离散数学3.3一阶逻辑等值式
离散数学第2章一阶逻辑
2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
综上，有如下结论： (1)谓词中个体词的顺序不能随意变更。 (2)一元谓词用以描述一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。 (3)0元谓词就是一般命题。 (4)具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的， 前者是有真值的，而后者不是命题，它的 真值是不确定的。 (5)一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的 个体变项都用个体域中某个具体的个体取代后， 就成为一个命题。而且，个体变项在不同的个体域 中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大 的影响。
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2.2.1 一阶逻辑公式的语言翻译 2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
例2.2.1 用一阶逻辑符号化下述语句. (1)天下乌鸦一般黑。 (2)没有人登上过木星。 (3)在美国留学的学生未必都是亚洲人。 (4)每个实数都存在比它大的另外的实数。 (5)尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明 (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使 得对任意的x，只要|x-a|<δ ，就有 |f(x)-f(a)|<ε 成立。
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2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
解： (1)设F(x):x是乌鸦；G(x,y):x与y一般黑 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) 或者 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) (2)设H(x):x是人；M(x):x登上过木星。 (x)(H(x)M(x)) 或 (x)(H(x) M(x)) (3)设H(x)：是亚洲人；A(x):是在美国留学的学生。 (x)(A(x) H(x)); 或者： (x)(A(x) H(x)) (4)设R(x):x是实数；L(x,y):x小于y (x)(R(x) (y)(R(y) L(x,y))); (5)设M(x):x是人；C(x):x很聪明 (x)(M(x)C(x)) (x)((M(x) C(x)); (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使得对任意的x，只 要|x-a|<δ ，就有|f(x)-f(a)|<ε 成立。 (ε )((ε >0)(δ )((δ >0) (x)(( |x-a|<δ (|f(x)-f(a)|<ε )))) 28
一阶逻辑等值式
例
（4） ┐xy(F(x)∧G(y)∧L(x，y))
xy(F(x)∧G(y)→┐L(x,y)) x ┐(y(F(x)∧G(y)∧L(x，y)))
┐xy(F(x)∧G(y)∧L(x，y)) xy┐(F(x)∧G(y)∧L(x，y))
xy(┐(F(x)∧G(y))∨┐L(x,y))
说明
一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换 规则形式上完全相同，只是在这里A，B是一 阶逻辑公式。
例1 将下面公式化成与之等值的公式，使其没有既是约束出 现又是自由出现的个体变项。
(1)xF(x,y,z)→yG(x,y,z)
(2)x(F(x,y)→ yG(x,y,z))
解答 (1)xF(x,y,z)→ yG(x,y,z)
不是前束范式的例子：
x(F(x)→y(G(y)∧H(x，y))) x(F(x)∧y(G(y)→H(x，y)))
前束范式存在定理
定理 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式。
(1)利用量词转化公式，把否定深入到指导变元的后面。 ┐xA(x) x┐A(x) ┐xA(x) x┐A(x)
在解释I下求下列各式的值：
（1）x(F(x)∧G(x,a)) （2）x(F(f(x))∧G(x,f(x)) （3）xyL(x,y) （4）yxL(x,y)
（1） x(F(x)∧G(x,a)) (F(2)∧G(2,2)) ∧ (F(3)∧G(3,2)) (0∧1) ∧ (1∧1) 0 x(F(x,t)→y源自(x,y,z))(代替规则)
或x(F(x,y)→yG(x,y,z))
x(F(x,y)→tG(x,t,z)) (换名规则)
例2 证明 （1） x(A(x)∨B(x)) <≠> xA(x)∨xB(x) （2） x(A(x)∧B(x)) <≠> xA(x)∧xB(x) 其中A(x)，B(x)为含x自由出现的公式。
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中能够独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词: 别含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一具等如x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分不取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x))(2) x (F(x)G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特殊要求，用全总个体域量词顺序普通别能随便颠倒否定式的使用考虑：①没有别呼吸的人②别是所有的人都喜爱吃糖③别是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应怎么符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1(5) 量词符号：,(6) 联结词符号：, , , ,(7) 括号与逗号：(, ), ，定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.(3) 所有的项基本上有限次使用(1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数依然项定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),(A B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 惟独有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有浮现都称为约束浮现，A中别是约束浮现的其他变项均称为是自由浮现的.例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次浮现均为约束浮现，y与z均为自由浮现.闭式: 别含自由浮现的个体变项的公式.给定公式A=x(F(x)G(x))成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=x(x>1x>2) 假命题咨询: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？xF(x)x F(x) 有成假解释吗？被解释的公式别一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下基本上命题，注意别是闭式的公式在某些解释下也也许是命题.永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满脚式：至少有一具成真赋值几点讲明：永真式为可满脚式，但反之别真谓词公式的可满脚性（永真性,永假性)是别可判定的利用代换实例可判某些公式的类型定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等基本上p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等别是p q 的代换实例.定理重言式的代换实例基本上永真式，矛盾式的代换实例基本上矛盾式.2.3 一阶逻辑等值式等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B 为等值式.基本等值式:命题逻辑中16组基本等值式的代换实例如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n} xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)量词否定等值式设A(x)是含x自由浮现的公式xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)量词分配等值式x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例将下面命题用两种形式符号化(1) 没有别犯错误的人(2) 别是所有的人都爱看电影解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))请给出演算过程，并讲明理由.(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))给出演算过程，并讲明理由.前束范式定义设A为一具一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)为或，B为别含量词的公式.例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))是前束范式, 而x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))别是前束范式.定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式注意:公式的前束范式别惟一求公式的前束范式的办法: 利用重要等值式、置换规则、换名规则、代替规则举行等值演算.换名规则: 将量词辖域中浮现的某个约束浮现的个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未曾浮现过的个体变项符号，公式中其余部分别变，则所得公式与原来的公式等值.代替规则: 对某自由浮现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号别同的符号去代替，则所得公式与原来的公式等值.例求下列公式的前束范式(1) x(M(x)F(x))解x(M(x)F(x))x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）x(M(x)F(x))两步结果基本上前束范式，讲明前束范式别惟一.(2) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x) （量词否定等值式）x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张) 两种形式是等值的(3) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)x(F(x)G(x)) （为啥？）或x y(F(x)G(y)) （为啥？）(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))解xF(x)y(G(x,y)H(y))zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为啥？）或xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）x y(F(x)(G(z,y)H(y)))(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))解用换名规则, 也可用代替规则, 这个地方用代替规则 x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))注意：x与y别能颠倒。
《离散数学》第二章 一阶逻辑 讲稿分析
2.1 一阶逻辑基本概念一、本节主要内容基本概念——个体词、谓词、量词命题符号化二、教学内容个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体，它可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念. 表示主语的词（名词或代词）：苏格拉底，2，黑板，自然数，思想，定理.个体常项：具体的或特定的个体词，用a, b, c表示个体变项：抽象的或泛指的个体词，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成基本概念谓词: 表示个体词的性质或相互之间关系的词谓词常项：表示具体性质或关系的谓词F: …是人，F(a)：a是人G：…是自然数，F(2)：2是自然数谓词变项：表示抽象的或泛指的谓词F: …具有性质F，F(x)：x具有性质F元数：谓词中所包含的个体词数一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n 2): 表示个体词之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x比y高2厘米注意：多元谓词中，个体变项的顺序不能随意改动个体变项和谓词的联合体，F(x),L(x,y)，也称为谓词n元谓词L(x1, x2,…, xn)可看作一个函数，定义域为个体变项的个体域，值域为{0,1}n元谓词L(x1, x2,…, xn)的真值不确定，不是命题, 如：L(x,y)如果L(x,y)表示“x小于y”，谓词部分已经是常项，但还不是命题.考虑L(2,3)和L(3,2)L(x1, x2,…, xn)是命题：只有当L是常项，x1, x2,…, xn是个体常项0元谓词: 不含个体变项的谓词, 如L(a, b)如L的意义明确，则0元谓词都是命题一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p: 墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例1(续)(2) 是无理数仅当是有理数在命题逻辑中, 设p：是无理数，q：是有理数.符号化为p → q, 这是假命题在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数符号化为(3) 如果2>3，则3<4在命题逻辑中, 设p：2>3，q：3<4.符号化为p→q, 这是真命题在一阶逻辑中, 设F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y,符号化为F(2,3)→G(3,4)（4）如果张明比李民高，李民比赵亮高，则张明比赵亮高.在命题逻辑中, 设p：张明比李民高，q：李民比赵亮高, r:张明比赵亮高.符号化为：p ∧ q → r在一阶逻辑中, 设F(x,y)：x比y高a:张明，b:李民，c:赵亮符号化为：F(a, b) ∧ F(b, c) → F(a, c)基本概念(续)量词: 表示数量的词例如（1）所有的人都要死的；（2）有的人活一百岁以上；全称量词∀: 表示任意的, 所有的, 一切的等∀x 表示对个体域中所有的个体，∀x F(x)表示个体域中所有的个体都有性质F.∀x F(x)，其中F(x)：x是要死的，个体域为人类集合存在量词∃: 表示存在着, 有的, 有一个，至少有一个等∃x 表示存在个体域中的个体，∃x F(x)表示存在着个体域中的个体具有有性质F ∃x G(x)，其中G (x)：x活一百岁以上，个体域为人类集合如果个体域D为全总个体域，则∀x F(x)，其中F(x)：x是要死的，表示宇宙间的一切事物都要死的.∃x G(x)，其中G (x)：x活一百岁以上，表示宇宙间的一切事物中存在活一百岁以上的. 特性谓词：M(x): x是人符号化为：（1）∀x （M(x) → F(x)）（2）∃x （M(x) ∧ G(x)）考虑：（1）∀x （M(x) ∧ F(x)）（2）∃x （M(x) → G(x)）一阶逻辑中命题符号化(续)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为∀x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为∃x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) ∀x (F(x)→G(x))(2) ∃ x (F(x)∧G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.一阶逻辑中命题符号化(续)例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y∀x(F(x)→∀y(G(y)→L(x,y))) 或∀x∀y(F(x)∧G(y)→L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>y∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧L(x,y)))或∃x∃y(F(x)∧G(y)∧L(x,y)) 两者等值一阶逻辑中命题符号化(续)几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特别要求，用全总个体域量词顺序一般不要随便颠倒例：对任意x，存在着y，使得x+y=5. 个体域为实数集.符号化为：∀x ∃y H（x,y), 其中H（x,y):x+y=5考虑∃y ∀x H（x,y) 否定式的使用例：在一界逻辑中命题符号化①没有不呼吸的人②不是所有的人都喜欢吃糖③不是所有的火车都比所有的汽车快①⌝∃x( F(x)∧⌝G(x))其中F(x)：x是人，G(x)：x呼吸或者：∀x( F(x) →G(x))②⌝∀x( F(x) →G(x))其中F(x)：x是人，G(x)：x喜欢吃糖或者：∃x( F(x)∧⌝G(x))③⌝∀x( F(x) →∀y (G(y) →H(x,y)) )或者：∃x( F(x)∧∃y (G(y) ∧⌝ H(x,y)) )例：在一界逻辑中命题符号化①一切人都不一样高②每个自然数都有后继数③有的自然数无先驱数①∀x ∀y( F(x) ∧F(y) ∧ G(x,y) →⌝H(x,y))其中F(x)：x是人，G(x,y) :x和y不是同一个人，H(x,y)：x和y一样高或者：⌝∃x ∃y( F(x) ∧F(y) ∧ G(x,y) ∧H(x,y))②∀x( F(x) →∃y(G(y) ∧ H(x,y))其中F(x)：x是自然数，H(x,y) ：y是x的后继数或者：∀x( F(x) →L(x)) ，L(x) ：x有后继数③∃x( F(x) ∧∀y(G(y) →⌝ H(x,y))或者：∃x( F(x)∧⌝L(x) ) ，L(x) ：x有先驱数2.2 一阶逻辑公式及解释一、本节主要内容字母表合式公式(简称公式)个体变项的自由出现和约束出现解释永真式（逻辑有效式）矛盾式（永假式）可满足式二、教学内容字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i ≥1(2) 个体变项：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i ≥1(3) 函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i ≥1(4) 谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i ≥1(5) 量词符号：∀, ∃(6) 联结词符号：⌝, ∧, ∨, →, ↔(7) 括号与逗号：( , ), ，项定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若ϕ(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是任意的n个项，则ϕ(t1, t2, …, tn) 是项.(3) 所有的项都是有限次使用(1), (2) 得到的.例：a，b，x，y，f(x,y)=x+y，g(x,y)=x-y都是项f(a, g(x,y))=a+ (x-y)是项其实, 个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数还是项原子公式定义设R(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…, tn是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是原子公式.其实，原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式合式公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(⌝A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B),(A↔B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则∀xA, ∃xA也是合式公式(5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串才是合式公式(谓词公式).个体变项的自由出现与约束出现定义在公式∀xA和∃xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的.例如, 在公式∀x(F(x,y)→G(x,z)) 中,A=(F(x,y)→G(x,z))为∀x的辖域，x为指导变项, A中x的两次出现均为约束出现，y与z均为自由出现.闭式: 不含自由出现的个体变项的公式.例1：∀x(F(x)→∃y H(x,y) )∃y H(x,y)中，y为指导变项，∃的辖域为H(x,y)，其中y为约束出现的，x为自由出现的. 在整个合式公式中，x为指导变项，∀的辖域为(F(x)→∃y H(x,y) )，其中x与y都是约束出现的，x约束出现2次，y约束出现1次.例2：∀x ∀y(R(x,y) ∨L(y,z) ) ∧∃x H(x,y)∀x ∀y(R(x,y) ∨L(y,z) )中，x,y都是指导变项，辖域为(R(x,y) ∨L(y,z) )，x与y都是约束出现的，z为自由出现的.∃x H(x,y)中，x为指导变项，∃的辖域为H(x,y)，其中x为约束出现的，y为自由出现的在此公式中，x为约束出现的，y为约束出现的，又为自由出现的. z为自由出现的.换名规则将量词辖域中出现的某个约束出现的个体变项及对应的指导变项，改成另一个辖域中未出现过的个体变项符号，公式中的其余部分不变。
离散数学-03-一阶逻辑
3.1.4 一阶逻辑公式与分类
解释和赋值的直观涵义
例 公式x(F(x)G(x)) 指定1 个体域:全总个体域, F(x): x是人, G(x): x是黄种人 真/假命题？ 假命题 指定2 个体域:实数集, F(x): x>10, G(x): x>0 真/假命题？ 真命题
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3.1.4 一阶逻辑公式与分类
离散数学（第3版） 屈婉玲 耿素云 张立昂 编著 清华大学出版社出版
第3章 一阶逻辑
上海大学 谢江
1
第3章 一阶逻辑
• 3.1 一阶逻辑基本概念 • 3.2 一阶逻辑等值演算
2
3.1 一阶逻辑基本概念
• 3.1.1 命题逻辑的局限性 • 3.1.2 个体词、谓词与量词
– 个体常项、个体变项、个体域、全总个体域 – 谓词常项、谓词变项 – 全称量词、存在量词
n元谓词P(x1, x2,…, xn): 含n个个体变项的谓词, 是定义在 个体域上, 值域为{0,1}的n元函数 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n2): 表示事物之间的关系 0元谓词: 不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项 0元谓词是命题？ 命题均可表示成0元谓词？
8
3.1.2 个体词、谓词与量词
• 3.1.3 一阶逻辑命题符号化
3
3.1 一阶逻辑基本概念(续)
• 3.1.4 一阶逻辑公式与分类
– 一阶语言L （字母表、项、原子公式、合式 公式） – 辖域和指导变元、约束出现和自由出现 – 闭式 – 一阶语言L 的解释 – 永真式、矛盾式、可满足式 – 代换实例
4
3.1.1 命题逻辑的局限性
11
3.1.3 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化
离散数学课件第二章 一阶逻辑
§2.1
一阶逻辑的基本概念
原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系
和数量关系。
要反映这种内在联系，就要对命题逻 辑进行分析 , 分析出其中的个体词、谓词和 量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出 正确的推理形式和规则，这就是一阶(谓词) 逻辑的研究内容。 办法：将命题再次细分。
解决这个问题的方法： 在表示命题时，既表示出主语，也表示 出谓语，就可以解决上述问题。这就提出了 谓词的概念(谓词是用来刻划个体词的性质 或事物之间的关系的词,谓词S(x)相当于一 个函数).
§2.1 一阶逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词和命题函数 在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词和个体两部分。
主语 谓语 宾语
讨论对象 对象的性质或关系
讨论对象
个体词（组）
谓词
个体词（组）
1、定义：在原子命题中，所描述的对象称为个体；用 以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。
例2.1：分析下列个命题中的个体和谓词
如何表示？
2.1.3 命题函数 谓词本身并不是命题，只有谓词的括号内填入足够 的个体，才变成命题。 设 H(x) 是谓词 表示 x “能够到达山顶” ， l 表示个体李四， t 表示老虎， c 表示汽车， 那么H（l）， H（t）， H（c），等分别表示各 个不同的命题：但它们有一个共同的形式， 即 H（x） 当 x 分别取 l、 t、 c 时 就表示“李四能够到达山顶”，“老虎能够到达山 顶”，“汽车能够到达山顶”。
Discrete Mathematics
刘师少
Tel： 86613747（h） E-mail： lss@
授课:
51学时
教学目标:
知识、能力、素质
第二章 一阶逻辑
离散数学一阶逻辑等值演算
在一阶逻辑中，推理系统还包括量词和谓词，量词 用于描述个体的数量，谓词则用于描述个体的性质 。
推理系统的构造
构造推理系统需要确定系统的 公理和推理规则。
公理的选择应确保系统的一致 性和完备性，即从公理推导出 的结论不与已知事实相矛盾， 并且所有需要的结论都能从公 理推导出来。
离散数学一阶逻辑等值演算的展望
形式化方法的普及和应用
随着计算机科学的不断发展，离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法将更加普及和应 用，成为解决复杂问题的关键工具之一。
人工智能与离散数学的深度融合
未来的人工智能系统将更加依赖于离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法，以实现更 加智能化的推理和决策。
新兴领域的应用拓展
离散数学一阶逻辑等值演算
目
CONTENCT
录
• 离散数学概述 • 一阶逻辑基础 • 等值演算 • 推理系统 • 应用实例 • 离散数学一阶逻辑等值演算的发展
趋势与展望
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分 支的总称。
特点
离散数学主要关注离散对象的结构、性质和关系，通常不涉及连 续的量或函数。
离散概率论是研究离散随机事件的数学分支，例如扔骰子、抽签等。一阶逻辑等值演算在离散概率论 中也有着重要的应用。
利用一阶逻辑等值演算，可以描述随机事件之间的关系和性质，例如计算事件的概率、推导事件的独 立性等。这些描述方法有助于深入理解随机事件和概率分布，为解决实际问题提供有力支持。
06
离散数学一阶逻辑等值演算的发展趋势与展望
《离散数学》第二章一阶逻辑
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
2013-7-29
离散数学
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例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。 对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原 句是矛盾的。
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离散数学
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个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为： （1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。 解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。 （1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。 解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。 （1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章 一阶逻辑
浙江工业大学计算机学院 浙江工业大学软件学院
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所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
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命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。
离散数学 第二章：一阶逻辑
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
(优选)离散数学一阶逻辑等值式
1
基本等值式:
消去量词等值式 设D={a1,a2,…,an} (1) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) (2) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
量词否定等值式 (1) xA(x) x A(x) (2) xA(x) x A(x)
基本等值式(续)
推理规则(续)
(13) 全称量词引入规则（简记为UG规则或UG）
A( y) xA( x)
该式成立的条件是： y是A(y)中自由出现的个体变项； 无论y取何值，A(y)应该均为真； 取代自由出现的y的x，也不能在A(y)中约束出 现.
推理规则(续)
(14) 存在量词引入规则（简记为EG规则或EG）
A( c ) xA( x)
该式成立的条件是： c是使A为真的特定个体常项. 取代c的x不能在A(c)中出现过.
推理规则(续)
(15) 存在量词消去规则（简记为EI规则或EI）
xA( x) A(c)
该式成立的条件是： c是使A为真的特定的个体常项. c不在A(x)中出现. 若A(x)中除自由出现的x外，还有其他自由出现 的个体变项，此规则不能使用.
前束范式
定义 设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q1x1Q2x2…QkxkB, 则称A为前束范式, 其中Qi (1ik) 为或，B为不含量词的公式.
例如，xy(F(x)(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
是前束范式, 而 x(F(x)y(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) 解 用换名规则, 也可用代替规则, 这里用代替规则
x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z))) xy(F(x,u)G(x,y)H(x,z))) 注意：x与y不能颠倒
离散数学第二章一阶逻辑
(2) ∀x∀y(x+0=y →y+0=x) 真命题 (3) ∀x∀y∃z(x+y=z) 真命题 (4) ∀x∀y(x+y=x*y) 假命题 (5)x+y=y+z,它的真值不确定,因而不是命题. 注)非闭式,在有的解释中不是命题.
定义:设A为一公式(谓词公式),如果A在任何解释下都是 真的,则称A为逻辑有效式(永真式);如果A在任何解释下 都是假的,则称A是矛盾式(永假式);若至少存在一个解 释使A为真,则称A是可满足式. 2.代换实例 设A0是含命题变项p1,p2,…,pn的命题公式,A1,A2,…,An 是n个谓词公式,用Ai(1≤i≤n)处处代换pi,所得公式A 称为A0的代换实例. 例如:F(x)→G(x),∀xF(x)→∃xG(x)等都是p→q的代换实例; 命题公式中的重言式的代换实例在谓词公式中可仍称为重言式 ,这样的重言式都是逻辑有效式. 命题公式中的矛盾式的代换实例仍为矛盾式.
例2.7 给定解释I如下: 1)DI={2,3} 2)DI中特定元素a=2 3)函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2 4)谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(i,j)=1,i,j=2,3 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0 在解释I下,求下列各式的真值 (1) ∀ ∀x(F(x)∧G(x,a)) (2)∃x(F(f(x))∧G(x,f(x))) ∃ (3)∀x∃yL(x,y) ∀ ∃
例2.2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)凡有理数均可表成分数; (2)有的有理数是整数; 要求:1)个体域为有理数集合, 2)个体域为实数集合, 3)个体域为全总个体域. 解: 1)个体域为有理数集合(不用引入特性谓词): (1) 设 F(x):x可表成分数; 则命题符号化为∀xF(x). ∀ (2) 设 G(x):x是整数;则命题符号化为∃xG(x). 2)个体域为实数集合(引入特性谓词):令 R(x):x是有理数; (1) 设F(x):x可表成分数;则命题符号化为∀x(R(x)→F(x)) (2) 设G(x):x是整数;则命题符号化为∃x(R(x)∧G(x))。
离散数学 第二章 一阶逻辑
一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 人都爱美; 分别取(a) 为人类集合 为人类集合, 分别取 D为人类集合 (b) D为全总个体域 . 为全总个体域 爱美, 解:(a) (1) 设G(x):x爱美 符号化为 x G(x) : 爱美 (2) 设G(x):x用左手写字 符号化为 x G(x) 用左手写字, : 用左手写字 (b) 设F(x):x为人,G(x):同(a)中 为人, : 为人 : 中 (1) x (F(x)→G(x)) → (2) x (F(x)∧G(x)) 这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用. 这是两个基本公式 注意这两个基本公式的使用
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代换实例( 代换实例(续)
如下: 例1 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a = 2 (c) f ( x , y ) = x + y, g ( x , y ) = xy (d) 谓词 F ( x , y ) : x = y 下的涵义,并讨论真值 说明下列公式在 I 下的涵义 并讨论真值 (1) xF(g(x,a),x) x(2x=x) 假命题 (2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) → xy(x+2=y→y+2=x) → 假命题
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解释 (续) 续
被解释的公式不一定全部包含解释中的4部分 被解释的公式不一定全部包含解释中的 部分. 部分 闭式在任何解释下都是命题, 闭式在任何解释下都是命题, 注意不是闭式的公式在某些解释下也可能是命 题.
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公式的分类
永真式(逻辑有效式) 永真式(逻辑有效式):无成假赋值 矛盾式(永假式) 矛盾式(永假式):无成真赋值 可满足式: 可满足式:至少有一个成真赋值 几点说明: 几点说明: 永真式为可满足式, 永真式为可满足式,但反之不真 谓词公式的可满足性(永真性,永假性) 谓词公式的可满足性(永真性,永假性)是不可判 定的 利用代换实例可判某些公式的类型
离散数学课件-5-一阶逻辑等值演算与推理
离散数学课件-5-一阶逻辑等值演算与推理第五章一阶逻辑等值演算与推理§1 一阶逻辑等值式与置换规则定义：A，B两个谓词公式，若A?B是永真式，则称A与B是等值的，记为A?B。
常用等值式：第一组：命题逻辑中常用等值式的代换实例第二组：一阶逻辑中的特有等值式1．消去量词当D={a1, a2,…, a n}时，有①?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)②?xA(x)?A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n)2．量词否定①??xA(x)??x?A(x)②﹁?xA(x)??x?A(x)3．辖域收缩与扩张①?x(A(x)∨B)??xA(x)∨B②?x(A(x)∧B)??xA(x)∧B③?x(A(x)∨B)??xA(x)∨B④?x(A(x)∧B)??xA(x)∧B4．量词分配①?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x)②?x(A(x)∨B(x))??xA(x)∨?xB(x)演算规则：1．置换规则：φ(A)：含A的谓词公式φ(B)：用公式B替换φ(A)中所有A之后的公式若A?B，则φ(A)?φ(B)。
2．换名规则：设A是谓词公式，把A中某指导变元对应的全部约束出现替换为A中未出现过的符号，而A中其余部分不变，设所得谓词公式为A′，则A?A′。
3．代替规则设A是谓词公式，把A中某个体变项的全部自由出现替换为A中未出现过的符号，而A中其余部分不变，设所得公式为A′，则A?A′。
例①?xF(x,y,z)→?yG(x,y,z)sF(s,y,z)→?tG(x,t,z) 换名②?x(F(x,y)→?yG(x,y,z))x(F(x,t)→?yG(s,y,z)) 代替例给定解释I：D I ={2,3}，a：2，b：3G(x,y)：G(a, a)=G(a, b)=G(b, a)=1，G(b, b)=0F(x)：F(a)=0，F(b)=1① ?x(F(x)∧G(x,a))(F(a)∧G(a,a))∧(F(b)∧G(b,a))?(0∧1)∧(1∧1)? 0② ?x?yG(x,y)x(G(x,a)∧G(x,b))(G(a,a)∧G(a,b))∨(G(b,a)∧G(b,b))(1∧1)∨(1∧0)1例证明：﹁?x(F(x)→G(x))??x(F(x)∧﹁G(x)) 解：﹁?x(F(x)→G(x))﹁?x(﹁F(x)∨G(x))x﹁(﹁F(x)∨(G(x)x(F(x)∧﹁G(x))§2 前束范式定义：设A是谓词公式，若A有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B其中Q i(1≤i≤k)为?或?，B为不含量词的公式，则称A为前束范式。
离散数学---一阶逻辑的等值式
求前束范式例1 求前束范式例
求下列公式的前束范式： 求下列公式的前束范式 ： 1、 ∀x A(x) ∧ ∀x B(x) 1、⇔∀ (A(x) ∧ B(x)) 、 、⇔∀x 2、 ∃x A(x) ∨ ∃x B(x) 2、⇔ ∃x(A(x) ∨ B(x)) 、 、 3、 ∀x A(x) ∨ ∀x B(x) 3、⇔ ∀x A(x) ∨ ∀y B(y) 、 、 4、 ∃x A(x) ∧ ∃x B(x) 、 ⇔ ∀x ∀y (A(x) ∨ B(y))
对于公式∀ ∧∀y ∧∃y 对于公式∀x A(x)∧∀ B(y)和∃x A(x)∧∃ B(y) ∧∀ 和 ∧∃ 对于公式∀ ∧∀y 对于公式∀x A(x)∧∀ B(y)，由于∀对合取有分配律，所以 ∧∀ ，由于∀对合取有分配律， 可变换为： 可变换为： ∧∀y ∧∀x ∀x A(x)∧∀ B(y) ⇔ ∀x A(x)∧∀ B(x) ⇔ ∀x(A(x)∧B(x)) ∧∀ ∧∀ ∧ 注意运用此变换的前提是B(y)中不出现 ， 如果 中不出现x，如果B(y) 注意运用此变换的前提是 中不出现 中出现x，则可使用换名规则（如果x是约束出现 是约束出现） 中出现 ，则可使用换名规则（如果 是约束出现）或者 是自由出现） 是替换规则（如果x是自由出现 先将x变为其他变换符 是替换规则（如果x是自由出现）先将x变为其他变换符 号。 对于公式∃ ∧∃y 对于公式∃x A(x)∧∃ B(y)，由于∃对合取没有分配律， ∧∃ ，由于∃对合取没有分配律， 所以只能变换为： 所以只能变换为： ∨∃y ∃x A(x)∨∃ B(y) ⇔ ∃x∃y(A(x)∨ B(y)) ∨∃ ∃ ∨ 显然对于公式∀ ∧∃y ∧∀y 显然对于公式∀x A(x)∧∃ B(y)、∃x A(x)∧∀ B(y)都只能变 ∧∃ 、 ∧∀ 都只能变 换为： 换为： ∧∃y ∀x A(x)∧∃ B(y) ⇔ ∀x∃y(A(x)∧B(y))、 ∧∃ ∃ ∧ 、 ∧∀y ∃x A(x)∧∀ B(y) ⇔ ∃x∀y(A(x)∧B(y)) ∧∀ ∀ ∧
离散数学32一阶逻辑基本公式及解释1
(1)原子公式是合式公式。
(2)若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。
(3)若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)， (A? B) 也是合式公式。
(4)若A是合式公式，则? xA，? xA也是合式公式。
(5)只有有限次的应用(1)-(4)构成的符号串是合式公式。
例题4.8
? (1) F(f(x,y),g(x,y))
?
公式被解释成“x+y=x·y”，这不是命题。
? (2) F(f(x,a),y)→F(g(x,y),z)
?
公式被解释成“(x+0=y)→(x·y=z)”，这也不是命
题。
? (3) ┐F(g(x,y),g(y,z))
?
公式被解释成“x·y≠y·z”，同样不是命题。
? (4) ? x F(g(x,y),z)
?
公式被解释成“? x(x·y=z)”，不是命题。
例题4.8
? (5) ? x F(g(x,a),x)→F(x,y)
?
公式被解释成“? x(x·0=x)→(x=y)”，由于前件
为假，所以被 解释的公式为真。
? (6) ? x F(g(x,a),x)
?
公式被解释成“? x(x·0=x)”，为假命题。
结 ?闭式在给定的解释中都变成了命题。如(6)? (8)。 论 ?不是闭式的公式在某些解释下也可能变为命题。如(5)。 定理4.1 封闭的公式在任何解释下都变成命题。
一阶公式的分类
定义4.8 永真式、永假式、可满足式
? 设A为一个公式，若A在任何解释下
均为真，则称A为永真式(或称逻辑有效式)。
? 设A为一个公式，若A在任何解释下均为假，则称A为矛盾式 (或永假式)。
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。