值是指那些比全部数值的均值或中位数高的多的数值，其既非分析误差所致，也非采样方法等人为误差引起，而是实际存在于所研究的总体之中）。 指示克立格法就是为解决上述问题而发展起来的一种非参数地统计学方法。 指示克立格法不必去掉重要而实际存在的高值数据的条件下处理各种不同现象，并能够给出某点x处随机变量Z(x)的概率分布。
二、线性克里金法
1、简单克里金法
设区域化变量Z(x)满足二阶平稳假设，其数学期望为常数m，协方差函数C(h)和变异函数γ (h)存在且平稳。 现要估计中心点在x0 的待估块段V 的均值Z(x)， Z(x)表达式为 由于 E[Z(x)]=m已知 令 Y(x)=Z(x)-m 则 E[Y(x)]=E[Z(x)-m]= E[Z(x)]-m=0 待估块段新待估值
（3）Z(x)的泛克里金法估计
求出函数F对n个权系数λi的偏导数，并令其为0，和无偏性条件联立建立如下方程组。 整理得估计Z (x)的泛克里金方程组：
泛克里金方程组可用矩阵表示为： 其中
（3）Z(x)的泛克里金法估计
从泛克里金方程组可得以下两等式： 将等式带入估计方差公式可得泛克里金方差，记为： 用变异函数γ(h)表示如下：
或 普通克里金方程组用矩阵形式表达为： 或 权重系数 或 普通克里金估计方差用矩阵表达为： 或
2、普通克里金法
普通克里金计算示例： 设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，拟合的变异函数模型为球状模型，如下所示。 数据如下，点的空间分布如图所示。现用普通克里金方法根据已知五个点的气温数据估算0点处的气温值。
实际研究中常常会需要获取研究区内研究对象大于某一给定阈值的概率分布，即要获知研究区内任一点x处随机变量Z(x)的概率分布。 还会碰到采样数据中存在特异值的问题。（特异值是指那些比全部数值的均值或中位数高的多的数值，其既非分析误差所致，也非采样方法等人为误差引起，而是实际存在于所研究的总体之中）。 指示克立格法就是为解决上述问题而发展起来的一种非参数地统计学方法。 指示克立格法不必去掉重要而实际存在的高值数据的条件下处理各种不同现象，并能够给出某点x处随机变量Z(x)的概率分布。
二、线性克里金法
1、简单克里金法
设区域化变量Z(x)满足二阶平稳假设，其数学期望为常数m，协方差函数C(h)和变异函数γ (h)存在且平稳。 现要估计中心点在x0 的待估块段V 的均值Z(x)， Z(x)表达式为 由于 E[Z(x)]=m已知 令 Y(x)=Z(x)-m 则 E[Y(x)]=E[Z(x)-m]= E[Z(x)]-m=0 待估块段新待估值
（3）Z(x)的泛克里金法估计
求出函数F对n个权系数λi的偏导数，并令其为0，和无偏性条件联立建立如下方程组。 整理得估计Z (x)的泛克里金方程组：
泛克里金方程组可用矩阵表示为： 其中
（3）Z(x)的泛克里金法估计
从泛克里金方程组可得以下两等式： 将等式带入估计方差公式可得泛克里金方差，记为： 用变异函数γ(h)表示如下：
或 普通克里金方程组用矩阵形式表达为： 或 权重系数 或 普通克里金估计方差用矩阵表达为： 或
2、普通克里金法
普通克里金计算示例： 设某一区域气温数据满足二阶平稳假设，协方差函数和变异函数存在，拟合的变异函数模型为球状模型，如下所示。 数据如下，点的空间分布如图所示。现用普通克里金方法根据已知五个点的气温数据估算0点处的气温值。
权重系数的确定方法
• 《孟子·梁惠王篇》:“权,然后知轻重。” 意思是说“秤一秤,才晓得轻重”。
• 《墨子·大取篇》:“于所体之中而权轻重之谓权”。 • 《淮南·时则篇》:“权者所以权万物也”。
很显然,这里的“权”是称量的意思,引伸为权衡,具有权衡轻重之 涵义。只有权衡方知轻重,就象没有规矩不成方圆一样。
• 那么这里的“权数”又作何解释呢? • “数者术数,权数犹言行权之术数”。可见,这里的“权数”是指权衡
统计综合评价方法
权重系数的确定方法
大家知道，即使某个评价指标非常重要，但在 个被评价对象中
n ，若它取值的波动程度非常小，那么无论其取值有多大，对这
个被评价对象来说，该指标在评价过程中，对评价结果的影响都是 非常小。
n
极端一点说，若某个非常重要的指标关于这
个被评价对象的取值是完全相同的话，那么该重要的指标在评价过程 中的作用为零。
轻重的原则和方式、方法,并不是现代统计科学中的权数。二者的共 同之处在于“权”,而不同之处在于“数”, • 古代权数相当于确定现代统计权数的原则和方法。因此我们认为,具 有“权衡轻重之数”含义的现代权数是从管仲的“贵轻重,慎权衡” 思想衍生而来的。
• 2.现代统计科学中的权数探源。既然《管子轻重·山权数篇》中的权 数并非现代统计意义上的权数,那么现代权数又源于何时何处?
• 第四阶段从本世纪二十年代以来,可视为反省阶段。 • 本阶段的特点是:很少有人再提出新的加权方法,而是不断“消化”老
问题,重温旧争议。
• 2.权数在统计预测中的应用与扩展 • 正当指数领域中的权数发展步入低谷之时,权数在统计预测中有了新
• 1.权数在指数领域中的发展 • 权数不但从指数计算开始,而且在近代统计史上,权数主要是伴随着指
《综合评价方法》PPT幻灯片PPT
对于极小型指标，令
xi*j m 1ii xn nijxij (1in,1jm).
或
x i* j 1 m 1 ia x x n ijx ij (m 1 ia x nx ij 0 ,1 i n ,1 j 版社
12
8.2 评价指标体系的构建及其预处理方法
8.2.4 评价指标的预处理方法
(3) 向量归一化法
对于极大型指标，令 xi* jxij
n
xi2 j (1in,1jm ).
i1
对于极小型指标，令 xi* j1xij
n
xi2 j (1in,1jm ).
(4) 极差变换法
i 1
对于极大型指标，令 xi* jm 1 ia x x n ijx ijm 1 ii m 1 n n iix n n ijxij (1in,1jm ).
8.4.2 TOPSIS 法
⑷ 计算各评价对象到正理想解和负理想解的距离.
m
m
d i* (z ij z * j)2 ,d i (z ij z j)2(i 1 ,2 , ,n ).
j 1
j 1
⑸ 计算各评价对象对理想解的相对接近度，
Ci
di di* di
(i 1,2,
, n)..
⑹ 根据相对接近度Ci (i 1,2, ,n)对各评价对象进
j０
2021/5/17
数学建模实用教程－高教出版社
7
8.2 评价指标体系的构建及其预处理方法
8.2.3 评价指标的筛选方法
(3) 极大极小离差法
① 求出第 j项指标的最大离差
d j 1 m i, a k x n { |x i j x k j|} ( j 1 ,2 ,,m ) .
② 求出最小离差
xi*j m 1ii xn nijxij (1in,1jm).
或
x i* j 1 m 1 ia x x n ijx ij (m 1 ia x nx ij 0 ,1 i n ,1 j 版社
12
8.2 评价指标体系的构建及其预处理方法
8.2.4 评价指标的预处理方法
(3) 向量归一化法
对于极大型指标，令 xi* jxij
n
xi2 j (1in,1jm ).
i1
对于极小型指标，令 xi* j1xij
n
xi2 j (1in,1jm ).
(4) 极差变换法
i 1
对于极大型指标，令 xi* jm 1 ia x x n ijx ijm 1 ii m 1 n n iix n n ijxij (1in,1jm ).
8.4.2 TOPSIS 法
⑷ 计算各评价对象到正理想解和负理想解的距离.
m
m
d i* (z ij z * j)2 ,d i (z ij z j)2(i 1 ,2 , ,n ).
j 1
j 1
⑸ 计算各评价对象对理想解的相对接近度，
Ci
di di* di
(i 1,2,
, n)..
⑹ 根据相对接近度Ci (i 1,2, ,n)对各评价对象进
j０
2021/5/17
数学建模实用教程－高教出版社
7
8.2 评价指标体系的构建及其预处理方法
8.2.3 评价指标的筛选方法
(3) 极大极小离差法
① 求出第 j项指标的最大离差
d j 1 m i, a k x n { |x i j x k j|} ( j 1 ,2 ,,m ) .
② 求出最小离差
经典效能评估方法
第三章 经典效能评估措施
第一节 层次分析法
应用举例：选择最佳旅游地点 考虑5个原因：费用y1 ，景色y2 ，居 住条件y3 ，饮食条件y4 ，旅游条件y5 给出三个预选地点x1 、x2 、x3
层次构造分析模型
10
选择最佳旅游地点z
y1
y2
y3
y4
y5
x1
x2
x3
用两两比较法得到Y有关z旳判断矩阵为
隶属函数与隶属度：
30
定义：设给定论域U， U到［0，1］旳任一映
射 μA
μA ：U ［0，1］，μ μA(u)
都拟定了U上旳一种模糊集合，习惯上称为模 糊子集， U上旳全体模糊子集构成旳集合称为
模糊幂集，记作F(U)，这里 μ A 叫做A旳隶
属函数，μA (u) 叫做 μ 对A 旳隶属度，也记作
35
Zadeh表达法：
A＝
A（u1
）
A（u2
）
＋
A（un ）
u1
u2
un
序偶表达法：
A＝{(u1 , A(u1)),(u2 , A(u2 )),,(un , A(un ))}
向量表达法：
A（A（u1）, A（u2）,，A（un））
第三章 经典效能评估措施
第二节 模糊综合评估法
一、模糊数学旳基础知识 4模糊集合旳运算
38
经典关系旳定义：设U、V为两个集合，U V 是卡氏积，它旳一种子集 R U V
称为U到V旳一种关系。R旳特征函数表达为
1,当( x, y ) R
R( x, y ) R( x, y ) 0,当( x, y ) R
U V 上关系R旳全体构成了 U V 旳幂集
P(U V )
克里格法ppt课件
行估计。
•
所谓泛克里金法，就是在漂移的形式E[Z(x)]=m(x)，和非平稳随机函数Z(x)的
协方差函数C(h)或变异函数γ(h)为已知的条件下，一种考虑到有漂移的无偏线
性估计量的地统计学方法，这种方法属于线性非平稳地统计学范畴。
19
（1）漂移和涨落
• 漂移：非平稳区域化变量Z(x)的数学
期望，在任一点x上的漂移就是该点 上区域化变量Z(x)的数学期望。 • 漂移经常用邻域模型来研究。可表达 为：在给定的以点x为中心的邻域内 的任一点，其漂移m(x)可用如下函数 表示。 •
• 将解出的λi(i =1,2,…,n)带入估计量 公式得到普通克里金估计量： • 普通克里金方程组和普通克里金估 计方差也可用变异函数γ(h)表示。
•
从普通克里金方程组可得：
•
将此式带入估计方差公式得普通克 里金估计方差，记为 ：
•
在Z(x)满足二阶平稳条件时，可采 用协方差或变异函数表达的普通克 里金方程组及克里金估计方差计算 式进行求解计算；但在本证假设条 件下，则只可采用变异函数的表达 式进行求解计算。
•
由于估计值Y(x)是对数变换后的数值，因此对估计所得Y*(x)需进行反变换。
28
2、指示克里金法
• 实际研究中常常会需要获取研究区内研究对象大于某一给定阈值的概率分布， 即要获知研究区内任一点x处随机变量Z(x)的概率分布。
•
还会碰到采样数据中存在特异值的问题。（特异值是指那些比全部数值的均值 或中位数高的多的数值，其既非分析误差所致，也非采样方法等人为误差引起 ，而是实际存在于所研究的总体之中）。
简单克里金法的估计精度在很大程度上依赖于m值的准确度，但是通常情 况下很难正确估计m值，从而导致简单克里金估计精度降低。
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权重系数的确定方法
大家知道，即使某个评价指标非常重要，
但在 n 个被评价对象中，若它取值的波
动程度非常小，那么无论其取值有多大，
n 对这 个被评价对象来说，该指标在评
价过程中，对评价结果的影响都是非常小。
极端一点说，若某个非常重要的指标关于 这 个被评价对象的取值是完全相同的话，那么 该重要的指标在评价过程中的作用为零。
本阶段的主要特点是:权数的确定由凭经验 主观赋权发展到凭历史数据进行客观赋权。 这种客观赋权法对后来指数计算中的权数 确定具有不可抗拒的影响力。这一阶段的 代表人物是英国的杨格、罗威、斯克罗普。
第二阶段从十九世纪60年代到十九世纪末, 可视为发展阶段。
本阶段的主要特点是:围绕着以基期销售量 还是计算期销售量抑或二者的平均量为权 数进行讨论，三种方法各有优缺点,而且至 今仍然为大多数学者所接受。这一阶段的 代表人物是德国的拉斯皮雷斯、派许,英国 的马歇尔、艾奇沃斯。
《史记·平淮书》:“齐桓公用管仲之谋,通轻重 之权。”终于使齐国成为春秋时期的第一 强国。因而管仲的治国思想得到广泛流传 并被后人汇记成《管子轻重》一书,这是一 部专门讨论财政经济问题的论著。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
“权数”一词最早出现于《管子轻重·山权数 篇》。
桓公问管子曰:“请问权数”。 管子对曰:“天以时为权,地以财为权,人以力 为权,君以令为权。” 要想理解这段话中“权数”一词含义,请先 看“权”之涵义。
第四阶段从本世纪二十年代以来,可视为反 省阶段。
本阶段的特点是:很少有人再提出新的加权 方法,而是不断“消化”老问题,重温旧争议。
2.权数在统计预测中的应用与扩展
正当指数领域中的权数发展步入低谷之时, 权数在统计预测中有了新的应用与发展,并 且将权数概念由实质性扩展为虚拟性,为权 数的应用范围开辟了一个新的天地。
“数者术数,权数犹言行权之术数”。可见,这 里的“权数”是指权衡轻重的原则和方式、 方法,并不是现代统计科学中的权数。二者 的共同之处在于“权”,而不同之处在于 “数”,
古代权数相当于确定现代统计权数的原则 和方法。因此我们认为,具有“权衡轻重之 数”含义的现代权数是从管仲的“贵轻重, 慎权衡”思想衍生而来的。
在统计预测中,考虑到时间数列各观察值的 远近对预测未来的重要性不同,使用权数来 加重近期数值的作用,以提高预测结果的准 确程度,这只是近几十年来发生的事。统计 预测方法很多,无论是加权移动平均法、指
1.权数在指数领域中的发展
权数不但从指数计算开始,而且在近代统计 史上,权数主要是伴随着指数编制的发展而 发展。在综合指数编制的发展过程中,矛盾 的焦点就是权数问题。根据综合指数计算 中确定权数的方法特点,将权数的发展过程 分为如下四个阶段:
第一阶段从1812年至十九世纪50评价指标是不太重要的（但
n 不能舍去），但在 个被评价对象中，
它取值的变化程度却非常大，那么，对n这
个被评价对象来说，该指标在评价过程中， 对评价结果的影响是非常大的。
一、 权数的意义和作用
当各组标志值已确定，如果哪一组标志值分配的 单位数越多，则该组标志值对平均数的影响越大。 反之，影响越小。（即：在一个数列中，当标志 值较大的单位数居多时，平均数就会趋近标志值 大的一方；当标志值较小的单位数居多时，平均 数就趋近标志值小的一方；当标志值较大的单位 数与标志值较小的单位数基本平分时，平均数居 中）。
这就是说,权数思想虽然起源于中国古代, 但是,真正现代统计意义上的权数却始于 十九世纪初英国政治算术学家阿瑟·杨格 的加权算术平均法。
三、权数的发展
因为现代权数始于指数计算,所以权数首先在指数 领域得到充分发展;当指数领域中的权数发展进入 反省阶段以后,权数又开始在统计预测中发挥巨大 的作用,而且统计预测中的权数已经突破了指数领 域中实质性权数的概念;直到最近十来年,随着对多 指标综合评价方法的系统分析,权数概念得到进一 步扩展。这就是权数发展的总体线索。如果从权 数本身的性质来看,权数是由实质性向虚拟性方向 发展的。具体来讲,指数领域中的权数基本上属于 实质性权数,而统计预测和多指标综合中的权数则 属于虚拟性权数。下面就分别从这三个领域来谈 谈权数的发展过程。
第三阶段从本世纪初到本世纪二十年代,可 视为顶峰阶段。
本阶段的主要特点是:用所有可能的权数对 各种指数形式进行加权,并对由此产生的134 个指数公式进行三项检验,最后得出一个 “理想公式”。这一时期的代表人物就是 美国著名的统计学家、经济学家费喧,他的 主要观点收录在被誉为指数理论“圣经” 的《指数的编制》一书中。
2.现代统计科学中的权数探源。既然《管子轻 重·山权数篇》中的权数并非现代统计意义上的权 数,那么现代权数又源于何时何处?
据史料记载,1812年,英国政治算术学家阿瑟·杨格 在其所著《英国币值递增的研究》一书中,首次提 出用加权平均法计算物价指数,被视为加权算术平 均法的开端,同时也是现代统计权数的开端。为了 求出物价水平的变动,杨格将各种商品按重要性分 别配以一定的权数,如“大麦的重要性二倍于羊毛、 煤、铁,而粮食有四倍的重要,小麦与劳动力则有五 倍的重要”等,从而计算出综合指数。
《孟子·梁惠王篇》:“权,然后知轻重。” 意思是说“秤一秤,才晓得轻重”。 《墨子·大取篇》:“于所体之中而权轻重之谓 权”。 《淮南·时则篇》:“权者所以权万物也”。
很显然,这里的“权”是称量的意思,引 伸为权衡,具有权衡轻重之涵义。只有权衡 方知轻重,就象没有规矩不成方圆一样。
那么这里的“权数”又作何解释呢?
可见，各组标志值的单位数（频数）的多少对平 均数的大小有权衡轻重的作用，所以称各组单位 数为权数，用权数乘以各组标志值叫加权，由此 计算的平均数叫加权算术平均数。
二、权数的起源与发展阶段
1.权数的思想渊源。
权数思想最早源于我国春秋初期著名政治 家管仲(?—前645年)的治国思想。管仲曾被 齐桓公任为宰相,历时40年。他在治国理财 时非常注重应用轻重之权,《史记·管晏列 传》:“管仲既任政相齐……贵轻重,慎权衡。”
大家知道，即使某个评价指标非常重要，
但在 n 个被评价对象中，若它取值的波
动程度非常小，那么无论其取值有多大，
n 对这 个被评价对象来说，该指标在评
价过程中，对评价结果的影响都是非常小。
极端一点说，若某个非常重要的指标关于 这 个被评价对象的取值是完全相同的话，那么 该重要的指标在评价过程中的作用为零。
本阶段的主要特点是:权数的确定由凭经验 主观赋权发展到凭历史数据进行客观赋权。 这种客观赋权法对后来指数计算中的权数 确定具有不可抗拒的影响力。这一阶段的 代表人物是英国的杨格、罗威、斯克罗普。
第二阶段从十九世纪60年代到十九世纪末, 可视为发展阶段。
本阶段的主要特点是:围绕着以基期销售量 还是计算期销售量抑或二者的平均量为权 数进行讨论，三种方法各有优缺点,而且至 今仍然为大多数学者所接受。这一阶段的 代表人物是德国的拉斯皮雷斯、派许,英国 的马歇尔、艾奇沃斯。
《史记·平淮书》:“齐桓公用管仲之谋,通轻重 之权。”终于使齐国成为春秋时期的第一 强国。因而管仲的治国思想得到广泛流传 并被后人汇记成《管子轻重》一书,这是一 部专门讨论财政经济问题的论著。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
“权数”一词最早出现于《管子轻重·山权数 篇》。
桓公问管子曰:“请问权数”。 管子对曰:“天以时为权,地以财为权,人以力 为权,君以令为权。” 要想理解这段话中“权数”一词含义,请先 看“权”之涵义。
第四阶段从本世纪二十年代以来,可视为反 省阶段。
本阶段的特点是:很少有人再提出新的加权 方法,而是不断“消化”老问题,重温旧争议。
2.权数在统计预测中的应用与扩展
正当指数领域中的权数发展步入低谷之时, 权数在统计预测中有了新的应用与发展,并 且将权数概念由实质性扩展为虚拟性,为权 数的应用范围开辟了一个新的天地。
“数者术数,权数犹言行权之术数”。可见,这 里的“权数”是指权衡轻重的原则和方式、 方法,并不是现代统计科学中的权数。二者 的共同之处在于“权”,而不同之处在于 “数”,
古代权数相当于确定现代统计权数的原则 和方法。因此我们认为,具有“权衡轻重之 数”含义的现代权数是从管仲的“贵轻重, 慎权衡”思想衍生而来的。
在统计预测中,考虑到时间数列各观察值的 远近对预测未来的重要性不同,使用权数来 加重近期数值的作用,以提高预测结果的准 确程度,这只是近几十年来发生的事。统计 预测方法很多,无论是加权移动平均法、指
1.权数在指数领域中的发展
权数不但从指数计算开始,而且在近代统计 史上,权数主要是伴随着指数编制的发展而 发展。在综合指数编制的发展过程中,矛盾 的焦点就是权数问题。根据综合指数计算 中确定权数的方法特点,将权数的发展过程 分为如下四个阶段:
第一阶段从1812年至十九世纪50评价指标是不太重要的（但
n 不能舍去），但在 个被评价对象中，
它取值的变化程度却非常大，那么，对n这
个被评价对象来说，该指标在评价过程中， 对评价结果的影响是非常大的。
一、 权数的意义和作用
当各组标志值已确定，如果哪一组标志值分配的 单位数越多，则该组标志值对平均数的影响越大。 反之，影响越小。（即：在一个数列中，当标志 值较大的单位数居多时，平均数就会趋近标志值 大的一方；当标志值较小的单位数居多时，平均 数就趋近标志值小的一方；当标志值较大的单位 数与标志值较小的单位数基本平分时，平均数居 中）。
这就是说,权数思想虽然起源于中国古代, 但是,真正现代统计意义上的权数却始于 十九世纪初英国政治算术学家阿瑟·杨格 的加权算术平均法。
三、权数的发展
因为现代权数始于指数计算,所以权数首先在指数 领域得到充分发展;当指数领域中的权数发展进入 反省阶段以后,权数又开始在统计预测中发挥巨大 的作用,而且统计预测中的权数已经突破了指数领 域中实质性权数的概念;直到最近十来年,随着对多 指标综合评价方法的系统分析,权数概念得到进一 步扩展。这就是权数发展的总体线索。如果从权 数本身的性质来看,权数是由实质性向虚拟性方向 发展的。具体来讲,指数领域中的权数基本上属于 实质性权数,而统计预测和多指标综合中的权数则 属于虚拟性权数。下面就分别从这三个领域来谈 谈权数的发展过程。
第三阶段从本世纪初到本世纪二十年代,可 视为顶峰阶段。
本阶段的主要特点是:用所有可能的权数对 各种指数形式进行加权,并对由此产生的134 个指数公式进行三项检验,最后得出一个 “理想公式”。这一时期的代表人物就是 美国著名的统计学家、经济学家费喧,他的 主要观点收录在被誉为指数理论“圣经” 的《指数的编制》一书中。
2.现代统计科学中的权数探源。既然《管子轻 重·山权数篇》中的权数并非现代统计意义上的权 数,那么现代权数又源于何时何处?
据史料记载,1812年,英国政治算术学家阿瑟·杨格 在其所著《英国币值递增的研究》一书中,首次提 出用加权平均法计算物价指数,被视为加权算术平 均法的开端,同时也是现代统计权数的开端。为了 求出物价水平的变动,杨格将各种商品按重要性分 别配以一定的权数,如“大麦的重要性二倍于羊毛、 煤、铁,而粮食有四倍的重要,小麦与劳动力则有五 倍的重要”等,从而计算出综合指数。
《孟子·梁惠王篇》:“权,然后知轻重。” 意思是说“秤一秤,才晓得轻重”。 《墨子·大取篇》:“于所体之中而权轻重之谓 权”。 《淮南·时则篇》:“权者所以权万物也”。
很显然,这里的“权”是称量的意思,引 伸为权衡,具有权衡轻重之涵义。只有权衡 方知轻重,就象没有规矩不成方圆一样。
那么这里的“权数”又作何解释呢?
可见，各组标志值的单位数（频数）的多少对平 均数的大小有权衡轻重的作用，所以称各组单位 数为权数，用权数乘以各组标志值叫加权，由此 计算的平均数叫加权算术平均数。
二、权数的起源与发展阶段
1.权数的思想渊源。
权数思想最早源于我国春秋初期著名政治 家管仲(?—前645年)的治国思想。管仲曾被 齐桓公任为宰相,历时40年。他在治国理财 时非常注重应用轻重之权,《史记·管晏列 传》:“管仲既任政相齐……贵轻重,慎权衡。”